GÜZELLİK neden GERÇEKLİKTİR

IANSTEWART

GÜZELLİK neden GERÇEKLİKTİR

Simetrinin Tarihi

“Yaşadığımız dünyayı -yalnızca matematikle mümkün olan bir kesinlikle-anlamak için, 3000 yıldır süren bir arayışın mükemmel ötesi bir anlatımı” Keith Devlin

ALFAI BİLİM

2829 I ALFA | BİLİM I 102

GÜZELLİK NEDEN GERÇEKLİKTİR Sümerlerden Kuantum Fiziğine Simetrinin Öyküsü

İAN STEWART

Warwick Üniversitesinde matematik profesörü ve Matematik Farkındalık Merkezi müdürüdür. Dinamikte simetri, örüntü oluşumu, kaos ve matematiksel biyoloji gibi konularda 140’ın üzerinde araştırma makalesi yazmıştır; ayrıca Genç Matematikçiye Mektuplar, Tanrı Zar Atar mı?, Kar Tanesinin Biçimi Nasıldır?, Doğanın Sayılan, Açıklamalı Düzülke gibi pek çok popüler kitabı vardır. 2001’de Royal Society’ye üye seçilmiştir. İngiltere’nin Coventry kentinde yaşamaktadır.

ZEKERİYA AYDIN

1964 yılında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümünden mezun olup aym bölümde akademik hayata başlayan Zekeri-ya Aydın, 2008 yılında oradan emekli olmuştur. Çeşitli zamanlarda Colorado Üniversitesi, Hamburg Üniversitesi ile DESY Hızlandırıcı Merkezi ve Trieste Teorik Fizik Merkezi gibi yerlerde de çalışmıştır. Kuramsal parçacık fiziği alanında çok sayıda araştırma makalesinin yanında, lisans ve lisansüstü düzeyde telif ve çeviri fizik ders kitapları vardır. Çevirdiği popüler bilim kitapları arasında ise Weinberg’in İlk Üç Dakika ve Atomaltı Parçacıklar eserleri, Christianson’un Isaac Neuton: Bilimsel Devrim’i, Gordon Kane’in Süpersimetri’si, Goodstein’ın Feynman’m Kaytp Dersi ve Richard Feynman’ın Altı Kolay Parça’sı ile Altı Zor Parça’sı sayılabilir.

Güzellik Neden Gerçekliktir: Simetrinin Tarihi

2012, ALFA Basım Yayım Dağıtım San. veTic. Ltd. Şti.

IANSTEWART

GÜZELLİK •«*«» GERÇEKLİKTİR

Simetrinin Tarihi

Çeviri Zekeriya Aydın

ALFA* ı BİLİM

Bu nesil yaşlanıp da tükeneceği zaman Sen kalacaksın, üzüntüler arasında Bizimkilerden başka, insana dost, ona dersin ki "Güzellik gerçekliktir, gerçeklik de güzellik" -hepsi bu Yeryüzünde bildiğin ve bilmen gereken her şey.

-JOHN KEATS, Bir Yunan Vazosuna övgü

İÇİNDEKİLER

Önsöz, 9

Babil'in Yazmanları 15

Ünlü Kişi	34
îranlı Şair	51
Kumarbaz Bilgin	65
Kurnaz Tilki	85
Hakkı Yenmiş Doktor ve Hastalıklı Deha	98
Bahtsız Devrimci	123
Vasat Mühendis ve Aşkın Profesör	156
Sarhoş Vandal	171
Sözde Asker ve Cılız Kitapkurdu	197
Patent Ofisindeki Sekreter	213
Bir Kuantum Beşlisi	245
Beş Boyutlu Adam	271
Politik Gazeteci	297
Matematikçilerin Aymazlığı	316
Gerçekliği ve Güzelliği Arayanlar	334

Kaynakça, 341

Dizin, 345

ulaşılmıştır. Dolayısıyla bu kitabın çoğu, cebirsel denklemlerin çözümleri için yapılan çalışmaları betimlemektedir. Bu çok teknikmiş gibi görünüyor, fakat araştırma büyüleyicidir ve ana oyuncuların pek çoğu alışılmamış ve dramatik ömürler sürdüler. Bazen soyut düşünceler içinde kaybolsalar bile, matematikçiler de insandır. Onların bazıları yaşamlarına mantık kurallarını aşın derecede uyguladılar, fakat tekrar tekrar göreceğiz ki kahramanlanmız çok fazla insandılar. Onlann nasıl yaşadıklarını ve nasıl öldüklerini göreceğiz; aşk maceralannı ve düellolarını, hatalı öncelik kavgalannı, seks skandallannı, sarhoşluklannı ve hastalıklarını okuyacağız; bu yol boyunca onlann matematiksel fikirlerinin dünyamızı nasıl açıkladığını ve değiştirdiğini göreceğiz.

MÖ onuncu yüzyılda başlayan ve on dokuzuncu yüzyılın başlarında Galois'yla doruk noktasına ulaşan öykü, adım adım denklemlerin fetih izlerini sürer; bu öyle bir süreçtir ki, matematikçiler bilinmeyenin beşinci kuvvetini içeren "beşinci derece" denklemini çözmeye çalıştıklarında, bu süreç eninde sonunda bir temele oturur. Beşinci derece denklemiyle ilgili temelde farklı bir şeyler olduğu için mi yöntemler çalışmamıştı? Yoksa benzer olmakla birlikte, çözüm formüllerine yol açabilecek daha güçlü yöntemler olabilir miydi? Matematikçiler gerçek bir engelden ötürü tıkanmış mıydı ya da anlamamazlıktan mı geliyorlardı?

Şunun bilinmesi önemlidir; beşinci derece denklemleri için çözümlerin var olduğu bilinmektedir. Soru şuydu: Bunlar her zaman cebirsel bir formül vasıtasıyla temsil edilebilirler mi? Norveçli bir genç olan Niels Henrik Abel, beşinci derece denkleminin cebirsel anlamda çözülemez olduğunu 1821'de kanıtlamıştı. Bununla birlikte, kanıtlama çok gizemli ve dolaylıydı. Genel çözümün olanaksızlığı kanıtlanmıştı, ama nedeni açıklanmamıştı.

Galois'nın keşfine göre, beşinci dereceyi çözmenin olanaksız oluşu denklemin simetrisinden doğmaktaydı. Bu simetriler Galois testini geçerlerse -onların çok özel bir tarzda birbirleriyle bağdaşmaları anlamında, ama henüz bu tarzı açıklamayacağım- o zaman denklem cebirsel bir formülle

mel oluşturur. Albert Einstein'm görelilik kuramının özünde, fizik yasaları her yerde ve her zaman aynı olmalıdır ilkesi yatar. Yani, yasalar uzaydaki harekete ve zamanın geçişine göre simetrik olmalıdır. Kuantum mekaniği, evrendeki her şeyin çok minik "temel" parçacıkların bir araya gelmesiyle oluştuğunu ifade eder. Bu parçacıkların davranışı, matematiksel denklemlerle -doğa yasalarıyla- yönetilir ve bu yasalar da simetriye sahiptir. Parçacıklar matematiksel olarak tamamen farklı parçacıklara dönüşebilir ve bu dönüşümler de fizik yasalarını değişmez bırakır.

Bu kavramlar ve bugünkü fiziğin sınırlarında ortaya çıkan daha yeni kavramlar, simetriyi matematiksel olarak daha derinden anlamaksızm keşfedilemezdi. Bu anlayış kuramsal matematikten gelmektedir; fizikteki rolüyse daha sonra meydana çıkar. Olağanüstü yararlı fikirler tamamen soyut değerlendirmelerden, fizikçi Eugene Wigner'in "doğa bilimlerinde matematiğin akıl almaz etkinliği" diye baktığı bir şeyden ortaya çıkabilir. Matematikle, bazen koyduğumuzdan daha fazlasını alınz.

Eski Babil'in çivi yazılarıyla başlayıp yirmi birinci yüzyılın fizikçileriyle biten Güzellik Neden Gerçekliktir adlı bu kitap, matematikçilerin simetri kavramına nasıl rastladıklarını ve görünüşte yararsız bir araştırmanın nasıl evrene yeni bir pencere açan çözülemez bir formüle dönüştüğünü, fen ve matematikte devrim yarattığını anlatmaktadır. Daha geniş ölçüde, simetri öyküsü, büyük fikirlerin kültürel etkisinin ve tarihsel sürekliliğinin, tesadüfe bağlı köklü değişikliklerle hem politik hem de bilimsel alanda nasıl bir tam rahatlama sağlayabileceğini açıklamaktadır.

Kitabın ilk yarısı, ilk bakışta, simetriyle hiç ilgisi yokmuş ve doğal dünyayla da pek az ilgiliymiş gibi görünebilir. Bunun nedeni, simetrinin beklenen yoldan, yani geometri aracılığıyla başat bir fikir haline gelmemiş olmasıdır. Bunun yerine, matematikçilerin ve fizikçilerin bugün kullandıkları son derece güzel ve gerekli simetri kavramına cebir aracılığıyla

ulaşılmıştır. Dolayısıyla bu kitabın çoğu, cebirsel denklemlerin çözümleri için yapılan çalışmaları betimlemektedir. Bu çok teknikmiş gibi görünüyor, fakat araştırma büyüleyicidir ve ana oyuncuların pek çoğu alışılmamış ve dramatik ömürler sürdüler. Bazen soyut düşünceler içinde kaybolsalar bile, matematikçiler de insandır. Onların bazıları yaşamlarına mantık kurallarını aşırı derecede uyguladılar, fakat tekrar tekrar göreceğiz ki kahramanlarımız çok fazla insandılar. Onların nasıl yaşadıklarını ve nasıl öldüklerini göreceğiz; aşk maceralarını ve düellolarını, hatalı öncelik kavgalarını, seks skandallarını, sarhoşluklarını ve hastalıklarını okuyacağız; bu yol boyunca onların matematiksel fikirlerinin dünyamızı nasıl açıkladığını ve değiştirdiğini göreceğiz.

çözülebilir. Simetriler Galois testini geçemezlerse, bu durumda böyle bir formül yoktur.

Genel beşinci derece denklemi, bir formülle çözülemez; çünkü yanlış türden simetrilere sahiptir.

Bu epik keşif, elinizdeki kitabın ikinci temasını yaratmıştı: bir grup temasını, matematiksel bir "simetri hesabı"nı. Galois eski matematiksel geleneğe, cebire sarılmış ve onu, simetrinin incelenmesi için bir araç olarak, yeniden icat etmişti.

Kitabın bu aşamasında, "grup" gibi sözcükler açıklanmamış meslek dilidir. Böyle sözcüklerin anlamı öyküde önemli hale geldiğinde, onlan açıklayacağım. Fakat bazen bagajın çeşitli parçalarının izini sürmek için uygun bir terime gereksinim duyarız. Meslek dili gibi görünen, fakat hemen tartışılmayan bir şeye rastlarsanız, o terim yararlı bir etiketleme rolü oynayacak ve gerçek anlamı çok önem taşımayacaktır. Bazen, okumayı sürdürürseniz, anlamı yine de ortaya çıkacaktır. "Grup" söz konusu edilen şeyin bir örneğidir, ama kitabın ortasına kadar ne anlama geldiğini öğrenemeyeceğiz.

öykümüz, matematikteki özel sayıların merak uyandıran önemine de değinir. Fiziğin temel sabitlerinden söz etmiyorum, fakat n (Yunancada pi harfi) gibi matematiksel sabitleri ele alıyorum. Örneğin ışığın hızı ilkesel açıdan her şey olabilirdi, fakat bizim evrenimizde tesadüfen saniyede 300.000 kilometre olmuştur. Diğer taraftan, n sayısı 3,14159'dan birazcık daha büyüktür ve bu değeri dünyada hiçbir şey değiştiremez.

Beşinci derece denkleminin çözülemezliği, n gibi 5 sayısının da çok sıra dışı olduğunu söyler bize. O, Galois testini geçemeyen ilgili simetri grubu için en küçük sayıdır. Bir diğer merak uyandırıcı örnek, 1, 2,4, 8 sayılan dizisidir. Matematikçiler olağan "gerçel" sayı kavramının, karmaşık sayılara ve sonra kuatemiyon ile oktoniyon denen şeylere bir dizi genişletilmesini keşfettiler. Bunlar gerçel sayılann sırasıyla iki kopyasından, dört kopyasından ve sekiz kopyasından ku-

rulur. Daha sonra ne gelir? Doğal tahmin 16’dır, ama aslında sayı sisteminin daha ileri anlamlı bir genişletmesi yoktur. Bu olgu dikkate değer ve anlamlıdır. Bize der ki, 8 sayısıyla ilgili özel bir şey vardır, bu hiç de yüzeysel anlamda olmayıp, matematiğin kendi yapısını anlamak açısından özeldir.

5 ve 8 sayılarına ek olarak, bu kitap, en dikkat çekenleri 14, 52, 78,133 ve 248 olmak üzere çeşitli başka sayıların da sahneye çıkışını içermektedir. Bu garip sayılar, beş "istisnai Lie grubu"nun boyutlarıdır; bunların etkisi matematiğin bütününü ve matematiksel fiziğin çoğunu kapsamına alır. Matematiksel dramın ana oyuncuları bunlardır; diğer sayılarsa, görünüşte biraz farklı olarak, sadece küçük oyunculardır.

19. yüzyıl sonunda soyut cebir vücut bulduğunda, matematikçiler bu sayıların sırf ne denli özel olduklarını keşfetmişlerdi. önemli olan, bu sayıların kendileri değil, fakat cebirin temellerinde oynadıkları roldür. Bu sayıların her biriyle, tek ve dikkate değer özelliklere sahip Lie grubu denen bir cisim ilişkilidir. Çağdaş fizikte temel bir rol oynayan bu gruplar, uzay, zaman ve maddenin derin yapısıyla ilgili olarak görünürler.

Bu bizi son temamıza götürür: temel fiziğe. Fizikçiler uzun süre neden uzayın üç ve zamanın bir boyuta sahip olduğunu merak etmişlerdi: neden dört boyutlu uzayzamanda yaşıyoruz? Fiziğin bütününü bir tek uyumlu yasalar cümlesi içinde birleştirmeye yönelik en son girişim olan süpersicim kuramı, fizikçileri uzayzamanın ekstra "gizli" boyutlara sahip olup olmadığını merak etmeye yöneltmiştir. Bu gülünç bir fikir gibi geliyor kulağa; fakat bunun iyi tarihsel örnekleri var. Süpersicim kuramının herhalde en az itiraz götürür yanı, ek boyutların varlığıdır.

Çok daha çelişkili bir husus, yeni bir uzayzaman kuramı formüle etmenin büyük ölçüde çağdaş fiziğin başını yasladığı iki yastık olan göreliliğin ve kuantum mekaniğinin matematiği üzerine dayanmasına inanılmasıdır. Bu birbi-riyle tutarsız kuramların birleştirilmesi, yeni ve devrimsel

deneyleri gerektiren bir süreçten ziyade bir matematiksel alıştırma olarak düşünülür. Matematiksel güzelliğin, fiziksel gerçeklik için bir önkoşul olması beklenir. Bu tehlikeli bir varsayım olabilir. Fiziksel dünyayı gözden kaçırmamak önemlidir ve sonunda bugünlerin düşüncelerinden ortaya çıkan hangi kuram olursa olsun, güçlü matematiksel geçmişine karşın, deney ve gözlemlerle karşılaştırılmaktan uzak tutulamaz.

Şu anda, yine de, matematiksel yaklaşıma sarılmak için iyi nedenler vardır. Bu nedenlerden biri şudur: Gerçekten inandırıcı bir birleşik kuram formüle edilinceye dek, hiç kimse hangi deneylerin yapılması gerektiğini bilemez. Bir diğer nedense, matematiksel simetrinin, pek ortak tabana sahip olmayan görelilik ve kuantum mekaniğinde temel bir rol oynamasıdır; bundan ötürü bulacağımız her bilgi kırıntısını değerlendirmeliyiz. Uzay, zaman ve maddenin olası yapıları, onların simetrileriyle saptanır ve en önemli olasılıklardan bazılarının cebirdeki istisnai yapılarla ilişkili olduğu görülür. Uzayzaman, cebirin sahip olduğu özelliklere sahip olabilir, çünkü matematik sadece kısa bir özel yapılar listesine izin verir.

Evren neden böylesine matematiksel görünür? Buna çeşitli yanıtlar önerilmiştir, fakat ben onların hiçbirini inandırıcı bulmuyorum. Güzellik duygumuz ile son derece önemli matematiksel yapılar arasındaki simetri gibi, matematiksel fikirler ile fiziksel dünya arasında var olan simetri bağıntısı derin ve belki de çözülemez bir gizemdir. Hiçbirimiz, güzellik neden gerçekliktir ve gerçeklik de güzellik, bunu söyleyemeyiz. Sadece bağlantının sonsuz karmaşıklığını, derin düşüncelere dalıp seyredebiliriz.

BABİL'İN YAZMANLARI

Bugün Irak dediğimiz bölgenin ortasından dünyanın en ünlü nehirlerinden ikisi geçer ve orada ortaya çıkan dikkate değer uygarlık varlığını bu nehirlere borçludur. Türkiye'nin doğusundaki dağlardan doğan bu nehirler, yüzlerce kilometrelik verimli düzlüklerden geçip ağzı Basra Körfezine açılan tek bir kanala karışır. Güneybatısı Arap platosunun kuru çöl arazileriyle sınırlıdır ve kuzeydoğusunda Karşı-Toroslann ve Zagros dağlarının kuş uçmaz kervan geçmez silsileleri yer alır. Nehirler Dicle ve Fırat'tır; dört bin yıl önce eski Asur, Akad ve Sümer topraklarında izledikleri yollar ile bugünküler aynıdır.

Dicle ile Fırat nehirleri arasındaki bölge arkeologlarca Mezopotamya olarak bilinir ve Yunancada "iki nehir arası" demektir. Bu bölge daha çok, haklı olarak, uygarlığın beşiği diye anılır. Bu nehirler o topraklara su getirir ve su da o topraklan verimli kılar. Bol bitki hayatı koyun ve geyik çobanla-nna çekici gelmiş; bu da sırası gelince aralannda insan avcı-lan da olan yağmacılan oralara çekmişti. Mezopotamya'nın ovalan avcı-toplayıcılar için bir Cennet Bahçesi, göçebe kabileler için bir mıknatıstı.

Aslında o bölgeler öylesine verimliydi ki avcı-toplayıcı yaşam tarzı, sonunda yiyecek elde etmede çok daha etkin stratejilere boyun eğerek artık geçersiz hale gelmişti. MÖ 9000'lerde Bereketli Bölgenin (yani, eski Orta Doğu) biraz kuzeye doğru olan komşu tepeleri devrimsel bir teknolojinin, tarımın, doğmasına tanıklık etti. İnsan toplumunda iki temel değişim bunun hemen peşinden gelmişti: Ürün yetiştirmek için bir yerde oturma gereksinimi ve büyükçe bir nüfusu geçindirme/besleme olanağı. Bunlar kent olgusunun icat

•dilmesine yol açmıştı; Mezopotamya'da dûnyamn en eski bası büyük kent-devletlerinin arkeolojik kalıntılarını hâlâ buluyoruz: Ninova, Nimrud, Nippur, Uruk, Lagaş, Eridu, Ur ve hepsinin üstünde Asma Bahçelerinin ve Babil Kulesinin diyarı Babil kenti. Burada, dört bin yıl önce, tarım devrimi kaçınılmaz şekilde hükümet, bürokrasi ve askeri gücün tüm ortak debdebesiyle, örgütlü bir topluluğa yol açmıştı. MÖ 2000 ile 500 yılları arasında, "Babil imparatorluğu" denen uygarlık Fırat kıyılarında gelişmişti. Başkentiyle adlandı-rılsa da, Babil imparatorluğu terimi, geniş anlamda, Sümer ve Akad kültürlerini de içerir. Aslında, Babil halkının kökeni herhalde iki ya da üç bin yıl kadar daha öncesine gitse de, bilindiği kadarıyla, Babil'den ilk kez MÖ 2250'lerde Akad'daki bir Sargon kil tabletinde söz edilmiştir.

Tam anlamıyla yerleşik topluluklar halinde halkın örgütlenmesini ifade eden bir sözcük olan "uygarlığın" kökenleri hakkında çok az şey biliyoruz. Yine de, şimdiki dünyamızın birçok görünümünü eski Babillilere borçluyuz, özellikle, onlar uzman astronomlardı; altmış saniyelik dakikamız ve altmış dakikalık saatimizle birlikte, burçlar kuşağının on iki takımyıldızını ve bir dairedeki 360 dereceyi onlara kadar geri götürebiliriz. Astronomiye uygulamak için Babillilerin böyle ölçüm birimlerine ihtiyaçları vardı; benzer şekilde, astronominin nesillerdir saygı duyulan cariyesi olan matematikte uzman haline gelmeliydiler.

Bizim gibi, onlar da matematiklerini okulda öğrenmekteydiler.

"Bugünkü ders ne?" diye sordu Nabu, öğle yemeğini sırasının yanına yerleştirirken. Annesi onun bol ekmek ve et, genelde keçi eti, yediğinden hep emindi. Bazen çeşit olsun diye bir parça da peynir koyardı.

"Matematik" diye yanıtladı arkadaşı Gamesh hüzünlü bir şekilde. "Keşke hukuk olsaydı? Hukuğu başarabilirim"

Matematikte iyi olan Nabu, öğrenci arkadaşlarının tümünün neden matematiği bu kadar zor bulduklarını bir türlü

kavrayamıyordu. "Tüm şu basmakalıp yasal ifadeleri kopya etmeyi ve onları ezberlemeyi çok sıkıcı bulmuyor musun Gamesh?"

Güçlü yanları, inatçı ısrarı ve iyi bir belleği olan Gamesh güldü, "Hayır, o kolay. Düşünmen gerekmiyor."

"Onu sıkıcı bulmamın nedeni kesinlikle bu" dedi arkadaşı, "oysaki matematik -"

" - olanaksızdır," diyerek katıldı konuşmaya Humbaba, her zamanki gibi gecikmiş olarak tam Tablet Evine ulaştığında. "Demek istediğim, Nabu, bununla ne yapmam gerekiyor benim?" Tableti üzerindeki ev ödevi konusunda el kol hareketleri yaptı. "Bir sayıyı kendisiyle çarpıyorum ve çıkana o sayının iki katını ekliyorum. Sonuç 24 çıkıyor. Bu sayı kaçtır?"

"Dört," dedi Nabu.

"Gerçekten mi?" diye sordu Gamesh. "Evet, biliyorum," dedi Humbaba, "fakat bunu nasıl elde ettin?"

Nabu iki arkadaşına, özenle, iki hafta önce matematik öğretmeninin onlara gösterdiği işlemi uzun uzun anlattı. "24'e 2'nin yarısını ekleyince 25 bulursun. Karekökünü alınca da 5 çıkar."

Gamesh pes etti, apışıp kaldı. "Nabu, ben karekök zımbır-tısını aslında hiç kavrayamadım."

"Gördün mü?" dedi Nabu. "Şimdi bir yerlere varıyoruz." tki arkadaşı ona sanki delirmiş gibi baktı. "Senin problemin denklemleri çözmek değil ki Gamesh. O karekökler!"

"İkisi de," diye mırıldandı Gamesh.

"Fakat karekökler önce gelir. Tablet Evinin Kıdemlisinin bize söyleyip durduğu gibi, konuyu her seferinde bir adım atarak öğrenmelisin."

"O bize elbiselerimizi kirletmeyi bırakmamızı da söyleyip duruyor," diye itiraz etti Humbaba, "fakat bunu hiç dikkate almıyoruz."

"O farklı. O -"

“Yaran yok," diye hayıflandı Gamesh. "Ben asla bir yazman olmayacağım ve babam ben oturamaz oluncaya kadar dövecek beni; annemse yalvaran bakışlarla bakacak bana ve

daha çok çalışmam ve ailemi düşünmem gerektiğini söyleyecek. Fakat kafam matematiği alamaz! Ama hukuk, onu aklımda tutabilirim. O eğlencelidir! 'Bir beyefendinin karısı başka bir adam nedeniyle kocasını öldürmüşse, kazığa oturtulup öldürülür' hükmü hakkında neler düşünüldüğünü bilmek isterim. Bunu öğrenmeyi değerli bulurum. Karekök gibi aptalca şeyleri değil." Nefes almak üzere ara verdi ve ellerini coşkuyla salladı. "Denklemler, sayılar; bunlar neden bizim canımızı sıksın ki?"

"Çünkü onlar yararlıdır," diye yanıtladı Humbaba. "Kölelerin kulaklarını kesme hakkındaki tüm şu yasal zırvalıklan hatırla."

"Evet!" dedi Gamesh, "saldırıya, tecavüze karşı cezalar."

"Halktan birinin gözünü çıkar," diye harekete geçti Humbaba, "ve buna karşılık ödemen gereken -"

"Bir gümüş mina," dedi Gamesh.

"Ve eğer bir kölenin kemiğini kırarsan?"

"Sahibine tazminat olarak kölenin fiyatının yarısını öder-sın.

Humbaba tuzağının ipini çekti. "Böylece, köle altmış şe-kel ediyorsa, altmışın yarısını hesaplayabilmelisin. Hukuk mesleğinde çalışmak istiyorsan, matematiğe ihtiyacın var!"

"Yanıt otuzdur," dedi Gamesh hemen.

"Gördün mü?" diye bağırdı Nabu, "matematiği beceriyorsun!"

"Bunun için matematiğe ihtiyacım yok, o apaçık." Sözde avukat, duygularının derinliğini ifade etmenin bir yolunu ararken havayı dövdü. "Gerçek dünya hakkındaysa, evet Nabu, matematik yapabilirim. Fakat kareköklerle ilgili yapay problemler için hayır."

"Arazi ölçümü için kareköklere ihtiyacın var," dedi Humbaba.

"Evet, fakat ben vergi tahsildarı olmak için okumuyorum; babam benim yazman olmamı istiyor," diye belirtti Gamesh. "Kendisi gibi, öyleyse, tüm bu matematiği neden öğrenmem gerektiğini anlamıyorum."

"Çünkü yararlı," diye yineledi Humbaba.

"Gerçek nedenin bu olduğunu sanmıyorum/ dedi Nabu sakin bir şekilde. "Zannedersem bu tamamen gerçeklik ve güzellikle ilgili, bir yanıt elde etmek ve onun doğru olduğunu bilmekle ilgili." Fakat arkadaşlarının bakışları, ona inanmadıklarını söylüyordu.

"O benim için bir yanıt bulmak ve onun yanlış olduğunu bilmekle ilgilidir," diye göğüs geçirdi Gamesh.

"Matematik önemlidir, çünkü o gerçektir ve güzeldir," diye üsteledi Nabu. "Karekökler denklem çözümleri için temeldir. Çok yararlı olmayabilirler, fakat bu önemli değil. Onlar kendileri için önemlidir."

Gamesh tam hiç uygun kaçmayacak bir şey söylemek üzereyken öğretmenin sınıfa girmekte olduğunu gördü ve huzursuzluğunu ani bir öksürükle kapatmaya çalıştı.

"Günaydın, çocuklar," dedi öğretmen canlı bir şekilde.

"Günaydın, usta."

"Ev ödevlerinizi göreyim."

Gamesh iç geçirdi. Humbaba endişeyle baktı. Nabu ise yüzünde ifadesiz bir tavırla öylece kaldı. En iyisi buydu.

Uydurma bir öykü oluşu bir yana, biraz önce kulak kabarttığımız konuşmaların belki de en şaşırtıcı yanı, onun efsanevi Babil kentinde MÖ 1100 dolayında meydana gelmiş olmasıdır.

Meydana gelmiş olabilir, demek istiyorum. Konuşmalarının kaydı şöyle dursun, Nabu, Gamesh ve Humbaba adlı bu üç çocuğun tanığı bile yok. Fakat insanın doğası binlerce yıl hep aynı kaldı ve benim bu üç okul çocuğu hakkındaki öykümün olgusal ardalanı kaya gibi sağlam kanıta dayanmaktadır.

Babil İmparatorluğunun kültürü hakkında şaşılacak kadar çok şey biliyoruz, çünkü onların kayıtlan yaş kil üzerine çivi yazısı denen kama şekilli tuhaf bir alfabeyle yazılmıştı. Kil Babil'in gün ışığında piştiğinde, bu yazıtlar hemen hemen yok edilemez hale gelmişlerdi. Ve eğer kil tabletlerinin depolandığı bina, bazen olduğu gibi ateş alırsa, ısı kili seramiğe dönüştürür, o da daha bile uzun süre dayanır.

Son olarak çöl kumunun örtüsü, kayıtlan sınırsız sürede koruyabildi. İşte Babil bu şekilde yazılı tarihin başladığı yer olmuştur, insanlığın simetriyi anlamasının öyküsü -ve onun sistematik ve nicel bir kuramda şekillenmesi, tamamıyla Isaac Nevvton ve Gottfried VVilhelm Leibniz'in diferansiyel ve integral hesabı kadar güçlü bir simetri “hesabı” olması-burada başlar. Kuşkusuz, bir zaman makinemiz ya da sırf daha bile eski kil tabletlerimiz olsaydı, bu durum daha da gerilere götürülebilirdi. Fakat kayıtlı tarihin bize söyleyebildiği kadanyla, fiziksel dünyayı nasıl gördüğümüz hususunda derin çıkaranlarla insanoğlunu simetri yoluna sevk eden Babillilerin matematiğidir.

Matematik sayılara dayanır, fakat sadece onlarla sınırlı değildir. Babilliler etkin bir gösterime sahiptiler; bu, bizim “onlu” (on'un kuvvetleri üzerine kurulan) sistemimizden farklı olarak, (altmışın kuvvetleri üzerine kurulan) "altmış tabanlı” bir sistemdi. Dik açılı üçgenleri biliyorlardı ve bugün Pisagor teoremi dediğimize benzer bir şeyleri vardı: Yunan ardıllarından farklı olsa da, Babilli matematikçiler gözlem ve deneye dayanan bulgularını mantıksal kanıtlamalarla desteklemiş gibi görünmemekteydiler. Matematiği hem astronominin yüksek amaçları için, hem muhtemelen tarımsal ve dinsel nedenlerle hem de sıkıntılı ticaret ve vergilendirme işlerinde kullanmaktaydılar. Matematiksel düşüncenin şu ikili rolü -yani doğal dünyadaki düzeni açıklama ve toplumsal olaylarda yardımcı olma- tüm matematik tarihi boyunca tek bir altın diş gibi işlev görmüştür.

Babilli matematikçileri en önemli kılan şey, onların denklemleri nasıl çözeceklerini anlamaya başlamış olmalarıdır.

Denklemler, matematikçinin bilinmeyen bir niceliğin değerini dolaylı delillerden bulup çıkarma yoludur. "Bilinmeyen bir sayı hakkında, işte bilinen bazı olgular: sayıyı bul çıkar." Bir denklem, bu durumda, bir sayı üzerine merkezileşmiş bir tür bilmecedir. Bu sayının ne olduğu bize söylenmemiştir, fakat bize onun hakkında yararlı bir şey söylenmiştir.

işimiz, bilinmeyen sayıyı bularak bilmeceyi çözmektir. Bu oyun, simetrinin geometrik kavramından hayli ayrılmış gibi görünebilir; fakat matematikte bir konuda keşfedilen fikirler, her zaman olduğu gibi, çok farklı konuları aydınlatmaya dönüşür. Matematiğe böylesine zihin gücü veren, işte bu ara ilişkilerdir. Ticari gerekçelerle icat edilmiş olan bir sayı sisteminin, gezegenlerin ve hatta sabit yıldızların hareketleri hakkında da o çağın insanlarına bilgi sağlamasının nedeni budur.

Bilmece kolay olabilir: MIki kere bir sayı altmış ediyorsa, aradığımız bu sayı nedir?" Bilinmeyen sayının otuz olduğunu çıkarmanız için dâhi olmanız gerekmez. Ya da çok daha zor olabilir: "Bir sayıyı kendisiyle çarpıyorum ve 25 ekliyorum; sonuç on kere o sayıdır. Öyleyse aradığımız sayı kaçtır?" Deneme ve yanılma yöntemi sizi 5 sayısına götürebilir, fakat deneme ve yanılma bilmeceyi yanıtlamak, denklemleri çözmek için yetersiz bir yoldur, örneğin, 25 sayısı yerine 23'ü alırsak, ne olur? Ya da 26'yı? Babilli matematikçiler deneme ve yanılma yöntemini küçümsemişlerdi, çünkü çok daha derin, çok daha güçlü gizil bir şey biliyorlardı. Böyle denklemleri çözmek için bir kural, bir standart işlem biliyorlardı. Bildiğimiz kadarıyla, böyle yöntemlerin var olduğunu fark eden ilk insanlardı onlar.

Babil'in onu üstün kılan esrarı, kısmen Kutsal Kitapta zikredilen atıflardan ileri gelmektedir. Kral Nabukadnezar döneminde Babil'de geçen aslanların inindeki Daniel'in öyküsünü hepimiz biliriz. Fakat daha sonraki zamanlarda, Ba-bil neredeyse masalsı, çok önce sırra kadem basmış, ıslah edilemez şekilde yıkılmış bir kent haline gelmişti; belki de asla var olmamıştı. Ya da kabaca iki bin yıl öncesine kadar öyle sanılmıştı.

Binlerce yıl, garip höyükler şimdi Irak dediğimiz düzlükleri benek benek bir hale getirdi. Haçlı Seferlerinden geri dönen şövalyeler yanlarında harabelerden toplanmış andaçlar -süslü tuğlalar, deşifre edilemeyen yazıt parçaları- taşıdılar.

Mftyüklnr açıkça eski kentlerin yıkıntılarıydı, fakat bunun maninde çok az şey biliniyordu.

1811 'de, Claudius Rich Irak'm höyük yıkıntıları içinde ilk bilimsel araştırmalarını yapmıştı. Bağdat'ın yüz kilometre güneyindeki Fırat kıyılarında, son sıralarda Babil'in kalıntıları olması gerektiğini saptadığı tüm bölgeyi dikkatlice gözden geçirmişti ve kalıntıları kazmak için işçiler tutmuştu. Buluntular içinde, tuğlalar, çivi yazısı tabletleri, yaş kilin üzerinde yuvarlandığında kabarık sözcükler ve resimler üreten güzel silindir mühürler ve sanat eserleri yer alıyordu; bu sanat eserleri öyle görkemliydi ki onları oyanlar Leonardo da Vinci ve Michelangelo'yla yan yana sıralanmalıdır.

Bununla birlikte, daha da ilginç olan, yere dağılmış çivi yazılı kırık dökük tablet parçalarıydı. Şansımız varmış ki şu ilk arkeologlar bu tablet parçalarının gizil değerini anlamış ve onları korumuşlardı. Yazılar deşifre edildikten sonra, bu tabletler Babillilerin yaşamları ve ilgileri hakkında bilgi hâzineleri haline geldi.

Tabletler ve diğer kalıntılar, eski Mezopotamya tarihinin, farklı kültürleri ve devletleri içeren çok uzun ve karmaşık bir tarih olduğunu söylüyor bize. Hem bunların tümünü hem de Babil kenti dolayında merkezileşmiş özel kültürü belirtmek üzere "Babilli" sözcüğünü kullanmak âdet olmuştur. Bununla birlikte, Mezopotamya kültürünün kalbi, defalarca kâh gözde haline gelerek kâh gözden düşerek, Babil'de atmıştı. Arkeologlar Babil tarihini iki ana döneme ayırırlar. Eski Ba-bil dönemi, MÖ yaklaşık 2000'den 1600'e kadar ve Yeni Babil dönemiyse MÖ 625'ten 539'a kadar sürer. Babil'in dışarıdan gelenler tarafından yönetildiği ara sürede Eski Asur, Kassite, Orta Asur ve Yeni Asur dönemleri yer alır. Ayrıca, Babil matematiği, Selevkos olarak bilinen dönem boyunca, bir diğer beş yüzyıl kadar Suriye'de devam etmiştir.

Kültürün kendisi, içinde süregeldiği toplumlardan çok daha kararlıydı ve 1200 yıl kadar pek değişmeden kalmış, sadece ara sıra politik ayaklanma dönemlerinde geçici olarak kesintiye uğramıştı. Böylece Babil kültürünün her özel yönü, özel bir tarihsel olaydan öte, büyük olasılıkla bilinen

en eski kayıttan çok öncelerde vücut bulmuştu, özellikle, ele geçen ilk kayıtları MÖ 600'lere tarihlenen belli matematiksel yöntemlerin aslında çok daha öncelerde var olduğuna dair kanıtlar var. Bu nedenle, bu bölümün ana kişisi olan sanal yazmanın -ki ona Nabu Şamaş adını vereceğim; onunla şu üç okul arkadaşı hakkındaki nükteli kısa öyküde zaten tanışmıştık- I. Kral Nabukadnezar döneminde doğmuş, MÖ 1100 dolayında yaşamış olduğunu sanıyoruz.

öykümüz ilerledikçe tanışacağımız diğer tüm karakterler gerçek tarihsel kişilerdir ve onların tek tek kendi öyküleri oldukça iyi belgelenmiştir. Fakat eski Babil'den kalma milyonlarca kil tableti arasında kral ailelerinden kimseler ve askeri komutanlardan başka özel şahıslar hakkında çok az belgeli kanıt vardır. Dolayısıyla Nabu Şamaş, Babillilerin günlük yaşamı hakkında öğrendiklerimizden akla yakın çıkarımlara dayandırılarak oluşturulmuş bir mozaik kişilik olmalıdır. Ona yeni hayal güçleri mal edilmeyecek, ancak simetri öyküsünde rol oynayan Babillilere özgü tüm malum nitelikleri üzerinde taşıyacaktır.

Bizim sanal yazmanımızın ismi, iki gerçek Babillinin isimlerinden, yazmanların tanrısı Nabu ve Güneş Tanrısı Şamaş'tan oluşturulmuş bir karışımdır. Babil kültüründe normal insanlara tanrıların adlarını vermek âdetlere aykırı değildi, belki iki tanrı ismi biraz aşırı karşılanırdı. Fakat öyküleme açısından, sadece "yazman" demek yerine, onu daha özel ve daha havalı şekilde adlandırmak zorunda hissettik kendimizi.

Nabu-Şamaş doğduğunda Babil İmparatorluğunun kralı, İkinci İsin hanedanının en önemli hükümdarı olan I. Nabukadnezar'dı. Bu, genelde II. Nabukadnezar olarak zikredilen ve Kutsal Kitapta aynı isimle adı geçen ünlü kral değildi. Kutsal Kitaptaki kral, Nabopolassar'ın oğluydu ve MÖ 605'ten 562'ye kadar hüküm sürmüştü.

II. Nabukadnezar'ın hükümranlığı, hem maddi açıdan hem de bölgesel güç bakımından Babil'in en parlak çağını temsil eder. Babil kenti onun önceki adaşının yönetimi altında da büyüyüp gelişmiş, gücü Akad ve kuzeydeki dağlık bölgele-

rl kapsayacak kadar genişlemişti. Fakat Akad, etkin olarak, Ashur-resh-ishi ve onun oğlu I. Tiglat-Pileser'in saltanatları sırasında Babil'in kontrolünden çıkmış ve kendisini üç tarafından sarmış bulunan dağ ve çöl kabilelerine karşı savaşarak kendi güvenliğini güçlendirmişti. Böylece Nabu-Şamaş'ın yaşamı Babil tarihinin kararlı bir döneminde başlamış, fakat genç bir adam oluncaya kadar Babil'in yıldızı sönmeye başlamıştı ve artık yaşam çalkantılı bir hal alıyordu.

Nabu-Şamaş Eski Babil Kentinde, Libil-hegella Kanalından uzak olmayan ve hakkıyla ünlenmiş îştar Kapısına yakın tipik bir "üst sınıf' evinde doğmuştu; îştar Kapısı renkli tuğlalar kullanılarak hayali formlarla -boğalar, aslanlar ve hatta ejderhalar- süslenmiş tören girişi olup, kapıdan itibaren tuğla temelli bir zift yatağın üzerine kesme kireçtaşı döşenerek yapılmış olan 20 metre genişliğindeki yol etkileyiciydi. Adı "Düşman zafer kazanamasın"dı -Babil'in ana caddelerinin isimlendirilmesine oldukça iyi bir örnek- fakat bu yol, Tanrı Marduk için kent boyunca merasim yapan rahiplerce kullanıldığından, genelde ResmigeçitYolu diye bilinir.

Aile evleri, güneşten koruması için duvarları altı ayak kalınlığında kerpiçten yapılıyordu. Dış duvarlar birkaç açıklığa -esas olarak cadde düzeyinde bir kapı girişi- sahipti ve üst kat çoğunlukla ahşap olmak üzere, hafif malzemelerle üç kata kadar yükseliyordu. Aileler, günlük ev işlerini yapan birçok köleye sahipti. Mutfakla birlikte oturma yerleri girişin sağına düşüyordu. Ailenin odaları soldaydı: uzun bir salon, yatak odaları ve bir banyo. Diğer dönemlerden kalma bazıları olsa da, Nabu-Şamaş zamanında banyo küveti yoktu. Onun yerine, bir köle yıkanan kişinin başına ve vücuduna modern duşa benzer şekilde su dökerdi. Evin orta avlusu gökyüzüne açılırdı ve arka tarafta depolar, kiler ve sandık odası gibi şeyler yer alırdı.

Nabu-Şamaş'ın babası, I. Nabukadnezar'dan önce hüküm sürmüş olan adı bilinmeyen bir kralın sarayında bir memurdu. Onun görevleri daha çok bürokratikti: bütün bir bölgenin

yönetiminden, hukuk ve düzenin sağlanmasını temin etmekten, tarlaların uygun şekilde sulandığından ve tüm gerekli vergilerin toplanması ve ödenmesinden sorumluydu. Nabu-Şamaş'ın babası bir yazman olarak da eğitim görmüştü, çünkü okur-yazarlık ve hesap-bilirlik her Babilli için kamu görevine eşdeğer temel yeteneklerdi.

Tanrı Enlil'e atfedilen bir buyruğa göre, her erkek babasının izinden gitmelidir ve Nabu-Şamaş da tam bunu yapmak istiyordu. Bununla birlikte, yazıyla ilgili yetenekler de başka mesleklere, özellikle rahipliğe giden yoldu; böylece onun eğitimi meslek seçimini kolaylaştırmıştı.

Nabu Şamaş'ın nasıl bir eğitim almış olduğunu biliyoruz, çünkü yazman olmak üzere eğitilmiş kişiler tarafından Sümerce yazılmış kapsamlı kayıtlar kabaca söz konusu dönemden kalmıştı. Bu kayıtlar, Nabu-Şamaş'ın ebeveynleri dolayısıyla şanslı olduğunu açıkça gösteriyordu, çünkü sadece varlıklı kişilerin oğulları yazımla ilgili okullara girmeyi umut edebilirlerdi. Aslında, Babil'de eğitimin kalitesi öylesine yüksekti ki, yabancı asiller oğullarını eğitim almak üzere bu kente gönderiyorlardı.

Okula Tablet Evi denirdi; bu ad galiba yazım ve aritmetik için kil tabletleri kullanıldığına gönderme yapmak üzere konmuştu. Okulun, "Usta" denilen ve "Tablet Evinin Babası" sayılan bir başöğretmeni vardı. Bir de, esas görevi çocuklara kibar ve görgülü davranışlar kazandırmak olan bir sınıf öğretmeni. Sümercede ve matematikte uzman olan öğretmenler vardı. "Büyük Ağabeyler" denen yetkili kıdemli öğrencilerin işi düzeni sağlamayı ve korumayı içeriyordu. Tüm öğrenciler gibi, Nabu-Şamaş da evde yaşıyor ve otuz günlük her ayın 24 gününün gündüzlerini okulda geçiriyordu; üç gün eğlence ve dinlenme için üç gün de dinsel festivaller için boş günü vardı.

Nabu-Şamaş Sümer dilini, özellikle yazılı formda, iyice öğrenmek için çalışmalara başlamıştı. Çalışılacak sözlükler ve gramer kitapları vardı ve ayrıca kopya edilecek uzun listeler; yasal ifadeler, teknik terimler, isimler. Daha sonra, matematiğini geliştirmişti ve artık onun çalışmaları öykümüzün merkezi haline gelmiştir.

Nabu-Şamaş ne öğrenmişti? Bilgiç olan filozoflar, mantıkçılar ve profesyonel matematikçiler dışında, herkes için bir sayı, O'dan 9'a kadar olan rakamlar dizisidir. Bu cümleyi yazdığım yıl olan 2006, O'dan 9'a olan rakamların dördünden oluşmaktaydı. Fakat ukalaların bize aceleyle hatırlatacakları gibi, bu rakamlar dizisi hiç de sayı olmayıp sadece onların gösterimidir ve hatta oldukça karmaşık bir gösterim şeklidir. Bildiğimiz on-tabanlı sistem herhangi bir sayıyı, ne kadar büyük olursa olsun, göstermek için sadece on adet rakamı, O'dan 9'a kadar olan sembolleri, kullanır. Bu sistemin bir genişletmesi, çok küçük sayıların temsiline de izin verir; gayet yerinde olarak, sayısal ölçümleri çok yüksek düzeyde hassas olarak göstermeye de. örneğin, ışığın hızı, en güncel ölçümlere göre, yaklaşık olarak saniyede 299.792,458 kilometredir.

Bu gösterime öylesine alışkınızdır ki onun ne denli zekice olduğunu unuturuz ve onunla ilk karşılaştığımızda, kavranmasının ne denli zor olduğunu. Kalan her şeyin ona dayandığı temel özellik şudur: 2 gibi bir sembolün sayısal değeri, diğer sembollere göre bulunduğu yere bağlıdır. 2 sembolü çevresinden bağımsız sabit bir anlama sahip değildir. Işığın hızını temsil eden sayıda, ondalık virgülden hemen önceki "2" rakamı gerçekten "iki" anlamındadır. Fakat bu sayıdaki diğer "2" rakamı "iki yüz bin" anlamına gelir. 2006 yılındaki aynı rakam "iki bin" anlamını taşır.

Bir harfin anlamının bir sözcükte bulunduğu yere bağlı olduğu bir yazım sistemine sahip olmaktan aşırı derecede rahatsız olurduk. Düşünün bir kere, örneğin "alfabe" sözcüğünde iki a harfi tamamıyla farklı anlamlara sahip olsaydı, onun okunuşu nasıl olurdu! Fakat sayılar için konumsal gösterim öyle elverişli ve güçlüdür ki, başka birinin bunun için bir başka yöntem kullanmasını düşünmek bize çok zor gelir.

TT < &TT TT

2 10 42 120

T YTT <TT 60x60+3x60+12 = 3792 BaM'in 60-tabanlı sayılan.

Bu daima böyle değildir. Bizim mevcut gösterimimiz 1500 yıldan daha geriye gitmez; ilk kez Avrupa'ya 800 yıldan biraz daha önce getirilmiştir. Bügün bile, farklı kültürler aynı onlu rakamlar için farklı semboller kullanmaktadır: herhangi bir Mısır banknotuna bakınız. Fakat eski kültürler sayılan her türlü acayip şekillerde yazardı. Bize en tanıdık geleni, galiba Roma sistemidir; 2006 bu sistemde MMVI şeklinde yazılır. Eski Yunancadaysa /İç sembolleriyle gösterilir. Bizim 2, 20, 200 ve 2000 sayıları yerine, Romalılar II, XX, CC ve MM yazardı; Yunanlarsa 0, m, o ve fi

Bizim konumsal gösterimimize benzer bir gösterim kullanan en eski bilinen kültür Babillilerdi. Fakat bir önemli fark vardı. Onlu sistemde her sefer bir rakam sola doğru bir hane atlar, onun sayısal değeri onla çarpılır. Buna göre 20, on çarpı 2’dir ve 200, on çarpı 20'dir. Babil sisteminde, her bir sola hareket, sayıyı 60'la çarpar. Buna göre, "20", 2 çarpı 60 (bizim gösterimimizde 120) anlamına gelir ve "200", 2 kere 60 çarpı 60 (bizim sistemimizde 7200) demektir. Kuşkusuz, onlar aynı "2" sembolünü kullanmamışlardı; "iki" sayısını, üstteki şekilde görüldüğü gibi, uzun, ince bir çivi sembolünün iki kopyasını kullanarak yazmışlardı. Birden dokuza kadar olan sayılar, o kadar uzun çivi kopyasını gruplayarak yazılıyordu. Dokuzdan büyük olan sayılar için, yeni bir sembol, on sayısını gösterecek yana dönük bir çivi eklemişlerdi ve yirmi, otuz, kırk ve elliyi göstermek için bu sembollerin gruplarını kullanmışlardı. Böylece, örneğin, bizim "42" sayımız, dört adet yana dönük ve bunları izleyen iki adet uzun çiviyle yazılır.

Sadece tahmin yürütebileceğimiz nedenlerle, bu sistem 59'da durmuştu. Babilliler 60 sayısını kurmak için altı adet

yana dönmüş çiviyi gruplamadılar. Bunun yerine, daha önce "bir" anlamına gelen uzun ince çiviyi tersine çevirdiler ve bunu "bir çarpı altmış" anlamında kullandılar. Böyle iki çivi 120 demekti. Fakat bunlar "iki" anlamına da gelebilirdi. Hangi anlamın kastedildiği, çevresinden ve sembollerin birbirine göre olan konumlarından çıkarılmalıydı. Örneğin, iki uzun çivi, bir boşluk ve iki uzun çivi daha varsa, bu durumda ilk grup "yüz yirmi" ve İkincisi "iki" anlamına gelirdi; bizim 22'de iki adet 2 sembolü, sırasıyla, yirmi ve iki demek olduğu gibi.

Bu yöntem çok daha büyük sayılara genişletilmişti. Bir uzun çivi 1 ya da 60 veya 60x60 = 3600 ya da 60x60x60 = 216.000 vb demekti. Şekilde alttaki üç grup, 60x60 + 3x60 + 12'yi göstermekteydi ve 3792'nin yazılışıydı. Burada büyük sorun, gösterimin bazı belirsizliklere sahip olmasıydı. Sadece iki uzun çivi görürseniz, bu 2 anlamına mı, 60x2 anlamına mı, yoksa 60x60x2 anlamına mı geliyordu? Yana dönük bir çivi ve onu izleyen iki uzun çivi 12x60 + 2 mi, 12x60x60 + 2 mi, hatta 12x60x60x60 + 2 mi demekti? Büyük İskender zamanında, Babilliler bu belirsizliği, verilen bir aralıkta bir sayı olmadığını göstermek üzere bir çift köşegen çivi kullanarak gidermişlerdi; aslına bakarsanız, sıfır için bir sembol icat etmişlerdi.

Babilliler bizim ünlü onlu sistemi değil de, acaba neden bu altmış-tabanlı sistemi kullanmışlardı? Herhalde 60 sayısının yararlı bir yanından etkilenmiş olmalılar: galiba bölenlerinin çok fazla oluşundan. 60 sayısı 2,3,4,5 ve 6 sayılarına tam olarak bölünebilir. O ayrıca 10,12,15,20 ve 30'la da bölünebilir. Tahıl ya da arazi gibi nesneleri çok kişiye bölüştürmek gerektiğinde bu niteliği çok işe yarar.

Şu nitelik de kararda çok etkili olmuş olabilir: Babil'e özgü zaman ölçme yöntemi. Mükemmel astronomlar oldukları ve bir yılın 365 güne daha yakın, hatta 365# güne daha da yakın olduğunu bildikleri halde, bir yılı 360 güne bölmeyi uygun bulmuş olabilirler. 360 = 6x60 aritmetiksel bağıntısının çekiciliği aşırı güçlüydü. Gerçekten, zamanla ilgili olarak, Babilliler, sembolleri bir aralık sola kaydırma-

mn onların değerini altmış kat yükselttiği şeklindeki kuralı askıya alıp bunu altı katla yer değiştirmişlerdi, öyle ki 3600 anlamında olan sayı aslında 360 olarak yorumlanmaktaydı.

60 ve 360 üzerine olan bu vurgulama bugün de hâlâ bir tam dairede 360 dereceyi kullanışımızda -Babil günü başına bir derece- sürüp gitmektedir; bir dakikada 60 saniye ve bir saatte 60 dakika. Eski kültürel anlaşmalar inanılmaz dayanma gücüne sahiptir. Bu olağanüstü bilgisayarla çizim çağında sinema yapımcılarının hâlâ yaratılarını Roma rakamlarıyla tarihlemesini eğlendirici bulurum.

Nabu-Şamaş "sıfır" işareti dışında bütün bunları eğitiminin ilk aşamasında öğrenmişti. Binlerce ufacık çivi yazısı işaretini ıslak kil üzerine hızla basmada usta olmuştu. Ve tıpkı bugünkü öğrencilerin tam sayılardan kesirlere ve ondalıklara geçişle cebelleştikleri gibi, Nabu-Şamaş da, en sonunda, astronomik gözlemlerin akıl almaz gerçekliklerince istenen yarım veya üçte-bir ya da birin çok daha karmaşık alt bölümleri gibi sayılan betimleyen Babil yöntemiyle yüz yüze gelmişti.

Tüm öğleden sonralan çivi çizmekle geçirmekten kaçınmak için, öğrenciler çivi yazısı sayılannı eski ve yeninin bir kanşımıyla temsil ederler. Ondalık sayılan, çivilerin ardışık gruplanyla resmedilmiş olarak yazarlar ve gruplan ayırmak için de virgül kullanırlar. Buna göre, şekildeki son grup 1, 3,12 olarak yazılabilir. Bu anlaşma, pek çok masraflı dizgiden tasarruf sağlar ve okuması da daha kolaydır; bu nedenle öğrencilere eşlik edeceğiz.

Bir Babilli yazman "yanm"ı nasıl yazabiliyordu?

Bizim kendi aritmetiğimizde, bu sorunu iki farklı yoldan çözeriz. Ya o sayıyı bir kesir olarak, 1/2 diye yazanz ya da şu ünlü "ondalık virgül"ü işin içine sokup 0,5 olarak yazanz. Kesirsel gösterim daha sezgisel olup, tarihsel olarak daha önceden gelmiştir. Ondalık gösterimin kavranması daha zordur, fakat hesaplamaya daha uygundur, çünkü simgelerle ifade etme, tam sayılar için olan "basamak-değeri" kuralının

doğal uzatımıdır. 0,5'teki 5 simgesi "5 bölü 10” ve 0,05'teki "5 bölü 100" anlamına gelir. Bir simgenin bir basamak sola geçmesi o simgeyi 10'la çarpar; bir basamak sağa gitmesiyse o simgeyi 10'a böler. Tümü çok akla uygun ve sistemlidir.

Sonuç olarak, ondalık aritmetiği tıpkı tam sayı aritmetiği gibidir, ancak ondalık virgülünün nerede olduğunu izlemeniz gerekir.

Babilliler aynı düşünceye sahiptiler, fakat 60 tabanında. Vz kesri, 1/60 kesrinin belli sayıda kopyası olmalıdır. Doğru sayının 30/60 olacağı açıktır, öyleyse onlar "yanm'T 0;30 olarak yazmış olmalıdırlar; burada öğrenciler "altmışlık virgül"ü göstermek için noktalı virgül kullanıyorlar; ki bu, çivi yazısı gösteriminde yine bir boşluk meselesidir. Babilli-ler birtakım epeyce ileri hesaplamaları becermişlerdi: örneğin, 2'nin karekökü için onların değeri l;24,51,10'du; ki bu, gerçek değerden yüz binde birden daha az farklıdır. Onlar bu hassasiyeti hem kuramsal matematikte hem de astronomide iyi bir avantaj olarak kullanmışlardı.

Nabu-Şamaş'a öğretilmiş olan en heyecan verici yöntem, bizim simetri ana temamızla ilgili olduğu kadarıyla, ikinci dereceden denklemlerin çözümüdür. Denklemlerin çözümü için Babil yöntemleri hakkında pek çok şey biliyoruz. Var olduğu bilinen kabaca bir milyon Babil kil tabletinden beş yüz kadarı matematikle ilgilidir. 1930'da, doğu bilimi uzmanı Otto Neugebauer, bu tabletlerden birinin bugün ikinci dereceden denklemler dediğimiz denklemlerin tam olarak kavrandığını gösterdiğinin farkına varmıştı. Bunlar, belirli sayılarla birlikte, bir bilinmeyen niceliği ve onun karesini içeren denklemlerdir. Kareli terimin olmadığı denkleme "doğrusal" denir; çözümü en kolay olan denklemler bunlardır. Bilinmeyenin küpünü (bilinmeyeni kendisiyle çarp, sonra çıkanı bilinmeyenle tekrar çarp) içeren denkleme "kübik" denir. Babillilerin belli türden kübik denklemin yaklaşık çözümlerini bulmak için sayısal tablolara dayanan zekice bir yönteme sahip oldukları sanılıyor. Bununla birlikte, tablo-

lann kendilerinden kesinlikle eminiz. Onların ancak ne için kullanıldıklarını tahmin edebiliriz ve en olası tahmin kübik denklemlerdir. Fakat Neugebauer'in incelediği tabletler, Ba-billi yazmanların ikinci dereceden denklemlerde uzmanlaştıklarını açıkça gösteriyor.

4000 yıl kadar önceye tarihlenen tipik bir tablette şu soru yer alıyordu: "Bir karenin alanı eksi, onun bir kenarı 14,30 ediyorsa, bu karenin kenarını bulunuz." Bu problem hem bilinmeyenin karesini (karenin alanını) hem de bilinmeyenin kendisini içerir. Diğer bir deyişle, burada okuyucuya ikinci dereceden bir denklemin çözümü sorulmaktadır. Aynı tablet oldukça laubali bir şekilde yanıtı da verir: "l'in yansını al, ki o 0;30'dur. 0;30'u 0;30'la çarp, bu da 0;15 eder. Bunu 14,30'a eklersen 14,30;15'i bulursun. Bu 29;30'un karesidir. Şimdi 0;30'u 29;30'a ekle. Sonuç 30'dur, yani karenin bir kenan."

Burada neler oluyor? Basamaklan çağdaş gösterimde yazalım:

• 1 'in yansını al, ki o 0;30'dur. Yi

• 0;30'u 0;30'la çarp, bu da 0;15 eder. 14

• Bunu 14,30'a eklersen 14,30;15'i bulursun. 87014

• Bu 29;30'un karesidir. 87014 =

(29^)x(29)6)

• Şimdi 0;30'u 29;30'a ekle. 29(6 + 16

• Sonuç 30'dur, yani karenin bir kenan. 30

En karmaşık basamak, karesi 87014 olan bir sayının (yani, 2916'nin) bulunduğu dördüncü basamaktır. 2916 sayısı 87014'ün kareköküdür. ikinci derece denklemini çözmek için esas araç kareköklerdir ve matematikçiler daha karmaşık denklemleri çözmek için benzer yöntemler kullanmaya çalış-tıklan zaman modem cebir doğmuştu.

Daha sonra bu problemi modem cebir gösterimini kullanarak yorumlayacağız. Babillilerin bu itibarla bir cebirsel formül kulianmadıklannı iyice anlamak önemlidir. Bunun yerine, sonuca götüren önceki tipik örnek yapısında, belli bir süreç betimlediler. Fakat sayılar değiştirildiği takdirde, aynı sürecin tam olarak işleyeceğini biliyorlardı.

Kısacası, ikinci derece denklemini nasıl çözeceklerini biliyorlardı ve onların yöntemi -ifade ettikleri yapıda olmasa da- bugün bizim kullandığımız yöntemdi.

Babilliler ikinci derece denklemleri çözme yöntemlerini nasıl keşfetmişlerdi? Buna dair açık kanıt yok, fakat onu sanki geometrik olarak düşünerek tesadüfen buldular gibi görünüyor. Aynı reçeteye yol açan daha kolay bir problemi ele alalım. "Bir karenin alanı ile iki kenarının toplamı 24 ise, bu karenin bir kenarını bulunuz" diyen bir tablet bulduğumuzu varsayınız. Daha çağdaş terimler cinsinden, bilinmeyenin karesi artı bilinmeyenin iki katı 24'e eşittir. Bu denklemi resim olarak şöyle temsil edebiliriz:

Bir ikinci derece denkleminin geometrik resmi.

Burada eşit işaretinin solundaki karenin ve dikdörtgenin düşey boyutu bilinmeyene karşılık gelir ve küçük kareler birim boydadırlar. Uzun dikdörtgeni ikiye bölüp iki parçayı karenin yanlarına yapıştınrsak, bir köşesi olmayan kare gibi bir şekil elde ederiz. Bunu "kareye tamamlamak" için denklemin her iki tarafına kayıp köşeyi (taralı kare) eklememiz gerektiği görülür:

Şimdi solda bir kare ve sağda 25 birim kare var. Bu 25 birim kareyi 5x5'li bir kare şeklinde yeniden düzenleyin:

Böylece, karesi alınmış "bilinmeyen artı bir", karesi alınmış "beş"e eşittir. Kareköklerini alınca, "bilinmeyen artı bir" eşittir beş ve bilinmeyenin dört olduğunu çıkarmak için dahi olmanız gerekmez.

Bu geometrik betimleme, tam olarak ikinci derece denklemini çözmek için Babil yöntemine karşılık gelir. Tabletteki daha karmaşık örnek tam olarak aynı reçeteyi kullanır. Tablet sadece reçeteyi ifade eder ve onun nereden geldiğini söylemez, fakat geometrik resim diğer koşullu kanıtla bağdaşır.

ÜNLÜ KİŞİ

Antik dünyanın en büyük matematikçilerinden birçoğu Mısır'ın İskenderiye kentinde yaşamıştı; bu kentin kökenleri Nil'in batısında, Batı Çölünde beş önemli vaha arasına uzanmıştır. Bunlardan biri, kışın büyüyen ve yaz sıcağında çekilen tuzlu gölleriyle ünlü Siwa'dır. Tuz toprağı kirletir ve arkeologlar için büyük baş ağrısı yaratır, çünkü antik taşların içine nüfuz eder, kerpiçse aynı kalır ve böylece binaların dokusunu yavaş yavaş bozar.

Siwa'da turistler için en gözde yer, Tanrı Amun'a adanmış bir ilk tapmak olan Aghurmi'dir. Amun öyle kutsaldı ki onun ana özelliği tamamıyla soyut oluşuydu, fakat daha fiziksel bir varlıkla, Tanrı Re'nin (yani, güneşin) kökeniyle ilişkilen-dirilir hale gelmişti. 26. Sülale zamanında yapılmış olan Si-wa'daki Amun Tapınağı, özellikle iki büyük tarihsel olayla akla gelen ünlü bir kâhin eviydi.

İlk olay, Mısır'ı fetheden Pers kralı II. Cambyses'in ordusunun imha edilişidir. Dendiğine göre, MÖ 523'te Cambyses, kendi kuralını yasalaştırmak için Amun'un kehanetini kullanmayı planlayarak, Batı Çölüne bir askeri güç yollamıştı. Ordu Bahariya Vahasına ulaşmış, fakat Siwa yolunda bir kum fırtınasında yok olmuştu. Çoğu eski Mısır uzmanı "Cambyses'in kayıp ordusu"nun bir efsane olabileceğinden kuşku duyuyorlardı, fakat 2000 yılında Helwan Üniversitesinden bir ekip, petrol ararken, bölgede giyim kırıntıları, metal parçalar ile insan kalıntıları buldular ve bunların kayıp ordudan kalma olabileceklerini öne sürdüler.

İkinci olay, iki yüzyıl sonraki tarihsel olgu, yani Büyük İskender'in kaderini etkileyen Siwa ziyaretidir. O da Cambyses gibi tam olarak aynı şeyin peşindeydi.

İskender, Makedonya kralı II. Philip'in oğluydu. Philip'in kızı olan MakedonyalI Kleopatra, Epiruslu Kral Alexander'la evlendi ve Philip düğün sırasında öldürüldü. Katil, belki de Philip'in homoseksüel aşığı Pausanias'tı; Pausanias, yaptığı bir şikayet hakkında kralın hiçbir şey yapmamasına çok üzülmüştü. Ya da katil, III. Darius tarafından tutulmuş bir Pers suikastçı olabilirdi. Eğer öyleyse, beklenenin tam tersi olmuştu, çünkü Makedonya ordusu derhal İskender'i kral ilan etti ve 20 yıllık monarşi, dünyanın bilinen pek çok yerini fethetmek için mükemmelen devam etti. İskender, bu yol boyunca, MÖ 332'de Mısır'ı hiç savaşmadan fethetti.

Firavun olarak kendi güven belgesinin onayıyla bu fethi perçinleme niyeti içinde, İskender kâhine Tanrı olup olmadığını sormak üzere Siwa'ya kutsal bir ziyaret yapmıştı. Kâhini tek başına ziyaret etmiş ve dönüşte onun hükmünü duyurmuştu: Evet, kâhin onun gerçekten bir Tanrı olduğunu doğrulamıştı. Bu hüküm, otoritesinin ana kaynağı haline gelmişti. Sonraları, kâhinin ona Zeus'un oğlu olduğunu açıkladığı yönünde söylentiler de çıkmıştı.

Mısırlılar acaba bu oldukça tutarsız kanıta inanmışlar mıydı ya da İskender'in güçlü bir orduyu kontrol ettiğine bakarak, onun öyküsüne katılmayı daha akıllıca mı bulmuşlardı? Burası açık değildir. Belki de Perslerin kurallarından bıkmışlar ve İskender'i kötünün iyisi saymışlardı; kesinkes o nedenle, Mısır'ın önceki başkenti Memfis tarafından içtenlikle karşılanmıştı. Tarihin ardındaki gerçek ne olursa olsun, o andan itibaren, Mısırlılar İskender'i kralları saymışlardı.

Siwa yolunda, Akdeniz ile Maryut olarak bilinir hale gelen göl arasındaki kırsal bölge tarafından büyülenen İskender, orada bir kent kurmaya karar verdi. Sade bir şekilde İskenderiye adını verdiği kenti, yine İskender'in kendi çizdiği esas krokiye göre, Yunan mimar Donocrates planlayıp inşa etti. Kentin doğumunu birileri MÖ 7 Nisan 331'e tarihlendir-miştir; başkalarına göreyse bu tartışmalıdır, tarih MÖ 334 yılına yakın olmalıdır. İskender yaratısını görememişti; bölgeye olan bir sonraki ziyareti oraya gömülmek içindi.

Böylece uzun zaman hüküm süren efsane, en azından, böyle sürüp gider. Daha sonra İskenderiye'yi oluşturan pek çok şeyin, İskender oraya geldiğinde zaten var olduğu şimdi ortaya çıkıyor. Mısır uzmanlan birçok yazıtın hiç de güvenilir olmadığını uzun süre önce keşfetmişlerdi, örneğin, Kamak'taki büyük Tapınak II. Ramses'in kabartmalarıyla bozulmuştu. Tapmağın çoğu aslında babası I. Seti tarafından inşa ettirilmişti ve babanın yazıtlarının izleri -hepten belirsiz değil- Ramses için olanlann altında görülebilir durumdadır. Böyle gasp etmeler sıkça görülürdü ve saygısızlık olarak bile düşünülmezdi. Buna karşın, selefin tesellisini "silmek" -firavunun yüzünü hasara uğratmak- en kesin ifadesiyle saygısızlıktı, o selefin gerçek kimliğini yok ederek öte dünyadaki yerinden onu yoksun bırakmaktı. İskender antik İskenderiye'nin tüm binaları üzerine adını oydurmuş-tu. Kendi adını, deyim yerindeyse, kentin kendisi üzerine yazdırmıştı. Diğer firavunlar birkaç binayı ya da anıtı gasp ederken, İskender tüm bir kenti gasp etti.

İskenderiye Nil'in kollarına, bir kanalla Kızıl Denize ve böylece Hint Okyanusuna ve Uzak Doğuya bağlanan büyük bir liman haline geldi. Ünlü bir kütüphaneyle bir bilgi merkezi olmdu. Ve tarihte en etkili matematikçilerden birinin doğum yeriydi: Geometrici Öklit'in.

Öklit'in uygarlığımıza yaptığı uzun süreli etki kanıtlanır derecede büyük olduğu halde, Öklit hakkında bildiklerimizden çok daha fazlasını İskenderiye hakkında biliyoruz. Matematikte herkesçe bilinen böylesine ünlü biri varsa, o "Öklit"tir. öklit'in yaşamı hakkında çok az şey bildiğimiz halde, onun çalışmaları hakkında pek çok şey biliyoruz. Matematik ve Öklit, yüzyıllarca tüm Batı dünyasında büyük ölçüde eş anlamlı olmuşlardı.

Öklit neden bu denli bilinir hale gelmiştir? Daha büyük matematikçiler ve çok daha önemli kişiler var olmuştu. Fakat iki bin yıla yakın bir süredir öklit'in adı tüm Batı Avrupa boyunca her matematik öğrencisince ve küçük ölçekte Arap

dünyasında da bilinir. Şimdiye kadar yazılmış en ünlü matematik kitaplarından birinin yazarıydı öklit: Geometrinin öğeleri (genelde Öğeler olarak kısaltılır). Matbaa bulunduğunda, bu eser basılı biçimde ortaya çıkan ilk kitaplar arasındaydı. Binin üzerinde farklı baskı olarak basılmıştı ve bu sayıyı sadece İncil aşmıştır.

Öklit'i Homeros'tan biraz daha fazla biliriz. MÖ 325'te İskenderiye'de doğmuş ve yaklaşık MÖ 265'te ölmüştü.

Bununla birlikte, şimdiden söylediklerimden vazgeçme gereği duyduğumun endişesi içindeyim. Öklit'in yaşamış biri ve Öğeler'in tek yazan olduğu, üç tahminden sadece biridir. İkincisi, yaşamış biri olduğu, fakat Öğelefi yazmadığı, en azından sadece kendisinin olmadığıdır, öğeler'! kolektif bir biçimde yazan bir matematikçiler ekibinin lideri olmuş olabilirdi. Üçüncü tahmin -çok tartışmalı, fakat olasılık sınırlan içinde- şudur: Bir ekip vardı, fakat çoğu Fransız grubunda olduğu gibi, çoğunlukla genç matematikçilerden oluşmaktaydı ve onlar yirminci yüzyılın ortalarında "Nikolas Bourbaki" adı altında yazmışlar ve takma ad olarak "öklit" adını benimsemişlerdi. Böyle olsa bile, en olası öykü şuymuş gibi görünüyor: öklit yaşamıştı, bir tek kişiydi ve Öğeler'! kendisi yazmıştı.

Elbette ki, kitabın (Öğeler] sayfalannda kapsanan tüm matematiği Öklit keşfetti demek değildir bu. Onun yaptığı, Antik Yunan bilgisinin önemli bir kısmını toplamak ve düzenlemekti. Kendi öncellerinden ödünç almış ve kendinden sonra gelen meslektaşlarına zengin bir miras bırakmıştı, fakat konu üzerindeki otoritesini de damgalamıştı. öğeler genelde bir geometri kitabı olarak betimlenir, fakat ayrıca sayı kuramıyla ve bir tür prototip cebirle de uğraşır; onun tümü geometrik tarzda sunulmuştur.

Öklit'in yaşamından çok az şey biliyoruz. Sonraları yorumcular çalışmalarına birkaç bilgi kırıntısı kattılar, onların hiçbirini çağdaş araştırıcılar kanıtlayamazlar. Öklit'in İskenderiye'de ders verdiğini söylerler bize; bu nedenle bu kentte doğduğu sonucunu çıkarmak doğaldır; fakat aslında bunları bilmiyoruz. MS 450'de öklit'in matematiği üzerine

ölümünden yedi yüzyıl sonra yazılmış geniş bir yorumda filozof Proklos şöyle yazmıştı:

öklit... Eudoksos'un birçok teoremini sıraya koyarak, Theaitetos'unkileri mükemmel hale sokarak ve ayrıca öncelleri tarafından sadece kabaca kanıtlanmış şeyleri çürütülemez ispatlar durumuna yükselterek Öğeler'i bir araya getirmişti. Bu adam büyük Ptolemaios zamanında yaşamıştı. Büyük Ptolemaios'u yakından izleyen ve Öklit'ten söz eden Arşimet'e göre ve ayrıca söylenenlere bakılırsa, Ptolemaios bir keresinde Öklit'e geometriyi incelemenin öpeZer'den daha kısa bir yolu olup olmadığını sormuş; o da bu soruyu geometriye kolay yoldan erişilmez diye yanıtlamıştı. Dolayısıyla öklit Platon döneminden daha genç, Eratosthenes ve Arşimet'ten daha yaşlıydı; çünkü bir yerde Eratosthenes'in söylediği gibi, çağdaştılar. Öklit bir Platoncuydu, bu felsefeye sempati besliyordu; bu nedenle Öğelerin tamamını Platon'a özgü figürlerin kurgusuyla bitirmişti.

öpeZer'deki bazı konuların işlenişi, öklit'in bir dönem Atina'daki Platon Akademisinde öğrenci olduğu yönünde dolaylı fakat zorlayıcı bir kanıt niteliği taşır, örneğin Eudoksos ve Theaitetos'un geometrisini sadece orada öğrenebilirdi. Onun kişiliğine gelince, tüm bildiğimiz, Pappus'tan bazı parçalardır; Pappus onu "matematiği her ölçüde ilerletme yeteneğine sahip herkese karşı son derecede dürüst ve iyi niyetli, hiç kimseyi asla gücendirmeme hususunda dikkatli ve tam bir bilgin olsa da kendini övmeyen biri" olarak betimlemiştir. Ondan bugüne birkaç anekdot kalmıştır; Stobaeus tarafından söylenen biri şudur: Öklit'in öğrencilerinden biri ona geometriyi anlamakla ne kazanabileceğini sormuştu. Öklit kölesini çağırmış ve "ona bir sikke ver, çünkü öğrendiğinden kâr etmesi gerekir" demişti.

Yunanların matematiğe karşı olan tavrı, Babillilerin ve Mısırlılarınkinden çok farklıydı. Bu kültürler matematiği büyük ölçüde uygulamalı görmüşlerdi; buradaki "uygula-

malı" sözcüğü, bir piramit içindeki boydan boya hava bacalarının hizalanması anlamını taşırdı, öyle ki ölü firavunun ruhu Sirius yıldızı doğrultusunda uçup gidebilsin. Bazı Yunan matematikçilere göreyse, sayılar arada sırada gizemli inanışları desteklemek için kullanılan araçlar değil, fakat bu inanışların gerçek özüydü.

Aristoteles ve Platon, MÖ 550 dolaylarında gelişen ve tüm yaradılışın temeli olarak matematiği, özellikle de sayılan gören Pisagor merkezli bir ülküden söz eder. Evrenin uyumu hakkında, bir bakıma bir telli çalgıdaki uyumlu nota-lann basit matematiksel deseniyle ilişkili oluşuna dayanan gizemli fikirler geliştirmişlerdi. Gerilmiş bir tel belirli bir nota üretirse, yan uzunluklu bir tel bir oktav daha yüksek bir nota üretir; tüm aralıklann en uyumlusu. Aristoteles ve Platon çeşitli sayı desenleri, özellikle -cisimleri çokgen biçiminde desenler halinde düzenleyerek oluşturulan- çokgen biçimli sayılan araştırmışlardı, örneğin, "üçgensel sayılar" olan 1, 3,6 ve 10 üçgenlerden, "karesel sayılar" olan 1,4, 9 ve 16 karelerden meydana gelmektedir:

Üçgensel ve Karesel sayılar

Pisagorculuk gülünç bir sayı falcılığı içermekteydi -örneğin 2 sayısı erli, 3 sayısı dişi kabul ediliyordu- fakat 'doğanın en derin yapısı matematikseldir' görüşü bugün de en kuramsal bilimin temeli olarak yaşamaktadır. Daha sonra-

lan, Yunanlann geometrisi daha az gizemli hale girdiyse de, Yunanlar genelde matematiği başlı başına bir amaç, bir araçtan ziyade felsefenin bir dalı olarak görmüşlerdi.

Tüm öykünün bu olmadığına inanmak için nedenler vardır. Şurası iyice anlaşılmıştır ki belki de öklit'in bir öğrencisi olmuş olan Arşimet, matematiksel yeteneklerini güçlü makineler ve savaş makineleri tasarlamada kullanmıştı. Çok az sayıda çetrefil Yunan mekanizması yaşamaya devam etmekte olup, onların akıllıca tasarımı ve hassas imalatı çok gelişmiş ustalık geleneğini üstü kapalı anlatır: "uygulamalı matematik''in antik türü. Belki de en iyi örnek, küçük Antiky-thera Adasının yakınındaki denizde bulunmuş olan bir makinedir; bunun karman çorman kenetleyici dişli çarklardan yapılmış, astronomik olaylar için bir hesaplama düzeneği olduğu ortaya çıkmıştır.

öklit'in öğeler'ı Yunan matematiğinin bu seçkin görünümüne kesinlikle uyar; çünkü bu görünüm büyük ölçüde öğeler'e dayanmaktadır. Kitabın ana vurgusu mantık ve kanıt üzerinedir ve pratik uygulamalardan hiçbir iz yoktur. Bizim öykümüz açısından Öğelerin en önemli yanı, ne içerdiği değil, ne yapmadığıdır.

öklit iki büyük yenilik yapmıştı. Birincisi kanıtlama kavramıydı. Öklit, doğru olduğu zaten bilinen ifadelerden çıkarılmış bir mantıksal adımlar dizisiyle desteklenmedikçe, herhangi bir matematiksel ifadeyi doğru olarak benimsemeyi reddediyordu. İkinci yenilik, kanıtlama sürecinin bir yerden başlaması gerektiğinin ve bu ilk ifadelerin kanıtlanamaz olduğunun itiraf edilmesiydi. Böylece Öklit, sonraki çıkarımlarını onların üzerine oturttuğu beş temel varsayımı en önde belirtiyordu. Bunların dördü basit ve apaçıktı: İki nokta bir çizgiyle birbirine bağlanabilir; her sonlu çizgi ge-nişletilebilir; bir çember her merkezli ve her yançaplı olarak çizilebilir; tüm dik açılar eşittir.

Fakat beşinci aksiyom çok farklıdır. Uzun ve karmaşıktır; ileri sürdüğü şey, pek öyle akla yatkın ve açık değildir. Onun

esas içermesi paralel çizgilerin varlığıdır; asla kavuşmayan, aynı yönde sürgit devam eden, daima aynı aralığı koruyan, sonsuz uzunlukta mükemmelen düz yolların her iki kenarındaki iki yürüme yolu gibi düz çizgiler, öklit'in gerçekte ifade ettiği şuydu: îki doğruyu bir üçüncüsü kestiğinde, iki doğru hangi tarafta toplamları iki dik açıdan küçük iki açı oluşturuyorsa, o tarafta kesişmelidir. Bu varsayımın, mantıksal olarak, verilen bir doğruya paralel olan ve verilen bir noktadan geçen (verilen doğru üzerinde bulunmayan) sadece bir tek doğrunun varlığına eşdeğer olduğu anlaşılmaktadır.

bu açıların toplamı 180°

öklit'in beşinci aksiyomu.

Beşinci aksiyom yüzyıllarca bir kusur olarak görüldü; onu diğer dört aksiyomdan çıkararak ortadan kaldırılacak ya da daha basit ve tıpkı diğerleri kadar açık bir varsayımla değiştirilecek bir şey. On dokuzuncu yüzyılda, matematikçiler Öklit'in beşinci aksiyomunu kapsama almakta mutlak şekilde haklı olduğunu anlamışlardı, çünkü onun diğer varsayımlardan çıkarılamayacağını kanıtlayabilmişlerdi.

öklit'e göre, mantıksal kanıtlamalar geometrinin zorunlu yanıydı; kanıt matematiksel girişimin hep temelinde yer alır. İkinci dereceden, yani dolaylı kanıtlar onu ne kadar desteklermiş gibi görünürse görünsün ve çıkarımları ne denli önemli olursa olsun, kanıtlamadan yoksun bir söyleme kuşkuyla bakılır. Fizikçiler, mühendisler ve astronomlar, bir

tür bilgiç tavır içinde, kanıtlara küçümseyerek bakma eğilimindedirler, çünkü kanıtın yerine koyacakları başka bir şeye sahiptirler: 'gözlem'e.

örneğin, bir astronomun ayın hareketlerini hesaplamaya çalıştığını düşünelim. Ayın hareketini saptayacak matematiksel denklemler yazacak ve hemen apışıp kalacaktır, çünkü denklemleri tam olarak çözme yolu yok gibi görünmektedir. Böylece astronom çeşitli basitleştirici yaklaştırmalar ileri sürerek denklemleri kurcalayıp durabilir. Bir matematikçiy-se bu yaklaşımların yanıt üzerine ciddi bir etkiye sahip olabileceğinden endişelenecek ve güçlüğe neden olmayacağını kanıtlamak isteyecektir. Astronom yaptığının anlamlı olup olmadığını kontrol etmek için farklı bir yola sahiptir. Ayın hareketinin hesaplarına uyup uymadığını görebilir. Uyarsa, bu, eş zamanlı olarak, hem yöntemi haklı çıkarır (çünkü doğru yanıt elde edilmiştir) hem de kuramın doğruluğunu onaylar (aynı nedenle). Mantık burada çevrimsel değildir, çünkü eğer yöntem matematiksel olarak geçersizse, ayın hareketini tahmin etmek neredeyse kesinlikle başarısız olacaktır.

Matematikçiler çalışmalarını, gözlemlerin ya da deneylerin kolaylığı olmaksızın, çalışmanın iç mantığıyla doğrulamalıdır. Bir söylemin çıkarımları ne denli önemliyse, söylemin doğru olduğundan emin olmak da o denli önemlidir. Böylece söylem, herkesin doğru olmasını istediği ya da doğru olduğu takdirde muazzam çıkarımlara yol açabileceği bir durumda olduğu zaman, kanıtlama daha da can alıcı hale gelir.

Kanıtlamalar boşluğa dayandırılamaz, devamlı mantıksal öncellerin izini süremez. Onlar bir yerden başlamalıdır ve başladıkları yer, tanım olarak, kanıtlanmamış -ve kanıtlanmayacak- şeyler olacaktır. Bu kanıtlanmamış başlama varsayımlarına bugün aksiyomlar diyoruz. Aksiyomlar matematiğin bir parçası olarak oyunun kurallarıdır.

Aksiyomlara karşı çıkan kişi, arzu ederse, onlan değiştirebilir: ama bu durumda, sonuç farklı bir oyun olacaktır. Matematik, bir söylemin doğru olduğunu öne sürmez: çeşitli varsayımlar yaptığımızda, ilgili söylemin mantıksal bir so-

nuç olması gerektiğini belirtir. Bu, aksiyomların tartışılmazlığı anlamına gelmez. Matematikçiler verilen bir aksiyoma-tik sistemin belli bir amaç için bir başka sistemden daha iyi olup olmadığını ya da bu sistemin herhangi bir asli meziyete veya öneme sahip olup olmadığını tartışabilirler. Fakat bu tartışmalar herhangi özel bir aksiyomatik oyunun iç mantığı hakkında değil; hangi oyunların değerli, ilginç ya da eğlenceli olduğu hakkındadır.

öklit aksiyomlarının sonuçları -onun uzun, dikkatle seçilmiş mantıksal çıkarımlar zinciri- olağanüstü geniş kapsamlıdır. örneğin, onun zamanında kusursuz sayılan mantıkla, kanıtlamaktadır ki, onun aksiyomlarını kabul ederseniz, zorunlu olarak aşağıdaki sonuçlara varırsınız:

• Bir dik üçgenin hipotenüsünün karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir.

• Sonsuz adet asal sayı vardır.

• İrrasyonel sayılar vardır; tam kesir olarak ifade edilemezler. İkinin karekökü buna bir örnektir.

• Tam beş adet düzgün üç-boyutlu cisim vardır: dört yüzlü, küp, sekiz yüzlü, on iki yüzlü ve yirmi yüzlü.

• Her açı, sadece cetvel ve pergel kullanılarak, tam olarak iki eşit parçaya bölünebilir.

• 3, 4, 5, 6, 8, 10 ve 12 kenarlı düzgün çokgenler, sadece cetvel ve pergel kullanılarak, tam olarak kurulabilir.

Bu "teoremler"i -bir kanıta sahip her matematiksel söyleme teorem diyoruz- yukarıda çağdaş terimler cinsinden ifade ettik. Öklit'in bakış noktasıysa oldukça farklıydı. O doğrudan doğruya sayılarla çalışmamıştı. Sayıların özellikleri olarak yorumlayabildiğimiz her şey, uzunluklar, alanlar ve hacimler cinsinden ifade edilir.

öğeler'in içeriği iki ana sınıfa ayrılır. Size bir şeyin doğru olduğunu söyleyen teoremler vardır. Ve size bir şeyin nasıl yapıldığını söyleyen kurma tarzları vardır.

Bu karenin alanı,

bu iki karenin alanlarının toplamına eşittir.

Pisagor teoremi.

Haklı olarak ünlenmiş tipik bir teorem, öğelerin I. Kitabının 47. önermesi olan ve genelde Pisagor teoremi olarak bilinen teoremdir. Bu teoreme göre, bir dik üçgenin uzun kenarı diğer iki kenarına özel bir bağıntıyla bağlıdır. Fakat bu, daha fazla gayret sarf etmeden ya da yorum yapmadan, bizi bir amaca ulaştıracak bir yöntem temin etmez.

Bir açının cetvel ve pergelle iki eşit parçaya bölünmesi.

öykümüzde önemli olacak bir kurma tarzı I. Kitabın 9. önermesidir, orada öklit açıların "iki eşit parçaya bölünme problemi"ni çözmektedir, öklit'in bir açıyı iki eşit parçaya bölme yöntemi, gelişmenin bu erken aşamasında mevcut sınırlı yöntemler göz önünde tutulursa, basit fakat akıllıcadır.

( 1) İki doğru parçası arasında bir açı verilmiş olsun, (2) pergelinizin ucunu doğruların kesim noktasına koyup bir çember çiziniz, çember her doğruyu bir noktada keser (koyu yuvarlaklar). Şimdi (3) yeni noktaların her biri merkez olmak

üzere, eşit yarıçaplı iki çember çiziniz. Bu çemberler iki noktada kesişir (sadece biri işaretlenmiştir) ve (4) istenen açıortay (noktalı çizgi) bunların ikisinden geçer.

Bu kurma işlemini yineleye yineleye, bir açıyı dört, sekiz ya da on altı eşit parçaya bölebilirsiniz; sayı her basamakta ikiye katlanır; yani 2,4, 8,16, 32, 64 vb olur.

Değindiğim gibi, öğelerin öykümüzü etkileyen esas yanı, ne içerdiği değil de, ne içermediğidir, öklit şunlar için hiçbir yöntem vermemişti:

• Bir açıyı tam olarak üç eşit parçaya bölme ("açıyı üçe bölme").

• Bir düzgün 7-kenarlı çokgen kurma.

• Verilen bir çemberin çevresine eşit uzunluklu bir doğru kurma ("çemberi düzeltme").

• Verilen bir çemberin alanına eşit alanlı bir kare kurma ("çemberi kare haline getirme").

• Verilen bir küpün hacminin tam iki katı hacimli bir küp kurma ("küpü iki-kat büyütme").

Bazen söylendiği kadarıyla, Yunanların kendileri Öklitin anıtsal çalışmasında atlanan bu hususları kusur olarak görmüşler ve onları onarmak için büyük çaba harcamışlardı. Matematik tarihçileri bu iddiaları destekleyecek çok az kanıt bulmuşlardı. Aslında, Yunanlar yukarıdaki problemlerin tümünü çözebilirlerdi, fakat bunun için Öklitçi çerçevede mevcut olmayan yöntemleri kullanmalıydılar, öklit'in kurgularının tümü işaretsiz bir cetvel ve pergelle yapılmıştı. Yunan geometriciler, koni kesitleri denilen özel eğriler kullanarak açıları üç eşit parçaya bölebilirlerdi; onlar kuadratriks denilen bir başka özel eğri kullanarak çemberi kare haline getirebilirlerdi. Diğer taraftan, açılan üçe bölebiliyorsanız, düzgün bir 7-gen kurabilirsiniz; Yunanlar herhalde bunun farkına varmamışlardı (Evet, yedigen diyorum. 9-gen için kolay bir kurma tarzı vardır, fakat 7-gen için de çok zekice bir yol vardır.) Aslında, onlar görünürde üçe-bölmenin sonuçlarını hiç mi hiç izlememişlerdi. Kendileri bu işle pek ilgilenmemişler gibi görünüyor.

Sonraları matematikçiler öklit'in atladığı şeylere oldukça farklı bir pencereden bakmışlardı. Bu problemleri çözmek için yeni araçlar aramak yerine, öklit’in kullandığı sınırlı araçlarla, yani cetvel ve pergelle neleri başarabileceklerini merak etmeye başlamışlardı. (Ve cetvel üzerindeki işaretlerle hileye başvurmadan: Yunanlar biliyordu ki "sınırda olan kurgular" sürgülü cetvellerle ve işaretlerin dizilimiyle etkin olarak ve hassas bir şekilde açıyı üçe bölebilirdi. Böyle bir yöntem Arşimet tarafından tasarlanmıştı.) Ne yapılıp yapılamayacağını bulmak ve onu kanıtlamak uzun zaman almıştı. Nihayet 1800'lerin sonlarında, yukarıdaki problemlerin hiçbirinin yalnızca cetvel ve pergel kullanarak çözülemeyeceği anlaşılmıştı.

bu doğru parçasını yarıçapa eşit alın

ve bu doğru parçası taralı açıyı üçe bölecektir

Arşimet'in bir açıyı üç eşit parçaya bölüşü.

Bu dikkate değer bir gelişmeydi, özel bir yöntemin özel bir problemi çözdüğünün kanıtlanması yerine, matematikçiler bunun tersini kanıtlamayı çok güçlü bir şekilde öğreniyorlardı: Falanca problemi çözebilecek filanca türden bir yöntem yoktur. Matematikçiler, konularının doğal sınırlamalarım öğrenmeye başlamışlardı. Bu sınırlamaları ifade ederlerken bile çekici bir cilveyle onların gerçekten sınırlamalar olduklarını kanıtlayabilirlerdi.

Yanlış kanılardan kaçınma ümidiyle, üçe bölme sorusunun bazı önemli yanlarına dikkat çekmek isterim.

îstenen, bir tam kurmadır. Geometrinin idealleştirilmiş Yunan formülasyonu çerçevesinde, çizgiler sonsuz derecede ince ve noktalar sıfır boyuta sahip olmak üzere, çok kesin bir koşuldur bu. Açının tam olarak üç eşit parçaya kesilmesi istenir. Sadece onda birler basamağına ya da yüzde birler veya milyonda birler basamağına kadar tamamıyla aynı olmak yerine, kurulum sonsuz derecede kesin olmalıdır. Bununla birlikte, aynı manada, pergelin ucunu bize verilen ya da sonra kurulan her noktaya sonsuz kesinlikle yerleştirmeye izinliyiz; pergelin yarıçapını, sonsuz hassasiyetle, her böyle iki nokta arasındaki mesafeye eşitleyebiliriz ve tam olarak her böyle iki noktadan geçen bir düz çizgi çekebiliriz.

Karmaşık gerçeklikte bu tür şeyler olmaz. Dolayısıyla Ök-lit geometrisi gerçek dünyada yararsız mıdır? Hayır, örneğin, öklit'in ifade ettiği 9. önermeyi gerçek bir kâğıt üzerinde gerçek bir pergelle yaparsanız, oldukça güzel bir ikiye ayırma elde edersiniz. Bilgisayar grafiklerinden önceki günlerde, teknik ressamlar açılan teknik çizimlerle böyle ikiye bölerlerdi. İdealleştirme bir noksan değildir: Asıl mesele matematiğin işlemesidir. İdealleştirilmiş model içinde, mantıksal olarak akıl yürütmek olasıdır; çünkü nesnelerimizin sahip olduklan özellikleri tam olarak bilmekteyiz. Karmaşık gerçek dünya bunun gibi değildir.

Fakat idealleştirmeler bazen modeli uygunsuz hale getiren sınırlamalara sahip olur. Sonsuz derecede ince çizgiler, örneğin yollardaki boyalı şerit işaretleri kadar işe yaramaz. Model, içeriğe uygun hale getirilmelidir, öklit modeli, geometrik söylemler arasındaki mantıksal bağlılıklann işlemesine yardımcı olacak şekilde tasarlanmıştı. Bu, ödül olarak, gerçek dünyamızı anlamamıza da yardımcı olabilir, fakat öklit düşüncesinde bu kesinlikle merkezi konumda değildir.

Bir sonraki yorum bağlantılı olsa da, oldukça farklı bir yönü işaret eder. Açılan yaklaşık olarak üç eşit parçaya bölmek için kurgular bulma işinde bir sorun yoktur. Yüzde bir ya da binde bir doğruluk isterseniz, bu yapılabilir. Kalem

çizginizin kalınlığındaki hata binde bir olduğunda, bu aslında teknik çizim için sorun oluşturmaz. Matematiksel sorun ideal üçe bölme hakkındadır. Keyfi bir açı tam olarak üç eşit parçaya bölünebilir mi? Bunun yanıtı "hayır"dır.

Sık sık "negatifi kanıtlayamazsınız" denir. Matematikçiler bunun zırva olduğunu bilir. Üstelik, negatiflerin bir de kendi büyüleri vardır; özellikle, onları kanıtlayacak yeni yöntemler gerektiği vakit. Bu yöntemler genelde çok güç-lüdür ve bir pozitif çözümden daha ilginçtir. Birisi cetvel ile pergel kullanarak kurulabilecek ve kurulamayacaklardan ayırt edebilecek şeyleri karakterize etmek için yeni bir güçlü yöntem icat ettiğinde, tamamen yeni bir düşünme yoluna sahip olursunuz. Ve bununla yeni düşünceler, yeni problemler, yeni çözümler -ve yeni matematiksel kuramlar ve araçlar- ortaya çıkar.

Hiç kimse yapılmamış bir aracı kullanamaz. Cep telefonları yokken, bir arkadaşınızı cep telefonunuzla arayamazdınız. Tarım icat edilmeden ya da ateş keşfedilmeden, ıspanaklı sufle yiyemezdiniz. Dolayısıyla araç-yapma en azından problem-çözme kadar önemlidir.

Açıları eşit parçalara bölme yeteneği, daha hoş bir şeyle -düzgün çokgen kurmayla- sıkı sıkıya ilişkilidir.

Bir çokgen (Yunancada "çok açılı"), düz çizgilerden oluşan kapalı bir biçimdir. Üçgenler, kareler, dörtgenler, 0 gibi eşkenar dörtgenler, tüm bunlar çokgenlerdir. Bir çember çokgen değildir, çünkü kenarı, bir düz çizgiler dizisi olmayıp bir "eğri"dir. Tüm kenarları aynı uzunluktaysa ve her ardışık kenar çifti aynı açıda bitişiyorsa, o çokgen düzgündür. İşte size 3,4, 5, 6, 7 ve 8 kenarlı düzgün çokgenler:

ADOOOO

Düzgün çokgenler.

Onların teknik adları eşkenar üçgen, kare, (düzgün) beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgendir. Pek şık olmaksızın, düzgün 3-gen, 4-gen, 5-gen, 6-gen, 7-gen ve 8-gen olarak da anılırlar. Bu terimleme çirkin görünebilir, fakat düzgün 17-kenarlı çokgeni zikretmek gerektiğinde, ki kısa sürede gerekecek, "17-gen" terimi "on yedi kenarlı" ya da "on yedigen" demekten çok daha pratik olacaktır. 65.537-gen'e gelince, evet, durumu anlarsınız.

öklit ve onun öncülleri, hangi çokgenlerin kurulabilecekleri hususunda çok düşünmüş olmalılar, çünkü pek çoğu için kurulumlar önermişler. Bunun büyüleyici ve kesinlikle beceri isteyen bir soru olduğu anlaşılır. Kenarların sayısı

3,4, 5,6,8, 10, 12, 15, 16, 20

olduğunda, düzgün çokgenlerin nasıl kurulacağını biliyordu Yunanlar. Şimdi biz de biliyoruz ki kenarların sayısı

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19

olduğu zaman, onlar bunları kuramazdı; bu bölgede bir sayı, 17 sayısı, henüz hesaba katılmamış olarak bırakılır. 17-ge-nin öyküsü doğru yerinde anlatılacaktır; Sırf matematiksel nedenlerden daha fazla nedenle bu önemlidir.

Geometriyi tartışmada, bir kâğıt üzerine gerçek cetvel ve gerçek pergelle çizim yerine geçecek başka bir şey yoktur. Bu, size konunun nasıl bağdaştığı hakkında bir his verir. Size düzgün altıgen için benim gözdem olan kurma yolunu ayrıntılarıyla anlatacağım. Bunu 1950'lerin sonunda amcamın bana verdiği Man Must Measure Unsan ölçmeli] adlı bir kitaptan öğrenmiştim; çok hoş bir çizim vardı:

Düzgün bir altıgenin kurulması.

İşlem boyunca pergelin yançapını sabit tutun, öyle ki tüm çemberler aynı büyüklükte olsun. (1) Bir çember çizin. (2) Çemberin üzerinde bir nokta seçin ve merkezi bu noktada olan bir çember çizin. Bu, ilk çemberi iki yeni noktada keser. (3) Bu noktalar merkez olacak şekilde iki çember daha çizin, iki kesim noktası daha elde edersiniz. (4) Bu noktalar merkez olacak şekilde çemberler çizin; ikisi de aynı yeni kesim noktasından geçer. Şimdi bu altı nokta düzgün bir altıgen oluşturmak üzere birleştirilebilir. Estetik açıdan resmi (5)'le tamamlamak hoş olur (matematiksel olarak gereksiz olsa da): Merkezi altıncı nokta olan bir çember çizin. Altı çember de ilk çemberin merkezinde kesişerek bir çiçek biçimi oluşturur.

öklit, daha basit fakat bu kadar hoş olmayan, çok benzer bir yöntem kullanmış ve bunun işlediğini kanıtlamıştı'. Bunu IV. Kitabın 15. önermesinde bulabilirsiniz.

İRANLI ŞAİR

Uyan! Bak güneş, her şeyi savurup kaçırtıyor Yıldızları gecenin tarlasından önüne katmış Onlarla birlikte geceyi de sürüyor göklerden Ve Sultan'ın kalesini vuruyor bir ışık ışınıyla.

Ömer Hayyam adı, çoğumuz için, Rubailer denilen ironik şiirleriyle -özellikle, Edward Fitzgerald tarafından İngilizceye yapılmış hoş çevirileriyle- birlikte unutulmaz şekilde akla gelir. Matematik tarihçilerine göreyse, Hayyam'ın ünlü olmasının daha büyük bir nedeni vardır. O, Fars ve Arap matematikçileri arasında seçkin biriydi; onlar, Avrupa'daki bilginlerin karanlık çağlara düşmeleri ve teorem-kanıtlama-larını dinsel tartışmalara terk etmelerinin ardından, Yunanların düşürdüğü meşaleyi yerden almışlar ve yeni matematiğin geliştirilmesini sürdürmüşlerdi.

Hayyam'ın büyük başarıları arasında, Yunan geometrisinin saygın yöntemleri vasıtasıyla kübik denklemlerin çözümü yer alır. Onun yöntemleri zorunlu olarak, öklit geometrisini kapalı şekilde sınırlayan cetvel ve pergelin ötesine geçer, çünkü bu araçlar basitçe bu işe uygun düşmez. Yunanlar bunu kuvvetle sezmişler, fakat kanıtlayamamışlardı; zira gerekli olanın geometri değil, cebir olduğu görüşünden yoksundular. Ama Hayyam'ın yöntemi de cetvel ve pergelin pek fazla ötesine gidememişti. Hayyam, bir koniyi bir düzlemle keserek kurulduğu için "koni kesitleri" denilen özel eğrilere inanmaktaydı.

Popüler bilim yazınındaki beylik özdeyiş, her denklemin bir kitabın satışını yarıya düşürdüğüdür. Bu doğruysa, durum çok kötüdür; çünkü hiç kimse birkaç denklem görmeden bu kitabın bazı kilit temalannı anlayamaz. Örneğin, gelen bölüm, Rönesans matematikçilerinin üçüncü ya da dördüncü derece denklemini çözen formülleri keşfetmeleri hakkındadır. Dördüncü derece formülünün nasıl göründüğünü göstermeksizin işin içinden sıyrılabilirim, fakat üçüncü derece formülüne hızlı bir bakış atmak gerçekten gerekecektir. Yoksa, size söyleyebileceğim şunun gibi bir şey olur: "Bazı sayıları bazı başka sayılarla çarp ve ona bazı sayılar ekle, sonra da karekökünü al ve sonra bir başka sayı daha ekle ve sonucun küpkökünü al; daha sonra biraz farklı sayılarla tekrar aynı şeyi yap; en sonunda iki sonucu bir araya topla. Eh, ve değinmeyi unuttum; bazı bölmeler de yapmanız gerekir."

Bazı yazarlar beylik özdeyişe kafa tuttular ve denklemler hakkında bile kitaplar yazdılar. Onlar sanki tiyatroculuktaki şu eski deyişi izliyorlar: "Bir tahta bacağın varsa, onu göstererek yürü." Şu anda, bu kitabın denklemler üzerine yazıldığı gibi bir anlayış var; fakat tıpkı, okuyucularınızın birisine bile tırmanması gerekmediği dağlar hakkında bir kitap yazabileceğiniz gibi, okuyucularınızın bir denklem bile çözmesi gerekmediği denklemler üzerine bir kitap yazabilirsiniz. Yine de, dağlar hakkında yazılan bir kitabın okurları, hiç dağ görmemişlerse, herhalde onu anlamayacaklardır; dolayısıyla size özenle seçilmiş birkaç denklem gösterirsem, bunun hem size hem de bana gerçekten çok yararı olacaktır.

Büyük ölçüde sizin lehinize meyleden ana kurallar şunlardır: Parola "göstermek"tir. Sizin denklemi görmenizi isterim. Onunla bir şey yapmanız gerekmez. Eğer zorunluysa, denklemi didik didik eder ve öykümüz için hangi yanlarının önemli olduğunu açıklarım. Bir denklemi çözmenizi ya da bir denklemle hesap yapmanızı asla istemem. En fazla yapacağım şey, mümkün olduğu sürece, onlardan kaçınmaktır.

Denklemleri tanırsanız, onların aslında dost olduklarını anlarsınız. Açık ve özlüdürler; bazen güzeldirler bile. Denklemlerin gizil gerçekliği, onların bir şeyleri hesaplama hu-

susunda belirli "reçetelerdi betimlemeleri için basit ve açık bir dil oluşlarıdır. Size reçeteyi sözcüklerle söyleyebildiğim ya da size ayrıntılara girmeden sadece işin nasıl gittiğine dair bir his verebildiğim zaman, öyle yapacağım. Nadir durumlarda da olsa, sözleri kullanmak çok sıkıntı verici hale geldiğinde, işte ancak o zaman sembolleri kullanacağım.

Bu kitap için üç tür önemli sembol vardır; ben şu anda onların ikisine değineceğim. Birisi bizim şu kadim arkadaşımız, "bilinmeyen" x'tir. Bu sembol henüz bilmediğimiz, fakat değerini can atarak öğrenmeye çalıştığımız bir sayı yerine geçmektedir.

İkinci tip sembol,2 ya da 3 veya 4 gibi biraz yükseltilmiş sayılardır. Bunlar bir sayıyı kendisiyle uygun kere çarpma talimatı verirler. Böylece 53 aslında 5x5x5 anlamına gelir ve 125 demektir; x2 ise xxx anlamındadır, burada x bilinmeyen bir sayı yerine geçen sembolümüzdür. Bu semboller "karesi", "küpü", "dördüncü kuvveti" olarak okunurlar ve topluca ilgili sayının kuvvetleri olarak anılırlar. Nedeni hakkında zerrece fikrim yok. Bir şekilde adlandırılmalıydılar.

Babillilerin ikinci derece denklemlerini çözme yöntemi ya eski Yunanlara aktarılmış ya da Yunanlar onu yeniden icat etmiştir. MÖ 110 ile 100 arasında bir zamanda İskenderiye'de yaşamış olan Heron, Babil-tarzı tipik bir problemi Yunanların terminolojisinde tartışmıştı. 100 yılı civarında, büyük olasılıkla eski Filistin'in güney bölgesinden bir Arap olan Nichomachus Aritmetiğe Giriş adlı bir kitap yazmıştı; orada sayıları uzunluklar ya da alanlar gibi geometrik niceliklerle temsil eden Yunan geleneğini terk etmişti. Nichomachus bir Pisagorcuydu ve çalışmaları bunu gösteriyordu. Sadece tam sayılarla ve onların oranlarıyla uğraşıyordu, sembol kullanmıyordu. Kitabı, gelecek bin yıl için standart aritmetik ders kitabı haline gelmişti.

Sembolizm cebire 500 yılları sırasında Diyofantus adında bir Yunan matematikçinin çalışmalarıyla girdi. Diyofantus hakkında tek bildiğimiz, öldüğü zamanki yaşıdır; bu da bize

kuşkulu bir belgeleme yoluyla gelmiştir. Cebir problemleriyle ilgili bir Yunan derlemesi şöyle bir belge içerir: “Diyo-fantus yaşamının altıda-birini bir çocuk olarak geçirmişti. Bunu izleyen on ikide-bir süre sonra sakalı çıkmıştı. Bir diğer yedide-bir süre sonra evlenmiş ve beş yıl sonra oğlu dünyaya gelmişti. Oğlu babasının yaşının yarısı kadar yaşamış ve baba oğlundan dört yıl sonra ölmüştü. Öldüğünde Diyofantus kaç yaşındaydı?"

Bu eski cebircinin kendi yöntemlerini ya da daha çağdaş yöntemleri kullanarak, onun 84 yaşında olduğunu çıkarabilirsiniz. Kuşkulu olan bu cebir probleminin gerçeğe dayandığını varsayarsanız, bu iyi bir yaştı.

Onun yaşamından tüm bildiğimiz budur. Fakat onun kitapları hakkında, sonraki kopyalan ve başka belgeler aracılığıyla, epeyce çok bilgiye sahibiz. O çokgensel sayılar üzerine bir kitap yazmıştı ve onun bir kısmı elimizdedir. Bu kitap, Öklit tarzında düzenlenmiştir, teoremleri mantıksal tartışmalar kullanarak kanıtlamaktadır ve matematiksel önemi azdır. Çok daha önemlisi, 13 ciltlik Aritmetik kitabıdır. Onların altısı, daha önceki bir nüshanın bir on üçüncü yüzyıl Yunan kopyası sayesinde, hâlâ mevcuttur. Diğer dördü İran'da bulunmuş olan bir el yazmasında su yüzüne çıkmış olabilir, fakat tüm bilim adamları bunun Diyofantus'a kadar uzandığına inanmamaktadır.

Aritmetik bir dizi problem sunmaktadır. Önsözde, Diyo-fantus onu öğrencilerinden biri için bir alıştırmalar kitabı olarak yazdığını söyler. Bilinmeyen için özel bir sembol, onun karesi ve küpü içinse dynamis (kuvvet) ve kybos (küp) sözcüklerinin kısaltılmışı gibi görünen farklı semboller kullanmıştı. Gösterim çok yapısal değildir. Diyofantus sembolleri art arda koyarak toplar (bizim şimdi çarpmada yaptığımız gibi), fakat çıkarma için özel bir sembolü vardır. Hatta eşitlik için de bir sembole sahiptir; bu, daha sonra kopya çıkaran yazmanlar tarafından işe katılmış bile olabilir.

Aritmetik, daha çok, problem çözme hakkındadır. İlk mevcut kitap doğrusal denklemleri tartışır; diğer beşi, çoğu kez birkaç bilinmeyenle, çeşitli türden ikinci derece denklemleri

ve birkaç özel kübik denklemi ele alır. En göze çarpan husus, yanıtların daima tamsayı ya da rasyonel sayı olmasıdır. Bugün çözümleri tamsayı ya da rasyonel sayılara kısıtlı bir denkleme "Diyofantus" denklemi diyoruz. Aritmetikken tipik bir örnek şudur: "Üçünün toplamı ve herhangi ikisinin toplamı bir mükemmel kare olan üç sayı bulunuz." Diyofantus'un yanıtı 41, 80 ve 320'dir. Üçünün toplamı 441 = 212 eder. Çiftlerin toplamları 41 + 80 = 121 = 112,41 + 320 = 361 = 192 ve 80 + 320 = 400 = 2O2'dir. Ne zekice iş.

Diyofantus denklemleri, modern sayı kuramında çok önemlidir. Meşhur örnek Fermat'nın, iki mükemmel küpün ya da daha yüksek kuvvetlerin benzer bir kuvvet oluşturmak üzere toplanamayacağını ifade eden "son teoremi"dir. Karelerle, bu tip bir şey kolaydır ve ta Pythagoras'a kadar geri gider: 32 + 42 = 52 ya da 52 + 122 = 132. Fakat aynı şeyi küplerle, dördüncü kuvvetlerle, beşinci kuvvetlerle ya da kareden daha yüksek herhangi bir kuvvetle yapamazsınız. Pierre de Fermat bu kestirimi (conjecture: ispatı olmayan; adına karşın bu bir teorem değildir) 1650'lerde Aritmetik'in kendi kişisel kopyasının kenarına karalamıştı. Britanya'da doğup Amerika'da yaşamış olan sayı kuramcısı Andrew Wiles'ın Fermat'nın haklı olduğunu kanıtlamasına kadar neredeyse 350 yıl öylece durmuştu.

Matematikte tarihsel gelenek bazen çok uzun sürer.

Cebir, aslında, esas faaliyetin Yunanların dünyasından Arap dünyasına geçtiği 830'larda matematik sahnesine çıkmıştı. O yılda gökbilimci Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsa el-Hârizmî, kabaca "yenileme ve basitleştirme" olarak çevrilen El'Kitab'übMuhtasar fi Hısab'il Cebri ve'l-Mukabele'* [Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine özet Kitap] adında bir kitap yazmıştı. Bu sözler, çözümü daha iyi bir biçime sokmak amacıyla denklemlerin standart işlenme yöntemleri anlamına gelir. Bizim "cebir" sözcüğümüz işte bu al-jabr'dan

Ing: al-Jabr v’al Muqâbala. Latin dillerindeki algebrea, algebre vb gibi sözcükler bu kitabın başlığından türetilmiştir -yn.

KNİlliflkUdlr. Kitabın on ikinci yüzyıldaki ilk Latince çevirisi budun Alyebrae et Almucgrabalaeque başlığını taşır.

Hârizmî'nin kitabı daha önceki Babillilerden ve Yunanlardan etkilenmelerin ipuçlarını içerir ve 600'lerde Hindistan'da Brahmagupta tarafından ortaya atılan düşüncelere dayanır. Birinci ve ikinci derece denklemlerin nasıl çözüleceğini açıklar. Hârizmî'nin yakın ardılları özel kübik türden birkaç denklemin nasıl çözüleceğini de incelemişlerdi. Bunların arasında bir doktor, gökbilimci ve felsefeci olan Tâbit bin Korra da vardır, Bağdat’ta yaşamıştı ve dinsizdi; bir başkası, daha sonraki Batı yazarlarınca Alhazen denen Îbnü'l-Heysem adlı bir Mısırlıdır. Fakat bunların en ünlüsü Ömer Hayyam'dır.

Ömer'in tam adı Gıyaseddin Eb'ul Feth Ömer İbni İbrahim el-Hayyam'dı. "El-Hayyam" sözcüğü harfi harfine "çadırcı" demektir; bazı araştırmacılar babası İbrahim'in işinin bu olduğuna inanmaktadır. Ömer 1047’de İran'da doğmuş ve en verimli yıllarının çoğunu Nişabur'da geçirmişti. Onu bir atlasta, kuzeydoğu İran'ın Türkistan sının yakınında Horasan ilinde Meşhed şehrine yakın Neyshabur olarak bulabilirsiniz.

Söylenceye göre, gençliğinde Ömer Nişabur'da oturan ünlü vaiz tmam Muvaffak'ın yanında İslam'ı ve Kuran’ı araştırmak için evini terk etmişti. Orada Haşan Sabah ve Nizam'ül-Mülk adlı iki öğrenciyle arkadaşlık kurmuştu ve onlarm üçü bir sözleşme yapmıştı. Onlardan herhangi biri zengin ve ünlü -Muvaffak'ın öğrencileri için bu olanaksız değil- olursa, bu kişi servetini ve gücünü diğer ikisiyle paylaşacaktı.

Bu öğrenciler çalışmalarını bitirmişler, yıllar uçup gitmiş; ama sözleşme yürürlükte kalmıştı. Nizam Kâbil'e gitmişti. Politikada hevesi olmayan Ömer bir süre çadırcılıkla vakit geçirmişti; "El-Hayyam" adının olası bir başka açıklaması. Fen ve matematik bir tutku haline gelmişti onda ve boş zamanlarının çoğunu bunlarla geçirmekteydi. Bu arada Nizam geri dönmüş, hükümette bir makam elde etmiş ve Nişabur'da bir ofiste Sultan Alp Arslan'ın işlerinin yöneticisi olmuştu.

Nizam artık zengin ve ünlü olduğundan, Ömer ve Hasan'a sözleşmedeki haklarını vermek istemiş ve sultana arkadaş-

larına yardım etmek için izin ricasında bulunmuştu. Bu isteği kabul edilince de, anlaşmaya uymuştu. Haşan devlette iyi maaşlı bir iş elde etmiş; fakat Ömer, Nizam'm sağlığı ve mutluluğu için duacı olduğu Nişabur'da sadece bilimsel çalışmalarını sürdürmeyi istemişti. Eski okul arkadaşı da Ömer için bir devlet maaşı bağlanmasını, çalışmaları için boş zaman bırakılmasını ayarlamış ve böylece sözleşme yerine getirilmişti.

Haşan daha sonra kıdemli bir memuru yerinden etmeye çalışmış ve kolay işini de kaybetmişti; fakat Ömer huzur içinde işine devam etmiş ve hükümetin takvimde reform yapmak üzere görevlendirdiği bir komisyona atanmıştı. Iran takvimi güneşin hareketlerine dayandırılmıştı; yeni yılın ilk gününün tarihi belirsizdi ve bunun değiştirilmesi söz konusuydu. Bu tam da yetkin bir matematikçinin işiydi; Ömer de matematik ve astronomi bilgisini, verilen herhangi bir yılda Yeni Yılın tik Gününün ne zamana denk geldiğini hesaplamak için kullanmıştı.

Bu sıralarda, Hayyam bir şiir yapısı olarak kabaca "dörtlükler" şeklinde çevrilebilecek olan Rubayiler'i de kaleme almıştı. Rubai oldukça özel ritmik örüntülü -daha doğru biçimiyle, iki olası örüntüden birine sahip- dört mısralı bir manzumedir ve rubaiyat bu biçimdeki şiirlerin toplamıdır. Bir dörtlük açıkça takvim reformu üzerine olan çalışmalarından söz etmektedir:

Derler ki, ah, tek benim hesaplarım mı Daha iyi Hesaplaşma'ya indirgemiş Yılı? O sadece Takvimde göze çarpardı

Daha doğmamış Yarınlar ve ölü Dün'ler.

Hayyam'ın şiirleri kesinlikle dinden uzaktı. Onların pek çoğu şarabı ve etkilerini övmektedir. Örneğin:

Sevgi, bugünlerde, Meyhane kapısında Bir Melek Sureti om'zunda bir fıçıyla Pırıl pırıl parladı alaca karanlıkta Ve şu Şaraptan tat dedi bana!

Ayrıca şaraba da alaycı mecazi göndermeler vardır:

y<2 Nişhapur'da ya Babil'de

Bir Tas içki ya tatlı ya acı türde Hayat Şarabı sızıyor damla damla Hayat Yapraklan düşüyor bir bir yere.

Diğer şiirler dinsel inançlarla sinsi sinsi alay etmektedir. Hizmetine aldığı kişi hakkında ve İmam'm derslerinin sonucu üzerine Sultan'm ne düşündüğünü doğrusu merak ediyor insan.

Bu arada, Haşan gözden düşmüş, Nişabur'u terk etmeye zorlanmış, tesadüfen bir haydut çetesiyle tanışmış ve üstün düzeydeki eğitimini kullanarak onlann lideri haline gelmişti. 1090 yılında, bu haydutlar Hasan'ın kumandasında, Hazar Denizinin hemen güneyinde yer alan Elburz Dağla-nndaki Alamut Kalesini ele geçirmişlerdi. Bölgeye korku ve dehşet salmışlardı ve Hasan'ın Dağlann Kurdu olarak adı çıkmıştı. Haşiş esran (hintkenevirinden çok güçlü bir uyuşturucu) kullandıktan için Hasan'ın Haşhaşiler olarak bilinen ardılları dağlarda altı korunma/bannma yeri inşa etmişlerdi; dikkatle seçilmiş dini ve politik kişileri öldürmek üzere oralardan ortaya çıkıyorlardı. Adları "assassin" (suikastçı, haşhaşi) sözcüğünden kaynaklanmaktaydı. Böylece Haşan kaderini eski okul arkadaşlanyla paylaşmak istemeyip, zengin ve ünlü olmayı, Muvaffak'm öğrencisine yaraşır şekilde, kendi başına kotarmıştı.

Ömer bir yandan astronomik tablolar hesaplarken ve diğer yandan üçüncü derece denklemlerin nasıl çözüleceğini araştırırken; Nizam, Hasan'ın haydutları tarafından öl-dürülünceye kadar -şu feleğin işine bakın- politik hayatını sürdürmüştü. Ömer 1123'te vefat ettiğinde -tahminen- 76 yaşındaydı. Haşan ise 84 yaşında bir sonraki yıl ölmüştü. 1256'da Alamut'u fetheden Moğollar tarafından Haşhaşile-rin kökü kazınmcaya dek, suikastlar büyük politik hasarlar vermeye devam etmişti.

Hayyam'm matematiğine geri dönersek: MÖ 350 civarında Yunan matematikçi Menaechmus, "koni kesitleri" olarak bilinen özel eğriler keşfetmiş ve onları, araştırıcıların inanışına bakılırsa, küpü ikiye katlama problemini çözmek için kullanmıştı. Arşimet bu eğrilerin kuramını geliştirmiş, Pergeli Apollonius bu konuyu Koni Kesitleri kitabında sistemli hale getirip genişletmişti. Ömer Hayyam'm özel olarak ilgilendiği, koni kesitlerinin belirli kübik denklemleri çözmek için kullanılabilecekleri yönündeki Yunan keşfiydi.

Bir koniyi bir düzlemle keserek elde edilebildikleri için, böyle adlandırılmıştı koni kesitleri-daha doğrusu, sivri uçlarından birleştirilmiş iki dondurma külâhı gibi, bir çift koninin kesilmesiyle. Tek koni, bir düz-çizgi parçaları topluluğuyla, bunların tümü bir noktada kesişmek ve uygun bir çemberden -koninin "taban"ı- geçmek koşulu altında, oluşturulur. FakatYunan geometrisinde düz-çizgi parçalarım daima istediğimiz kadar uzatabilirsiniz ve bu durumda sonuç, bir çift koni oluşturmaya varır.

Üç ana koni kesiti türü vardır: Elips, parabol ve hiperbol. Kesen düzlem çift koninin sadece bir yansından geçtiği takdirde ortaya çıkan kapalı oval eğri bir elipstir. (Çember, elipsin özel bir halidir; düzlem, koni eksenini tam dik kestiğinde oluşur.) Hiperbol, simetrik olarak birbirine bağlı iki açık eğriden oluşmaktadır, ilke olarak sonsuza kadar uzanır; kesen düzlem çift koninin her iki yarısından geçer. Parabol ise bir geçişsel yapı olup, bir tek açık eğridir ve bu durumda kesen düzlem koni yüzeyi üzerindeki düz-çizgilerden birine paralel olmalıdır.

Koninin tepesinden çok büyük uzaklıklarda, hiperbol eğrileri iyice iki düz-çizgiye yaklaşır; bu iki düz-çizgi, bir paralel düzlemin koniyi tepede keseceği çizgilere paraleldir. Bu çizgiler asimptotlar adını alır.

Yunan geometricilerin koni kesitlerini genişlemesine araştırmaları, Öklit tarafından düzene sokulan düşüncelerin ötesinde yer alan en önemli gelişme alanını oluşturmuştu. Bu eğriler bugünün matematiğinde de yaşamsal önemini korumaktadır; fakat Yunanların ilgisinden çok farklı nedenlerle. Bunlar, cebirsel açıdan, düz çizgiden sonraki en basit eğrilerdir. Uygulamalı bilimlerde de önemlidirler. Güneş sisteminde gezegenlerin yörüngeleri, Tycho Brahe'nin Mars gözlemlerinden Kepler'in çıkardığı gibi, elipslerdir. Bu eliptik yörünge, Newton'ın kütleçekimle ilgili şu ünlü "ters kare yasası"nı formüle etmesine yol açan gözlemlerinden biridir. Bu, o sıralarda, evrenin bazı yanlarının açıkça matematiksel örüntüler göstermesi anlayışına yol açmıştı. Gezegensel olayların hesaplanabilir hale getirilmesi, tüm astronomiye müthiş bir hız kazandırmıştı.

Ömer'in günümüze kadar gelen matematiğinin çoğu, denklemler kuramına ayrılmıştı. O iki tür çözüm düşünmekteydi. tiki, Diyofantus’un izinden giderek, tam sayılarla "cebirsel" çözüm dediği şeydi; buraya daha uygun bir sıfat "aritmetik" olabilirdi. İkinci tür çözümeyse "geometrik" diyordu; bununla da çözümün, geometrik anlamıyla, özel uzunluklar, alanlar ya da hacimler cinsinden kurulabileceğini kastediyordu.

Ömer, koni kesitlerini cömertçe kullanarak, tüm kübik denklemler için geometrik çözümler geliştirmiş ve onları 1079'da tamamladığı Cebir kitabında açıklamıştı. O günlerde negatif sayılar henüz bilinmediğinden, denklemler tüm terimleri pozitif olacak şekilde düzenlenmişti. Bu uzlaşım çok sayıda farklı duruma yol açmıştı; bugün bunları, işaretleri dışında, temelde aynı olarak ele alabiliriz. Ömer, denklemin her bir yanında hangi terimlerin bulunacağına bağlı olarak, on dört farklı kübik tip ayırmıştı. Ömer'in kübik denklemlerle ilgili sınıflaması şu şekildeydi:

küp	=	kare + kenar + sayı
küp	=	kare + sayı
küp	=	kenar + sayı
küp	=	sayı
küp	+	kare = kenar + sayı
küp	+	kare = sayı
küp	+	kenar = kare + sayı
küp	+	kenar = sayı
küp	+	sayı = kare + kenar
küp	+	sayı = kare
küp	+	sayı = kenar
küp	+	kare + kenar = sayı
küp	+	kare + sayı = kenar
küp	+	kenar + sayı = kare

Listelenmiş her terim, bir pozitif sayısal katsayıya sahip olabilir.

Bu listenin neden

küp + kare = kenar

gibi durumları içermediğini merak edebilirsiniz. Bunun nedeni açıktır; bu durumlarda denklemin her iki yanını bilinmeyene bölerek onu ikinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliriz.

Ömer tamamen kendi çözümlerini icat etmemişti; bunun yerine, çeşitli kübik denklem tiplerini çözmek için koni kesitlerini kullanarak önceki Yunan yöntemlerini inşa etmişti. Bu fikirleri sistemli bir şekilde geliştirmiş ve on dört tip kübik denklemin hepsini böyle yöntemlerle çözmüştü, önceki matematikçilerin çeşitli durumların çözümlerini keşfettiklerine, fakat bu yöntemlerin tümünün özel olduklarına ve her durumun farklı bir kurulumla halledildiğine işaret etmişti; ondan önce hiç kimse olası durumları, onlara çözümler bulmak bir yana, tüm genişliğiyle araştırmamıştı. "Tersine, sadece ben; olası durumların tümünü, kesinlikle bilinir kılma ve bu durumların arasında olası olanları ve olmayanları ayırt etme arzumu asla yitirmedim." "Olası olmayanlar'Ta "pozitif çözüme sahip olmama"yı kastediyordu.

Çalışmasının havasını yansıtmak için, "küp, birkaç kenar ve bir sayı eşittir birkaç kare" denklemini nasıl çözdüğünü görelim; bu problemi şöyle yazabiliriz:

X3 + bx + c = ax2

(Negatife karşı pozitifi önemli saymadığımız için, sağ yandaki terimi herhalde sol yana geçirebiliriz:

X3 - ax2 + bx + c = 0).

Ömer okuyucularına şu basamaklar dizisini gerçekleştirmelerini söyler. (1) c/b, \b ve a uzunluklu üç doğruyu bir dik açıyla çizin. (2) Çapı yatay doğru olan bir yarı-çember çizin. Düşey doğruyu çemberi kesecek kadar uzatın. Kalın düşey doğru parçası d uzunluğuna sahipse, kalın yatay parçayı cd/Vb kadar alın. (3) Asimptotları (eğrilerin yaklaştığı şu özel düz-çizgiler) gölgeli doğrular olan bir hiperbolü (dolu çizgi), biraz önce oluşturulan noktadan geçecek şekilde çizin. (4) Parabolün yarı-çemberi kestiği noktayı bulun. Bu durumda

x'le işaretlenen iki dolu çizginin uzunluklarının ikisi de kübik denklemin (pozitif) çözümleridir.

Bir kübik denklem için Ömer Hayyam'ın çözümü.

Ayrıntılar, her zaman olduğu gibi, toplu düzenden daha fazla önem taşımaz. Cetvel ve pergelle çeşitli öklitçi kuru-lumları gerçekleştirin, içeri bir hiperbol yerleştirin, sonra biraz daha öklitçi kurulum; işte oldu.

Ömer listedeki on dört durumun her birini çözmek için benzer kurulumlar vermiş ve onların doğru olduklarını kanıtlamıştı. Çözümlemesinde birkaç boşluk vardı; a, b, c katsayılarının büyüklükleri uygunsuz olduğu zaman, kurulumda gerekli olan noktalar bazen ortaya çıkmıyordu, örneğin yukarıdaki kurulumda, hiperbol yarı-çemberi hiç kesmeyebilir. Fakat o, bu kaçamakların dışında, çok etkileyici ve çok sistemli bir iş yapmıştı.

Ömer'in şiirinde bazı düşler matematikseldir ve şu dörtlük boyunca, kendi kendini küçümseyen bir tonda, kendi çalışmalarına dokunur gibidir:

Mantıkla tanımlarım "yukarı aşağı"yı "Evet”i de "hayır"ı da Kural ve Çizgiyle, Derler ki her şeyi derinden düşünmeli Bense öyleyim Şarapta sade.

özellikle göz alıcı bir dörtlük şöyledir:

Hareketli bir diziden başka neyiz ki Gelip geçen Sihirli Gölge oyunları Güneşin ışıttığı Fenerle dönen Gece yansı Gösteri Ustasının tuttuğu.

Bu, Platon'un ünlü mağara duvarındaki gölgeler benzetmesini anımsatmaktadır. Cebirin sembolik işlemlerinin ve insanlık halinin bir betimlemesi olarak da aynı işlevi görmektedir. Bunların her ikisinin de yetenekli tarihçisiydi Ömer Hayyam.

KUMARBAZ BÎLGÎN

"Tanrı'nın kutsal Incil'i üzerine ve gerçek şerefli bir insan olarak size yemin ederim ki, onları bana öğretirseniz, keşiflerinizi asla basmayacağım gibi, ayrıca onları ben öldükten sonra kimsenin anlamayacağı şekilde şifreli olarak kaydedeceğime gerçek bir Hristiyan olarak imanımı ortaya koyar ve size söz veririm."

Bu kutsal yemin -iddiaya göre- 1539da edilmişti.

Rönesans ttalyası yeni buluş ve icatların yuvasıydı ve matematik de bunun dışında değildi. Çağın gelenekleri ve kurumlarının yıkıcı ruhu içinde, Rönesans matematikçileri klasik matematiğin sınırlamalarını ortadan kaldırmaya kesin karar vermişlerdi. Onlardan biri gizemli üçüncü derece denklemini çözmüştü. O da şimdi onun sırrını çaldı diye bir diğerini suçluyordu.

Bu kızgın matematikçi “Tartaglia” İkekeme] lakaplı Nicco-lo Fontana'ydı. Onun fikri mülkiyetinin zanlı hırsızı bir matematikçi, doktor, uslanmaz dolandırıcı ve bağımlı bir kumarbazdı. Adı Girolamo Cardano, namı diğer Jerome Cardandı. Gerçek bir kayıp oğul olan Girolamo, 1520'lerde babasının mirasıyla yavaş yavaş ilerleme kat etmişti. Meteliğe kurşun atarken, para kaynağı olarak kumara yönelmiş ve kazanma olasılıklarını değerlendirmede matematik yeteneklerini etkin şekilde kullanmıştı. Şaibeli arkadaşlıklar kurmuş; bir keresinde, diğer oyuncunun hile yaptığından kuşkulanarak, adamın yüzünü bıçakla yaralamıştı.

Zor zamanlardı ve Girolamo da zor bir adamdı. Ayrıca oldukça özgün bir düşünürdü; tarihte en ünlü ve etkileyici cebir kitaplarından birini yazmıştı.

ölrolmiio hakkındu çok şey biliyoruz, çünkü 1575'te The İOttk tlf My Hf't> [Hayatımın Kitabı] eserinde bize kendisi hftkkindN h»r şeyi anlatmıştı. Şöyle başlıyordu:

Hu Hayatımın Kitabı'm, Filozof Antoninus'un örneğine göre yazmaya girişiyorum; o insanların takdir edilen en zekisi ve en iyisiydi; ölümlü insanın hiçbir başarısının mükemmel olmadığını, iftiradan hiç uzak kalmadığını iyi biliyordu; yine de insanın ulaşabileceği hiçbir sonucun gerçeğin bilinmesinden daha hoş, hiçbirinin daha değerli görünemeyeceğinin ayırdmdaydı.

Boş gurur kokusu verecek ya da sadece süsleme için tek bir sözcüğün bile eklenmediğini beyan ederim; bunun yerine, mümkün olduğu derecede, sadece deneyimler, .... öğrencilerimin bazı bilgiler edindiği ya da onların kısmen katıldığı olaylar toplanmıştır. Geçmişimin bu kısa kesiti, bunu benim kitabım haline getirmek için tarafımdan anlatılır biçimde yazılmıştır.

Dönemin birçok matematikçisi gibi, Girolamo da astroloji çalışmış ve doğumunu kuşatan astrolojik durumları not etmişti:

Çeşitli düşük ilaçlan -duyduğuma göre- denendiği halde, 1500 yılı Eylül ayının 24’ünde, gecenin ilk saati yandan fazla fakat üçte ikiden az geçtiği anda, normal olarak doğmuşum.... Mars, her şöhretliye konumlanmn uyuşmazlığı nedeniyle kötü etki dağıtmaktaydı ve Mars'ın açısı aya dik durumdaydı.

. . . Merkür'ün yönettiği önceki kavuşum yerinin Virgo'yla 29° açı yapmış olması hariç tutulursa, kolayca bir ucube olabilirdim. Aynca ne bu gezegen ne de ayın veya ekliptiğin yükselen noktasının konumu aynıdır; ne de Virgo'nun ikinci bölümüne uygulanır; sonuçta bir ucube olmalıydım ve aslına bakarsanız buna çok yaklaşmışım ki annemin rahmini tamamen yırtarak dünyaya gelmişim.

Böyle doğmuşum ya da daha doğrusu, annemden zorla koparılmışım; neredeyse ölüymüşüm. Saçlarım siyah

ve kıvırcıktı. Ilık şarap banyosunda diriltilmişim; bu başka bir bebek için-ölümcül olabilirmiş. Annem üç gün boyunca doğum sancısı çekmiş ve yine de sağ kalmışım.

Hayatımın Kitabı'mn bir bölümü Girolamo'nun yazdığı kitapları liste halinde verir ve listedeki ilk kitap, sözünü ettiği "matematikte üç tez"in biri olan The Great Art [Büyük Sanat] eseridir. O astronomi, fizik, ahlak ilmi, kıymetli taşlar, su, ilaç, kehanet ve din üzerine de yazmıştı.

Öykümüzde sadece Büyük Sanat rol alır. Cebirin Kuralları alt başlığı bunun nedenini açıklar. Orada Girolamo, Ba-billilerin de bildiği, sadece ikinci derece denkleminin çözüm yöntemlerini bir araya getirmekle kalmaz, ayrıca üçüncü ve dördüncü derece denklemleri için yeni keşfedilmiş çözümleri de verir. Hayyam'ın konilerin geometrisine bağlı olan çözümlerinden farklı olarak, Büyük Sanat'taki çözümler sırf cebirseldir.

Daha önce, iki tür matematiksel sembole değinmiştim; onların ikisi de bir ifadede bilinmeyenin küpü için x3 olarak görünüyordu. Sembolün birinci türü sayılar yerine geçmek üzere -ya bilinmeyen ya da bilinen fakat keyfi olan- harflerin kullanımıdır (burada x). İkinci türse sayıları gösterilen kuvvete yükseltmek için kullanılır; böylece 3 üst işareti burada x x x x x olarak küpü gösterir. Şimdi ihtiyaç duyacağımız üçüncüye, üçüncü tür sembole geldik.

Bu üçüncü tür sembol çok hoş olup, şöyle görünür: V- Bu sembol "karekök" anlamına gelir, örneğin, ^9 , yani "dokuzun karekökü", kendisiyle çarpıldığında 9 yanıtını veren sayı demektir. 3x3 = 9 olduğundan, ^9 = 3 olduğunu görürüz. Bununla birlikte, bu, her zaman bu denli kolay değildir. En kötü karekök, ikinin karekökü, yani >/2'dir; doğruluğu çok kuşkulu bir söylenceye göre, bu irrasyonel sayı -iki dik kenan 1 boyunda olan ikizkenar üçgenin hipotenüsü olarak- dikkat çeken Metapontumlu Hippasos adında bir matematikçinin denize atılmasina neden olmuştu. Bunun tam ifadesi ondalıklarda sonsuza kadar sürüp gider. Şöyle başlar:

1,4142135623730950488

f'ukat burada durmaz, çünkü bu sayının karesi aslında

1,99999999999999999999522356663907438144

olup, açıkça 2'yle tamamıyla aynı değildir.

Bu kez sembolün nereden geldiğini biliyoruz. O Latince "kök" anlamına gelen "radix''in "r" harfinin şekli bozulmuş biçimidir. Matematikçiler onu bu şekilde anlarlar ve ^2'yi "kök iki" olarak okurlar.

Küpkök, dördüncü kök, beşinci kök, vb, "kök" işaretinin önüne biraz yükseğe küçük bir sayı koyarak gösterilir; şunun gibi:

3V , , 5V •

Verilen bir sayının küpkökü öyle bir sayıdır ki, onun küpü bu verilen sayıdır. Buna göre, 8'in küpkökü 2'dir; çünkü 23 = 8'dir. Yine, 2'nin küpkökü, ondalık gösterimde sadece yaklaşık olarak ifade edilebilir. Şunun gibi başlar:

1,2599210498948731648

ve yeterince sabredecek olursak sonsuza kadar sürer.

Eski zamanların küpü alınınca ikiyi verecek sayıyı bulma probleminde ortaya çıkan sayı budur.

Yunan matematiği MS 400 yılında artık öncü konumda değildi. Eylem doğuya, Arabistan, Hindistan ve Çin'e kaymıştı. Avrupa "Karanlık Çağlar"a gömülmüştü; sıkça betimlendiği kadar olmasa da, yeterince karanlıktı. Hıristiyanlığın yayılması, öğrenim ve araştırmanın kilise ve manastırlara yoğunlaşması gibi talihsiz bir yan etkiye sahip olmuştu. Bir çok keşiş, Öklit gibi ünlü matematikçilerin çalışmalarını kopya etmişler, fakat onların ancak çok azı ne kopya ettiklerini anlamıştı. Yunanlar sanki bir dağ boyunca iki uçtan tünel kazıyorlar ve ortada buluşulsun istiyorlardı; eski Anglo-Sakson haritalama yöntemi, alanda, tam ölçekli, bir tasarım hazırlamaktı. Ölçekli çizim kavramı bile kaybolmuştu. Anglo-Saksonlar İngiltere'nin tam doğru haritasını çıkarmak isteselerdi, onu İngiltere'yle aynı boyda yaparlar-

dı. Onlar çok hassas olmayan, alışılagelmiş boyda haritalar yapmışlardı.

On beşinci yüzyılın sonunda, matematiksel etkinliğe odaklanma bir kez daha Avrupa'ya geri dönmüştü. Orta ve Uzak Doğu yaratıcı gelişmeyi tüketmiş, Avrupa'ysa Roma Kilisesini benimsemeden onunla ve onun her yenilikten duyduğu korkuyla mücadele ederek kan tazelemekteydi. îşe bakın ki, Roma kendi arka bahçesinde kontrolü kaybetmiş, düşünsel etkinliğin yeni merkezi İtalya olmuştu.

Avrupa'da fen ve matematikte yaşanan bu büyük dönüşüm, 1202'de Pisalı Leonardo tarafından yazılmış olan Liber Abbaci [Abaküs Kitabı] adında bir kitabın basımıyla başlamıştı; çok sonraları ona Fibonacci -Bonacci'nin oğlu- lakabı verilmişti. Bu lakap on dokuzuncu yüzyılda takıldığı halde, o şimdi bile bu isimle anılmaktadır. Leonardo'nun babası, Guilielmo, Bugia'da (şimdiki Cezayir'de) gümrük memuruydu ve işinde çeşitli kültürlerden gelen kişilerle karşılaşmak durumundaydı. Oğluna Hintlerin ve Arapların icat ettikleri, bizim O'dan 9'a kadar olan rakamlarımızın öncüleri olan yeni, acayip ama değersiz sayısal semboller öğretmişti. Leonardo daha sonraları "bu eğitimden o kadar çok hoşlanmıştım ki Mısır, Suriye, Yunanistan, Sicilya ve Provence'a yaptığım iş gezilerinde bile matematik çalışmayı sürdürmüş ve bu gezilerde oralardaki araştırmacılarla tartışmalardan yararlanmıştım" diye yazmıştı.

Başlığa bakıldığında, Leonardo'nun kitabının abaküs adında, teller üzerinde kayan boncuklan ya da kumlu bir oluk içinde yer alan çakıl taşlarını kullanan mekanik bir hesaplama aracı hakkında olduğu sanılır. Fakat tıpkı küçük çakıl taşlarından birine izafeten Latincedeki calculus sözcüğü gibi, daha sonra farklı ve çok daha teknik bir anlam kazanarak abbaco (hesaplama çerçevesi) sözcüğü de hesaplama sanatı anlamına gelmişti. Liber Abbaci, Hint-Arap sembollerini ve yöntemlerini Avrupa'ya getiren ilk matematik ders kitabı olmuştu. Onun geniş bir kısmı, yeni matematiğin kambiyo gibi pratik konulara uygulanmasına ayrılmıştır.

Bir problem olarak, tavşan nüfusunun artışıyla ilgili ide-allze model, dikkat çekici bir sayı dizisine yol açar: 1, 1„2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, vb; burada 2'den itibaren her sayı ondan önce gelen iki sayının toplamıdır. Bu "Fibonacci dizisi" Leonardo'nun ünlenmesinin en haklı nedenidir; kuşkusuz, tavşan-üretimi sonuçlan için değil, o boş bir şey; ama onun dikkate değer matematiksel örüntüleri ve irrasyonel sayılar kuramındaki ana rolü nedeniyle. Leonardo bu küçük zekâ oyununun yaşamı boyunca yapacağı işlerin kalanını gölgeleyeceği konusunda herhalde hiçbir fikre sahip olmamıştı.

Leonardo bir çok başka kitap da yazmıştı; onun 1220'deki Practica Geometriae'sı öklit'ten büyük bir kısım ve buna ek olarak Yunan trigonometrisinden bir şeyler içerir, öklit'in öğeler'inin X. Kitabı, V(a+>/b) tipindeki iç içe kareköklerden oluşan irrasyonel sayılan tartışır. Bu irrasyonel sayılann, üçüncü derece denklemlerini çözmek için yetersiz oldukla-nnı kanıtlar Leonardo. Bu, kübik denklemlerin köklerinin cetvel ve pergelle kurulamayacağını ima etmez, çünkü kare-köklerin başka karışından çözümler verebilirdi. Fakat yine de bu, sadece öklit'in araçlannı kullanarak, kübik denklemlerin çözülemeyebileceğine ilişkin ilk ipucuydu.

1494'te, Luca Pacioli mevcut tüm matematiksel bilgiyi, aritmetik, geometri ve orantı üzerine olan bir kitap içinde düzene sokmuştu. Bu kitap, Hint-Arap sayılarını, ticaret matematiğini, öklit ve Ptolemaios trigonometrisinin bir özetini içeriyordu. Tekrarlanan bir tema, doğada oranlarda somutlaşan tasarım öğesiydi; insan vücudu, sanatta perspektif, renk kuramı.

Pacioli, sembollerden ziyade sözcükleri kullanan "retorik" cebir geleneğini sürdürmekteydi. Bilinmeyen, "şey"in Italyancası olan "cosa" sözcüğüydü ve cebir pratisyenlerine bir ara "cossist''ler denmişti. Diyofantus'un başlattığı (fakat kanıtlamayı başaramadığı) yaklaşımı sürdürerek, bazı standart kısaltmaları da kullanmıştı Pacioli. Morris Kline Mathematical Thoughtfrom Ancient to Modem Times [Antik Çağlardan Modem Zamanlara Matematiksel Düşünce] adlı anıtsal eserinde taşı gediğine oturtur: "1200 ile 1500

arasında aritmetik ve cebirin matematiksel gelişmesi üzerine yapılan önemli bir yoruma göre; Pacioli'nin kitabı, Pisalı Leonardo'nun Liber Abbaci'sinden daha fazla hiçbir şey içermez. Aslına bakarsanız, aritmetik ve cebir .. . Leonardo'nun kitabına dayandırılmıştı."

Kitabının sonunda, Pacioli, 'kübik denklemlerin çözülmesinin, çemberi kare haline getirmekten daha iyi anlaşılmamış olduğuna' işaret etmişti. Fakat bu kısa sürede değişecekti. îlk büyük buluş, on altıncı yüzyılın üçte-birinde Bolonya kentinde ortaya çıkmıştı, tik başta dikkat çekmeden geçip gitmişti.

Girolamo Cardano, Milanolu bir avukat olan Fazio Cardano'nun ve önceki evliliğinden üç çocuk annesi olan Chi-ara Micheria adındaki genç bir dulun gayri meşru çocuğuydu. Milano dükalığınm Pavia kasabasında 1501'de doğmuştu. Veba salgım Milano'ya ulaştığında, hamile Chiara kırsal bölgeye gitmeye ikna edilmiş ve Girolamo'yu orada doğurmuştu. Geride bıraktığı üç çocuğuysa vebadan ölmüştü.

Girolamo'nun özgeçmişine göre,

babam, bizim camiamızda alışılmamış bir giysi olan mor peleriniyle gitmişti; küçük siyah bir bere takmadan asla olmazdı .... Elli beş yaşında tüm dişlerini kaybet

mişti. öklit'in çalışmalarını çok iyi bilirdi; gerçekten omuzlan çökmüştü çok çalışmaktan . . . Annem kolayca tahrike kapılırdı; işlek bir belleğe ve ince zekâya sahipti; tombul, dindar, küçük bir kadındı. Aceleci tavırlı olmak, her ikisinin ortak özelliğiydi.

Mesleği avukat olmakla birlikte, Fazio, Leonardo da Vinci'ye geometri hakkında öğüt verecek kadar matematikte yetenekliydi. Pavia Üniversitesinde ve bir Milano enstitüsü olan Piatti Vakfında geometri dersi vermişti. Ve gayri meşru çocuğu Girolamo'ya matematik ve astroloji öğretmişti:

Babam, erken çocukluk dönemimde, bana aritmetiğin en temel kurallannı öğretmişti ve aşağı yukan o zaman-

Urda beni sırlarla tanıştırmıştı; bu öğrenimi nasıl kazandığını bilmiyorum. Kısa süre sonra, bana Arabistan astrolojisinin öğelerini öğretmişti ... On iki yaşıma geldikten sonra bana Öklit'in ilk altı kitabını öğretti.

Çocuğun sağlık sorunları vardı; onu aile şirketine bulaştırma girişimleri başarılı olmamıştı. Girolamo, Pavia Üniversitesinde tıp okumasına izin vermesi için pimpirikli babasını ikna etmeye çalışmıştı. Babasıysa hukuk eğitimini tercih etmişti.

1494'te, Fransa kralı VIII. Charles İtalya'yı fethetmiş ve sonraki savaş belirli aralıklarla tam elli yıl sürmüştü. Savaşın patlak vermesiyle Pavia Üniversitesi kapanmış ve Gi-rolamo çalışmalarını sürdürmek üzere Padua'ya taşınmıştı. Herkesin dediğine göre, o mükemmel bir öğrenciydi. Fazio öldüğünde, Girolamo üniversitenin rektörü olmak için kampanya yapıyordu. Düşündüğünü dosdoğru söylediği için çok kimse tarafından pek sevilmediği halde, bir oy fazlalığıyla göreve atanmıştı.

Bu, mirasını israf edip tükettiği ve kumara döndüğü zamandı; çalkantılı yaşamının kalanı boyunca kumar tutkunu olup çıkmıştı. Ve sadece bu değildi:

Hayatımın hemen başlarında, her sınıftan silahşörlü-ğün uygulamasını yapmaya cidden kendimi vermeye başlamıştım; ısrarlı eğitimle, en gözü pekler arasında bile belli bir saygınlık kazanmıştım . . . Geceleri, Dükalığm kararnamelerine aykırı da olsa, silahımı kuşanır ve oturduğum şehirlerin civarında sinsi sinsi dolaşmaya giderdim . . . Yüz hatlarımı gizlemek için siyah bir yün kukuleta ve koyun derisinden ayakkabılar giyerdim ... sık sık gece boyunca gün ağarıncaya dek dışarıda gezinir, müzik çalgılarımla serenat yapma uğraşından terler içinde sırılsıklam kalırdım.

Neredeyse düşüncesi bile korkunç!

1525'te tıp derecesini alan Girolamo, Milano'daki Doktorlar Kolejine girmeye çalışmış, fakat reddedilmişti; görünüşte, gayri meşru oluşu neden gösterilmişse de, asıl neden

nezaketten yoksunluğuyla tanınmış olmasıydı. Böylece saygın bir koleje katılması yerine, yakındaki Sacco Köyünde bir doktor olmuştu. Ağır aksak ilerleyen bu iş, ancak ona küçük bir gelir sağlamıştı. Ailesi için daha çok para kazanmayı umarak, Milis kuvvetlerinde bir yüzbaşının kızı olan Lucia Bandarini'yle evlenmiş ve Milano'ya yakın bir yere taşınmış, fakat kolej onu yine geri çevirmişti. Meşru bir sağlık işine sahip olamayınca, kumara dönmüş; fakat matematiksel uzmanlığı bile servetini yeniden sağlayamamıştı.

Herhalde hiçbir surette övgüye layık olamam, çünkü satranca ve zar atmaya aşırı derecede tutkun olarak elbette biliyorum ki en sert kınamayı çoktan hak etmiş sayılmalıyım. Yıllarca her iki şekilde de kumar oynadım; satrançta kırk yılı aşkın ve zarda yirmi beş yıl kadar ve sadece her yıl değil -utanarak söylüyorum- her gün ve bir anda düşünceyi, varlığı ve zamanı yitirerek.

Çok önceden mobilyalarını ve Lucia'nm mücevherlerini rehine vermiş olan aile sonunda düşkünler evini boylamıştı. "Uzun ve onurlu bir mesleğe başlamıştım. Fakat boş gösterişler ve yersiz zevklerle birlikte, onur ve kazanç uçup gitti. Kendimi perişan ettim! Mahvoldum!"

îlk çocukları doğmuştu:

îki düşük ve dört aylık doğmuş iki oğlandan sonra, öyle ki ben . . . artık bazı kötücül etkilerden kuşkulanır olduğum zamanda, karım ilk oğlumu doğurmuştu ... Sağ kulağı duymuyordu ... Sol ayağının iki parmağı bir zarla birleşmiş haldeydi. Sırtı, sakatlık derecesinde olmasa da, hafif kamburdu. Çocuk yirmi-üç yaşına kadar sessiz varlığını sürdürmüştü. Ondan sonra, âşık olmuş ... ve çeyiz-siz bir kadınla, Brandonia di Seroni'yle evlenmişti.

Şimdi Girolamo'nun merhum babası, oldukça dolaylı yoldan, onların kurtarıcısı olmuştu. Fazio'nun üniversitedeki okutmanlık kadrosu hâlâ boştu ve Girolamo o kadroya atandı. Ayrıca, lisanssız da olsa, fazladan biraz doktorluk da yapıyordu. Birçok mucizevi tedavi -büyük olasılıkla, şans

eseriona büyük bir şöhret sağlamıştı. Kolejin bazı üyeleri bile sağlık sorunları için ona gidiyorlardı ve bir ara bu saygın enstitüye sonunda girme arzusuna kavuşuyor sanılmıştı. Ama bir kez daha Girolamo'nun sözünü esirgememe huyu bunu da yerle bir etmişti; kolej üyeliğinin niteliği ve gerektirdiği yetenekler üzerine sert ve acı dolu bir yazı yayımlamıştı. Girolamo ince davranıştan yoksun olduğunun ayırdmdaydı, fakat anlaşılan bunu bir kusur olarak görmüyordu: "Ben bir konferansçı ve tartışmacı olarak, tedbirli olmaya çalışmaktan ziyade, çok daha ciddi ve doğrucuydum." Onun bu basiretten yoksunluğu, 1537'de yaptığı son başvurusunun da reddedilmesine neden olmuştu.

Fakat onun ünü öylesine yaygın hale gelmişti ki kolej en sonunda gerçek tercihini yapamamış ve iki yıl sonra Girolamo'yu üyeliğe kabul etmişti. Her şey iyiye gidiyordu; matematik hakkında yazdığı iki kitabın basılmasıyla her şey daha da yoluna girmişti. Girolamo'nun kariyeri çeşitli alanlarda gelişmekteydi.

Bu sıralarda Tartaglia büyük bir buluş yapmıştı: kübik denklemlerin geniş bir sınıfına bir çözüm bulmuştu. Biraz iknadan sonra ve gönülsüzce, bu destansı keşfinin sırrını Cardona'ya açıklamıştı. Altı yıl sonra, Cardona'nın Büyük Sanat adlı cebir ders kitabını ya da Cebirin Kuralları Üzerine kitabının bir kopyasını aldığı ve kendi sırrının tam bir serimine rastladığı zaman, Tartaglia'nm çileden çıktığına hiç şaşmamalıdır.

Cardano güveni kötüye kullanmamıştı, o Tartaglia'ya teşekkürlerini fazlasıyla sunmuştu:

Bizim zamanımızda, Bolonyalı Scipione del Ferro "küp artı birinci kuvvet eşittir bir sabit" halini çözmüştü, çok şık ve çok güzel bir başarı... Onunla rekabet içinde, arkadaşım Brescialı Niccolö Tartaglia ... del Ferro'nun öğrencisi Antonio Maria Fior'la girdiği yarışmada aynı hali çözmüş ve ricalarım üzerine o çözümü bana vermişti.

Buna karşın, değerli sırrının dünyaya açıklandığını görmek Tartaglia'yı çok üzmüştü ve onu daha da üzen şey, eski sırrın gerçek keşfedicisinden ziyade kitabın yazarının çok daha fazla kişi tarafından hatırlanacağını anlamasıydı.

Mevcut kanıtın neredeyse tümünü, en azından, Tartaglia'nın soruna bakışı oluşturuyor. Richard Witmer'in Büyük Sanat'ı çevirisinde işaret ettiği gibi, "Biz neredeyse sadece Tartaglia'nın basılı raporlarına bağlıyız, hayal gücünü hiç genişletmeden objektif olarak bakıyoruz. Cardano'nun uşaklarından biri olan Lodovico Ferrari, daha sonra bir toplantıda hazır bulunduğunu iddia etmiş ve yöntemi gizli tutmak için bir anlaşma yapılmadığını söylemişti. Ferrari daha sonra Cardano'nun öğrencisi olmuş ve dördüncü derece denklemini çözmüş ya da çözüme yardım etmişti; dolayısıyla o Tartaglia'dan daha tarafsız bir tanık olarak düşünülemez.

Zavallı Tartaglia için sorunları daha da kötü kılan, bunun sadece bir kredi kaybı durumu olmamasıydı. Rönesans Avrupası'nda, matematiksel sırlar nakit paraya dönüşebiliyordu. Sadece kumar aracılığıyla değil -Cardano bu yolu tercih ediyordu-, halka açık yarışmalarla da olabiliyordu bu.

Genelde matematiğin bir seyir sporu olmadığı söylenir, fakat 1500'lerde bu doğru değildi. Matematikçiler halka açık yarışmalarda birbirlerine meydan okuyarak kendilerine makul bir geçim yolu bulmuşlardı; bu yarışmalarda her biri rakibine bir dizi problem hazırlar ve hangisi en çok doğru yanıt verirse, o kazanırdı. Bu gösteriler, çıplak elle dövüş ya da eskrim kadar heyecan verici olmazdı, ama seyirciler, nasıl çözdükleri hakkında hiç fikir sahibi olmasalar da, bahse girerler ve hangi yarışçının kazandığını öğrenirlerdi. Kazananlar, ödül parasına ek olarak, eğitim parası ödeyebilecek öğrencileri kendi yanlarına çekerlerdi; böylece halka açık yarışmalar çifte kazanç yolu demekti.

Bir kübik denkleme cebirsel bir çözüm bulan ilk kişi Tar-taglia değildi. Bolonyalı profesör Scipione del Ferro bazı kü-

bik denklem tiplerinin çözümlerini 1515'te keşfetmişti. Del Ferro 1526'da ölmüş; makaleleri ve profesörlüğü damadı Annibale del Nave tarafından miras olarak alınmıştı. Bundan eminiz, çünkü makalelerin kendileri, E. Bartolotti'nin çabalan sayesinde, 1970'lerde Bolonya Üniversitesi kütüphanesinde gün ışığına çıkmıştı. Bartolotti'ye göre, del Ferro herhalde bu üç tip kübik denklemin nasıl çözüleceğini biliyordu, fakat sadece "küp artı bir şey eşittir bir sayı" tipinin çözüm yöntemini başkalanna da vermişti.

Bu çözümün bilgisi del Nave ve del Ferro'nun öğrencisi Antonio Maria Fior tarafından saklanmıştı. Kendini bir matematik öğretmeni olarak bu işe hazırlamaya azmetmiş olan Fior, etkin bir pazarlama yöntemiyle ortaya çıkmış ve 1535'te Tartaglia'yı kübik denklemi halka açık bir yarışmada çözmeye davet emişti.

Kübikleri çözmeyle ilgili bir yöntemin bulunmuş olduğu söylentileri dolaşıyordu ortalıkta ve bir matematikçiyi, bir problemin bir çözümü olması bilgisinden daha çok ne yü-reklendirebilirdi ki. Çözümsüz bir problem üzerinde zaman harcama riski ortadan kalkmıştır; ama var olduğunu bildiğiniz bir yanıtı bulacak kadar zeki olmayabilirsiniz; esas tehlike budur. İhtiyacınız olan tek şey, matematikçilerin pek de yoksun olmadıkları, özgüvendir.

Tartaglia, del Ferro'nun yöntemini yeniden keşfetmişti, fakat Fior'un ayrıca diğer kübik türlerinin nasıl çözüleceğini bildiğinden de kuşkulanmaktaydı ve bu nedenle Fior büyük bir avantaja sahip olabilirdi. Tartaglia bize bu olasılığın onu ne kadar çok endişelendirdiğini ve en sonunda yarışmadan kısa süre önce kalan duruma aniden nasıl bir darbe indirdiğini söyler. Artık avantaj Tartaglia'daydı ve talihsiz Fior'u tezelden silip süpürmüştü.

Hezimet lafı her yere yayılmıştır; Cardano bunu Milano'da duymuştu. O zamanlar kendi cebir kitabı üzerinde çalışmaktaydı. Her gerçek yazar gibi, Cardano da en yeni keşifleri kitabına katmakta kararlıydı, çünkü onlarsız daha basılmadan kullanılmaz bir kitap olurdu. Bu nedenle Cardano, onu kandırıp ondan sırları almayı ve Büyük Sanat'a koymayı ümit

ederek Tartaglia'ya başvurmuştu. Tartaglia kendi kitabını yazmak niyetinde olduğunu söyleyerek reddetmişti bunu.

Bununla birlikte, Cardano'nun ısran sonunda işe yaramış ve Tartaglia sim açıklamıştı. Tartaglia, bir ders kitabının açıkça görülebilen bir şey olduğunu bilerek, gerçekten onu gizli tutması için Cardano'ya yemin ettirmiş miydi? Yoksa Cardano'nun tatlı tatlı dil dökmeleriyle büyülenmiş ve buna sonradan mı üzülmüştü?

Kuşku yok ki Büyük Sanat yayımlandığında Tartaglia son derece kızgın bir haldeydi. Bir yıl içinde Çeşitli Sorular ve Buluşlar adında bir kitap yayımlamış ve orada Cardano'ya tereddüt içermeyen terimlerle saldırmıştı. Aralarındaki mektuplaşmaların tümünü güya tam olarak yazıldığı gibi eklemişti.

1574'te, Ferrari hocasını desteklemek üzere bir cartello (düelloya yazılı davet) yayımlayarak adını Tartaglia'nm koyacağı herhangi bir konuda onu bilimsel bir tartışmaya davet etmişti. Kazanana 200 cudi'lik bir ödül bile önermişti. Ve görüşlerini açıkça belirtmişti: "Şunun bilinmesini istiyorum ki, yazdığın şeyler yanlış ve değersiz iftiralardır ... Bay Girolamo'yla karşılaştırınca, siz sözü edilmeye bile değmezsiniz.''

Ferrari cartello'nun kopyalarını çok sayıda Italyan araştırmacıya ve kamudan kişilere yollamıştı. Dokuz gün içinde Tartaglia olayları kendi ifadesiyle yazarak yanıtlamıştı ve bu iki matematikçi sekiz aylık bir dönemde aralarında on iki cortelli değiş-tokuş ederek noktalamıştı konuyu. Tartışmanın hakiki bir düellonun standart kurallarını izlediği anlaşılıyor. Ferrari tarafından suçlanmış olan Tartaglia'nm silahların -tartışılacak konular- seçimine izin verilmişti. Fakat ona meydan okuyan Ferrari'yle değil de, onun yerine Cardano'yla tartışmak isteğinde ayak diremişti Tartaglia.

Ferrari öfkesini kontrol altında tutmakta ve her ne olursa olsun kübik denklemi öncelikle çözenin, Tartaglia değil, del Ferro olduğunu işaret etmekteydi. Del Ferro Tartaglia'nm doğrulanmamış kredi iddiasını sorun yapmadığı halde, Tar-taglia neden benzer şekilde davranmak istemiyordu? Bu

önemli bir noktaydı ve Tartaglia bunu anlamış olabilirdi, çünkü yarışmadan çekilmeyi düşünüp taşınmaktaydı. Yine de, çekilmemişti; bunun olası nedeni, memleketi Brescia'nm şehir büyükleriydi. Tartaglia orada bir öğretim görevliliği peşindeydi ve yerel saygın kişiler onun kendini ne denli aklamak istediğini görmeyi arzulayabilirlerdi.

Yine de, Tartaglia yarışmayı kabul etmişti; yarışma 1548 Ağustosunda büyük bir kalabalık önünde Milano kiliselerinden birinde düzenlenmişti. Tutanakların hiçbir kaydı bilinmiyor; Tartaglia tarafından birkaç belirti korunmuş, onlarda akşam yemeği yaklaşırken tartışmanın kesildiğini söylemekte. Bundan, tartışmanın özellikle pek ilginç olmadığı seziliyor. Yine de, Ferrari'nin rahatça kazandığı anlaşılıyor, çünkü daha sonra ona bazı çok iyi mevkiler önerilmiş, bunlardan Milano valisinin vergi tahakkuk memurluğu görevini kabul etmiş ve kısa sürede çok zengin olmuştu. Diğer taraftan, Tartaglia yarışmayı kazandığını asla iddia etmemişti. Bres-cia'daki öğretim görevliliğini alamamış ve sert suçlamalarla aşağılanmıştı.

Tartaglia'nm bilmediği şuydu, Cardano ve Ferrari tam anlamıyla farklı savunma hattına sahiptiler, Bolonya'ya gitmişler ve del Ferro'nun makalelerini dikkatlice gözden geçirmişlerdi. Bu makaleler kübiklerin ilk hakiki çözümünü içeriyordu ve sonraki yıllarda ikisi de Büyük Sanat'takı malzemenin kaynağının, Tartaglia'nm Cardano'ya verdiği sır olmayıp, del Ferro'nun özgün yazmaları olduğu konusunda ısrar etmişlerdi. Tartaglia'yla olan ilgisi, sadece Cardano'nun kendisinin del Ferro'nun çalışmasını nasıl duyduğunun kaydını içermesiydi.

öyküye son bir dönüş. Büyük Sanat’m 1570'te ikinci baskısının yapılmasından hemen sonra, Cardano Engizisyon tarafından hapsedilmişti. Nedeni, daha önce tamamıyla masum olan bir şey olabilirdi: kitabın içeriği değil, fakat birinin adına sunulması. Cardano kitabını oldukça sıradan bir aydın olan Andreas Osiander'a adamayı seçmişti; Andreas Reform hareketinde ikincil bir kişiydi, fakat gezegenlerin dünyanın etrafında değil de, güneşin etrafında dolandığını

öne süren ilk kitap olan Mikolaj Kopernik'in (Copernicus) Göksel Kürelerin Dolanımları Üzerine adlı kitabına imzasız önsözün yazarının o olduğu konusunda güçlü kuşkular vardı. Kilise bu görüşü küfür saymaktaydı ve 1600'de Giordano Bruno, bu fikirde direndiği için, çıplak ve ağzı tıkalı olarak bir kazığa ters asılı halde, bir Roma pazar yerinde canlı canlı yakılmıştı. Kilise 1616'da ve yine 1633'te, Galileo'ya aynı nedenle büyük acılar yaşatmış, ama o zamanlar Engizisyon onu ev hapsinde tutmakla yetinmişti.

Girolamo ve vatandaşlarının yaptıklarını değerlendirmek için, ikinci derece denklemlerin çözümünü açıklayan Babil tabletine geri gitmeliyiz. Reçeteyi izler ve hesaplama basamaklarını modern sembollerle ifade edersek, Babil yazıtının etkin olarak, x2-ax = b kuadratik denkleminin çözümünün

olduğunu söylediğini görürüz. Bu, her okul öğrencisinin ezbere bildiği formüle eşdeğerdir ve bugünlerde her formül kitabında bulunur.

Kübik denklemin Rönesans çözümü de benzer şekle sahiptir, fakat çok daha girifttir. Çağdaş sembollerle şöyle görünmektedir: Denklemi x3 + ax = b şeklinde varsayarsak, çözüm

V 2

olur. Formüller demişken, bu formül oldukça basittir (inanın banal), fakat bu şekilde betimlenmeden önce, birçok cebirsel düşüncenin geliştirilmesine gereksinim duyarsınız. Bakacağımız en karmaşık formülden çok farklıdır ve söz ettiğim üç tür sembolün üçünü de kullanır: harfler, yukarı kaldırılmış sayılar ve V işareti; ayrıca hem karekökler hem de küpkökler. Bu formülü anlamak zorunda değilsiniz ve kesinlikle onu hesaplamanız da gerekmez. Fakat genel biçimini değerlendirmelisiniz. Önce, biz ilerledikçe çok yararını göreceğiniz biraz terim bilgisi iyi olur.

2x* - 7x3 - 4x*+9 gibi bir cebirsel ifadeye "çok terimli" anlamına gelen polinom adı verilir. Böyle ifadeler, bilinmeyenin çeşitli kuvvetlerini ekleyerek oluşturulur. Kuvvetlerin önündeki sayılar katsayılar adını alır. Bilinmeyenin en yüksek kuvvetine çokterimlinin derecesi denir; buna göre bu çokterimlinin derecesi 4'tür. Düşük dereceli (l'den 6'ya kadar) çokterimliler için özel adlar vardır: doğrusal, kuadratik [ikinci dereceden], kübik, kuartik, kuintik ve sekstik. 2x* - 7x? - 4x2+9 = 0 şeklindeki ilgili denklemin çözümlerine çokte-rimlinin kökleri adı verilir.

Artık Cardano'nun formülünü inceden inceye tetkik edebiliriz. Bazı toplamalar, çıkarmalar, çarpmalar ve bölmeler kullanılarak, a ve b katsayılarından (fakat sadece belirli tamsayılarla, yani 2,4 ve 27 ile) kurulmuştur. Ancak o konuda çalışan kişilerin anlayabileceği yanlan iki türdendir: Bir karekök var; aslında, aynı karekök iki yerde görünür, fakat birisi toplanırken diğeri çıkarılmaktadır. Son olarak, iki adet de küpkök var ve bunlar karekökleri içeren niceliklerin küp-kökleridir. Böylece zararsız cebirsel işlemlerin dışında (bununla, sadece terimleri kanştıran işlemleri kastediyorum), çözümün iskeleti, "karekök al, sonra bir küpkök; bunu bir kez daha yap; ikisini topla"dır.

Tüm gereksinim duyacağımız budur. Fakat daha azla kurtulabileceğinizi sanmam.

Rönesans matematikçilerinin başlangıçta kavrayamadığı, fakat daha sonraki kuşakların hemen farkına vardığı şey, bu formülün sadece bir tip kübik denklemin çözümü olmamasıdır. O tüm tiplerin bir tam çözümüdür; belki biraz basit cebir desteğiyle. Başlangıç için, eğer küplü terim X3 değil de 5x3 ise, sadece tüm denklemi 5'e bölersiniz; Rönesans matematikçileri kesinlikle bunu görecek kadar zekiydiler. Sayıları düşünmemiz konusunda sessiz bir devrim gerektiren çok daha ince bir fikirle, gerektiğinde a ve b katsayılarının negatif olmalarını kabul ederek, durumlar arasındaki yararsız ayırımdan kaçınabiliriz. Son olarak, tamamen cebirsel bir kurnazlık şudur: Denklem bilinmeyenin karesini içeriyorsa, daima ondan kurtulabilirsiniz -x'i, x artı dikkatlice seçilmiş

bir sabitle değiştirirsiniz ve bunu doğru yaparsanız, kareli terim mucizevi bir şekilde yok olur. Gene, burada sayıların pozitif ya da negatif olduklarını umursamamanız size yardımcı olur. En nihayet, Rönesans matematikçileri polinomda yer almayan terimlere kaygılanıyorlardı, fakat modern gözle bunun çaresi apaçıktı: böyle bir terim aslında kayıp değildir, sadece katsayısı sıfırdır. Aynı formül çalışır.

Problem çözüldü mü?

Tam değil. Size yalan söyledim.

Söylediğim yalan, Cardano'nun formülünün tüm kübik denklemleri çözdüğüydü. Bir anlamda bu doğru değil ve bunun önemli olduğu anlaşıldı. Gerçi çok kötü bir yalan değil söylediğim, çünkü bu tamamıyla "çözme"yle ne kastettiğimize bağlıdır.

Cardano'nun kendisi güçlüğü görmüştü; bu güçlük onun ayrıntılara sarf ettiği dikkat hakkında çok şey söylüyor. Kübik denklemlerin tipik olarak ya üç çözümü (negatif sayıları almazsak, daha az) vardır ya da bir tek. Cardano, üç çözüm olduğunda -diyelim ki 1,2 ve 3- formülün bu çözümleri akla yakın bir şekilde vermeyecekmiş gibi göründüğünü fark etmişti. Bunun yerine, formüldeki karekök negatif bir sayı içermektedir.

Özellikle, Cardano x3 = 15x + 4 üçüncü derece denkleminin açıkça x = 4 çözümüne sahip olduğuna işaret ediyor ve fakat Tartaglia'nın formülünü denediğinde anlamsız görünen şu "sonuç"a ulaşıyordu:

^=3/2+^Î2Î + VT^ÇÎ2Î

O günlerde Avrupalı matematikçiler arasında, negatif sayıları düşünmek isteyen birkaç cesur insan vardı. Onların Doğulu meslektaşları negatif nicelikli terimlerle çok daha önceden karşılaşmışlardı. Hindistan'da Jain dinine mensup kişiler, negatif niceliklerle ilgili bir temel kavramı daha 400 yıllarında geliştirmişlerdi; 1200'de Çinlilerin "hesaplama çubukları" sisteminde -sadece belli sınırlı koşullarda olsa

da - pozitif sayılar için kırmızı ve negatif sayılar için siyah çubuklar kullanılmıştı.

Negatif sayılar nasıl bir bilmeceydiyse, onların karekök-leri daha da şaşırtıcıydı. Güçlük şuydu: Hem pozitif hem de negatif sayıların karesi daima pozitifti -bunun nedenini burada açıklamayacağım- fakat cebir yasalarının uyumlu işlemesi sadece bu seçimle mümkün oluyordu. Böylece negatif sayılan kullanmada mutlu olsanız bile, onlann akla yakın kareköklere sahip olmadıklarını kabul etme durumunda kalıyordunuz. Dolayısıyla bir negatif niceliğin karekökünü içeren herhangi bir cebirsel ifade anlamsız olmalıdır.

Ve Tartaglia'nın formülü Cardano'yu tam da böyle bir ifadeye götürmüştü. Çözümü bir başka yoldan bildiğimiz durumlarda, formülün bu çözümü üretememesi son derecede kaygı vericiydi.

Kaygı içindeki Cardano 1539'da konuyu Tartaglia'nın dikkatine şöyle sunmuştu:

Size çeşitli problemlerin çözümü hakkında sorular yollamış, ama siz bana yanıt vermemiştiniz; o sorulardan biri, 'küp eşit bir bilinmeyen artı bir sayıyla' ilgiliydi. Kuralı kesinlikle anlamıştım, fakat bilinmeyenin katsayısının üçte birinin küpü, sayının yansının karesinden değerce büyükse, o zaman, göründüğü kadanyla, onu denkleme uyduramıyorum.

Burada Cardano karekökün durumunu tam olarak bir negatif sayının karekökü olacak şekilde betimliyor. Şurası açık ki, o tüm işi mükemmel bir şekilde kavramış ve engeli görmüştü. Daha az açık olansa, Tartaglia'nın kendi formülünü aynı düzeyde anlamış olup olmamasıydı; çünkü onun yanıtı, "siz bu tür problemleri çözmenin gerçek yoluna hâkim değilsiniz ... Sizin yönteminiz tamamen yanlış" biçimindeydi.

Herhalde Tartaglia sadece bile isteye yardımcı olmuyordu. Ya da belki Cardano'nun ulaştığı noktayı görmemişti. Her ne olursa olsun, Cardano, dünyanın olağanüstü yetenekli matematikçilerinin gelen 250 yıl boyunca birlikte üzerinde çalışacakları bilmeceye parmak basmıştı.

Rönesans döneminde bile, önemli bir şeylerin meydana gelebileceği yönünde ipuçları vardı. Aynı sorun Büyük Sanafta tartışılan bir başka problemde, toplamları 10 ve çarpımları 40 olan iki sayının bulunmasında da ortaya çıkmıştı. Bu problem, 5+^(-15) ve 5 - ^(45) "çözümleri"ne yol açmıştı. Cardano şunun farkına varmıştı: Eksi on beşin ka-rekökünün ne anlama geldiğini göz ardı eder ve onun tıpkı herhangi bir başka karekök gibi işlediğini ileri sürerseniz, bu "sayılardın gerçekten de denklemle bağdaştığını kontrol edebilirsiniz. Onları toplarsanız, karekökler birbirini götürür ve iki 5 istendiği gibi 10 eder. Onları çarparsanız, 52-(V(-’ 15))2 elde edersiniz, ki bu da 25 + 15 eşit 40 eder. Cardano bu acayip hesaplamanın ne yaptığını bilmiyordu. "Böylece" diye yazmıştı, "aritmetik inceliklerle ilerliyor ve bunun sonu yararsız olacak kadar İnceliklidir."

Bolonyalı bir yün tüccarının oğlu olan Rafaele Bombelli, 1572'deki Cebir kitabında, "sanal" kökleri sanki saf sayılarmış gibi işleyerek, benzer hesaplamalarla Cardano'nun bil-mecemsi kübik denklemi için o gizemli formülün x = 4 doğru yanıtına çevrilebileceğini fark etmişti. Papa'nın hukuki ve mali şubesi olan Havariler Dairesinin [Apostolic Camera] sınır arazisini ıslah ederken, boş zamanlarını doldurmak için de söz konusu kitabı yazmıştı. Bombelli

(2 + ^)} = 2 + ^VZ\ ve

(2-v=l)3 = 2-7=Dl

olduğunu fark etmişti; böylece bu iki acayip küpkökün toplamı

(2+/=1) +(2-7=1)

haline gelir ve bu da 4'e eşittir. Anlamsız kök, bir bakıma anlamlı hale gelmiş ve doğru yanıtı vermişti. Bombelli, büyük olasılıkla, negatif sayıların karekökleriyle cebirsel işlemler gerçekleştirip kullanışlı sonuçlar elde edilebileceğinin ayır-

dınıı varan İlk matematikçiydi. Böyle sayıların akla yakın yorumlara sahip olduklarına dair büyük bir ipucuydu bu; fakat bu yorumun ne olduğu gösterilmiş gibi görünmüyordu.

Cardano'nun kitabının matematiksel açıdan en yüksek noktası, üçüncü değil, dördüncü derece denklemiydi. Öğrencisi Ferrari, Tartaglia ve del Ferro'nun yöntemlerini, bilinmeyenin dördüncü kuvvetini içeren denklemlere genişletmeyi becermişti. Ferrari’nin formülü sadece karekök ve küpkök-leri içeriyordu: dördüncü kök sadece bir karekökün karekö-küydü; bu nedenle dördüncü kökler gerekmiyordu.

Büyük Sanat, içinde beşinci kuvvetin göründüğü beşinci derece denkleminin bir çözümünü içermez. Fakat denklemin derecesi yükseldikçe, onu çözme yöntemi de gitgide daha karmaşıklaşır; dolayısıyla beşinci derece denkleminin de, yeterli ustalıkla, çözülebileceği hususunda çok az kişi kuşku duyuyordu; belki beşinci kökü kullanmalıydınız ve herhangi bir formül gerçekten de çok karmaşık olurdu.

Cardano böyle bir formül aramak için zaman harcamamıştı. 1539'dan sonra, çok sayıdaki diğer çalışmalarına, özellikle tıbba dönmüştü. Ama derken şimdi de aile hayatı korkunç şekilde parçalanmaktaydı: "[En genç] oğlum, evlilik günü ile kıyamet günü arasında, hâlâ çocuk doğurma nedeniyle halsiz durumda olan karısını zehirlemeye teşebbüsle suçlandı. Şubatın 17'nci gününde tutuklandı ve elli üç gün sonra, Nisanın 13'ünde boynu vuruldu." Cardano hâlâ bu trajediyi kabullenmeye çalışırken, durum daha da kötüleşmişti: "Bir ev -benim evim- birkaç gün içinde üç cenazeye tanık olmuştu; oğlumun cenazesine, küçük kız torunum Diaregina'nın cenazesine ve sütnineninkine; bebek olan erkek torunum da ölmek üzereydi."

Tüm bunlara karşın, Cardano insanlık durumu konusunda çaresizce iyimserdi: "Yine de, o kadar çok nimete sahibim ki; bunlar başkasının olsaydı, o kimse kendisini şanslı sayardı."

KURNAZ TİLKİ

Hangi yola koyulmalı? Hangi konuyu çalışmalı? Her ikisini de seviyordu, fakat onların arasından birini seçmeliydi. Yıl 1796'ydı ve on dokuz yaşındaki parlak genç, yaşamının geri kalanım etkileyebilecek bir kararla karşı karşıyaydı. Bir mesleğe karar vermeliydi. Cari Friedrich Gauss, sıradan bir aileden gelse de, ünlü biri olabileceğini biliyordu. Gauss'un doğduğu ve ailesinin yaşadığı Brunswick (Braunschweig) bölgesinin dükü dahil, herkes onun kabiliyetini takdir ediyordu. Onun sorunu, aşırı derecede yeteneğe sahip olması ve iki büyük tutkusu, matematik ile dilbilimi arasında seçime zorlanmasıydı.

Bununla birlikte, bu seçim, 30 Martta, ilginç, dikkate değer ve hiç benzeri görülmemiş bir keşif aracılığıyla kendi elleriyle ortadan kaldırılmıştı. O gün, Gauss on yedi yüzlü düzgün bir çokgen için öklitçi bir kurulum bulmuştu.

Bu küçük bir gruba özgü gibi görünebilir, fakat öklit'te bunun bir belirtisi bile yoktu. Üç yüzlü ya da dört, beş, altı yüzlü düzgün çokgenlerin kuruluş yöntemlerini bulabilirdiniz. On beş yüzlüyü elde etmek için üç ve beş yüzlüleri bir-leştirebilirdiniz ve tekrarlı ikiye bölmeler yüzlerin sayısını ikiye katlayabilir, böylece sekiz, on, on iki, on altı, yirmi... elde edilebilirdi.

Fakat on yedi çılgınlıktı. Doğruydu da ve Gauss onun neden doğru olduğunu gayet iyi biliyordu. Bu tamamen 17 sayısının iki basit özelliğine indirgeniyordu: Bir asal sayı -tam bölenlerinin sadece kendisi ve 1- oluşuna ve 2'nin bir kuvvetinden 1 fazla oluşuna (17 = 16 + 1 = 24 + 1).

Gauss gibi bir dâhi olsaydınız, bu iki iddiasız ifadenin neden bir düzgün on yedi yüzlü çokgenin, cetvel ve pergel

kullanarak, kuruluşunun varlığını akla getirdiğini görebilirdiniz. Eğer MÖ 500 ile MS 1796 arasında yaşamış diğer büyük matematikçilerden herhangi biri olsaydınız, herhangi bir ilginin hafif kokusunu bile alamazdınız. Bunu biliyoruz, çünkü onlar bu kokuyu alamadılar.

Gauss matematiksel yeteneğinin kanıtına gerek duyduy-sa, bu kanıta artık kesinlikle sahipti. Böylece matematikçi olmaya karar vermişti.

Carl'ın büyükbabası Brunswick'te bahçıvan olarak bir iş bulduğunda, Gauss ailesi 1740'ta oraya taşınmıştı. Üç çocuğundan birisi olan Gebhard Dietrich Gauss da bahçıvan olmuştu ve arada sırada tuğla örme ve kanal açma gibi başka zahmetli işlerde de çalışıyordu; diğer zamanlardaysa "su tesisatı ustası", ticari yardımcı ve küçük bir sigorta fonunun veznedarıydı. Çok daha kazançlı ticaret işleri tümden loncalar tarafından kontrol ediliyordu ve yeni başlayanların -ikinci kuşak yenilerin bile- loncalara girmeleri istenmezdi. Gebhard 1776'da, ikinci eşi olarak, bir taşçının kızı olan ve hizmetçi olarak çalışan Dorothea Benze'yle evlenmişti. Onların oğlu Johann Friederich Cari (daha sonra kendini hep Cari Friedrich olarak tanıtmıştı) 1777 yılında doğmuştu.

Gebhard alçakgönüllü, fakat dik kafalı ve kabaydı; pek parlak zekâlı değildi. Dorothea akıllı ve iddiacıydı; Carl'a geçen özellikler. Çocuk daha iki yaşlarındayken, annesi, kollarında bir dâhiyi tuttuğunu biliyordu ve onun yeteneklerini geliştirmeye yarayacak eğitimi almaşım sağlamaya azmetmişti. Cari bir tuğlacı olsaydı, Gebhard daha mutlu olurdu. Carl'ın arkadaşı geometrici Wolfgang Bolyai Dorothea'ya, oğlu 19 yaşındayken, onun "Avrupa’nın en büyük matematikçisi" olacağı kehanetinde bulunmuştu; anne buna öyle sevinmişti ki gözünden yaşlar boşanmıştı. Cari, annesi sayesinde, bu kehanet gerçekleşecek şekilde büyümüştü.

Çocuk annesinin bu fedakârlığına karşılık vermiş ve anne, görme duyusu zayıflayıp tamamen kör oluncaya kadar, hayatının son yirmi yılını onunla geçirmişti. Büyük matematikçi

ona kendisinin bakması konusunda direnmiş ve 1839'daki ölümüne kadar annesine hastabakıcılık yapmıştı.

Gauss'un yetenekleri çok erken ortaya çıkmıştı. Üç yaşında, bir işçi grubundan sorumlu bir ustabaşı olarak haftalık ücretleri dağıtırken o da babasını seyrediyordu. Cari bir aritmetik hatasının farkına vararak, şaşkın Gebhard'ın buna dikkatini çekmişti. Çocuğa sayıları kimse öğretmemişti. O bunları kendisi öğrenmişti.

Birkaç yıl sonra, J. G. Büttner adında bir okul müdürü, çocukları birkaç saat meşgul ederek öğretmene hak ettiği bir mola vermek amacıyla, Gauss'un sınıfına bir ödev vermişti. Sorunun tam olarak ne olduğunu bilmiyoruz, ama herhalde şuna benzeyen bir şeydi: l'den 100'e kadar olan sayıların tümünü toplamak. Büyük olasılıkla, bu sayılar o kadar da hoş değildi, fakat onlarda gizli bir örüntü vardı: Ardışık iki sayı arasındaki fark daima aynı kalıyor anlamında, bir aritmetik dizi oluşturmaktaydılar. Bir aritmetik dizideki sayıları toplamak için basit ama özel olarak açık olmayan bir incelik vardır, ama sınıf bunu düşünememişti; dolayısıyla öğrenciler sayıları zahmet çekerek birer birer toplamak durumunda kalacaklardı.

En azından Büttner'in beklediği buydu, öğrencilerine ödevi bitirir bitirmez cevabı yazdıkları yazı levhalarını öğretmenin masasına getirmelerini bildirmişti. Öğrenciler

1+2 = 3 3 + 3 = 6

6 + 4 = 10 gibi bir şeyler karalayıp

10 + 5 = 14

gibi kaçınılmaz hatalar da yaparak yazacak yerlerini tüketmişlerdi. Gauss ise bir an düşünmüş, yazı levhasına tebeşirle birkaç şey yazmış, sonra öğretmene kadar yürümüş ve levhayı masaya şöyle ters olarak bırakıvermişti.

"Yanıt işte orada" demiş, sırasına geri gitmiş ve oturmuştu.

MnIn fttmundn, öğretmen tüm yazı levhalarını topladı-|IH4*i odium hir doğru yanıt vardı: Gauss'unki.

WlWı Ghumm'uii beyninin nasıl çalıştığını tam olarak bile-IN#yİN( fakat, akla yakın bir kurgulama öne sürebiliriz. Büyük bir ofaııılıkla, Gauss zaten bu türden toplamalar hakkında düğünmüş ve yararlı bir incelik bulmuştu. (Bu doğru değilse, böyle bir inceliği tamamıyla anında görme yetisine sahipti.) Yanıtı bulmanın kolay bir yolu, sayıları çiftler halinde grup-lamaktır: 1 ve 100, 2 ve 99, 3 ve 98 ve bu şekilde 50 ve 51'e kadar, l'den 100'e kadarki her sayı, herhangi bir sayı çifti içinde sadece bir kez yer alır; böylece tüm bu sayıların toplamı, tüm çiftlerin toplamıdır. Her çiftin toplamı 101 eder ve 50 çift var olduğundan, toplam 50 x 101 = 5050'dir. Gauss'un kâğıdında yazan bu ya da bir eşdeğeridir.

Bu öykünün amacı, öyle olmakla birlikte, Gauss'un aritmetik konusunda olağanüstü iyi olduğunu göstermek değildir; daha sonraki astronomi çalışmalarında, bir ahmak âlimin hızıyla çalışarak, ileri ondalık basamaklara kadar devasa basmakalıp hesaplamalar da yapmıştı. Onun tek yeteneği parıltılı hesaplama değildi. Bolca sahip olduğu şey, matematik problemlerindeki kapalı örüntüleri görme ve bunları çözümleri bulmada kullanma yeteneğiydi.

Büttner, Gauss'un zekice düzeni aracılığıyla bulduğu sonuca öylesine şaşırıp kalmıştı ki, bir servet değerindeki en iyi aritmetik ders kitabını, yararlansın diye, ona vermişti. Gauss bir hafta içinde öğretmeninin halledebileceği her şeyin ötesine geçmişti.

Tesadüfe bakın ki Büttner'in Johann Bartels adında 17 yaşında bir asistanı vardı; onun resmi görevi kuş tüyünden kalem kesmek ve onları kullanmaları için çocuklara yardım etmekti. Gayrı resmi olarak, Bartels matematiğe büyülenmişti. On yaşındaki bu parlak çocuğa yakınlık göstermiş ve bu ikisi hayat boyu arkadaş olmuşlardı. Birbirlerine cesaret vererek matematiğe birlikte çalışmışlardı.

Bartels Brunswick'in bazı önemli ve etkili kişileriyle senlibenliydi ve ortalarında ailesi sefaletin eşiğinde yaşayan adsız bir dehanın bulunduğunu hemen öğrenmişlerdi.

Bu beyefendilerden biri, belediye meclisi üyesi ve profesör E.A.W. Zimmerman, Gauss'u 1791'de Brunswick dükü Cari Wilhelm Ferdinand'a takdim etmişti. Çok etkilenip büyülenen dük, arada sırada fakirlerin yetenekli çocuklarına yaptığı gibi, Gausssun eğitim masraflarını kendi üzerine almıştı.

Çocuğun tek yeteneği matematik değildi. 15 yaşlarında, klasik dillerde uzman haline gelmişti, böylece dük onun yerel jimnasyumda klasiklerdeki çalışmalarını da parasal olarak desteklemişti. (Jimnasyum, eski Alman eğitim sisteminde, öğrencileri üniversiteye girmek için hazırlayan bir okul türüydü. Kabaca "lise" olarak çevrilebilir, fakat bu okula sadece para ödeyenler kabul edilirdi.) Gauss'un en iyi çalışmalarının çoğu daha sonra Latince yazılmıştı. 1792'de, Collegium Carolinium'a (Brunswick Teknik Üniversitesi), yine dükün parasal desteğiyle, girmişti.

Daha 17 yaşlarındayken, sayılar kuramında "kuadratik karşıtlık yasası" olarak bilinen şaşırtıcı bir teorem keşfetmişti. Bu, tam karelerin bölünebilirlik özelliklerinde temel fakat oldukça özel bir düzenliliktir. Bu örüntü daha önce Le-onhard Euler tarafından farkedilmişti, fakat Gauss bundan habersizdi ve keşfi tamamen tek başına yapmıştı. Bu soruyu sormayı bile çok az kişi düşünebilmişti. Çocuk denklemler kuramı hakkında çok derin biçimde düşünüyordu. Aslında, onu düzgün 17-geni kurmaya yönelten ve böylece onu matematiksel ölümsüzlük yoluna yerleştiren şey buydu.

1795 ile 1798 arasında, Gauss bir derece almak için Göt-tingen Üniversitesinde, yine Ferdinand'ın parasal desteğiyle, eğitim görmüştü. Orada birkaç arkadaş edinmişti, fakat kurduğu arkadaşlıklar derin ve uzun ömürlüydü. Gauss, Öklit geleneğine bağlı başarılı bir geometrici olan Bolyai'yi Göttingen'de tanımıştı.

Matematiksel fikirler Gauss'a öylesine bol ve hızlı gelmişti ki bazen onu bunaltmış gibiydi. Yeni bir düşünceyle çarpıldığında, o anda yapmakta olduğu işi aniden kesiyor ve boş boş uzaklara bakıyordu. Teoremlerden birini çalıştığı

bir anda, "Ya öklit geometrisi gerçek bir geometri değilse" diye tutturuyordu. Düşüncelerinin ön sırasında, oluşturmakta olduğu bir ana çalışma Disquisitiones Arithmeticae [Aritmetik Araştırmaları] idi ve 1798'de çoğu bitmişti. Fakat Gauss önceki matematikçilere hak ettikleri krediyi verdiğinden emin olmak istiyordu; bu nedenle, Almanya'da çok iyi bilinen bir matematikçi olan Johann Pfaff tarafından denetlenen çok nitelikli bir kütüphaneye sahip Helmstedt Üniversitesini ziyaret etmişti.

Basımdaki boşuna gecikmenin ardından, Aritmetik Araştırmaları, Dük Ferdinand'a coşku dolu ve kuşkusuz gönülden bir adamayla, 1801'de basılmıştı. Cari üniversiteden ayrıldığında dükün cömertliği bitmemişti. Ferdinand, onun Helmstedt Üniversitesine sunduğu doktora tezinde, kuralların gerektirdiği basım parasını da üstlenmişti. Cari üniversiteden ayrıldığında kendi geçimini nasıl sağlayacağı konusunda endişelenmeye başladığında, dük ona para konusunda rahatsızlık duymadan araştırmalarını sürdürmeye yetecek bir ödenek de vermişti.

Aritmetik Araştırmaları'nın dikkate değer bir yanı, ödünsüz tarzıdır. Kanıtlar dikkatli ve mantıklıdır, fakat yazımı okuyucuya ayrıcalık sağlamaz ve teoremlerin ardındaki sezgiler hakkında ipuçlarını vermez. Daha sonra, bu tutumu haklı bulmuştu ki kariyerini hep böyle, "biri güzel bir bina inşa ettiğinde, artık yapı iskelesi görünmez" temeli üzerinde sürdürmüştü. Eğer tek istediğiniz insanların binaya hayran olmalarıysa, evet hepsi iyi hoş da, onlara bunu kendilerinin nasıl kuracaklarını öğretmek istiyorsanız, bu pek de yaralı değildir. Karmaşık analizdeki çalışmalarını Gauss'un fikirleri üzerine kurmuş olan Cari Gustav Jacob Jacobi, ünlü öncelinden şöyle bahsediyordu: "O tilki gibidir, kumdaki izlerini kuyruğuyla siler."

O sıralarda, matematikçiler yavaş yavaş şunu fark etmeye başlıyorlardı: "Karmaşık" sayılar yapay ve anlamları anlaşılamaz gibi görünse de, denklemlere tekdüze bir şekilde

çözümler temin ederek, cebiri çok daha temiz hale getirirler. Zariflik ve basitlik matematiğin denektaşıdır ve yeni kavramlar gerçi başta acayip görünürler, ama konuyu zarif ve basit tutmaya yardımcı olurlarsa, uzun dönemde kazanma eğiliminde olurlar.

Sadece geleneksel "gerçel" sayılarla çalışırsanız, denklemler sıkıcı şekilde dengesiz olabilirler. X2 - 2 = 0 denkleminin iki çözümü vardır; artı ve eksi karekök iki. Fakat buna çok benzeyen X2 + 1 = 0 denkleminin hiç çözümü yoktur. Bununla birlikte, bu denklem karmaşık sayılar cinsinden iki çözüme sahiptir: i ve -i. i sembolü Euler tarafından 1777'de ^(-1) için ortaya konmuş, fakat 1794'e kadar basılmamıştı. Sadece "gerçel" denklemler cinsinden ifade edilen bir kuram, istisnalar ve titiz ayırmalarla karmakarışık edilir. Karmaşık denklemlerin benzer kuramı, ta başlangıçta bir tek karmaşayı sineye çekerek, yani gerçel sayıların yanı sıra karmaşık sayılara da izin vererek, bu karmaşıklıkların tümünden kurtarılır.

Rönesans İtalyası'nm matematikçileri tarafından ilk adımı atılan fikirler çemberi 1750 yıllarına kadar olgunlaşmış ve kapanmıştı. Üçüncü ve dördüncü derece denklemlerinin çözüm yöntemleri, ikinci derece denklemleri için Babil çözümünün doğal uzantıları olarak görülmüştü. Köklü [radikal] sayılar ile karmaşık sayılar arasındaki ilişki oldukça ayrıntılı şekilde incelenmişti ve şu biliniyordu: Sıradan sayı sisteminin bu genişletimi içinde, bir sayının küpkökünün bir değil üç, dördüncü kökünün dört, beşinci kökünün beş adet köke sahip olduğu ortaya çıktı. Bu yeni köklerin nereden geldiklerini anlamanın anahtarı, birimin köklerinin, yani 1 sayısının n'inci kökünün güzel bir özelliğiydi. Bu kökler, karmaşık düzlemde, bir köşe l'de olmak üzere, düzgün bir n-kenarlı çokgenin köşelerini oluştururlar. Birin geri kalan kökleri, merkezi O'da olan 1 yarıçaplı bir çemberin etrafında eşit aralıklarla yerleşirler.

Daha genel olarak, bir sayının herhangi bir özel beşinci kökünden, onu q, q2, q3 ve q4 sayılarıyla çaıparak, dört kök daha elde etmek mümkündür. Bu sayılar da merkezi O'da bu-

GÜZELLİK NEDEN GERÇEKLİKTİR

İlinin bir Ç«mb«r etrafında «fit aralıklarla yerleşmişlerdir, âmelin, l'nln b«| adat beşinci kökü şeklin sağında görül-mıkiMİlr.

(Sol) Karmaşık düzlemde birimin beşinci kökleri. (Sağ) 2'nin beşinci kökleri.

Bu çok güzeldi, fakat çok daha derin bir şeyi akla getirdi. 2'nin beşinci kökleri / = 2 denkleminin çözümleri olarak görülebilir. Bu denklem beşinci derecedendir ve beş karmaşık çözüme sahip olup sadece biri gerçeldir. Benzer şekilde, 2'nin dördüncü kökleri için x4 = 2 denkleminin dört çözümü vardır; 2'nin 17'nci kökleri için olan denklem 17 çözüme sahiptir vb. Örüntüyü görmek için deha olmanız gerekmez: Çözümlerin sayısı, denklemin derecesine eşittir.

Aynı şey sadece n'inci kökler için olan denklemlere uygulanmaz, hangi cebirsel denklem olursa olsun uygulanır. Matematikçiler, karmaşık sayılar alanında her denklemin derecesiyle aynı çözüm sayısına sahip olduğuna ikna olmuşlardı. (Bu deyiş, teknik olarak, sadece çözümler "çok katlılıkları"na göre sayıldığında doğrudur. Bu anlaşma kullanılmazsa, o zaman çözümlerin sayısı dereceden daha az ya da ona eşittir.) Euler bu özelliği 2, 3 ve 4 dereceli denklemler için kanıtlamış ve benzer yöntemlerin genelde işleyeceğini savlamıştı. Onun düşünceleri akla yatkındı, fakat boşlukları doldurmanın neredeyse olanaksız olduğu anlaşılmıştır ve bugün bile Euler'in yöntemini bir sonuca götürmek büyük çaba ister.

Yine de, matematikçiler, kaçıncı dereceden bir denklemi çözüyorlarsa, kesin olarak o kadar çok çözüm bulmayı beklediklerini varsayarlar.

Gauss fikirlerini sayılar kuramı ve analizde geliştirdiği halde, bu varsayımı hiç kimsenin kanıtlayamamış olmasından hiç mi hiç memnun olmamıştı. Tipik olarak, bir ispat ileri sürmüştü. Çok karmaşıktı ve ilginç biçimde dolaylıydı: Her uzman matematikçi, bu ispatın doğru olduğuna inanabilirdi, fakat hiç kimse Gauss'un bunu daha en başta nasıl bulduğunu kestirememişti. Matematik tilkisi, kuyruğunu şiddetli bir şekilde kullanıyordu.

Gauss'un doktora tezinin Latince başlığı, "Tek değişkenli her rasyonel integral fonksiyonun birinci ya da ikinci dereceden gerçel çarpanlara ayrıştırılabileceğinin yeni bir ispatı" şeklinde çevrilir. 0 günlerin teknik dilini açarsak, bu başlık, her (gerçel katsayılı) çokterimlinin ya doğrusal ya da kuadratik çokterimlilerin bir çarpımı olduğunu öne sürer.

Gauss "gerçel" sözcüğünü, negatif niceliklerin karekökle-rinin yer almadığı geleneksel sayı sistemi içinde çalıştığını açıkça belirtmek için kullanmıştı. Bugünlerde Gauss teoremini mantıksal açıdan eşdeğer fakat daha basit bir şekilde ifade edebiliriz: n'inci dereceden her gerçel çokterimli, n adet gerçel ya da karmaşık köke sahiptir. Fakat Gauss te-rimlemesini, çalışmasının hâlâ gizemli görünen karmaşık sayılar sistemine dayanmadığını gösterecek şekilde, özenle seçmişti. Bir gerçel çokterimlinin karmaşık kökleri, gerçel kuadratik çarpanlar versin diye, daima çiftler halinde birleştirilebilir, oysa doğrusal çarpanlar gerçel köklere karşılık gelir. Tezin başlığını bu iki tür çarpan (birinci ya da ikinci dereceden çarpanlar) cinsinden ifade ederek, Gauss tartışmalı karmaşık sayılar konusunu savuşturmuştu.

Başlıkta bir sözcük gerekçesizdi: "yeni". Bu "eski" ispatların var olduğunu akla getiriyordu. Gauss cebirdeki bu temel teoreme ilk kesin ispatı vermişti. Fakat daha önce ispat iddialarında bulunmuş olan -bunların hepsi hatalıydı- şöhretli

İMtlIlri incitmektin kaçınmak İçin, Gauss buluşunu, yeni fyMl' Mrul yönlaınlor kullanarak, sadece en son ispat ola-rth lunmuvtu.

Nu morum, Gnblrin Temel Teoremi olarak bilinegeldi. Ga-uai tılıU öylenlne önemli sayıyordu ki, en sonuncusu 70 yayındayken olmak üzere, onun tam dört ispatını vermişti. Karmadık «ayılar hakkında kişisel olarak hiçbir endişesi yoktu; düşüncesinde büyük rol oynamışlardı ve sonradan onların anlamı hakkında kendi yorumunu geliştirmişti. Fakat çekişmeden hoşlanmazdı. En özgün fikirlerinden çoğunu -Öklit-çi olmayan geometri, karmaşık analiz ve karmaşık sayıların kendilerine titiz bir yaklaşım gibi- yıllar boyunca hasıral-tı etmişti, çünkü "mankafaların haykırışları” dediği şeyleri üzerine çekmek istememişti.

Gauss sırf matematikle yetinmemişti. Tam 1801'de, İtalyan rahibi ve astronomu Giuseppe Piazzi yeni bir gezegen keşfetmişti ya da o öyle sanmıştı; teleskobunda fondaki yıldızlara göre geceden geceye hareket eden zayıf bir ışık yaması, güneş sisteminde bir cisim olduğuna dair emin bir işaret. Usulen, Ceres adı verilmişti; fakat aslında o bir asteroitti, bulunacak olan ilk asteroit. Piazzi bulduğu bu yeni dünyayı güneşin pırıltısında tez elden kaybetmişti. O kadar az gözlem yapmıştı ki, astronomlar bu yeni cismin yörüngesini inceleyememişler ve güneşin arkasından ortaya çıktığında yine yerini saptayamamışlardı.

Bu Gauss'a layık bir problemdi ve istekle işe koyulmuştu. Az sayıda gözlemden yörüngeleri belirlemek için daha iyi yollar icat etmiş ve Ceres'in tekrar nerede ortaya çıkacağını tahmin etmişti. Ceres böyle beklendiği gibi çıkınca, Gauss'un ünü dünyanın dört bir yanına yayılmıştı. Kâşif Alexander von Humboldt, gök mekaniğinde uzman olan Pierre-Simon de Laplace'a Almanya'da en büyük matematikçinin adını sormuş ve şu yanıtı almıştı: "Pfaff.'" İrkilen Humboldt

Almanca karşılığı abitur olan bu söz lise mezuniyeti, lise geçiş sınavı anlamlarına gelir -yn.

"Gauss'a ne dersin?" deyince, Laplace "Gauss dünyadaki en büyük matematikçidir" yanıtını vermişti.

Ne yazık ki, bu yeni ün onu soyut matematikten gök mekaniğindeki uzun hesaplamalara çevirmişti; genelde onun önemli yeteneklerinin boşa harcanması gibi görülür. Bu gök mekaniğinin önemsiz olduğu anlamına gelmez, fakat başka daha az yetenekli matematikçiler de aynı işi yapabilirlerdi, öte yandan, bu onun hayatını iyileştirmişti. Gauss desteğini aldığı düke karşılığını ödemek üzere, kendisine kamu hizmeti niteliğinde seçkin bir görev aramaktaydı. Ceres'le ilgili çalışmaları onu Göttingen Gözlemevinin müdürlüğüne sürüklemiş ve akademik hayatının sonuna kadar hep bu makamda kalmıştı.

Gauss 1805'te Johanna Osthoff’la evlenmişti. Bolyai'ye yazarak, yeni karısını şöyle anlatmaktaydı: "Güzel bir Ma-donna yüzü, huzur ve sağlık aynası, sevecen, oldukça hayalci gözler -bu bir-; parlak bir zekâ ve eğitimli bir dil -bu iki—; fakat sakin, rahat, alçakgönüllü ve hiçbir yaratığa zarar veremeyecek bir meleğin erdemli ruhu; en iyisi de bu." Johanna ona iki çocuk doğurmuştu, fakat 1809'da doğum yaparken ölmüştü; mahvolan Gauss "son beş yılda içlerinde cenneti bulduğu o melek gözleri" kendisi kapatmıştı. Yalnız ve çökmüş haldeydi ve hayat artık onun için hiç de aynı değildi. Yeni bir eş buldu kendisine; Johanna'nm en iyi arkadaşı Minna Waldeck'i. Fakat bu evlilik, üç çocuğun daha doğmasına karşın, tam yerinde olmamıştı. Gauss daima oğullarıyla tartışıyor ve kızlarına ne yapmaları gerektiğini söylüyordu; oğlanlar bundan o kadar bıktılar ki Avrupa'yı terk edip Amerika Birleşik Devletleri'ne gittiler ve orada refaha erdiler.

Göttingen'deki müdürlüğe başlar başlamaz, Gauss eski bir düşünceye, paralellik aksiyomu dışında öklit aksiyomlarının tümünü sağlayan yeni tip bir geometri olanağına geri dönmüştü. Sonunda mantıksal olarak tutarlı öklitçi-olma-yan geometrilerin mümkün olduğuna ikna olmuş, fakat aşırı radikal sayılabilirler korkusuyla sonuçlarını hiçbir zaman yayımlamamıştı. Eski arkadaşı Wolfgang'm oğlu Jânos Bol-yai daha sonra benzer keşifler yapmış, fakat Gauss onların

yo|unu önoodon kandlul görmüş olduğu için, bu çalışmaları Av*IMml|ll. Dulla da sonraları, Nikolay tvanoviç Lobaçevski ho|imai> olarak öklltçi-olmayan geometriyi yeniden keşfet-U|ln(h, onu Göttingen Akademisinin fahri üyesi yapmış, fa-kttl ylnn açık övgüde bulunmamıştı.

Yıllarca sonra, matematikçiler bu yeni geometrileri daha ayrıntılı biçimde inceleyerek, onları eğri yüzeyler üzerindeki "Jeodezikler"in -en kısa yolların- geometrileri olarak yorumlar hale gelmişlerdi. Eğer yüzey, küre gibi, sabit pozitif eğriliğe sahipse, geometriye eliptik adı verilmişti. Eğrilik sabit ve negatifse (her nokta yakınında semere benzer biçimli), geometri hiperbolikti. Öklitçi geometri sıfır eğriliğe, yani düz uzaya karşılık gelir. Bu geometriler metrikleriyle, yani iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle karakterize edilebilirler.

Bu fikirler eğri yüzeyleri çok daha genel biçimde incelemeye yöneltmişti Gauss'u. Eğriliğin miktarı için güzel bir formül geliştirmişti ve bunun her koordinat sisteminde aynı sonucu verdiğini kanıtlamıştı. Bu formülasyonda, eğrilik sabit olmak zorunda değildi: Bir yerden bir diğer yere değişebilirdi.

Gauss orta yaşlarında, matematikte olağandışı olmayan bir hamleyle, pratik uygulamalara dönmüştü. En büyüğü Hannover bölgesinin üçgenlerle ölçümü olmak üzere, çeşitli yer ölçümü projelerine yardım etmişti. Veri analiziyle izlenen pek çok alan çalışması yapmıştı. Bu çalışmaları kolaylaştırmak için heliotrop adında yansıyan ışıkla sinyaller gönderen bir düzenek icat etmişti. Fakat kalbi iflâs etmeye başlayınca, yer ölçümlerini durdurmuş ve kalan yıllarını Göttingen'de geçirmeye karar vermişti.

Bu mutsuz dönemde, Abel adında genç bir Norveçli Gauss'a beşinci derece denklemini kökler aracılığıyla çözmenin olanaksızlığı hakkında yazmış, fakat yanıt alamamıştı. Büyük olasılıkla Gauss makaleye bakamayacak kadar büyük bir bunalım içindeydi.

1833 dolaylarında, elektrik ve manyetizmaya ilgi duymaya başlamış; fizikçi Wilhelm Weber'le bir kitap üzerinde

işbirliği yapmış ve Dünya Manyetizmasının Genel Kuramı kitabı 1839'da basılmıştı. Onlar, Gauss'un gözlemevini VVeber'in fizik laboratuarına bağlayan bir telgraf da icat etmişler, fakat teller kopup durmuştu ve başka mucitler çok daha pratik tasarımlarla ortaya çıkmışlardı. O sıralarda We-ber başka altı kişiyle birlikte, Hannover'in yeni kralı Ernst August'a bağlılık yeminini reddettikleri için, Göttingen'den atılmışlardı. Gauss buna çok üzülmüş, fakat Weber adına el altından bazı çabalar harcamış olsa da, politik tutuculuğu ve çekingenliği bunu engellemeye yönelik herhangi bir açık protestodan onu alıkoymuştu.

Gauss 1845'te, Göttingen profesörlerinin dul eşleri için bir emeklilik fonu konusunda, üye sayısındaki ani artışın beklenen etkisini inceleyerek, bir rapor yazmıştı. Demiryollarına ve devlet tahvillerine yatırımlar yapmış ve epeyce bir servet biriktirmişti.

1850'den sonra, kalp sorunlarının başlamasıyla sıkıntıya düşen Gauss çalışmayı kesmişti, öykümüz için bu dönemin en önemli olayı, Georg Bernhard Riemann adlı öğrencisinin doçentlik teziydi (Alman akademik sisteminde, doçentlik, doktoradan sonra bir aşamadır). Riemann Gauss’un yüzeyler üzerindeki çalışmasını, "manifoldlar" dediği çok-boyutlu uzaylara genelleştirmişti. özel olarak, metrik kavramını genişletmiş ve bir manifoldun eğriliği için bir formül bulmuştu. Aslına bakılırsa, Riemann çok boyutlu eğri uzayların bir kuramını yaratmıştı. Daha sonra bu fikir, Einstein'm kütle-çekim üzerindeki çalışmasında kilit rol oynamıştır.

O sıralar doktoru tarafından düzenli şekilde kontrol edilen Gauss, Riemann'ın bu konu üzerindeki halka açık konferanslarına katılmış ve çok etkilenmişti. Sağlığı daha da kötüleşince, zamanının çoğunu yatağında geçirmeye başlamış, fakat mektuplar yazmayı, okumayı ve yatırımlarını yönetmeyi sürdürmüştü. Gauss, dünyanın görüp göreceği en büyük matematiksel beyni, 1855 yılının başlarında uykusunda rahatça ölmüştü.

HAKKI YENMİŞ DOKTOR

VE HASTALIKLI DEHA

Cardano'nun Büyük Sanat'ım aşan en önemli ilerleme, 18. yüzyılın ortalarında meydana gelmişti. Rönesans matematikçileri üçüncü ve dördüncü derece denklemlerini çözebilmiş olsalar da, onların yöntemleri temelde bir dizi ince kurnazlıktan ibaretti. Her bir kurnazlık, herhangi bir sistemli nedenle değil de, daha çok bir dizi rastlantıyla çalışıyor gibiydi. Bu sistemli neden, en sonunda 1770'lerde iki matematikçi tarafından açıkça saptanmıştı: Kendisini daima Fransız sayan İtalya doğumlu Joseph-Louis Lagrange ve kesinkes Fransız olan Alexandre-Theophile Vandermonde.

Vandermonde 1735'te Paris'te doğmuştu. Babası onun müzisyen olmasını istemiş, o da kemanda ustalaşmış ve müziği meslek edinmişti. Fakat 177O'te matematikle ilgilenir olmuştu. İlk matematik yayını, bir çokterimlinin köklerinin simetrik fonksiyonları -tüm köklerin toplamı gibi cebirsel formüller- hakkındaydı; köklerin karşılıklı değiştirilmeleri halinde bu fonksiyonlar değişmez. Onun en özgün katkısı, düzgün n-gen'le ilişkili xn - 1 = 0 denkleminin kökleri vasıtasıyla çözülebileceğini (n = 10 ya da daha küçükse) kanıt-lamasıydı. (Aslında, bu denklem her n için kökler vasıtasıyla çözülebilir.) Büyük Fransız analizcisi Augustin-Louis Ca-uchy daha sonra, simetrik fonksiyonların köklüler vasıtasıyla denklemlerin çözümüne uygulanabileceğini ilk düşünen kişinin Vandermonde olduğunu anımsatmıştı.

Bu düşünce, Lagrange'm elinde, tüm cebirsel denklemlere hücum etmenin başlangıç noktasını oluşturacaktı.

Lagrange İtalya'nın Turin kentinde doğmuş, Giuseppe Lo-dovico Lagrangia olarak vaftiz edilmişti. Ailesinin kuvvetli Fransız bağları vardı: Büyük büyükbabası Savoy düküne hizmet etmek için İtalya'ya gelmeden önce, Fransız süvari birliğinde yüzbaşı olmuştu. Giuseppe daha gençken, soyadı olarak Lagrange'ı kullanmaya başlamıştı; fakat onu, ilk adı olarak Lodovico ya da Luigi'yle birleştirmişti. Babası Turin'de Bayındırlık İşleri ve Tahkim Ofisinde veznedardı; annesi Teresa Grosso ise bir doktorun kızıydı; Lagrange onların toplam on bir çocuğundan ilkiydi, ama zaten sadece ikisi çocukluğun ötesinde yaşamıştı.

Aile İtalyan toplumunun üst sınıfı içinde olmakla birlikte, bazı kötü yatırımlar yüzünden para sıkıntısı içindeydi. Lagrange'ın hukuk okuması gerektiğine karar vermişlerdi ve Lagrange, Turin Kolejine devam etmişti. Hukuk ve klasiklerden hoşlanıyordu, fakat büyük ölçüde öklit geometrisinden oluşan matematik derslerini oldukça sıkıcı bulmuştu. Sonra İngiliz astronomu Edmond Halley tarafından yazılmış, optikte cebirsel yöntemler üzerine bir kitapla karşılaşmış ve matematik hakkındaki görüşü dramatik şekilde değişivermişti. Lagrange derse adeta saldırmış ve ilk araştırmasında bu dersin çok katkısı olmuştu: matematiğin mekaniğe, özellikle gök mekaniğine uygulanması.

Kuzeni Vittoria Conti'yle evlenmişti. Kendisi de matematikçi olan arkadaşı Jean le Rond D'Alembert'e "Kuzenlerimden biri olan ve uzun bir süre ailemle birlikte yaşayan karım, çok iyi bir ev hanımıdır ve hiç mi hiç özentisi yoktur," diye yazmıştı. Ayrıca hiç çocuk istemediğini de sır olarak söylemişti; gerçekleşmiş bir arzu.

Lagrange Berlin'de bir makam elde etmiş, çok sayıda araştırma makalesi yazmış ve çeşitli vesilelerle Fransız Akademisinin yıllık ödüllerini kazanmıştı; 1772 ödülünü Euler'le paylaşmış, ayın dinamiği üzerine olan çalışması için 1774 ödülünü almış ve kuyruklu yıldız yörüngeleri üzerine gezegenlerin etkisi çalışmasıyla da 1780 ödülü ona verilmişti. Onun tutkularından bir diğeri, sayı kuramıydı ve 177O'te türünün bir klasiği olan Dört Kare Teoremini kanıtlamıştı;

buna göre, her pozitif tam sayı dört tam karenin toplamıdır, örneğin, 7 = 22 + l2 + l2 + l2, 8 = 22 + 22 +02 + O2 vb.

Fransız Bilimler Akademisinin üyesi olmuş ve Paris'e taşınmıştı, hayatının geri kalanında orada kalmıştı. Onlara katılmasanız bile, yaşadığınız ülkenin yasalarına uymanın akıllıca olduğuna inanıyordu; bu görüş, büyük olasılıkla, onun Fransız Devrimi süresince diğer aydınların başına gelenlerden kurtulmasına yaramıştı. Lagrange 1788'de, mekaniği analizin bir dalı olarak yeniden yazdığı, başyapıtı Analitik Mekanik'! yayımlamıştı. Bu cüsseli kitabın hiçbir diyagram içermemesinden övünüyordu, çünkü bu, ona göre, mantığı daha düzenli işler hale sokuyordu.

Bir astronomun kızı olan ikinci hanımı Renee-Françoise-Adelaide Le Monnier'le 1792'de evlenmişti. Terör dönemi sırasında, Ağustos 1793'te Akademi kapatılmıştı ve çalışır kalan tek kısım ağırlıklar ve ölçüler komisyonuydu. Birçok ileri gelen bilim adamı -kimyacı Antoine Lavoisier, fizikçi Charles Augustin Coulomb ve Pierre Simon Laplace- Akademiden çıkarılmıştı. Lagrange ise Ağırlıklar ve Ölçümlerin yeni bölüm başkanı olmuştu.

Bu noktada İtalyan olarak doğuşu bir sorun yaratmıştı. Devrim hükümeti, bir düşman ülkede doğan her yabancının tutuklanmasını gerektiren bir yasa çıkarmıştı. O sırada hâlâ biraz etkisi olan Lavoisier, yeni yasadan Lagrange'ın muaf tutulmasını ayarlamıştı. Kısa süre sonra, bir devrim mahkemesi Lavoisier'yi ölüme mahkûm etmiş; bir sonraki gün giyotinle başı uçurulmuştu. Lagrange düşüncesini şöyle belirtmişti: "Bu kafanın kesilmesi sadece bir an alır, fakat onun gibisini yaratmaya yüzlerce yıl yetmez."

Napoleon'un yönetiminde, Lagrange birçok onura layık görülmüştü: 1808'de İmparatorluk Şeref Nişanı ve Kont Ün-vanı, 1813'te Yeniden-birleşme Fermanının Büyük Haçı. Lag-range Büyük Haçı aldıktan bir hafta sonra ölmüştü.

Dört Kare Teoremini keşfettiği 1770 yılında, Lagrange "Bu biyografide denklemlerin cebirsel çözümü için bugüne kadar

bulunmuş çeşitli yöntemleri mercek altına almayı, onları genel ilkelere indirgemeyi ve bu yöntemlerin neden üçüncü ve dördüncü derece için başarılı olduğunu ama yüksek dereceler için başarısız kaldığını açıklamayı tasarlıyorum" diyerek, denklemler kuramı üzerine geniş bir bilimsel esere girişmişti. Jean-Pierre Tignol'ün kendi kitabı Calois'nırı Cebirsel Denklemler Kuramı'nda ifade ettiği gibi, Lagrange'm "açık seçik amacı, bu yöntemin sadece nasıl çalıştığını değil, ayrıca niçin çalıştığını da saptamaktır."

Lagrange, Rönesans yöntemlerini, bu yöntemleri icat edenlerden çok daha derinlemesine kavramıştı; onların başarısını açıklamak için bulduğu genel tasarımın, beşinci ve daha yüksek derecelere genişletilemeyeceğini bile kanıtlamıştı. Yine de, o durumlarda herhangi bir çözümün mümkün olup olamayacağını merak eden bir adım daha atmayı başaramamıştı. Bunun yerine, "daha yüksek derecelerin çözümüyle uğraşmak isteyenlere, onları bu husustaki görüşlerle bulup çıkararak ve en önemlisi onları çok sayıda yararsız adım ve girişimlerden esirgeyerek, bu sonuçların yararlı olacağını" söylüyordu bize.

Lagrange, Cardano, Tartaglia ve diğerleri tarafından kullanılan ince kurnazlıkların tümünün bir yönteme dayandığının farkına varmıştı. Verilen denklemlerin köklerini doğrudan bulmaya çalışmak yerine, problemi öyle bir yardımcı denklemin çözümlerine dönüştürelim ki bu yardımcı denklemin kökleri özgün köklerle ilişkili fakat farklı olsun.

Üçüncü derece için yardımcı denklem daha basitti; bir ikinci derece denklemi. Bu "çözücü ikinci derece denklemi" Babil yöntemiyle çözülebilir; sonra üçüncü derece denkleminin çözümü, bir küpkök alarak tekrar kurulabilir. Bu tamı tamına Cardano formülü yapısındadır. Dördüncü derece için yardımcı denklem daha basittir; bir üçüncü derece denklemi. Bu "çözücü üçüncü derece denklemi" Cardano yöntemiyle çözülebilir; sonra dördüncü derece denkleminin çözümü, bir dördüncü kök alarak tekrar kurulabilir; yani, tekrarlanan karekökle. Bu ise tam olarak Ferrari formülünün yapısıdır.

Lagrange'm yükselen heyecanını gözümüzde canlandırabiliriz. Model sürdürülürse, beşinci derece denklemi bir "çözücü dördüncü derece denklemi"ne sahip olur: Bunu Ferrari'nin yöntemiyle çözersin ve sonra bir beşinci kök alırsın. Ve süreç, altıncı derecenin bir çözücü beşinci dereceye sahip olmasıyla devam edebilir; bu da Lagrange yöntemi olarak bilinebilecek yöntemle çözülür. Böylece Lagrange her dereceden denklemi çözmeyi başarabilirdi.

Acı gerçek onu hayal âleminden uyandırmıştı. Beşinci derecenin çözücü denklemi dördüncü derece değil, tersine daha yüksek dereceden bir denklem, bir altıncı derece denklemiydi. Üçüncü ve dördüncü derece denklemlerini basitleştirmiş olan yöntem, beşinci dereceyi karmaşıklaştırmıştı.

Zor problemlerin yerine daha da zor olanları koymakla matematik gelişme kaydetmez. Lagrange'm birleştirilmiş yöntemi beşinci derecede başarısızlığa uğramıştı. Yine de, beşinci derecenin çözülemez olduğunu kanıtlamış sayılmazdı, çünkü başka yöntemler var olabilirdi.

Niçin olmasın?

Bu, Lagrange'a göre, yanıtı beklenmeyen, sırf lafa dönük bir soruydu. Fakat Lagrange'm ardıllarından biri bu soruyu ciddiye almış ve onu yanıtlamıştı.

Onun adı Paolo Ruffini'ydi ve Lagrange'm "lafa dönük" dediği soruyu o "yanıtlamıştı" dediğimde, sizi biraz kandırmış oluyorum. Ruffini onu yanıtladığını düşünmüştü ve çağdaşlan onun yanıtında hiçbir zaman yanlış bir şey bulamamışlardı; kısmen, çünkü onun çalışmasını gerçekten sınayacak kadar ciddiye almamışlardı. Ruffini beşinci derece denkleminin köklülerle çözülebileceğini kanıtladığına inanarak geçirmişti hayatını. Ancak ölümünden sonra, kanıtının önemli bir noksana sahip olduğu anlaşılmıştı. Onun çok sayıda girift hesaplama sayfalan arasında bu noksan kolayca gözden kaçardı; yaptığı "açık" bir varsayım vardı ki bu varsayımı yaptığının farkına bile varılmazdı.

Her profesyonel matematikçinin acı deneyimlerden bileceği gibi, açıkça belirtilmemiş bir varsayım yaptığınızın farkına varmak, tam da onun açık olmaması dolayısıyla zordur.

Ruffini 1765'te bir doktorun oğlu olarak dünyaya gelmişti. 1783'te Modena Üniversitesine, tıp, felsefe, edebiyat ve matematik okumak üzere kaydolmuştu. Luigi Fantini'den geometri, Paolo Cassiani'den diferansiyel ve integral hesap öğrenmişti. Cassiani, onların geniş arazilerini yönetmek üzere Este Ailesine bir göreve gidince, Ruffini henüz öğrenci olduğu halde, Cassiani'nin analiz dersi görevini yüklenmişti. 1788'de felsefe, tıp ve cerrahide derece almış, 1789'da bunlara bir de matematik derecesi eklenmişti. Kısa bir süre sonra, görme duyusu zayıflayan Fantini'nin profesörlük kadrosunu devralmıştı.

Olaylar onun akademik çalışmalarına engel olmuştu. Napoleon Bonapart Avusturya ve Sardinya Adasının ordularını 1796'da yenmiş, bakışlarını Turin'e döndürmüş ve Milano'yu ele geçirmişti. Kısa süre sonra da Modena'yı işgal etmişti. Ruffini politikaya girmek zorunda kalmıştı. 1798'de üniversiteye geri dönmeyi planlamış, fakat dini gerekçelerle cumhuriyete bağlılık yemini etmeyi reddetmişti. Sonuçta işsiz kalması, araştırmalarını yürütmek için ona bol zaman bırakmış ve beşinci derece denklemiyle ilgili tartışmalı soruya odaklanmıştı.

Ruffini, hiç kimsenin niçin bir çözüm bulmayı beceremediğine dair iyi bir nedenin var olduğuna kendisini inandırmıştı: Aslında hiç çözüm yoktu, özellikle, genel beşinci dereceyi çözebilecek köklerden çok daha anlaşılması zor bir şeyler içeren bir formül yoktu. 1799'da basılan iki ciltlik büyük kitabı Denklemlerin Genel Kuramı'nda bunu kanıtlamayı başardığını şunlan söyleyerek iddia ediyordu: "Dörtten büyük dereceli genel denklemlerin cebirsel çözümü, her zaman olanaksızdır. îşte, inandığım çok önemli bir teoremi ileri sürebilirim (eğer yanılmıyorsam): Bu cildi yazmamın asıl nedeni, onun ispatını sunmaktır, ölümsüz Lagrange, ulvi düşünceleriyle, kanıtımın temelini sağlamıştı."

îspat, büyük ölçüde iyi bilinmeyen matematikle dolu 500 sayfadan çok yer işgal etmekteydi. Başka matematikçiler bir bakıma onu epeyce ürkütücü bulmuşlardı. Bugün bile, böyle yapmak için çok iyi bir nedeni olmadıkça, hiç kimse bu denli

UMUl) v« l.nknlk bir ispat boyunca bata çıka ilerlemeye hevesli tltığlldir. Ruffini beşinci derece denklemi için bir çözüm duyurusu yaptıysa, meslektaşları elbette bunun için çaba hurcarlardı. Fakat negatif bir sonuca yüzlerce saat ayırma konusunda onların isteksizliğini anlayabilirsiniz sanırım.

özellikle bu çözüm yanlış olabilecekse. 500 sayfalık matematik kitabının 499'uncu sayfasında bir hata bulmaktan daha çok can sıkıcı az şey vardır.

Ruffini 1801'de Lagrange'a bir kopya göndermişti, birkaç haftalık sessizlikten sonra, bir notla birlikte bir kopya daha göndermişti: "Herhangi bir ispatta hata yapmışsam ya da yeni olduğuna inandığım bir şey söylemişsem ve o gerçekte yeni değilse, nihayet yararsız bir kitap yazmışsam, onu bana samimi olarak işaret etmeniz için size yalvarıyorum." Hâlâ yanıt yoktu. 1802'de yine denemişti. Ama çıt çıkmamıştı.

Yıllar geçmiş, fakat Ruffini'nin arayıp durduğu hakkı kabul ve teslim edilmemişti. Bunun yerine, kuşkulu söylentiler dolaşmakta, "ispatında hataların olduğu ima edilmekte, fakat hiç kimse bu hataların neler olabileceğini söylemediği için, Ruffini kendini savunamamaktaydı. En sonunda, kuşkusuz doğru bir şekilde, ispatının aşırı karmaşık olduğuna karar vererek daha basit bir. şey bulmaya girişmişti. Bunu 1803'te gerçekleştirmiş ve şöyle yazmıştı: "Bu inceleme yazısında, aynı öneriyi, sanırım, daha az çapraşık bir akıl yürütmeyle ve tam bir özenle kanıtlamaya çalışacağım." Yeni ispat hiç de daha iyi olmamıştı. Dünya Ruffini'nin görüşlerine ya da 1808’de ve 1813'te yayımladığı daha ileri ispatlara hazır değildi. O, çalışmasının matematik camiası tarafından benimsenmesi için çabalarını asla durdurmamıştı. Uranüs gezegeninin konumunu saptayan Jean Delambre matematiğin 1789'a kadarki durumu üzerine bir rapor yazdığında, "Ruffini, beşinci derece denklemini çözmenin olanaksızlığını kanıtlamayı öneriyor" gibi bir cümle de eklemişti. Ruffini anında "sadece kanıtlamayı önermedim, aslında onu kanıtladım da" diye yanıtlamıştı.

Dürüst olmak gerekirse, birkaç matematikçi Ruffini'nin ispatından hoşnuttu. Cauchy bunların arasındaydı; ama

kendi hakkı olmadığı sürece, hak vermek için henüz oldukça zayıf bir geçmişe sahipti. 1821 'de Ruffini'ye şunları yazmıştı: "Denklemlerin genel çözümü üzerine olan inceleme yazınız, bana göre matematikçilerin dikkatine değecek bir çalışmadır ve fikrimce, dördüncü dereceden daha yüksek dereceli denklemleri cebirsel olarak çözmenin mümkün olmadığını tam olarak kanıtlamaktadır." Fakat o zamanda bu övgü artık çok geçti.

1800'lerde Ruffini kentin askeri okulunda uygulamalı matematik öğretmeye başlamıştı. Toplumda en fakirinden en zengin hastalara bakan pratik tıbba devam etmişti. 1814'te, Napoleon'un düşüşünden sonra, Modena Üniversitesinin rektörü olmuştu. Politik durumlar hâlâ aşırı karışıktı ve kişisel becerilerine, sahip olduğu büyük saygıya ve dürüstlük hususundaki ününe karşın, rektör olduğu zamanlar çok zor geçmişti.

Aynı anda, Ruffini Modena Üniversitesinde uygulamalı matematik, pratik tıp ve klinik tıp kürsülerini de yönetiyordu. 1817'de tifüs salgını vardı; Ruffini kendisi de hasta oluncaya kadar hastalarını tedavi etmeyi sürdürmüştü. Yaşamıştı yaşamasına, ama hiçbir zaman sağlığına tam olarak kavuşamamıştı. 1820'de tifüs hakkında hem doktor hem de hasta olarak kendi deneyimlerine dayanan bir bilimsel makale yayımlamıştı. Gauchy'nin beşinci derece denklemi üzerine olan çalışmasına methiyeler düzmesinden sadece bir yıl sonra, 1822'de ölmüştü Ruffini.

Ruffini'nin çalışmasının pek olumlu tepkiler almamasının bir nedeni, onun özgünlüğü olmuş olabilirdi. Lagrange gibi, o da araştırmalarını "permütasyon" kavramı üzerine dayandırmıştı. Permütasyon, bir sıralı listeyi yeniden sıralama yoludur. En iyi bilinen örnek, bir paket oyun kartının karılmasıdır. Burada olağan amaç bir rastgele -yani, önceden kestirilemeyen- sıralamaya erişmektir. Bir paket oyun kartının farklı permütasyon sayısı devasadır; böylece rastgele karıştırmanın sonucunu kestirme şansı göz ardı edilebilir.

Partnülaayonlar denklemler kuramında ortaya çıkar, çünkü verilen bir çokterimlinin kökleri bir liste olarak düşünülebilir. Denklemlerin bazı çok temel nitelikleri doğrudan bu listeyi karıştırmanın etkisine bağlıdır, önsezi, denklemin, köklerini listelediğiniz sıralamayı "bilmediği" yolundadır; dolayısıyla köklerin yeniden sıralanması hiçbir önemli fark yaratmamalıdır. Özellikle, denklemin katsayıları köklere göre tümüyle simetrik ifadeler olmalıdır; kökler yeniden sıralandığında, ifadeler değişmez.

Fakat Lagrange'm değerlendirdiği kadarıyla, kökler cinsinden olan bazı ifadeler bazı permütasyonlara göre simetrik olabilir, fakat bazılarına göre değildir. Bu "kısmen simetrik" ifadeler, denklemi çözecek her formülle yakından ilişkilidir. Permütasyonlann bu niteliğini Ruffini'nin emsalleri bilirdi. Çok daha az bilinen, Lagrange'm fikirlerinden bir diğerini Ruffini'nin sistemli bir biçimde kullanmasıydı: bir başka permütasyon elde etmek için, iki permütasyonu sırayla uygulayarak "çarpabilirsiniz.

a, b, c gibi üç sembol düşünün. Bunlardan altı permü-tasyon kurabilirsiniz: abc, acb, bac, bca, cab ve cba. Onlardan birini alınız, diyelim ki cba'yı. îlk bakışta, bu sadece üç sembolden oluşturulmuş bir sıralı listedir. Fakat onu, özgün abc listesini yeniden sıralama için bir kural olarak da düşünebilirsiniz. Bu durumda, kural "sırayı tersine çevirme"dir. Bu kuralı sadece bu listeye değil, her listeye uygulayabiliriz. Onu bca'ya uygularsanız, ach'yi elde edersiniz. Böylece cba x bca = acb anlamlı bir sonuç olur.

öykümüzde can alıcı olan bu fikir, bazı diyagramlar çizersek herhalde daha çok anlam kazanır. İşte size abc'yi cba ve bca'ya düzenleyen permütasyonlar için iki diyagram:

a, b, c sembollerinin iki permütasyonu.

Bu iki düzenlemeyi, resimleri üst üste istifleyerek, bir düzenleme içine birleştirebiliriz. Bunu yapmanın iki yolu vardır:

Permütasyonlann çarpılması. Sonuç hangisinin önce geldiğine bağlıdır.

İki permütasyonun "çarpımının" sonucunu, dipteki sırayı yazarak, ki burada acb'dir (soldaki resim) okuyabiliriz. "Çarpma"nm bu tanımıyla (sayıların çarpımında bildiğimiz kavram değil), cba x bca - acb ifadesini anlamlandırabiliriz. Anlaşma şudur: Çarpımdaki ilk permütasyon yığının dibine geçer. Bu önemlidir, çünkü yığının iki katmanını değiştirirsek, farklı bir yanıt elde ederiz. Sağdaki resmin gösterdiği gibi, permütasyonlar ters sırada çarpılırsa, sonuç bca x cba = bac olur.

Ruffini'nin olanaksızlık ispatının esası, çözümleri köklülerle ifade edilebilen her beşinci derece denkleminin sağlaması gereken koşullan geliştirmekti. Eğer genel beşinci derece denklemi bu koşullan sağlamıyorsa, o zaman o türden köke sahip olmaz. Dolayısıyla üçüncü ve dördüncü dereceden denklemler için çalışan yöntemlerin hiçbir doğal uzatımıyla beşinci derece çözülemez.

Lagrange'm kitabından örnek alarak, Ruffini köklerin simetrik fonksiyonları ve onlann pennütasyonlarla olan iliş-

Mil •■•»İM yAnnlmlytl. Itaylncl derece denkleminin beş kökü verMır w hu, NHltlhol 120 pormütasyona sahiptir. Ruffini bu ^wrmiH«Ny<ııılnı MİHteminin, beşinci derece denkleminin çö-NUIIIl«l l İçin lınrhungi bir varsayımsal formülden devralman belli li ynpısal özelliklere sahip olduğunun farkına varmıştı. Hu özellikler yoksa, böyle bir formül var olamazdı. Bu, çamurlu bir ormanda bir kaplan avlamaya benziyordu biraz. Eğer gerçekten bir kaplan vardıysa, çamurda açık pençe izleri bırakırdı. Pençe izleri yoksa, kaplan da yoktur.

Ruffini bu yeni çarpım yapısının matematiksel düzenliliklerini kullanarak -en azından, kendisini tatmin için- eğer denklem köklerle çözülebilirse, bu 120 permütasyonun çar-pımsal yapısının var olması gereken simetrik fonksiyonlarla bağdaşmadığını kanıtlayabilirdi. Ve o gerçekten önemli olan bir şey başarmıştı. Ruffini beşinci derece denklemi üzerinde çalışmaya başlamadan önce, neredeyse dünyadaki her matematikçi bu denklemin çözülebileceğine inanmaktaydı; tek soru nasıl çözüleceğiydi. Tek istisna Gauss'tu; o çözümün var olmadığını düşündüğünü çıtlatmıştı; fakat ayrıca bunun çok ilginç bir soru olmadığını, bir keresinde içgüdülerinin onu hüsrana uğrattığını da belirtmişti.

Ruffini'nin ardından beşinci derecenin köklülerle çözülemeyeceği yönünde bir kanı oluşmuş gibiydi. Çok az kişi Ruffini'nin onu kanıtladığını düşünmekteydi; fakat onun çalışması kesinlikle pek çok kişide kuşkudan ziyade köklülerin işe uygun olduğu hissini uyandırmıştı. Bu algılama değişikliğinin yersiz bir yan etkisi olmuş, matematikçilerin tüm konuyla ilgileri iyice azalmıştı.

Ne gariptir ki daha sonra Ruffini'nin çalışmasının büyük bir açığa sahip olduğu ortaya çıkmış, fakat o zaman bunu hiç kimse görmemişti. Çağdaşlarının kuşkuculuğu, bir bakıma haklılık kazanmıştı. Fakat gerçek yenilik, yöntemdi: Ruffini doğru stratejiyi bulmuş; sadece tam doğru taktiği kullanmamıştı. Bir stratejiste gereken ders, ufak taktik ayrıntıları da önemsemesidir. Şimdi bir yöntem vardı.

Yıllarca Tanrı'nın işlerini yakınmaksızın yaptıktan sonra, Norveç dağlarının en fakir ve en uzak bölgelerinden birinde, 17841e Hans Mathias Abel bir papaz olarak hak ettiği ödülü almıştı. Norveç'in güney sahiline yakın, Oslo Fiyordundan uzak olmayan Gjerstad'a atanmıştı. Gjerstad tam anlamıyla varsıl bir kent değildi, ama daha önce vaizlik yaptığı yerlerden daha zengindi. Ailenin mali durumu çarpıcı biçimde iyileşecekti.

Ruhsal olarak, Papaz Abel'in işi hep aynıydı: "Sürü"süyle ilgilenmek ve onları mutlu ve erdemli tutmak için elinden geleni yapmaktı. Varlıklı bir aileden geliyordu. DanimarkalI olan büyük büyükbabası Norveç ordusuna mal temin ederek kârlı ticaret yapmış bir tüccardı. Ailesindeki diğer bir tüccar olan babası, Bergen Kasabasında belediye meclisi üyesiydi. Hans gururlu, fakat gösterişsizdi; özel olarak zeki değildi, ama aptallıktan da uzaktı; neye mal olursa olsun, aklindakini söylemeye hazırdı.

Kasabanın fakirlerini beslemeye yardımı olur diye, çiftliğinde yeni tür bitkiler yetiştirirdi: keten bezi yapmak için keten bitkisi ve her şeyden önemlisi, yeni tür bir kök sebzesi, yer elması, namı diğer patates. Şiir yazardı, bölgenin tarihi için bilgi toplayarak oyalanır ve karısı Elisabeth'le uyum içinde yaşardı. Evi yiyecek kalitesi bakımından ünlüydü. Norveç'te içki içmek bir sosyal sorundu ve bizim papaz cemaatine örnek olmayı aklına koymuştu; bir keresinde, kasabalılara içkili olmanın ne denli alçaltım bir şey olduğunu göstermek için, kiliseye zil zurna sarhoş gelmişti. îki çocuğu vardı, o zamanlar için aşırı derecede küçük bir aile: bir kız evlat, Margaretha ve bir oğlan, Soren.

Margaretha sıradandı, hiç evlenmemişti ve hayatının çoğunu evdekilerle geçirmişti. Soren hepten farklıydı: hızlı, zeki ve özgün; yüksek sosyete için bir tadımlık. Babasının sakinliği ve görev anlayışı onda yoktu ve bunun cezasını çekmişti. Yine de, babasının mesleğini seçmiş; önce vaiz, sonra papaz olmuştu. Bir aile dostlarının kızı Anne Marie Simonsen'le evlenmiş ve güneybatı sahilindeki Finnoy'da bir makamı kabul etmişti. "Buradaki halkın batıl inançları var-

dır, fakat İncil bilgisiyle doludurlar" diye yazmıştı. "Dini otoriteyi yanlış anladıklarından, her hatalı görüşü desteklerler." Bununla birlikte, işinden hoşlanıyordu.

1801'de, Soren bir arkadaşına "aile içi neşem son sıralarda iyice arttı, çünkü Noel'in üçüncü günü karım bana sağlıklı bir oğul sundu" diye yazmıştı. Bu Hans Mathias'tı. Bir diğer kardeş Niels Henrik, 1802 yazında doğmuştu. Daha ilk günden Niels hastalık çekmiş ve annesi ona bakmak için çok zaman sarf etmek zorunda kalmıştı.

Avrupa'da askeri gerilimler yükselmekteydi ve birleşik Norveç-Danimarka devleti, İngiltere ile Fransa arasında sıkışıp kalmıştı. Napoleon kendi amacı için bu devletle birleşmek istiyordu, böylece Britanya İsveç'le bir anlaşmaya vardığında, Norveç-Danimarka anında îngilizlerin düşmanı haline gelmiş ve istila edilmişti. Üç gün sonra, Norveç-Dani-marka Kopenhag'ı yıkımdan kurtarmak için teslim olmuştu. Daha sonra, Napoleon'un güç kontrolü zayıfladığında, yardımcısı Jean Baptiste Bernadotte İsveç kralı olmuştu. Norveç İsveç'e bırakıldığında, Norveç parlamentosu, Storting, Bemadotte'u kral olarak kabul etmeye zorlanmıştı.

İki oğlan 1815'te Oslo'daki Katedral Okuluna gönderilmişti. Matematik öğretmeni, Peter Bader, öğrencilerini ciddi fiziksel şiddetle heveslendirmeye kalkışan türden biriydi. Bununla birlikte, iki oğlanın da durumu iyiydi. Derken 1818'de, Bader öğrencilerinin birini -Storting'deki temsilcilerden birinin oğlu- öyle dövmüştü ki çocuk ölmüştü. Şaşırtıcı bir şekilde, Bader yargılanmamış, fakat matematik öğretmeni olarak Bemt Holmboe'yle yer değiştirmişti. Holmboe, uygulamalı matematik profesörü Christoffer Hansteen'e asistan olmuştu. Bu, Niels'in matematik kariyerinde bir dönüm noktasıydı, çünkü Holmboe öğrencilerinin olağan ders programının dışında ilginç problemleri ele almalarına izin verirdi. Niels'in klasik ders kitaplarını ödünç almasına olanak sağlanmıştı, onların arasında Euler'inki de vardı. Daha sonra, "O andan itibaren," diye yazmıştı Holmboe, "[Niels] Abel en

tutkulu istekle kendisini matematiğe adadı ve biliminde bir dâhiye özgü hızla ilerledi."

Okulu bitirmeden kısa bir süre önce, Niels beşinci derece denklemini çözdüğüne kendisini inandırmıştı. Ne Holmboe ne de Hansteen bir hata bulabilmişti; böylece Danimarka Bilimler Akademisince olası basımı için, hesaplamaları tanınmış DanimarkalI matematikçi Ferdinand Degen'e iletmişlerdi. Değen de çalışmada hatalar bulamamış, fakat bir iki incelikli kurnazlık bilen deneyimli bir kurt olarak, Niels'ten hesaplarını birkaç özel örnek üzerinde denemesini istemişti. Niels bir şeyin hatalı olduğunu çarçabuk anlamış; düş kırıklığına uğramış, fakat yanlış bir sonucu bastırarak kendisini gülünç duruma düşürmediği için yüreğine su serpilmişti.

Seren'ın ihtirası ve densizliği artık huzursuz edici sonuçlara varmıştı. İki Storting milletvekilini, onlardan birine ait bir demir fabrikasının yöneticisini haksız yere hapse attırmaktan suçlayan bir demeç vermişti. Sonradan ilgili kişinin güvenilmez olduğu ortaya çıkmış, fakat Soren özür dilemeyi reddetmişti. Bunalım içinde ve mutsuz olarak, aşırı içkiyle kendini öldürmüştü. Cenazede, Soren'in dul eşi, Anne Marie, aşın derecede sarhoş olmuş ve çok sevdiği uşağını yatağına almıştı. Ertesi sabah, ziyarete gelen birkaç resmi görevliyi kabul etmişti; hâlâ yanı başında âşığıyla yataktaydı. Bir teyze "zavallı çocuklar, onlara acıyorum" diye yazmıştı.

Niels Katedral Okulundan 1821 'de mezun olmuş ve Chris-tiania (şimdiki Oslo) Üniversitesinin sınavına girmişti. Aritmetik ve geometride olası en yüksek dereceyi ve matematiğin kalan kısmında da iyi dereceler almış; diğer her dalda da korkunç başarı göstermişti. Şimdi son derece fakir olarak, ona bedava yatacak yer ve ateş için odun temin edebilecek bir bursa başvurmuştu. Ayrıca geçim giderleri için bir burs aramıştı; onun olağanüstü yeteneğini bilen bazı profesörler onun için bir burs yaratmak için para vermişlerdi. Böylece geçimi sağlanınca, Niels kendini matematiğe ve önceden yarım kalmış girişimini yerine getirmeye kararlı olarak, beşinci dereceyi çözmeye adamıştı.

İMI'In Nl»l«, oiıun bfiyinci derece çalışmasından bile üs-tâH M hMİltll Nllltı olacak olan analizin bir alanını oluşturan ftllplllt Inlagrallor üzerinde çalışmaktaydı. Fermat'nın Son *hN»r«nillll kanıtlamaya çalışmış, fakat onu ne kanıtlamış, ne (la çürülnbilnılşti; olsa olsa teoremi çürüten herhangi bir örneğin devasa sayılar içermesi gerektiğini göstermişti.

O yılın yazında bir baloya gitmiş, orada bir genç kadınla tanışmış ve ona dans etme teklifinde bulunmuştu. Birkaç başarısız girişimden sonra, kahkahalara boğulmuşlardı; ne onun ne de öbürünün nasıl dans edileceği hakkında en ufak bir fikri vardı. Hanım bir savaş komiserinin kızı olan ve evrensel olarak "Crelly" diye bilinen Christine Kemp'ti. Niels gibi onun da parası yoktu ve hayatını dikiş nakış işinden bilime kadar her şeyde özel ders vererek kazanıyordu. "Güzel değil, kızıl saçları ve çilleri var; fakat mükemmel bir kız" diye yazmıştı. Birbirlerine âşık olmuşlardı.

Bu olaylar Niels'in matematiğine bir ivme kazandırmıştı. 1823'ün sonuna doğru, beşinci dereceyi çözmenin olanaksızlığını kanıtlamıştı ve Ruffini'nin ucu ucuna kaçırmasından farklı olarak, onunkinde hiçbir noksan yoktu. Stratejisi Ruffini'nkine benziyordu, fakat taktikleri daha iyiydi. Niels, başlangıçta Ruffini'nin çalışmasını bilmiyordu. Daha sonra, kesinlikle öğrenmiş olmalı, çünkü onun noksanlığından söz ediyordu. Niels, tam olarak Ruffini'nin kanıtındaki kesin açığa tam parmak basmamış olsa bile, açığı kapatmak için gerekli olan tam da onun yöntemiydi.

Niels ile Crelly nişanlanmışlardı. Sevgilisiyle evlenmek için, Niels bir iş sahibi olmalıydı; bu da onun yeteneklerinin Avrupa'nın önde gelen matematikçileri tarafından tanınması anlamına geliyordu. Kuramını yayımlamak yeterli olmayabilirdi: Birilerine meydan okumalıydı. Bunu yapmak için de, seyahat etmeye yetecek kadar paraya ihtiyacı vardı.

Hayli çabadan sonra, Christiania Üniversitesi Niels'e Paris'e bir araştırma ziyareti için yeterli parayı vermeye razı edilmişti; Niels orada dünyanın önde gelen matematikçilerinden bazılarıyla tanışabilecekti. Gezi hazırlığında, en iyi çalışmalarının basılı kopyalarına gereksinimi olduğuna ka-

rar vermişti. Beşinci derecenin olanaksızlığı kanıtının, Fransız meslektaşlarını etkileyebileceğine inanıyordu; ne yazık ki tüm çalışmaları tanınmamış bir dergide Norveççe basılmıştı. Denklemler kuramı üzerine olan çalışmasını kişisel olarak Fransızca bastırmaya karar vermişti. Bu çalışmanın başlığı "Cebirsel denklemler üzerine bilimsel rapor; burada genel beşinci derece denklemini çözmenin olanaksızlığı kanıtlanmaktadır" dı.

Basım giderlerinden tasarruf etmek için, Niels fikirlerini temel hallerine damıtmış ve raporun basılı hali sadece altı sayfaya inmişti. Bu Ruffini'nin 500 sayfasından çok çok azdı, fakat matematikte kısalığın fikirleri çok daha belirsiz kılabileceği bazı durumlar vardır. Mantıksal ayrıntıların çoğu -ki bu alanda onlar can alıcıdırlar- atlanmış olurdu. Niels onu şu sözlerle tanıtmaktaydı: "Matematikçiler çoğunlukla cebirsel denklemleri çözmek için genel bir yöntem bulma problemiyle meşgul olmuşlar ve bunun olanaksızlığını kanıtlama girişiminde bulunmuşlardı. Kuvvetle ümit ediyorum ki matematikçiler, bu nedenle, denklemler kuramındaki bu boşluğu doldurma amacı taşıyan bu makaleyi olumlu karşılayacaklardır." Zayıf bir ümitti bu. Paris'te bazı matematikçileri ziyaretinde başarı sağlamış ve makalesine bakmaları hususunda onların rızasını aldıysa da, makaledeki akıl yürütme tarzı öyle sıkışıktı ki onlann çoğu büyük olasılıkla onu anlaşılmaz bulmuşlardı. Gauss onun kopyasını dosyalamış, fakat hiçbir zaman okumamıştı; ölümünden sonra bulunduğunda, sayfalar hâlâ kesilmemişti.

Daha sonra hatasını fark eden Abel, daha fazla ayrıntı vererek, ispatının daha uzun iki uyarlamasını hazırlamıştı. Bu kez Ruffini'yi duymuş olarak, bu uyarlamalarda, "genel denklem için cebirsel çözümün olanaksızlığının ispatına ilk girişen matematikçi Ruffini'ydi; fakat onun araştırma raporu öylesine karmaşıktır ki kanıtın doğruluğuna karar vermek güçtür. Bana öyle geliyor ki onun akıl yürütmesi her zaman doyurucu değildir," diye yazmıştı. Fakat herkes gibi, o da niçin'ini söylememişti.

Ruffini ve Abel, gerekli düşünme tarzına pek uygun olmayan o zamanın resmi matematiksel dilinde savlarını yazmamışlardı. Matematik o zamanlar çoğunlukla özel, somut fikirlerle ilgileniyordu, oysaki denklemler kuramının anahtarı daha çok genel terimler cinsinden -özel şeylerden ziyade yapılar ve süreçler hakkında- düşünmektir. Dolayısıyla, çağdaşlarının -dilin ötesine geçen nedenlerle- onların düşüncelerini kavramaları zordu. Fakat zamanın terminolojisini kullanarak bir meseleyi anlamak, modem matematikçiler için bile zordur.

Bereket versin ki, onların çözümlemesinin temel niteliklerini mimari bir benzetme kullanarak kavrayabiliriz. Ruffini'nin neredeyse-ispatını ve Abel'in tam ispatını düşünmenin bir yolu, bir kule kurmayı düşlemektir.

Bu kulenin her katta bir odası vardır, her oda bir merdivenle üsttekine bağlanır. Her oda büyük bir çuval içerir. Çuvalı açarsanız, döşeme üzerine milyonlarca cebirsel formül saçılır. îlk bakışta, bu formüllerin özel bir yapıya sahip olmadıkları ve cebir kitaplarının sayfalarından rastge-le toplandıkları görülür. Bazıları kısadır, bazılarıysa uzun; bazıları basittir, bazılarıysa aşın karmaşık. Bununla birlikte, yakın bir bakış, aile benzerliklerini açığa çıkanr. Verilen bir çuvaldaki formüller pek çok ortak özelliğe sahiptir. Üst odada bulunan çuvaldaki formüllerin farklı ortak özellikleri vardır. Kulede yukarılara tırmandıkça, çuvallardaki formüller gitgide daha karmaşık hale gelirler.

îlk kattaki, yani zemin kattaki çuval, denklemin katsayılarını alıp sonra onları toplayarak, çıkararak, çarparak ve bölerek kurabileceğiniz formüllerin tümünü içerir; defalarca, istediğiniz kadar çok. Bir kere bu katsayılara sahip olduğunuzda, bunlann "zararsız" tüm kanşımlan cebirsel formüller dünyasında neredeyse bedavaya ortaya çıkar.

Merdivenden üst kata tırmanmak için, çuvaldan bir formül almalı ve onu bir köklü oluşturmak için kullanmalısınız. O bir karekök, bir küpkök, bir beşincikök, neyse o olabilir. Fakat kökünü aldığınız formül çuvaldan gelmelidir. Onu daima bir p’yinci kök olarak alabilirsiniz; burada p asal sayıdır,

çünkü daha karmaşık kökler asal olanlardan kurulabilir ve bu basit gözlem şaşılacak derecede yararlıdır.

Hangi kökü almaya karar verirseniz verin, ikinci kata ulaştığınızda, bir ikinci çuval bulacaksınız; onun içeriği başlangıçta birinci kattaki çuvalınkiyle özdeştir. Fakat çuvalı açınız ve yeni köklünüzü içine atınız.

Formüller ürerler. Nuh'un gemisi Ağrı Dağına oturduğunda, Nuh gemi içindeki tüm yaratıklara dışarıya çıkın ve çoğalın demişti. Çuvaldaki formüller bundan daha fazlasını yapar: dışarı çıkarlar, çarpılırlar, toplanırlar, çıkarılırlar ve bölünürler. Birkaç saniyelik çılgınca etkinliklerden sonra, ikinci kattaki çuval, denklemin katsayıları ve sizin yeni köklünüzün tüm "zararsız" karışımlarıyla iyice şişer. Birinci kattaki çuvalla karşılaştırılınca, pek çok yeni formül vardır; fakat hepsi birbirlerine benzer, her biri sizin köklünüzü yeni bir bileşen olarak içerir.

Üçüncü kata çıkarken hemen hemen aynı şeyleri yaparsınız: Yeni çuvaldan yine bir formül seçersiniz -sadece bir- ve bu formülün bir (asal) kökünü alarak yeni bir köklü kurarsınız. Yeni kökünüzü merdivenden üçüncü kata taşırsınız, onu çuvala atarsınız ve formüllerin çiftleşme törenlerini gerçekleştirmelerini beklersiniz.

Ve bu böyle sürer. Her yeni kat yeni bir köklü ortaya çıkarır ve çuvalda yeni formüller görünür. Her aşamada, bu formüllerin tümü, o ana kadar ortaya çıkan köklülerin herhangi biriyle birlikte katsayılardan kurulur.

En sonunda, kulenin en üst katına ulaşırsınız. Ve araştırmanızı -özgün denklemi köklülerle çözmek- tamamlarsınız; bu denklemin çatı katındaki çuvalın içinde gizli, en az bir kökünü bulabilmeniz koşuluyla.

Akla yatkın pek çok kule vardır. Bunlar hangi formülleri seçtiğinize ve hangi köklüleri aldığınıza bağlıdır. Çoğu kötü şekilde başarısız kalır ve arzulanan kök için ipucu bulunamaz. Fakat arama mümkün olur da ardışık köklülerden bir formül kurulursa, bu durumda karşılık gelen kule gerçekten çatı katında bir köke sahip olur. Zira formül bize, ardışık köklüleri bitiştirmek suretiyle, bu kökün tam olarak nasıl

«İd* ©diteceğini söyler. Yani, bize kuleyi tam olarak nasıl ku-rncnAımızı söyler.

Üçüncü derece ile dördüncü derecenin klasik çözümlerini ve hatta ikinci derece denklemlerin Babil çözümlerini bu kuleler cinsinden yorumlayabiliriz. Üçüncü dereceyle başlarız, çünkü bu tipik olmaya yetecek kadar karmaşık, fakat anlaşılmaya yetecek kadar da basittir.

Cardano Kulesi sadece üç katlıdır.

İlk kattaki çuval katsayıları ve onların tüm karışımlarını içerir.

İkinci kata çıkan merdiven bir kareköke gerek duyar. Çok özel bir karekök, ilk çuvaldaki özel bir formülün karekökü. İkinci kattaki çuval, katsayılarla birlikte bu karekökün tüm karışımlarını kapsar.

Üçüncü kata -çatı katı- çıkan merdiven bir küpkök gerektirir. Yine özel bir küpkök. Bu, katsayıları ve alt katta bulduğunuz karekökü içeren özel bir formülün küpköküdür. Çatıdaki çuval üçüncü derece denkleminin bir kökünü kapsar mı? Evet, kapsar ve kanıt Cardano'nun formülüdür. Kulenin yükselmesi bir başarıdır.

Ferrari Kulesi daha uzundur; beş katlıdır.

İlk katta, her zaman olduğu gibi, sadece katsayılardan oluşan karışımları içeren bir çuval vardır. İkinci kata, zararsız karışımlar oluşturarak ve sonra uygun bir karekök alarak ulaşırsınız. Üçüncü kata ise zararsız karışımlar oluşturarak ve sonra uygun bir küpkök alarak çıkarsınız. Dördüncü kata da, zararsız karışımlar oluşturarak ve sonra uygun bir kare-kök alarak çıkarsınız. Nihayet, beşinci kata -çatıya- zararsız karışımlar oluşturarak ve sonra uygun bir karekök alarak tırmanırsınız.

Şimdi, çatıdaki çuval gerçekten aradığınız şeyi, dördüncü derece denkleminin bir kökünü içinde bulundurmaktadır. Ferrari'nin formülü kesinlikle böyle bir kuleyi inşa etmenin talimatlarını sağlar.

İkinci dereceyi çözen Babil Kulesi de benzetmeye uyar. Fakat onun sadece iki katlı güdük bir kule olduğu anlaşılır. İlk kattaki çuval sadece katsayıları içerir. Özenle seçilmiş bir tek karekök sizi üst kata, çatıya iletir. İkinci derece denkleminin bir kökü -aslında, onların ikisi de- o çuvalın içindedir. İkinci derece denklemini çözmek için Babil işlemi, size okulda öğretilmiş olan formül, bize böyle söyler.

Peki, beşinci derece denklemi hakkında ne diyebiliriz?

Beşinci dereceyi köklülerle çözecek bir formülün gerçekten de var olduğunu düşünelim. Onun ne olduğunu bilmiyoruz; fakat, bununla birlikte, onun hakkında çok şey çıkarabiliriz. Özel olarak, o bir kuleye karşılık gelmelidir. Bu varsayımsal kuleyi Abel Kulesi olarak adlandırayım.

Abel Kulesi yüzlerce kattan oluşabilir ve merdivenleri her türden köklüler içerebilir; 19'uncu kökler, 37'nci kökler, bilmiyoruz. Emin olarak bildiğimiz tek şey, ilk kattaki çuvalın sadece katsayıların zararsız karışımlarını kapsadığıdır. Saf bir ümitle, çatıda, bulutların üzerinde, beşinci derece denkleminin bir kökünü içeren bir çuvalın olduğunu varsayarız.

Kuleye nasıl tırmanacağımızı sorarız ve matematik bize ikinci kata çıkmak için sadece bir yol olduğunu söyler, özel bir karekök almamız gerektiğini. Yukarıya başka yol yoktur.

Ama, tam da öyle değil. Diğer her türden kökleri de alabilir ve devasa, uzun bir kule kurabiliriz. Fakat katlardan biri o düşündüğümüz özel kareköke karşılık gelmedikçe, böyle bir kule, çatısında bir köke sahip olamaz. Ve önceki katların hiçbirinin çatıya çıkmanıza yardımı olmayacaktır; onlan kurmanız zaman ve para kaybıdır. yukarı Böylece her akıllı inşaatçı o ka-yol yok rekökün peşine daha başlangıçta düşecektir.

Üçüncü katın merdivenine tırmanmak için neye gerek duyarsınız?

Beşinci derece denkleminin Üçüncü kata merdiven yoktur. çözülemezliğinin nedeni. İkinci kata ulaşabilirsiniz, fakat orada tıkanıp kalırsınız. Varsayılan kulenin üçüncü katına ulaşamıyorsanız, çatıya asla çıkamazsınız ve çuvalda bir kök bulamazsınız.

Kısacası, Abel Kulesi yoktur. Var olan tek şey, ikinci katta biten terk edilmiş bir girişimdir ya da belki de eninde sonunda tam olarak aynı tarzda, aynı nedenle biten birçok gereksiz katlı iyice özenle işlenmiş bir yapı. Ruffini’nin kanıtladığı şey, bir teknik boşluğu korumaktır. Kabaca söylersek, köklülerin zararsız karışımları çatı katında bulunmaktaysa, bu durumda köklülerin kendilerinin de orada olduklarını ka-

nıtlamayı başaramamıştı Ruffini.

Ruffini'nin ispatı ve Abel'in kuleleri açık benzerliklere sahiptir. Fakat kuleleri kullanarak, Abel Ruffini'nin taktiklerini düzeltmiş ve onun bıraktığı boşluğu doldurmuştu. Onların arasında, beşinci derecenin katsayılarından onun köklerine kuleyi tırmanan hiçbir köklünün olmadığını kanıtladılar. Mimari dilde, bu bize şunu söyler: Beşinci derece denkleminin kökü için, köklülerden daha özenli şeyler kullanmayan bir formül yoktur. Beşinci dereceyi köklülerle çözmek, tekrar

tekrar kendi omuzlarınızın üzerine çıkarak aya tırmanmak kadar olanaksızdır.

Abel, 1828 Noeli yaklaşırken, Froland'deki eski arkadaşları Catharine ve Niels Treschovv'lara misafirliğe gitmeyi ayarlamıştı. Yakınlarda yaşayan Crelly'yi ziyaret etmeyi de dört gözle beklemekteydi. Doktoru, Abel'in sağlığı açısından, gezinin iyi bir fikir olduğunu düşünmüyordu. Catharine, Christoffer Hansteen'in karısı Johanne'ye bir mektupta şunları yazmıştı: "Kasabada sadece siz olmuş olsaydınız, kalmaktan memnun olurdu. Fakat gerçekte ne kadar hasta olduğunu gizlemeye çalışmaktaydı." Abel Aralık ayının orta-lannda, kış soğuğuna karşı sıkıca giyinmiş olarak Froland'e doğru yola koyulmuştu. Yanında getirdiği bütün elbiseleri üzerine giymiş, çorapları ellerine ve kollarına geçirmiş vaziyette, 19 Aralıkta oraya varmıştı, öksürüğe ve soğuk ürpertilere karşın, Treschovv'un dört tarafı çocuklarla sanlı misafir odasında çalışmaktan mutlu bir halde matematiğine devam etmişti.

Abel hâlâ sürekli bir kadro elde etme peşindeydi. Onun Oslo'daki geçici görevi bile kuşkuluydu. Noel sonuna kadar, esas çabalannı Berlin'deki işi güvenceye alma üzerine odak-lamıştı. Arkadaşı August Crelle, perde arkasından, Eğitim Bakanlığını bir matematik enstitüsü kurma konusunda ikna etmişti ve oranın profesörlerinden biri olarak Abel'in atanması için olta atıyordu. Biri Gauss'tan ve bir diğeri Fransız Akademisinin tanınmış üyesi Adrien-Marie Legendre'dan olmak üzere, iki tavsiye mektubuyla birlikte, bilim devi Alexander von Humboldt'tan destek elde etmişti. Crelle eğitim bakanına Abel'in Berlin'de bir görev almak istediğini haber vermiş, fakat yetkililerin hızlı hareket etmeleri gerektiğini, çünkü başka yerlerde, özellikle Kopenhag'ta aranılan bir kişi olduğunu eklemişti.

Abel'in 9 Ocakta Oslo'ya gitmek üzere Froland'den ayrılma zamanı gelmişti, fakat öksürükleri ve titremeleri çok kötüleşmişti ve zamanının çoğunu odasına hapsedilmiş olarak

HNÇİrilınklnycti. Müstakbel dünürleri, Kemp ailesi, çok üzül-lllüytü. Planlanan ayrılış gününün sabahında şiddetli şekillin öltHÜrnıekte ve kan tükürmekteydi. Aile doktoru derhal tıvtı çağırılmıştı; doktor yatak istirahatı ve devamlı bakım vermişti. Crelly hemşire görevi yapmış, onun aşk muhabbeti ve çeşitli ilaçlar belirgin bir iyileşmeye yol açmıştı. Birkaç hafta içinde, Abel'in kısa sürelerle bir sandalyede oturmasına izin verilmişti, ama matematik yapmaktan alıkonulma-lıydı.

Legendre, Abel'in eliptik fonksiyonlar üzerine olan çalışmasından ne denli etkilendiğini yazmış ve bir denklemin köklülerle ne zaman çözülebileceğine karar verme problemine getirdiği çözümü bastırması için genç adamı zorlamıştı: "Bu yeni kuramının olabildiğince çabuk basılı halde görünmesini senden ısrarla rica ediyorum. Bu senin için büyük bir onur olacak ve evrensel olarak matematikte yapılmış en büyük kalıcı keşif sayılacaktır." Bazı seçkin matematikçiler, bilerek ya da bilmeden Abel'in ufuk açıcı çalışmalarının basımını geciktirmişlerse de, onun ünü gelen çeyrek yüzyıllarda hızla büyüyüp yayılmıştı.

Şubat 1829'un sonuna doğru, Abel’in doktoru onun artık asla iyileşemeyeceğini anlamış ve ümit edilebilecek en iyisi şeyin, hastalığının ormanlık bir bölgede mümkün olduğunca uzatılması olduğunu belirtmişti. Doktor Abel'in önceki öğretmeni Berat Holmboe'ye, genç adamın sağlık durumunu rapor eden bir belge yollamıştı:

.... Froland Demir Fabrikasına varışından kısa süre sonra, büyük ölçüde kan tükürmeli şiddetli bir zatürre nöbetine tutulmuş; kan tükürme kısa sürede durmuş, fakat öksürük ve aşırı halsizlik onu yatak istirahatine zorlamıştı; hâlâ bu durumda kalmalıdır; ayrıca en hafif bir sıcaklık değişimine maruz kalmasına bile yer verilmemelidir.

Daha ciddisi, göğüste batma hisli kuru öksürük, çok büyük olasılıkla onu gizli göğüs ve bronş veremine uğratır; bu da kolayca, kısmen bünyesi yüzünden, göğüs zafiyetiyle sonlanır.

Bu riskli sağlık durumu nedeniyle . . . Oslo'ya ilkbahardan önce dönebilmesi mümkün değil gibi görünüyor. O zamana kadar, ofisindeki görevlerini yerine getiremez; hastalığının sonucu, en çok istenen duruma ulaşsa bile.

Crelle hastalık haberini Berlin'de almış ve Abel'e bir makam sağlamak için çabalarını iki katına çıkarmış, Alman bakana Abel'i daha ılık bir bölgeye getirmenin iyi olacağını öğütlemiş ti.

8 Nisanda, Crelle koruduğu genç adama iyi haberi yollamıştı:

Eğitim Bakanlığı bir atama için seni Berlin'e çağırmaya karar verdi . . . Hangi makama atanacağını ve kaç para ödeneceğini sana söyleyemem, çünkü ben de bilmiyorum ... Sadece esas haberi duyman için acele etmek istedim; iyi ellerde olduğundan emin olabilirsin. Geleceğin için artık hiç endişe duymana gerek yok; sen bize aitsin ve güvendesin.

Keşke.

Abel seyahat etmek için aşırı hastaydı. Froland'de kalmalıydı; Crelly'nin bakıcılığına karşın, gitgide zayıflamış ve öksürüğü kötüleşmişti. Sadece yatak örtülerini değiştirmek için yataktan çıkıyordu. Biraz matematik yapmaya çalıştığı zaman, yazamadığını görmüştü. Geçmişi düşünmeye başlamıştı ve yoksulluğunu; fakat sonuna kadar yardıma hazır ve iyi huylu kalarak, sevdiği insanlar üzerindeki duygularını atamamıştı.

Crelly doğal olarak üzüntüsünü nişanlısından saklamanın gitgide daha zor olduğunu anlıyordu. Marie ya da Hanna başucunda Crelly'ye eşlik etmişlerdi. Abel'in kötüleşen öksürüğü onu uyutmuyordu ve aile gece boyunca ona bakmak için bir hastabakıcı tutmuştu, böylece Crelly biraz dinlenebiliyordu.

Abel, şiddetli acılarla geçen bir gecenin ardından, 6 Nisan sabahı ölmüştü. Hanna şunları yazmıştı: "5 Nisan gecesi boyunca en şiddetli acılara dayandı. Sabaha doğru çok daha

■■İtin bula Haldi ve öğleden evvel, saat ll'de, son nefesini vardL Kardayım ve nişanlısı son anında onun yanındaydı ve ölümün kollarına huzur içinde geçişini görmüşlerdi."

Doy gün sonra, Crelly, Catharine Hansteen’in kız kardeşi Henrlette Fridrichsen'e yazarak, bu üzüntülü haberi Catharlne'e söylemesini rica etmişti. "En gözde dostum, evet, sadece görev bana bunu talep ettirebilir, çünkü ablan Bayan Hansteen'e çok şey borçluyum. Ona, aşırı derecede sevdiği nazik, sadık bir oğlu kaybettiğini söylemeni rica etmek üzere, titreyen elimle bu kalemi alıyorum.

"Abel'im öldü! ... Bu dünyada her şeyimi kaybettim. Hiçbir şeyim, hiçbir şeyim kalmadı. Beni affedin, bu talihsiz daha fazla yazamayacak. Abelim'in ilişikte sunduğum bir tutam saçını kabul etmesini ondan rica edin. Ablanızı en müşfik şekilde buna hazırlamanızı istirham ederim. Sizin bahtsız C. Kempiniz."

BAHTSIZ DEVRİMCİ

Matematikçiler asla tatmin olmazlar.

Bir problem çözüldüğü anda, sadece yeni sorular ortaya çıkarır. Abel'in bazı beşinci derece denklemlerinin köklülerle çözülemeyeceğine ilişkin ispatı, onun ölümünün hemen ardından tanınmaya başlamıştı. Fakat Abel'in çalışması sadece başlangıçtı. Gerçi tüm beşinci dereceleri çözmek için daha önce yapılan bütün girişimlerin bir durma nedeni olsa da, birkaç çok zeki matematikçi bazı beşinci derecelerin köklülerle çözülebileceğini kanıtlamıştı. Sadece X5 - 2 = 0 gibi apaçık olanlar (burada x = 5^2)'tir) değil, fakat x®+15x+12 = 0 gibi şaşırtıcı olanlar da çözülebilirdi; çözüm, burada ifade etmek için, aşırı karmaşık olsa bile.

Bu bir bilmeceydi. Bazı beşinci dereceler çözülüyor ve bazıları çözülemiyorsa, bir türü diğerinden ayıran neydi?

Bu sorunun yanıtı, matematiğin ve matematiksel fiziğin seyrini değiştirmişti. Yanıt 170 yılı aşkın bir süre önce verilmiş olsa bile, hâlâ önemli yeni keşifler üretmektedir. Geçmişe bakarak, matematiğin içyapısma değin masum bir sorunun sonuçlarının ne denli uzak erişimli olduğu şaşırtıcıdır. Beşinci dereceyi çözmenin, göründüğü kadarıyla, pratik bir yaran falan yoktur. Mühendislikte ya da astronomide bir problem bir beşinci derece denklemi içerirse, gerektiği kadar çok ondalık basamağa sahip bir çözüm bulmak için sayısal yöntemler vardı. Bir beşinci derece denkleminin köklülerle çözülebilir -ya da çözülemez- oluşu, matematik dışında kimsenin ilgilenmediği nedenlerle sorulmuş soruların, yani "saf' matematiğin bir klasik örneğiydi.

Nasıl yanılmış olabilirsiniz ki.

Ab*l hullrll beşinci derece denklemlerinin köklülerle çö-aütnünn bir engel keşfetmişti. Bu engelin, en azından bazı beşinci dereceler İçin var olan böyle çözümleri gerçekten önlediğini kanıtlamıştı. Bir sonraki ileri adım -tüm öykümüzün üzerinde döndüğü eksen-, hediye atın dişlerine kesinlikle bakmış ve önemli bir problem çözüldüğünde matematikçilerin direnemeyeceği türden sorular sormuş olan birisi tarafından atılmıştı. "Evet, tüm bunlar çok hoş ... fakat neden gerçekten de başarıyla işlemektedir?"

İrdeleme epeyce olumsuz görünebilir, ama onun değeri defalarca kanıtlanmıştı. Bunun altında yatan temel felsefe, pek çok matematiksel problemin herhangi bir kimsenin çözmesi için aşırı zor oluşudur. Dolayısıyla, bir kimse tüm öncülleri çuvallatan bir şeyi çözmeyi becerdiğinde, sadece büyük çözümü göklere çıkarmak yeterli olmaz. Ya çözümü yapanın şansı yaver gitmişti (matematikçiler bu türden şansa inanmazlar) ya da özel bir neden çözümü mümkün kılmıştı. Eğer bu nedeni anlamanın mümkün olduğu kanıtlanırsa . . . niçin, bir sürü başka problem benzer yöntemlere boyun eğmeli ki.

Böylece Abel "Her beşinci derece denklemi çözülebilir mi?" özel sorusunu sonuca bağlamış ve açık bir "hayır" yanıtı elde etmiş olsa bile, daha derin bir düşünür çok daha genel bir sorunla güreşmekteydi: Hangi denklemler köklülerle çözülebilir ve hangileri çözülemez? Dürüst olmak gerekirse, Abel benzer bağlamda düşünmeye başlamıştı ve verem ona kıymasaydı, yanıtı bulmuş olabilirdi.

Matematik ve fen bilimlerinin seyrini değiştirecek kişi Evariste Galois'ydı ve onun yaşam öyküsü, matematik tarihinde en dramatik ve de en trajik öykülerden biridir. Onun muhteşem keşifleri neredeyse tamamen kaybolacaktı. Galo-is doğmasaydı ya da onun çalışması gerçekten kaybolsay-dı, eninde sonunda kuşku yok ki birisi aynı keşifleri yapmış olurdu. Birçok matematikçi aynı düşünsel bölge boyunca, büyük keşfi kıl payı kaçırarak, gezinip durmuştu. Bir başka

evrende, Galois'nın yetenek ve sezgilerine sahip birisi (belki de birkaç yıl daha veremi geçiştiren bir Niels Abel) er ya da geç aynı fikir ortamına girebilirdi. Fakat bizim evrenimizde, o Galois'ydı.

Galois 25 Ekim 1811'de, o zamanlar Paris'in varoşlarında küçük bir köy olan Bourg-la-Reine'de doğmuştu. Şimdi orası N20 ve D60 otobanlarının kavşağında, Hau-de-Seine bölgesinde bir yöre-kenttir. D60 artık Galois Caddesi adını taşımaktadır. 1792'de, Bourg-la-Reine Köyü, Bourg-l'fîgalite olarak ad değiştirmişti; çağın politik kargaşasını ve onun ideolojisini yansıtan bir ad: "Kraliçe Kenti" "Eşitlik Kenti"ne dönüşmüştü. 1812'de, köyün adı Bourg-la-Reine'e geri çevrilmişti, fakat devrim hâlâ askıdaydı.

Baba, Nicolas Gabriel Galois, bir cumhuriyetçi ve köydeki Liberal Partinin -Ğgalite kasabasında Liberte- lideriydi; partinin esas siyaseti monarşinin kaldırılmasıydı. 1814'teki uyduruk uzlaşmayla Kral XVIII. Louis tahta döndüğünde, Nico-las Gabriel kasabanın belediye başkanı olmuştu; burası onun politik eğilimlerine sahip biri için rahat bir ofis olamazdı.

Annesi, Adelaide-Marie, Demante ailesine doğmuştu. Marie'nin babası bir hukuk danışmanı, avukat yardımcısı olup, işi yasal durumlar için görüşler önermekti. Adelaide-Marie akıcı bir Latince okuyucusuydu ve klasik eğitimini oğluna intikal ettirmişti.

İlk on iki yılında Ğvariste evde kalmış, annesi tarafından eğitilmişti. On yaşındayken ona Reims Kolejinde bir yer önerilmişti; fakat annesi onun evden ayrılması için bunu aşırı erken bulmuştu. Fakat 1823 Ekiminde bir hazırlık okulu olan De Louis-le-Grand Kolejine devam etmeye başlamıştı. Evariste'in oraya varışından kısa bir süre sonra, öğrenciler okulun küçük kilisesinde ilahi söylemeyi reddetmişlerdi ve genç Galois sözde devrimcilerin kaderini ilk elden görmüştü: yüzlerce öğrenci acilen atılmıştı. Matematik için kötü bir kader: bu ders Galois'nın gözünü korkutmamıştı.

îlk iki yılında, Latincede birincilik ödülü almış, fakat sonra sıkılmıştı. Sonuçta, başarısını geliştirmesi için okul yönetimi derslerini tekrar etmesinde ısrar etmişti; kuşkusuz

bu onu dullu da sıkınıp vo her şey kötüden en kötüye gitmişti, UflloİN'yı unutulmaya götürecek tehlikeli yoldan kurtaran, IlgİNİllI korumak için yeterli zihinsel içeriğe sahip bir konu, yani matematik olmuştu. Sadece herhangi bir matematik değil: Galois dosdoğru klasiklere yönelmişti: Legendre'ın Geometrinin öğeleri'ne. Bu biraz da, Einstein'ın teknik makalelerini okuyarak işe başlayan bir modern fizik öğrencisine benziyordu. Fakat matematikte bir tür eşik etkisi, bardağı taşıran son damla, vardır. Eğer bir öğrenci ilk birkaç zorluğun üstesinden gelebilir, konunun gösterime özgü özelliklerini müzakere edebilir ve ilerleme kaydetmenin en iyi yolunun fikirleri anlamak -onları sadece ezbere öğrenmek değil- olduğunu kavrayabilirse, bu durumda çok daha çapraşık ve ilginç fikirleri öne çıkararak keyifle yoluna devam edebilir; oysa biraz alıkça bir öğrenci, ikizkenar üçgenlerin geometrisinde apışıp kalır.

Galois'nın, Legendre'ın yeni ufuklar açan çalışmasını anlamak için nasıl harıl harıl çalışması gerektiği hususu tartışmaya açıktır, fakat bu herhalde onun gözünü korkut-mamıştı. Lagrange ve Abel'in teknik makalelerini okuyarak başlamıştı; daha sonraki çalışmalarının kendi ilgi alanlarına, özellikle denklemler kuramına yoğunlaşması şaşırtıcı değildi. Galois'nın gerçekten dikkatini çeken tek şey, büyük olasılıkla denklemlerdi. Kendisini büyük matematikçilerin çalışmalarına adaması nedeniyle, onun normal okul çalışmaları zarar görmekteydi.

Galois okulda darmadağındı, onun asla kaybetmediği bir alışkanlığıydı bu. "Çalışmalarını göstermek"yerine, problemleri kafasında çözerek öğretmenlerini şaşkına çeviriyordu. Böyle yetenekli bir genç, bugün pek çok matematik öğretmeni için bir put niteliğinde olup, çoğuna sıkıntı vermektedir. Her seferinde bir gol atan yeni bir genç futbolcuya neler olacağını düşünün; düşünün ki antrenörü ondan izlediği -yoksa, golün geçersiz sayılabileceği- tüm taktik basamakları bir dizi halinde yazıya dökmesini istedi. Böyle bir dizi yoktu ki. Genç oyuncu bir açık görmüştü ve oyunu anlamış olan her kişinin oraya atılmasını bileceği yere topu atmıştı.

Genç matematikçiler de işte bu yeteneğe sahiptir.

Tutkusu Galois'yı hedefi yüksek tutmaya yöneltmişti: Çalışmalarını, Fransa'nın en saygın enstitülerinden birinde, Fransız matematikçilerinin yetişme alanı olan Ğcole Polytechnique'te sürdürmek istemişti. Fakat matematik öğretmeninin, sistemli bir tarzda çalışması, çalışmasını göstermesi ve genelde sınav yapanlara akıl yürütmelerini izleme olanağı vermesi konusundaki öğütlerine kulak asmamıştı. Feci biçimde az hazırlanmış durumda ve aşırı güven içinde, Ğvariste giriş sınavına katılmış ve başarısız olmuştu.

Yirmi yıl sonra, saygın bir derginin editörü olan Orly Ter-quem adında bir Fransız matematikçi, Galois'nın başarısızlığına bir açıklama getirmişti: "Üstün zekâlı bir aday, ikinci derecede zeki bir sınavoı karşısında kaybeder. Onlar beni anlamadığına göre ben bir barbar olmalıyım diye düşünür." îletişim becerilerinin gerekliliğinden fazlaca haberdar olan bir modern yorumcu, 'üstün zekâlı bir öğrencinin daha az yeteneklileri hesaba katması gerekir' gözlemiyle o eleştiriyi yumuşatabilir. Galois dik kafalılığından ötürü kendine yardım edememişti.

Böylece Galois, Louis-le-Grand Kolejinde kalmış, neyse ki orada şansı epeyce yaver gitmişti. Louis-Paul-Richard adında bir öğretmen genç adamın yeteneğini anlamıştı; Galois, Richard'ın gözetimindeki bir ileri matematik dersine kaydolmuştu. Richard'ın biçimlendirdiği görüşe göre, Galois öyle yetenekliydi ki Ğcole Polytechnique'e sınavsız kabul edilmeliydi. Galois sınava girmiş olsa, büyük olasılıkla, neler olabileceği konusunda Richard bir fikre sahipti. Richard'ın bu görüşünü Ğcole Polytechnique'e ifade edip etmediği hususunda bir kanıt yok. ifade ettiyse, onlar bunu hiç dikkate almamışlardı.

1829'larda, Galois ilk araştırma makalesini yayımlamıştı; sürekli kesirler üzerine yetkin, fakat yavan bir makale. Onun basılmamış çalışması çok daha tutkuluydu: Denklemler kuramına temel katkılar yapmaktaydı. Sonuçlarından bazılarını rapor haline getirmiş ve onları dergilerinde basılması için Fransız Bilimler Akademisine göndermişti. O zamanlar,

y İmdi olduğu gibi, basım için sunulan her makale ilgili alanda uzman olan bir hakeme yollanır, o hakem de çalışmanın yeniliği, değeri ve ilgisi hakkında tavsiyelerde bulunurdu. Bu makale için hakem, o zamanlarda herhalde Fransa'nın önde gelen matematikçisi olan Cauchy'ydi. Galois'nın makalesinde kapsananlara yakın alanlarda makaleler yayımlamış olması nedeniyle, Cauchy doğal bir seçimdi.

Ne yazık ki, o da aşırı derecede meşguldü. Gauchy'nin el yazması metni kaybettiği gibi yaygın bir söylenti var; bazı kaynaklar ise hoşnutsuzluk içinde onu attığını belirtmektedir. Gerçek çok daha sıradanmış gibi görünüyor. Cauchy'den Akademiye 18 Ocak 1830 tarihli bir mektup var; orada "genç Galois"nın çalışması üzerine bir rapor sunamadığı için özür diliyor, "evde rahatsızlandığını" açıklıyor ve ayrıca kendisinin bir inceleme yazısına değiniyordu.

Bu mektup bize çok şey söylüyor. îlki, Cauchy'nin Galois'nın el yazmasını atmadığı, gönderimden altı ay sonra hâlâ elinde tuttuğudur. İkincisi, Cauchy'nin onu mutlaka okuduğu ve Akademinin dikkatini çekmeye yetecek kadar önemli olduğuna karar vermiş olmasıdır.

Fakat Cauchy bir sonraki toplantıya geldiğinde, sadece kendi makalesini sunmuştu. Peki, Galois'nın el yazmasına ne olmuştu?

Fransız tarihçi B.ene Taton'un iddiasına göre, Cauchy Galois'nın fikirlerinden etkilenmişti; belki biraz da aşırı etkilenmişti. Böylece başlangıçta niyetlendiği gibi, çalışmayı Akademide okumak yerine, kuramın çok daha geniş ve muhtemelen çok daha geliştirilmiş serimini yazıp onu Matematikte Büyük Ödüle -büyük onura- yollamasını öğütlemişti. Bu iddiayı doğrulayacak yazılı kanıt yok, fakat kesinlikle biliyoruz ki Şubat 1830'da Galois Büyük ödül için tam böyle bir inceleme yazısı sunmuştu.

Bu belgede tam olarak neyin var olduğunu bilemiyoruz, fakat genel içeriği Galois'nın mevcut yazılarından çıkarılabilir. Şurası açıktır ki, eğer onun çalışmasının kapsamlı çıkarımları tam olarak değerlendirilseydi, tarih çok daha farklı olabilirdi. Bunun yerine, el yazması kayıplara karışmıştı.

1831'de, yeni-Hıristiyan sosyalist harekete mensup Sa-int-Simoncular tarafından yayımlanan The Globe dergisinde olası bir yorum çıkmıştı. The Globe'un rapor ettiği bir davada, Galois kralın hayatını açıktan açığa tehdit etmekle suçlanmakta ve şunlar ortaya atılmaktaydı: "Bu inceleme yazısı ... ödülü hak etmişti, çünkü Lagrange'm başaramadığı bazı güçlükleri çözüyordu. Cauchy bu konu hakkında yazara çok fazla övgü sunmaktaydı. Ama ne oldu? İnceleme yazısı kayboldu ve ödül genç bilgin ortak edilmeden verildi."

Burada büyük sorun, meselenin gerçeğe dayalı temeline karar vermektir. Cauchy, devrimcilerin aydın-karşıtı tutumlarından kurtulmak için ülkeden kaçmıştı, dolayısıyla makale onun dediklerine dayandırılamazdı. Bunun yerine, nedeni sanki Galois'nm kendisiymiş gibi görünüyor. Galois'nm yakın bir arkadaşı, Auguste Chevalier, onu bir Saint-Simoncu topluluğa katılmaya davet etmişti, öyle görünüyor ki Cheva-lier raportördü -Galois ayrıca o zaman ölümle yargılanmaktaydı- ve eğer öyleyse, mesele Galois'dan çıkmış olmalıydı. Ya bunu tamamen o uydurmuştu ya da Cauchy gerçekten onun çalışmasını övmüştü.

1829 yılına dönelim. Matematik alanında, Galois matematik topluluğunun çok istediği tanınmayı kendisine vermedeki gözle görünen yetersizliğinden artan oranda hayal kırıklığı duyuyordu. Bunun üstüne kişisel hayatı darmadağın olmaya başlamıştı.

Bourg-la-Reine Köyünde hiçbir şey iyi gitmiyordu. Belediye başkanı, Galois'nm babası, Nicolas, çirkin politik çekişmelere bulaşmış; bu da köy papazını öfkelendirmişti. Papaz kararlı bir şekilde Nicolas'm akrabaları hakkında kötü eleştiriler yayma ve Nicolas'ın kendi imzasını onların yerine taklit etme girişiminde bulunmaktaydı. Çaresizlik içinde, Nico-las kendini boğarak öldürmüştü.

Bu trajedi, Galois'nm fleole Polytechnique'in giriş sınavını geçmesi için son fırsatından sadece birkaç gün önce olmuştu. Sınav iyi geçmemişti. Bazı raporlarda Galois'nm

sınavı yapan kişinin yüzüne karatahta silgisini attığı notu vardır. Herhalde o bir bez parçasıydı, ağaç parçası değil; fakat öyle bile olsa, sınavı yapan kişi bundan olumlu etkilenmezdi. 1899'da, J. Bertrand, Galois'ya beklemediği bir soru sorulduğunu ve onun da sinirlerine hâkim olamadığını belirten bazı ayrıntılar bulmuştu.

Nedeni ne olursa olsun, Galois giriş sınavında başarısız olmuştu ve artık sıkıntıdaydı. Geçeceğinden tümüyle emin olduğu için -onun gerçekten burnu havada bir genç adam olduğu görülüyor- geri kalan tek seçenek Ğcole Preparatoire'ye giriş sınavına hazırlanma zahmetine girmemişti. Bugünlerde, yeni adı Ğcole Normale olan bu enstitü, Polytechnique'ten çok daha saygındır; fakat o günlerde yetersiz ikinci sınıftı. Galois sınav için gerekli konuları hızlı bir şekilde çalışmış; matematik ve fizikten parlak başarıyla geçmiş, edebiyat sınavında her şeyi eline yüzüne bulaştırmış ve yine de kabul edilmişti. 1829 sonunda hem fen hem de edebiyatta yeterlilik almıştı.

Değindiğim gibi, Şubat 1830'un sonlarında Galois Akademiye Büyük ödül için denklemler kuramı üzerine bir inceleme yazısı sunmuştu. Sekreter, Joseph Fourier, acele gözden geçirmek için yazıyı eve götürmüştü. Galois'nın kariyerini adım adım takip eden kötü talih yine ona darbeyi indirmişti: Fourier araştırma yazısını okuyamadan aniden ölmüştü. Daha kötüsü, el yazması onun kâğıtları arasında bulunamamıştı. Bununla birlikte, ödülden sorumlu diğer üç komite üyesi vardı: Legendre, Sylvestre-François Lacroix ve Louis Poinsot. Belki de onlardan biri kaybetmişti el yazmasını.

Galois buna şaşırmamış, ama gözü dönmüştü. Olup bitenin, dehanın çalışmalarını engellemek için vasat beyinlerin bir kumpası olduğuna inanmış ve hemen bir günah keçisi bulmuştu: Baskıcı Bourbon rejimi. Ve onun yıkılmasında rol almak istemişti.

Altı yıl önce, 1824'te, Kral X. Charles, XVIII. Louis'nin ardından, Fransa tahtına geçmişti, fakat halka yakın olmaktan uzaktı. Liberal muhalefet 1827 seçimlerinde iyi ve 1830'da daha da iyi iş yaparak çoğunluğu kazanmıştı. Charles hemen

zorla tahttan indirilme olasılığıyla karşı karşıya kalarak bir darbeye teşebbüs etmiş; 25 Temmuzda basın özgürlüğünü askıya alan bir bildiri yayımlamıştı. Derhal ayaklanan halkın ruh halini yanlış okumuş ve üç gün sonra tehlike atlatılmıştı: Charles'ın yerine Orleans dükü Louis-Philippe kral olmuştu.

Galois'nın katılacaklarını umduğu lıcole Polytechnique'in öğrencileri, Paris sokaklarında gösteriler yaparak, bu olaylarda önemli bir rol oynamıştı. Bu kader belirleyici süre esnasında baş monarşi-karşıtı Galois neredeydi? öğrenci arkadaşlarıyla birlikte ficole Preparatoire'nin içinde kilit altında. Müdür, Guigniault, tedbirli davranmaya karar vermişti.

Galois tarihteki yerinden yoksun bırakılmasına öyle öfkelenmişti ki Gazette des Ğcole adlı gazetede Guigniault'a acı sözlerle saldıran bir yazı yazmıştı:

M. Guigniault'nun, gazetesindeki makalelerin biri nedeniyle, dün lisede devreye soktuğu mektup bana çok abes görünmektedir. Bu adamı her şekilde teşhir etmeyi istekle karşılayacağınızı düşündüm.

îşte kırk altı öğrencinin doğrulayabileceği gerçekler.

28 Temmuz sabahında, Ecole Normale'in pek çok öğrencisi mücadeleye katılmak istediğinde, M. Guigniault onlara iki kez okulda düzeni sağlamak için polisi çağırma gücüne sahip olduğunu söylemişti. 28 Temmuzda polis oradaydı!

Aynı gün, M. Guigniault olağan gösterişiyle bize şöyle demişti: "Her iki tarafta dövüşen birçok kahraman adam var. Ben bir asker olsaydım, hangisine karar vereceğimi bilemezdim. Hangisini kurban etmeyi; özgürlüğü mü, yoksa KANUNA UYMAYI MI?"

Ertesi gün şapkasına üç renkli devasa bir kokart [cumhuriyetçilerin bir sembolü] takan da işte bu adamdı.

Editör bu mektubu altındaki yazar adını kaldırarak basmıştı. Müdür imzasız bir mektup yayımladığı için Galois'yı derhal okuldan atmıştı.

UmİoIb da cumhuriyetçilerin yetişme yeri ve orduya yardımcı bir örgüt olan Ulusal Muhafız Topçu Birliğine katılarak misillemede bulunmuştu. Bu birim 21 Aralık 1830'da, herhalde Galois da dahil, Louvre'un yakınma yerleştirilmişti. Dört eski bakan hakim karşısına çıkarılmıştı, kamuoyundaki havaysa tersti: halk adamların idam edilmelerini istiyordu; idam edilmezlerse karışıklık çıkarmaya hazırlanmışlardı. Kararın açıklanmasından hemen önce, Ulusal Muhafız Topçu Birliği geri çekilmiş ve onlann yerine Krala sadık diğer askerlerle birlikte normal Ulusal Muhafızlar yerleştirilmişti. Hapis cezası karan açıklanmış, isyan gerçekleşmemiş ve on gün sonra Louis-Philippe güvenlik riski gerekçesiyle Ulusal Muhafız Topçu Birliğini dağıtmıştı. Galois matematikçi olmanın yanı sıra, bir devrimci olmada da başan sağlayamamıştı.

Şimdi kann doyurma gibi işler politikadan daha önemli hale gelmişti: bir geçim yolu bulmalıydı. Galois kendisini bir özel matematik öğretmeni olarak ortaya koymuş ve kırk öğrenci ileri cebir kursuna başvurmuştu. Galois'nın iyi bir yazılı yorumcu olmadığını biliyoruz; öğreticiliğinin de daha iyi olmadığını tahmin etmek akla yakın geliyor. Büyük olasılıkla derslerini politik yorumlarla süslemekteydi; derslerin normal kişiler için aşın zor olduğu neredeyse kesindir. Her durumda, kayıtlar hızla azalmıştı.

Galois matematiksel kariyerinden hâlâ vazgeçmemişti. Çalışmasının bir üçüncü biçimini Denklemlerin Köklülerle Çözülebilme Koşullan Üzerine adıyla yine Akademiye yollamıştı. Cauchy Paris'ten kaçmış olduğu için, hakemler Simeon Poisson ve Lacroix'ti. îki ay geçtiği halde hiçbir yanıt verilmeyince, Galois neler olduğunu sormak için yazmış, ama yine yanıt alamamıştı.

1831 baharında, Galois daha da kararsız davranıyordu. 1804'te ilk araştırmasına başladığında büyük ölçüde Gauss'tan etkilenen bayan matematikçi Sophie Germain, 18 Nisanda Galois hakkında Guillaume Libri'ye bir mektup yazmıştı: "Onun tamamen çıldırdığını söylüyorlar; korkarım ki bu doğru." Hiçbir zaman dayanıklı bir kişi olmayan Galois artık tam bir paranoyanın sınırındaydı.

O ay yetkililer, Louvre'daki olaylar nedeniyle, Topçu Birliğinden on dokuz üyeyi tutuklamışlardı, fakat jüri adamları suçsuz bulmuştu. Topçu Birliği 9 Mayısta bir kutlama düzenlemiş, Vendanges des Bourgogne Restoranında bir ziyafet için yaklaşık iki yüz Cumhuriyetçi toplanmıştı. Onların her biri Louis-Philippe'in devrilmesini istiyordu. Yazar Ale-xandre Dumas da oradaydı ve şunu yazmıştı: "Tüm Paris’te, öğleden sonra saat beşte bahçenin üstündeki zemin katında yer alan uzun salonda bir araya gelmiş hükümete bunlardan daha muhalif iki yüz kişiyi bulmak zor olurdu." Olay gitgide daha isyancı hale gelince, Galois bir elinde bardak, diğerinde hançerle görünmüştü. Satılanlar bu tavn krala bir tehdit olarak yorumlamışlar, can-ı gönülden onaylamışlardı; toplantı caddelerde danslarla sona ermişti.

Ertesi sabah, Galois annesinin evinde tutuklanmış -ziyafette bir polis ajanının olduğu yorumu yapılmıştı- ve kralın hayatını tehditle suçlanmıştı. Bu kez bir politik algı öğrenmiş gibi gelmişti ona; çünkü duruşmada her şeyi itiraf etmişti, sade bir düzeltmeyle: Louis-Philippe'in şerefine içmeyi önerdiğini iddia etmiş ve “eğer bir vatan hainine dönüşürse" sözlerini ekleyerek elindeki kamayla el kol hareketi yapmıştı. Bu yaşamsal sözlerin gürültü içinde güme gitmiş olduğuna da hayıflanmıştı.

Galois, bununla birlikte, Louis-Philippe'in Fransız halkına ihanet edeceğini kuvvetle düşündüğünü belirtmişti. Savcının "acaba sanık, yasallığm kral tarafından bir kenara bırakıldığına mı inanıyor?" sorusuna Galois'nın yanıtı şöyle olmuştu: "O yakında bir haine dönüşecektir, eğer şimdiden dönüşmemişse." Daha da zorlayarak, yorumunda hiçbir kuşku bırakmamıştı: "Hükümetin eğilimi, Louis-Philippe'in bir gün ihanet edeceğini düşündürüyor, eğer halen ihanet etmediyse." Buna karşın, jüri onu suçsuz bulmuştu. Belki kralın ihanet ettiğini hissetmişlerdi.

15 Haziranda Galois artık özgürdü. Akademi, üç hafta sonra, onun araştırması hakkında raporunu yazmıştı. Po-isson araştırmayı "anlaşılamaz" bulmuştu. Rapor şunu diyordu:

Galois'nın ispatını anlamak için elimizden gelen çabayı gösterdik. Akıl yürütmesi yeterince açık değil; doğruluğuna kara vermemiz için yeterince geliştirilmemiş; dolayısıyla raporda onun hakkında fikir yürütemiyoruz. Yazar, bu incelemenin özel konusu olan önermenin birçok uygulamaya duyarlı bir genel kuramın parçası olduğunu söylüyor. Belki de bir kuramın farklı parçaları, karşılıklı olarak açıklığa kavuşurlar; onları birlikte kavramak, ayrı ayrı kavramaktan daha kolaydır. Bu durumda yazarın, belirli bir görüş oluşturmak üzere çalışmasının tümünü bastırmasını öneririz. Fakat şimdi Akademiye bir parça olarak gönderdiği şekliyle ona onay vermeyi öneremiyoruz.

Bu raporun en bahtsız tarafı, tamamıyla insaflı yazılmış olmasıydı. Hakemlerin işaret ettiği gibi:

[Çalışma], başlığının vadettiği kadarıyla, denklemlerin köklülerle çözülebilme koşullarını kapsamamaktadır; gerçekten de, M. Galois'nın önermesinin doğru olduğu varsayılarak, ondan asal dereceli verilen bir denklemin köklülerle çözülüp çözülemeyeceğine karar vermenin hiçbir iyi yolu türetilemez; çünkü önce bu denklemin indirgenemez olup olmadığı ve sonra köklerden herhangi biri diğer ikisinin bir rasyonel kesri olarak ifade edilip edilemeyeceği doğrulanmalıdır.

Buradaki son cümle, Galois'nın araştırmasının doruk noktası olan asal dereceli denklemlerin köklülerle çözülebi-lirliği için güzel bir ölçüte gönderme yapmaktadır. Bu testin herhangi özel bir denkleme nasıl uygulanabileceği gerçekten belirsizdir, çünkü testi uygulamadan önce kökleri bilmeniz gerekir. Fakat bir formülünüz olmadan, kökleri hangi anlamda "bilebilir''siniz ki? Tignol'ün dediği gibi, "Galois'nın kuramı beklenen şeye karşılık gelmemişti; hemen kabul edilebilir olması için çok yeniydi. "Hakemler katsayılar üzerine çözülebilirliği saptayacak türden bir koşul istemekteydiler; Galois onlara kökler üzerine bir koşul vermişti. Hakemlerin beklentisi mantıksızdı. Katsayılar üzerine dayanan basit bir

ölçüt hiçbir zaman bulunmamıştı; böyle bir ölçütün bulunması da uzak bir olasılıktı. Fakat yapılan işin öneminin sonradan anlaşılması, Galois'ya yarar sağlamazdı.

14 Temmuzdaki Bastille Gününde Galois ve arkadaşı Er-nest Duchâtelet Cumhuriyetçilerin bir gösterisinin önderleriydi. Galois dağıtılan Topçu Birliğinin üniformasını giymiş, bir çakı, birkaç tabanca ve dolu bir tüfek taşımaktaydı. O üniformayı giymek ve ayrıca silah taşımak kanunsuzdu, ikisi de Pont-Neuf'te tutuklanmış; Galois yasadışı bir üniforma giyme gibi önemsiz bir ihlalle suçlanmıştı. Duruşmayı beklemek üzere, Sainte-Pelagie'deki hapishaneye gönderilmişlerdi.

Hapishanedeyken, Duchâtelet hücresinin duvarına kralın kafasını -böyle etiketli- bir giyotinin yanında serili olarak gösteren bir resim çizmişti. Bunun herhalde onların davasına yararı olmamıştı.

Mahkemeye önce Duchâtelet çıkmıştı. Daha sonra sıra Galois'ya gelmiş; 23 Ekimde yargılanmış ve suçlu bulunmuştu; temyiz başvurusu 3 Aralıkta reddedilmişti. O arada dört aydan fazla hapiste kalmış ve ayrıca bunun üstüne altı ay daha hüküm giymişti. Bir süre matematik çalışmış; sonra 1832'deki kolera salgınında hastaneye nakledilmiş ve daha sonra şartlı olarak salıverilmişti. Özgürlüğüyle birlikte, Galois'nın karalamalarından saptanan "Stephanie D" adında gelişigüzel bir kızla ilk ve tek aşk macerasını yaşamıştı.

Bu noktadan itibaren, kısıtlı tarihsel kayıtları yorumlamak için pek çok varsayıma başvurulur. Bir süre, kimse Stephanie'nin soyadını ya da ne tür bir kişi olduğunu bil-memişti. Bu gizem, onun romantik görünümüne eklenmişti. Galois onun tam adını el yazmalarından birine kaydetmişti; fakat daha sonraki bir anda onu tamamen karalamış, okunmaz hale getirmişti. El yazmasını çok dikkatli şekilde inceleyen tarihçi Carlos Infantozzi'nin hukuki çalışması, bayanın Stephanie-Felicie Poterin du Motel olduğunu ortaya çıkarmıştı. Babası, Jean-Louis Auguste Poterin du Motel, Sieur Faultrier'de oturan bir doktordu; Galois hayatının son birkaç ayını orada geçirmişti.

lMn*L0UİN*tlln bu llivkl lıukkındaki düşüncelerini bilmi-yami) ftlİMl bu b«| paranız, işsiz, aşırı politik görüşlerle ve NNİllkN kaydıyln tnlıllkell biçimde keskin gencin, kızma ilgi Utalarmaıtlnl onaylaması pek olası görünmüyor.

NMphania'nln görüşleri hakkında da hiçbir şey bilmiyoruz; Nadece Galois'nm herhalde Stephanie'nin mektuplarından başka yerlere eğri büğrü biçimde kopyaladığı bazı cümlelerden bir şeyler çıkarılabiliyor. Bu zaman aralığını kuşatan pek çok gizem var; bu gizem, hemen ardından gelişen olaylarla can alıcı bir ilişkiye sahip. Görünürde, Galo-is reddedilmiş ve bunu büyük üzüntüyle karşılamıştı, fakat ayrıntılar saptanamıyor. Her şey Galois'nm kafasında mıydı; asla karşılık görmemiş çılgınca bir aşk mıydı? Stephanie onun yakınlaşmasını cesaretlendirmiş miydi? Sonradan bunu gözü yememiş miydi? Gerçek kişilik özellikleri muhtemelen babasını geri itmek için kıza açıkça çekici gelmiş olabilir.

Galois'ya bakılırsa, bu ilişki kesinlikle ciddiydi. Mayısta yakın arkadaşı Chevalier'ye şunu yazmıştı: "Sahip olabileceğim en büyük mutluluk kaynağını bir ay içinde tükettiğimde, kendimi nasıl teselli edebilirim?" Makalelerinin birinin arkasına Stephanie'den gelen iki mektuptan parçalar kopyala-mıştı. Biri şöyle başlıyordu: "Lütfen bu işi sona erdirelim"; bu, sona erdirilecek bir şeylerin olduğunu belli ediyor. Fakat zıt izlenimler vererek devam ediyordu mektup: "ve sakın var olmamış ve asla var olmayacak şeyleri de düşünme." Diğer mektupsa aşağıdaki cümleleri içeriyordu: "Senin öğüdünü izledim ve ... ne ... olduğunu düşünüp taşındım. Ne olursa olsun, Bayım, şundan emin olun ki daha fazlası asla olamazdı. Hatalı sayılıyorsunuz ve yakınmalarınızın temeli yok."

Acaba Galois her şeyi hayal mi etmişti ve duygulan hiç karşılık görmemiş miydi? Ya da, sonunda reddedilmek üzere, sadece başlangıçta bir biçimde cesaret almıştı. Galois sanki karşılıksız âşkın en kötü türüne tutulmuş gibi görünüyordu. Yoksa bütün mesele acaba daha çok kötü niyet miydi? Stephanie'yle aynldıktan ya da Galois bunu ayrılık olarak yorumladıktan kısa süre sonra, birisi onu düelloya davet et-

mişti. Görünürdeki neden, Galois'nın genç bir bayana yaklaşmasından bu kişinin hoşlanmamasıydı; fakat durum da gizemle örtülüdür.

Bununla ilgili standart öykü, politik ayak oyunlarından biri şeklindeydi. Eric Temple Beli ve Louis Kollros gibi yazarlara göre, Galois'nın politik karşıtları onun Bayan du Motel'le olan karşılıksız âşkını, düzmece "şeref meselesi" üzerinden düşmanlan olan Galois'yı yok etmek için mükemmel bir bahane olarak görmüşlerdi. Daha sert bir iddiaysa Galois'nın bir polis ajanının kurbanı olduğudur.

Bu kuramlar şimdi saçma görünüyor. Dumas'nın Anı-Zar'mda belirttiğine göre, Galois Pescheux D'Herbinville tarafından öldürülmüştü; bu kişi bir Cumhuriyetçi arkadaş olup, Dumas onu "ipek şeritlerle bağlanmış ipekli-kâğıt kartuşlar yapan çekici bir genç adam" olarak betimlemekteydi. Bunlar şimdi Noel günlerinden aşina olduğumuz kâğıt fişeklerin çok eski biçimleridir. D'Herbinville, hükümeti devirmeye kastetmekten suçlanıp beraat etmiş on dokuz Cumhuriyetçiden biri olarak, köylü sınıfının bir kahramanı gibiydi. Kesinlikle bir polis ajanı değildi, çünkü Marc Caussidiere polis şefi olduktan sonra 1848'de bu tür ajanların tümünün adlarını açıklamıştı.

Düelloyla ilgili polis raporunun ileri sürdüğüne göre, diğer düellocu Galois'nın devrimci arkadaşlarından biriydi ve düello tam olarak olması gerektiği gibiydi. Bu açıklama biçimi, büyük ölçüde Galois'nın konu hakkındaki kendi sözleriyle doğrulanmaktadır: "Vatanseverlere ve arkadaşlarıma yalvarırım, ülkem uğruna değil de başka bir şey için ölüyorum diye beni kınamasınlar. Kötü şöhrete sahip cilveli bir kadının kurbanı olarak ölüyorum. Hayatım utanç verici bir dövüşmede sona eriyor. Ah! Niçin böyle basit bir şey için ölüyorum, böylesine aşağılık bir şey için! Beni öldürenleri bağışlayın, onlar iyi niyetlidirler." Ya politik bir suikastın kurbanı olduğundan habersizdi ya da suikast falan yoktu.

Görünen o ki Stephanie en azından düellonun en yakın nedeniydi. Dövüşmeye gitmeden önce, masasının üzerine "Une femme" (bir kadın) gibi sözcükler içeren birkaç son ka-

ralama bırakmıştı. Fakat en büyük neden, bu öyküdeki pek çok şey gibi belirsizdir.

Matematiksel öyküyse çok daha açık ve belirgindir. 29 Mayısta, düellodan önceki gece, Galois arkadaşı Auguste Chevalier'ye bulgularının ana hatlarını yazmıştı. Chevalier en sonunda bu mektubu Revue Encyclopedique'te bastırmıştı. Mektupta, bir denklemin köklülerle çözülebilir olması için gerekli ve yeterli koşullar ifade edilip, gruplar ile çokte-rimli denklemler arasındaki bağlantı kabataslak çiziliyordu.

Galois ayrıca eliptik fonksiyonlar ve cebirsel fonksiyonların integrallenmesi hakkmdaki düşüncelerine değiniyordu ve belirlenemeyecek kadar şifreli başka şeyler. Kenar boşluğuna aceleyle yazılmış "Zamanım yok" açıklaması, başka bir efsaneye yol açmıştı: Galois düellodan önceki geceyi, matematiksel bulgularını çılgına dönmüş bir halde kaleme alarak geçirmişti. Fakat bunun hemen yanında şu ibare vardı: "(Yazarın notu)", ki bu, böyle bir resme neredeyse hiç uymuyor; üstelik, mektup, Galois'nın reddedilmiş üçüncü el yazmasına -Poisson tarafından eklenmiş bir kenar boşluğu notuyla tamamlanmış hali- açıklayıcı bir eşlik niteliğindeydi.

Düello tabancalarla yapılmıştı. Son durum inceleme raporu, 25 adımdan ateş ettiklerini, fakat gerçeğin daha bile kötü olabildiğini ifade etmekteydi. Le Precursor'un 4 Haziran 1832 sayısındaki bir makale şöyle diyordu:

Paris, 1 Haziran — Dün üzücü bir düello, yüksek ümitler vaat eden bir genç adamı pozitif bilimlerden yoksun bıraktı; fakat onun bilinen hızlı gelişimi son zamanlarda politik etkinliklerinin gölgesinde kalmıştı. Genç £variste Galois ... eski arkadaşlarından biri olan kendisi gibi genç bir adamla, kendisi gibi Halkın Dostlan Cemiyetinin bir üyesiyle dövüşüyordu ve onun da bir politik duruşmada aynı derecede hesaba katıldığı bilinmekteydi. Düellonun nedeninin sevda olduğu söylendi. Hasımlann silah seçimi tabancaydı, fakat eski arkadaşlıklanndan ötürü birbirlerine bakmaya dayanamayabilirlerdi ve kararı kör talihe bıraktılar. Her biri sabit nişangâh mesafesinde bir tabanca alarak ateş etmişti. Sadece bir tabanca patlamış-

tı. Rakibinden gelen bir mermi Galois'yı delip geçmişti;

Galois Cochin Hastanesine kaldırılmış ve orada iki saat içinde ölmüştü. Yaşı 22'ydi. Rakibi L.D. biraz daha gençti.

"L.D." Pescheux d'Herbinville'e mi göndermede bulunuyordu? Belki. O zamanın değişken hecelemesinden dolayı, D harfi kabul edilebilirdi; L bir hata olabilirdi. Makale ayrıntılarda güvenilir gibi değildi: bir kere düellonun tarihi yanlıştı, ayrıca Galois'nın öldüğü gün ve onun yaşı da. Dolayısıyla baş harf de yanlış olabilirdi.

Kozmolog ve yazar Tony Rothman daha inandırıcı bir açıklamaya sahip. Buradaki betimlemeye en iyi uyan kişi d'Herbinville değil, Pont-Neuf'te Galois'yla birlikte tutuklanan Duchâtelet'dir. Galois'nın biyografi yazarları Robert Bourgne ve Jean-Pierre Azra, Duchâtelet'nin vaftiz adını "Er-nest" olarak veriyor; fakat bu da yanlış olabilir ya da belki L yanlıştır. Rothman'dan bir alıntı yapalım: "İki eski arkadaşın aynı kıza âşık olduğu ve Rus ruletinin korkunç bir biçimiyle sonuca varmaya karar verdiği yolunda çok tutarlı ve inanılır bir resme erişiyoruz."

Bu açıklama, öyküye dehşet saçan bir dönüşle de tutarlıdır. Galois karnından vurulmuştu; neredeyse daima ölümcül bir yaradır. Düello çok kısa mesafeden olduysa, bu büyük bir sürpriz sayılmaz; 25 adımdan ise, Galois'nın lanetli bahtının sonuncu örneğidir.

Le Precursor'da. dendiği gibi, Galois iki saat sonra değil, ertesi gün 31 Mayısta Cochin Hastanesinde ölmüştü. Ölüm nedeni karın zarı iltihabıydı ve bir papazın duasını geri çevirmişti. Galois 2 Haziran 1832'de Montpamasse mezarlığında bir toplu mezar çukuruna gömülmüştü.

Chevalier'ye yazdığı mektup şu sözlerle bitmekteydi: "Ja-cobi ya da Gauss'tan görüşlerini açıkça bildirmelerini rica et, gerçeğe dair değil, bu teoremlerin önemine dair olan görüşlerini. Daha sonra, tüm bu karmakanşıklığı deşifre etmenin kendi yararına olacağını anlayacak, umarım ki, bazı kişiler çıkacaktır."

Bu arada, aslında Galois neyi başarmıştı? Sonuncu mektubunda "karmakanşıklık"la neye gönderme yapmaktaydı?

Bunların yanıtı öykümüzün göbeğini oluşturmaktadır ve bunu birkaç cümleyle ifade etmek kolay değildir. Galo-is matematiğe yeni bir bakış açısı getirmişti; onun içeriğini değiştirmiş ve soyutlamaya doğru gerekli fakat alışılmamış bir adım atmıştı. Matematik, Galois'nın ellerinde, sayıların ve şekillerin -aritmetik, geometri ve bu ikisinden geliştirilen cebir ile trigonometri gibi fikirlerin- incelenmesi olmaktan çıkmıştı. Yapı çalışması haline gelmişti. Nesneler'in incelenmesi olan şey, süreçlerin çalışılmasına dönüşmüştü.

Bu dönüşümün tüm kredisini Galois'ya vermemeliyiz. O, Lagrange, Cauchy, Ruffini ve Abel tarafından harekete geçirilmiş olan bir dalgaya binmişti. Fakat onu öylesine beceriyle sürüyordu ki onu sanki kendisine mal etmişti; o, bazen matematiksel soruları düşüncenin çok daha soyut bir bölgesine taşıyarak, onların cidden en iyi şekilde anlaşılacağını değerlendirebilecek ilk kişiydi.

Galois'nın sonuçlarının güzelliğini ve değerini genel matematiksel anlayış içine süzdürmek biraz zaman almıştı. Aslında bunların yok olmasına ramak kalmıştı. Bunlar, Napoleon'un ordusunda bir yüzbaşının oğlu olan ve Fransız Kolejinde profesörlüğe yükselen Joseph-Louis Liouville tarafından kurtarılmıştı. Liouville 1843 yazında Fransız Akademisiyle -Galois'nın üç incelemesini de kaybetmiş ya da reddetmiş olan kurum- konuşmuştu. Sözlerine şöyle başlamıştı: "Akademinin, şu duyurumla ilgileneceğini sanıyorum. Ğvariste Galois'nın makaleleri arasında, şu güzel probleme, kesin olduğu kadar derin, bir çözüm bulduğuna rastladım:... için köklüler cinsinden bir çözüm var mıdır, yok mudur?"

Liouville, talihsiz devrimcinin çoğu kez dağınık ve karmaşık elyazmaları içinde güç belâ ilerleme zahmetine kat-lanmasa ve amaçlanan şeyin sırrını çözmek için buna bolca zaman ve çaba harcamasaydı, elyazmalan pekâlâ çerçöple birlikte atılıp giderdi ve grup kuramı daha sonra herhalde aynı fikirlerle yeniden keşfedilmeyi beklerdi. Dolayısıyla matematiğin Liouville'e büyük bir borcu vardır.

Galois'nın yöntemleri giderek anlaşıldıkça, yeni ve güçlü bir matematiksel kavram ortaya çıkmıştı: grup kavramı. Matematiğin tam bir dalı, grup kuramı denen bir simetri hesabı doğmuştu ve matematiğin her köşesini istila etmişti.

Galois permütasyon gruplarıyla çalışmıştı; bir cisimler listesini yeniden düzenleme yolları. Cisimler, onun durumunda, bir cebirsel denklemin kökleriydi. En basit ilginç örnek, a, b ve c gibi üç köke sahip genel bir kübik denklemdi. Hatırlarsanız, bu sembolleri devşirip yeni sıralara sokmanın altı yolu vardır ve -Lagrange ve Duffini'yi izleyerek- herhangi iki permütasyonu onları sırayla devşirerek çarpabiliriz. Örneğin, cba x bca = acb olduğunu görmüştük. Bu şekilde sürdürerek, tüm bu altı permütasyon için bir "çarpım tablosu" kurabiliriz. Her permütasyona I = abc, R = acb, Q = bac, V = bca, U = cab ve P= cba gibi isimler vererek, ne olup bittiğini görmek kolaydır. Bu durumda çarpım tablosu şöyle görünür:

I u V p Q R

Bir kübik denklemin köklerinin altı permütasyonu için çarpım tablosu.

Burada X satırı ve Y sütunundaki kayıt XY olup, "önce Fyi yaP, sonra Ki” anlamını taşır.

Bu tablonun çok basit ve çok açık bir özelliğinin can alı-tn * aküde önemli olduğunu anlamıştı Galois. Herhangi bir parmütaayonun çarpımının kendisi de bir permütasyondur; tabloda görünen semboller sadece I, U, V, P, Q, R'dir. Bazı daha küçük permütasyon toplulukları aynı "grup özelliği"ne sahiptir: topluluktaki herhangi iki permütasyonun çarpımı, yine o topluluk içindedir. Galois böyle bir topluluğa grup adını vermişti.

Örneğin, [I, U, H topluluğu daha küçük bir tablo verir:

I U V

U V I

V I u

Üç permütasyonun bir alt-grubunun çarpım tablosu.

Ve tabloda sadece bu üç sembol görünür. Buradaki gibi, bir grup bir diğerinin parçası olduğunda, ona bir alt-grup deriz.

Diğer alt-gruplar, yani [I, P], [I, Q] ve [I, R] sadece iki permütasyon içerir. Ayrıca sadece fyı içeren bir [7] alt-grubu da vardır. Şu anda listelenmiş olan bu altı alt-grubun, üç sembolün tüm permütasyonlannın oluşturduğu grubun yegâne alt-grupları olduğu kanıtlanabilir.

Şimdi, Galois'nın dediği gibi (bu dilde olmasa da), bir kübik denklem seçip, onun simetrilerine -kökler arasındaki tüm bağıntıları koruyan permütasyonlara- bakabiliriz, örneğin, a ile b kökleri arasında a + b2 =5 gibi bir cebirsel bağıntı düşünün. R bir simetri midir? Peki, yukarıdaki tanımı kontrol edelim: R, a'yı olduğu gibi korur, b'yi c'yle değiştirir; böylece a + c2 = 5 koşulu yine de geçerli olmalıdır. Bu olmazsa, R kesinlikle bir simetri değildir. Olursa, kökler arasındaki geçerli diğer cebirsel bağıntıları kontrol edersiniz ve R tüm bu testleri geçerse, o zaman o bir simetridir.

Hangi permütasyonlann verilen bir denklemin simetrileri olduklarını kesin şekilde bulma işi, zor bir teknik alıştırmadır. Fakat hiçbir hesaplama yapmaksızın emin olabileceğimiz bir şey vardır. Verilen bir denklemin tüm simetrilerinin topluluğu, köklerin tüm permütasyonlannm oluşturduğu grubun bir alt-grubu olmalıdır.

Niçin? Varsayınız ki, örneğin, P ve H'nin ikisi de kökler arasındaki tüm cebirsel bağıntıları korumuş olsunlar. Bir bağıntı alır ve ona R'yi uygularsak, geçerli bir bağıntı elde ederiz. Sonra P'yi uygularsak, yine geçerli bir bağıntı elde ederiz. Fakat önce P'yi ve sonra P'yi uygulamak, PR'nin uygulanmasıyla aynıdır, öyleyse PR bir simetridir. Bir başka deyişle, simetrilerin topluluğu grup özelliğine sahiptir.

Bu dosdoğru gerçek, Galois'nın tüm çalışmasının temelini oluşturmaktadır. Bize şunu der: Her cebirsel denklemle ilişkili bir grup vardır; denklemin simetri grubu. Bulucusunun şerefine, buna denklemin Galois grubu denir. Bir denklemin Galois grubu, her zaman için, köklerin tüm permütas-yonlannm oluşturduğu grubun bir alt-grubudur.

Bu temel kavrayıştan doğal bir taarruz tarzı ortaya çıkar. Hangi durumlarda hangi alt-grupların meydana çıkacağını sezinlemek, özellikle, denklem köklülerle çözülebiliyorsa, o zaman denklemin Galois grubu bu gerçeği kendi yapısı içinde yansıtmalıdır. Bu durumda, herhangi bir denklem verildiğinde, hemen onun Galois grubunu halledersiniz ve istenen yapıya sahip olup olmadığını kontrol edersiniz; böylece köklülerle çözülebilir mi çözülemez mi bilirsiniz.

Artık Galois tüm problemi farklı bir görüş açısından yeni bir kalıba sokabilirdi. Merdivenli ve çuvallı bir kule kurma yerine, bir ağaç büyütürdü.

Abel'in Cardano Kulesinden söz etmesine bakarak, Galo-is ona bir ağaç dememişti; fakat Galois'nın düşüncesini biz bir merkezi gövdeden tekrar tekrar dallar çıkaran bir süreç olarak resimleyebiliriz. Gövde, denklemin Galois grubudur; dallar, dalcıklar ve yapraklarsa çeşitli alt-gruplardır.

Köklüleri almaya başladığımızda, denklemlerin simetrilerinin nasıl değiştiğini düşünmeye başlar başlamaz, doğal olarak alt-gruplar ortaya çıkar. Grup nasıl değişir? Galois göstermişti ki bir p'yinci kökü oluşturduğumuzda, simetri grubu tümü aynı boyutta p farklı bloğa ayrılmalıdır. (Burada, Abel'in işaret ettiği gibi, p'nin daima asal olduğunu varsayabiliriz.) Böylece, örneğin, 15 permütasyonlu bir grup 3'ün beş grubuna ya da 5'in üç grubuna ayrılabilirdi, önemli biçimde, bloklar bazı çok kesin koşullar sağlamalıdır, onlardan biri "p indisli normal bir alt-grup" olarak bilinen kendi çapında özel türden bir alt-grup oluşturmalıdır. Ağaç gövdesinin, biri normal alt-gruba karşılık gelmek üzere, daha küçük dallara ayrılacağını düşünebiliriz.

Üç sembolün tüm altı permütasyonunun oluşturduğu grubun normal al t^grupları, tüm [7, UtVfP,Qf R] grubu, [If U, V\ alt-gnıbu -ki bunların tablolarını biraz önce görmüştük- ve bir permütasyonlu [Z] alt-grubudur. İki permütasyonu içeren diğer üç alt-grup normal değildir.

örneğin, genel beşinci derece denklemini çözmek istediğimizi varsayalım. Beş kök vardır, öyleyse permütasyonlar beş sembol içerirler. Kesin olarak böyle 120 permütasyon söz konusudur. Denklemin kökleri, tam simetrik olmak üzere, bunların 120'sini de içeren bir gruptur. Bu grup ağacın gövdesidir. Her kök, tümden asimetrik olmak üzere, sadece bir tek permütasyon -apaçık biri- içeren bir gruba sahiptir. Böylece ağacın .120 dalı vardır. Amacımız gövdeyi dallar ve dalcıklarla yapraklara birleştirmektir, öyle ki bunun yapısı, köklülerle ifade ettiğimizi varsaydığımız köklerle ilgili bir formülün kırıntıları üzerinde çalışmaya başlarsak, ortaya çıkan çeşitli niceliklerin simetri özelliklerini yansıtsın.

Sırf tartışma olsun diye, formüldeki ilk adımın bir beşinci kök eklemek olduğunu varsayalım. Bu durumda 120 permütasyonlu grup, her biri 24 permütasyon içeren beş parçaya ayrılmalıdır. Teknik olarak, bu dallanma, 5 indisli bir normal alt-gruba karşılık gelmelidir.

Bununla birlikte, Galois sadece permütasyonlarla hesap yaparak, böyle bir alt-grubun var olmadığını kanıtlayabil-

inişti. Pekâlâ, belki çözüm, diyelim ki, bir yedinci kökle başlar. O zaman 120 permütasyon eşit boyutlu yedi bloka ayrılmalıdır; fakat ayrılamaz, çünkü 120 yediye bölünemez. Demek ki yedinci kökler yoktur. Aslında, 2, 3 ve 5 dışında asal kökler yoktur; çünkü 120'nin asal çarpanları bunlardır. Ve biraz önce de 5'i dışarlamıştık.

Bu durumda, bir küpkökle mi başlamalıyız? Ne yazık ki hayır: 120 permütasyonlu grup üç indisli normal alt-gruba sahip değildir.

Geriye kalan tek olanak, bir kareköktür. 120 permütas-yonlu grup 2 indisli normal alt-gruba sahip midir? Gerçekten sahiptir ve kesinlikle bir adede. Bu, 60 permütasyon içerir ve almaşık [alternating] grup adını alır. Böylece grupların Galois kuramını kullanarak, genel beşinci dereceyi çözmek için herhangi bir formüle, bizi almaşık gruba götüren bir karekökle başlamak gerektiğini saptamış olduk. Gövdenin bölündüğü ilk yer sadece iki dala yol açar. Fakat 120 per-mütasyon vardır, dolayısıyla dallar yine bölünmelidir. Dallar nasıl bölünür?

60'ın asal bölenleri de 2,3 ve 5'tir. öyleyse yeni dallarımızın her biri iki, üç ya da beş dalcığa ayrılmalıdır. Yani ya bir diğer karekök, bir küpkök ya da bir beşinci kök eklemeliyiz. Üstelik, ancak ve ancak almaşık grup 2, 3 ya da 5 indisli bir normal alt-gruba sahipse, bu yapılabilir.

Fakat o böyle bir normal alt-gruba sahip midir? Bu, sırf beş sembollü permütasyonlar hakkında bir sorudur. Böyle permütasyonları çözümleyerek, Galois almaşık grubun hiçbir normal alt-gruba sahip olmadığını (tüm grup ve triviyal alt-grup [7] dışında) kanıtlayabilmişti. Bu bir "basit" gruptur; ondan tüm grubun kurulabileceği temel bileşenlerden biri.

Her ardışık adımda bir asal sayı kadar dala ayrılma suretiyle gövdeyi yapraklara bağlayacak çok az normal alt-grup vardır. Böylece beşinci derece denklemini köklülerle çözme süreci, bir karekök eklemenin ilk adımından sonra aniden durur. Gidecek başka hiçbir yer yoktur. Gövdeden yapraklara kadar tırmanabilen ağaç yoktur ve dolayısıyla kökler için köklüler cinsinden hiç formül yoktur.

Beşinci derece denkleminin çözülemez oluşuyla ilgili Galois'nın ispatı.

6, 7, 8, 9 -5'ten büyük her sayı- dereceli denklemler için aynı düşünce işler. Bu bizi ikinci, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerinin neden çözülebilir olduğunu merak etmeye yöneltir. Niçin 2, 3 ve 4 ay-rıcalıklıdır? Aslında, grup kuramı ikinci, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerinin nasıl çözüleceklerini tam olarak söyler bize. Teknik ayrıntılar üzerinde durmayıp size sadece ağaçları göstereceğim. Onlar tam da klasik formülle

re karşılık gelirler.

Şimdi Galois'nın düşüncesinin güzelliğini görmeye başlayalım. O sadece beşinci derece denkleminin köklü çözümlere sahip olmadığını kanıtlamakla kalmaz; aynca ikinci, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerinin neden köklü çözümlere sahip olduklarını da açıklar ve bize onların kabaca nasıl göründüklerini söyler. Fazladan çalışmayla, bize onların tam olarak nasıl göründüklerini de söyler. En sonunda, çözülebilen beşinci dereceden denklemleri çözülemeyenlerden ayırt eder ve çözülebilenlerin nasıl çözüldüklerini de söyler bize.

Bir denklemin Galois grubu, o denklemin çözümleri hakkında herhalde bilmek isteyebileceğimiz her şeyi söyler. Böyle olunca, Poisson, Cauchy, Lacroix ve bütün diğer uzmanlar, Galois'nın yaptıklarını gördüklerinde, niçin sevinçle zıpla-mamışlardı?

Gruplan kullanarak, ikinci, üçüncü ve dördüncü derece denklemlerini çözmek.

Galois grubu korkunç bir gizeme sahiptir.

Gizem şudur. Bir denklemin grubunu dikkatle çalışıp halletmenin en kolay yolu, onun köklerinin özelliklerini kullanmaktır. Fakat kuşkusuz, bütün sorun genelde köklerin neler olduklarını bilmememizden kaynaklanır. Unutmayın ki denklemi çözmeye, yani köklerini bulmaya çalışıyoruz.

Bize özel bir beşinci derece denklemi, diyelim ki

/ - 6x + 3 = 0

ya da

/+15x+12 = 0

denkleminin sunulduğunu ve Galois'nın yöntemlerini kullanarak köklülerle çözülüp çözülemeyeceğinin sorulduğunu varsayın. îyi bir soru gibi görünmektedir.

Korkunç gerçek şudur ki Galois'nın emrine hazır yöntemlerle, onu yanıtlamanın yolu yoktur. En iyi ihtimalle ilgili grubun tüm 120 permütasyonu kapsadığını öne sürebiliriz ve kapsıyorsa, bu durumda denklem çözülemez. Fakat tüm 120 permütasyonun gerçekten ortaya çıktığını kesin olarak

hll«m«yİN, Hnlkl bnş kök özel bir kısıtlamaya uymaktadır. NmniI «Aylayabiliriz?

ClÜMal bir düşünce olsa da, Galois'nm kuramı ciddi sınır-Inrnulara «ahlptir. Katsayılarla değil de, köklerle iş görür. Bir başka deyişle, bilinmeyenlerle iş yapar, bilinenlerle değil.

Bugün, matematikle ilgili uygun bir internet sitesine gidebilir, denkleminizi girersiniz ve o size Galois grubunu hesaplar. Yukarıdaki ilk denklemin köklülerle çözülemez olduğunu, fakat İkincinin çözülebildiğim anlarız. Amacım bilgisayarın değil, bir insanın bu problemi çözmek için hangi adımların atılması gerektiğini keşfettiğini göstermektir. Galois'dan bu yana bu alandaki büyük ilerleme, verilen her denklemin Galois grubunun nasıl hesaplanacağına dair çözüm yolu bulmaktı.

Galois böyle tekniklere sahip değildi. Galois grubunun rutin hesaplanışının olanaklı hale gelmesinden önce bir yüzyıl daha geçecekti. Fakat bu tekniğin bulunmayışı, Cauchy ve Poisson'u zor durumdan kurtarmıştı. Onlar, tam gerekçeyle, Galois'nm düşüncelerinin, verilen bir denklemin köklüler vasıtasıyla ne zaman çözülebileceğine karar verme sorununu çözmediği konusunda sızlanabilmişlerdi.

Onların değerlendiremedikleri şey, Galois'nm yönteminin biraz farklı bir problemi çözmüş olmasıydı: Köklerin hangi özellikleri bir denklemi çözülebilir yapar? îşte bunu halletmişti Galois. Bu problem, zarif ve derin bir yanıta sahipti. Onların Galois'dan çözmesini istedikleri problem neyse, net bir yanıt beklemek için bir neden yoktur. Çözülebilir denklemlerin, katsayılarının kolayca hesaplanan özellikleri cinsinden, sınıflanmasının derli toplu bir yolu henüz yoktur.

Buraya kadar, grupların simetriler olarak yorumu biraz eğretileme biçiminde olmuştu. Şimdi onu daha gerçekçi kılma gereği duyuyoruz ve bu adım çok daha geometrik bir görüş açısı istiyor. Galois'nm ardılları, gruplar ile simetri arasındaki ilişkiyi anlamanın geometri bağlamında çok daha kolay olacağının derhal farkına varmışlardı. Aslında, bu konu çoğu zaman öğrencilere böyle sunulur.

Bu bağıntıya yönelik bir algı elde etmek için, benim gözde grubum olan bir eşkenar üçgenin simetri grubuna hızlıca bir göz atacağız. Ve sonunda çok temel bir soruya değineceğiz: Simetri, tam olarak, nedir?

Galois'dan önce, bu sorunun tüm yanıtları oldukça belirsizdi, orantı şıklığı gibi özelliklere hitap eden üstünkörü şeylerdi. Bu, onunla anlamlı matematik yapabileceğiniz bir kavram değildir. Galois'dan sonra -ve matematik dünyası onun çok özel uygulamasının ardındaki genel fikirleri sınıflarken geçen kısa dönemden sonra- basit ve net bir yanıt oluşmuştu, önce, "simetri" sözcüğü ”a simetrisi" olarak yorumlanmış olmalıdır. Cisimler tek simetriye sahip değildir; genelde onlar birçok farklı simetrilere sahiptirler.

Bir simetri, bu durumda, nedir? Bir matematiksel cismin bir simetrisi, cismim yapısını koruyan bir dönüşümdür. Bu tanımı çok geçmeden açacağım, ama gözlemlenecek ilk husus, bir simetrinin bir nesne değil de bir süreç olduğudur. Galois simetrileri permütasyonlardır (bir denklemin köklerinin permütasyonlan) ve bir permütasyon, nesnelerin yeni baştan bir düzenlenme yoludur. Bu, kesin biçimde söylersek, kendi kendine yeniden bir düzenlenme değildir; Yeniden düzenlenmeyi elde etmek için sizin uyguladığınız bir kuraldır. Yemek tabağı değil, yemeğin reçetesidir.

Bu ayırım ince eleyip sık dokuma gibi algılanabilir; fakat bu, tüm girişim için esastır.

Bir simetrinin tanımında üç ana sözcük vardır: "dönüşüm", "yapı" ve "korunum". Eşkenar üçgen örneğini kullanarak açıklayayım bunları. Böyle bir üçgen, aynı uzunlukta üç kenara ve aynı büyüklükte -yani 60°lik- üç açıya sahip olarak tanımlanır. Bu nitelikler bir kenarı diğerinden ayırt etmeyi zorlaştırır; "en uzun kenar" gibi ifadeler bize hiçbir şey söylemez. Açılar da ayırt edilemezler. Şimdi göreceğimiz gibi, bir kenarı diğerinden ya da bir açıyı öbüründen ayırt etme yetersizliği eşkenar üçgenin simetrilerinin bir sonucudur. Aslında, bu simetrileri tanımlayan işte budur.

Haydi bu üç sözcüğü sırasıyla ele alalım.

Dönüşüm: Üçgenimize bir şeyler yapmaya iznimiz var. tike olarak, pek çok şey yapabiliriz: Belli bir açı kadar döndürebiliriz, buluşturabiliriz, esnetip gerebiliriz, pembeye boyayabiliriz. Bununla birlikte, ikinci sözcükle seçimimiz epeyce kısıtlanır.

Yapı: Üçgenimizin yapısı, önemli oldukları düşünülen matematiksel özniteliklerden meydana gelmektedir. Bir üçgenin yapısı, "üç kenara sahiptir", "kenarlar düzdür", "bir kenarın uzunluğu 20 cm'dir", "bu yerleşimde bir düzlem üzerinde bulunur" ve benzeri ifadeler içerir. (Matematiğin diğer dallarında, önemli nitelikler farklı olabilir. Örneğin topolojide, önemli olan, bir üçgenin kapalı bir yol olmasıdır; üç köşesi ve kenarların düzlüğü artık önemli değildir.)

Korunum: Dönüşmüş cismin yapısı, özgün cismin yapısıyla uyum içinde olmalıdır. Dönüşmüş üçgen de üç kenara sahip olmalıdır, öyleyse buruşturma kabul edilmez; kenarlar düz kalmalıdır, demek ki eğilmeye izin yoktur. Bir kenar hâlâ 20 cm uzunluğunda olmalıdır, yani üçgenin gerilmesi yasaktır. Yerleşim aynı olmalıdır, öyleyse 25 cm yana kaydırmaya izin verilmez.

Renge yapı olarak açıkça değinilmez, demek ki üçgeni pembeye boyamak ilgi dışıdır. Tam olarak dışlanması gerekmez; geometrik amaçlar için hiçbir fark yaratmaz.

Bununla birlikte, üçgeni belli bir açı kadar döndürmek, en azından yapının bir kısmını korur. Kalın kartondan bir

eşkenar üçgen yapıp onu bir masa üzerine koyun ve sonra döndürün, hâlâ bir üçgen gibi görünür. Üç kenarı vardır, kenarlar hâlâ düzdür, kenarların uzunlukları değişmemiştir. Fakat üçgenin düzlem üzerindeki yerleşimi şimdi, döndürdüğünüz açıya bağlı olarak, farklı görünebilir.

Üçgeni doksan derece döndürürsem, sonuç farklı görü-

90°'lik bir dönme, eşkenar üçgenin bir simetrisi değildir.

nür. Kenarlar farklı yönleri gösterir. Ben üçgeni döndürürken siz gözlerinizi kapatırsanız, tekrar açtığınızda onu hareket ettirmiş olduğumu bilirsiniz.

120° lik dönme, eşkenar üçgenin bir simetrisidir.

Fakat üçgeni 120° döndürürsem, "önce" ile "sonra" arasında hiçbir fark göremezsiniz. Ne demek istediğimi göstermek için, köşeleri farklı tipte noktalarla gizlice işaretleyeceğim, böylece onun nereye hareket ettiğini görebilirsiniz. Bu noktalar sadece başvuru kolaylığı için olup korunan yapının parçası değildir. Noktaları görmezseniz, üçgen iyi davranışlı herhangi bir öklit cismi kadar niteliksizse, dönmüş üçgen özgünüyle aynı görünür.

Bir başka deyişle, 120°'lik dönme eşkenar üçgenin bir simetrisidir; yapıyı (biçim ve yerleşme) koruyan bir dönüşümdür ("dönme").

Bir eşkenar üçgenin tam olarak altı farklı simetriye sahip olduğu anlaşılır. Bir diğeri "240°'lik dönme"dir. Diğer üçü yansımalardır; onlar üçgeni öyle çevirirler ki, bir köşe sabit kalırken diğer ikisi konumlarını değiş-tokuş ederler. Altıncı simetri nedir? Hiçbir şey yapmamak. Üçgeni olduğu gibi bırakmak. Bu apaçıktır, fakat simetri tanımına uymaktadır. Aslında, hangi cismi ele alırsak alalım ya da korumak istediğimiz yapı ne olursa olsun, bu dönüşüm simetri tanımına uymaktadır. Hiçbir şey yapmazsanız, hiçbir şey de değişmez.

Bu apaçık simetriye özdeşlik adı verilir, önemsiz gibi görünebilir, fakat onu dışarıda bırakırsak, matematik tam anlamıyla karmakarışık olur. Bu, "sıfır" sayısı olmadan toplama ya da "bir" sayısı olmadan çarpma yapmaya çalışmak gibidir, özdeşliği dahil edersek, her şey net ve derli toplu olur.

Eşkenar üçgenin altı simetrisi.

Eşkenar üçgen için, özdeşliği O°lik dönme olarak düşünebilirsiniz. Eşkenar üçgenimize altı simetrinin uygulanmasının sonuçları, daha önceki sayfadadır. Bunlar, kesin olarak, kartondan yapılmış bir üçgeni alıp onu altı farklı yoldan özgün konturuyla bir düzlem üzerine sermektir. Noktalı çizgiler, gerekli yansımayı elde etmek için aynanın konacağı yerleri göstermektedir.

Şimdi sizi, simetrilerin cebirin bir parçası olduklarına inandırmak istiyorum. Dolayısıyla her cebiremin yapabileceği şeyi yapacağım: Her şeyi semboller cinsinden ifade edeceğim. Altı simetriye, yukarıdaki resme uygun olarak I,U,V,P, Qf R adlarını vereceğiz, özdeşlik fdir; diğer iki dönme U ve V; ve üç yansıma P,Qve H'dir. Bunlar, daha önce üçüncü derece denkleminin köklerinin permütasyonları için kullandığım aynı sembollerdir. Bu ikizlemenin, kısa süre içinde ortaya çıkacak bir nedeni var.

Galois, permütasyonlarının "grup özellikleri"yle çok oynamıştı. Herhangi ikisini sırayla uygularsanız, bir başkasını elde edersiniz. Bu, altı simetrimizle ne yapmamız gerektiği hakkında büyük bir ipucu sağlar. Onları çiftler halinde "çarpma"lı ve neler olduğunu görmeliyiz. Anlaşmayı hatırlayın: Xve Y iki simetri dönüşümüyse, bu durumda XY çarpımı, önce Y ve sonra X uygulandığında meydana gelendir.

örneğin UlTyu hesaplamak istediğimizi varsayın. Bu demektir ki üçgene önce [Tyu uygularız, sonra V*yi. Yani, U onu 120° döndürür ve V ise ortaya çıkan üçgeni 240° daha döndürür. VU üçgeni 120° 4- 240° = 360° döndürür.

Hay Allah, bir şeyi katmayı unuttuk!

Hayır, unutmadık. Bir üçgeni 360° döndürürseniz, her şey tam olarak başladığı duruma gelir. Grup kuramında önemli olan son sonuçtur, oraya varmak için izlenen yol değil. Simetri dilinde, iki simetri cisim üzerinde aynı son etkiye sahipse, bu iki simetrinin aynı olduğu söylenir. VU dönüşümü özdeşlik dönüşümüyle aynı etkiye sahip olduğundan, VU = I sonucuna varırız.

İkinci bir örnek olarak, UQ ne yapar? Dönüşümler şöyle etki ederler:

Simetrilerin çarpılması.

Son sonucun P olduğunu görürüz. Dolayısıyla UQ = Mir.

Altı simetrimizle 36 çarpım kurabiliriz ve hesaplamalar bir çarpım tablosunda tutulabilir. Bu tablo, üçüncü derece denkleminin köklerinin altı permütasyonu için elde ettiğimiz tabloyla tam olarak aynıdır.

Bu görünür çakışma, tüm grup kuramındaki en güçlü yöntemlerden birinin bir örneğidir. Fransız matematikçisi Camille Jordan'ın çalışmasında ortaya çıkmıştı bu; Jordan grup kuramını, sadece denklemlerin köklülerle çözümünü analiz etmek için bir yöntem olarak çıkarmamış, kanıtlanabilir olarak kendi başına bir konuya dönüştürmüştü.

1870'lerde Jordan dikkatini, şimdi "temsil kuramı" denilen alana toplamıştı. Galois'ya göre, gruplar permütasyon-lardan -sembolleri karıştırma yollarından- oluşmaktaydı.

Jordan ise çok daha karmaşık uzayları karıştırma yolları hakkında düşünmeye başlamıştı.

Matematikteki en temel uzaylar arasında çok-boyutlu uzaylar vardır ve onların en önemli özelliği düz çizgilerin varlığıdır. Böyle uzayları dönüştürmenin doğal yolu, düz çizgileri düz olarak korumaktır. Eğmeden, burmadan. Bu tür pek çok dönüşüm vardır: dönmeler, yansımalar, ölçek değişimleri. Bunlara "doğrusal" dönüşümler denir.

İngiliz avukat ve matematikçi Arthur Cayley, her doğrusal dönüşümün bir matrisle -sayıların bir karesel tablosu- iliş-kilendirilebileceğini keşfetmişti, örneğin, üç-boyutlu uzayın her doğrusal dönüşümü, gerçel sayıların 3'e 3'lü bir tablosu yazılarak belirtilebilir. Böylece dönüşümler cebirsel hesaplamalara indirgenebilir.

Temsil kuramı, doğrusal dönüşümlerden oluşmayan bir grupla başlamamıza izin verir ve onu doğrusal dönüşümlü bir grupla yer değiştirtir. Grubu bir matris grubuna çevirmenin yararı, matris cebirinin çok derin ve güçlü olmasıdır; bunu ilk gören Jordan'dı.

Eşkenar üçgenin simetrilerine Jordan'ın görüş açısından bakalım. Üçgenin köşelerindeki gölgeli noktaların yerine, genel üçüncü derecenin köklerine karşılık gelen a, b, c sembollerini yerleştireceğim. Bu durumda, üçgenin her simetrisinin bu sembolleri değiş-tokuş edeceği açık hale gelir, örneğin, U dönmesi abc’yi cab'ye gönderir.

Üçgenin altı simetrisi, doğal olarak, a, b, c köklerinin altı permütasyonuna karşılık gelir. Üstelik, iki simetrinin çarpımı, bunlara uygun düşen permütasyonların çarpımlarına karşılık gelir. Fakat düzlemdeki dönmeler ve yansımalar doğrusal dönüşümlerdir; düz çizgileri korurlar. Böylece permütasyon grubunu, doğrusal dönüşümlerin bir grubu ya da eşdeğer şekilde matrislerin bir grubu olarak tekrar yorumlamış -temsil etmiş- olduk. Bu düşünce, hem matematik hem de fizik için çok derin sonuçlara sahip olacaktı.

Eşkenar üçgenin simetrilerinin permütasyonlara karşılık gelişi.

VASAT MÜHENDİS VE AŞKIN PROFESÖR

Artık simetri hiç de düzgünlüğün biraz belirsiz bir izlenimi ya da şıklık ve güzelliğin artistik hissi değildi. O son derece akla uygun bir tanıma sahip, apaçık bir matematiksel kavramdı. Simetrilerle hesap yapabilirdiniz ve onlar hakkında teoremler kanıtlayabilirsiniz. Yeni bir konu doğmuştu: Grup kuramı. İnsanlığın simetri serüveni, bir dönüm noktasına ulaşmıştı. Bu ilerlemeye katılım ücreti, daha kavramsal düşünmeye gönüllü olmaktı. Grup kavramı, sayıların ve geometrik biçimlerin geleneksel kaba malzemelerinden çeşitli aşamaların kaldırıldığı, soyut bir kavramdı.

Gruplar, eski bilmeceyi -beşinci derecenin çözülebilir-liği— karara bağlayarak değerlerini zaten kanıtlamışlardı. Aynı fikir sınıfının başka pek çok eski problemi de ortadan kaldırdığı kısa süre içinde açığa çıkmıştı. Grup kuramına hiç bu sıfatla gerek duymadınız, fakat Abel, Galois ve onların ardılları gibi düşünmeye ihtiyacınız olmuştur. Ve grupları kullanmayı düşünmediğiniz zaman bile, onlar genelde arka alanda pusudadırlar.

Yunan geometricilerin gelecek nesillere miras olarak bıraktıkları çözülmemiş problemler arasında şu üçü dilden dile dolaşmıştı: Bir açının üç eşit parçaya bölünmesi, küpün iki misline çıkarılması ve çemberin karelenmesi problemleri. Bugün bile, üçe-bölme ve çemberi-kareleme pek çok amatörün dikkatini çeker; bu kişiler, matematikçilerin "olanaksız" sözcüğünü kullandıklarında, ciddi olduklarını pek kavrama-

mış gibi görünürler. Küpün iki misline çıkarılmasıysa, aynı albeniye sahip değilmiş gibi durur.

Bu üçlü çok kere "antik çağlardan kalma üç problem" olarak anılır, fakat bu deyiş onların önemini abartmaktadır. Bu onları, 350 yıldan daha uzun süreden beri yanıtlanmamış olan Fermat'nın Son Teoremi gibi büyük tarihsel bilmecelerle eşit düzeydeymiş gibi gösterir. Fakat bu bilmece, açık bir şekilde çözülmemiş bir problem olarak tanınmaktaydı ve matematik literatüründe ilk kez sorun yarattığı yerdeki hassas noktayı saptamak mümkündür. Tüm matematikçiler sadece problemden değil, ayrıca olası yanıttan da haberdardılar ve soruyu ilk kez kimin sorduğundan da.

Yunan problemleri bunun gibi değildir. Onları, dikkat gerektiren çözülmemiş problemler olarak Öklit'te listelenmiş halde bulamazsınız; çoğunlukla gıyaben vardırlar: Olumlu sonuçların açık uzatımlarıdırlar, fakat her nedense Öklit onlardan kaçınmıştı. Niçin? Çünkü onların nasıl çözüleceğini kimse bilmemekteydi. Onların çözüme sahip olmayabileceği acaba Yunanların aklına gelmiş midir? Gelmişse, hiç kimse çok yaygara koparmamıştı. Elbette Arşimet gibi kişiler cetvel-ve-pergel çözümlerinin var olmadığını anlamışlardı, bu nedenle Arşimet başka yöntemler geliştirmişti, fakat yine de onun kurulabilirlik konusunun özünde önemli olduğunu düşündüğüne dair hiçbir kanıt yok.

Bu daha sonraları önemli hale gelmişti. Bu problemlerin çözümlerinin olmayışı, insanlığın geometri ve cebiri anlamasında büyük boşluklara işaret etmişti; bunlar, profesyonellerce bir tür kültürel geçişme kanalıyla bilinen, "folklorik" problemler olarak gündeme gelmişti. Çözülünceye kadar, tarihsel ve matematiksel önemin gizemli ortamında tutunmuşlardı. Çözümleri, büyük dönüm noktaları olarak görülmüştü; özellikle çemberin karelenmesi. Ve üç halin üçünde de, yanıt aynıydı: "Yapılamaz." Cetvel ve pergel gibi geleneksel araçlarla yapılamaz.

Bu bir hayli olumsuz görünebilir. Toplumun çoğu kesiminde, insanlar soruların yanıtlanmasını ya da ele geçen her çeşit araçla zorlukların üstesinden gelinmesini bekler. Eğer

yüksek bir bina tuğla ve harçla kurulamıyorsa, mühendisler çelik iskelet ve betonarme kullanırlar. Tuğlaların bu işe yeterli olmadığını kanıtlayarak kimse ün kazanmaz.

Matematik tam da bunun gibi değildir. Araçların sınırlamaları, çok kere tam onların neyi başarabilecekleri kadar önemlidir. Bir matematik sorusunun önemi, çoğu kez aslında yanıta değil de, yanıtın neden doğru olduğuna bağlıdır. Antik çağlardan kalma şu üç problem için durum işte böyleydi.

Her yerde üç eşit bölümün belalısı, 1814'te Paris'te doğmuştu ve adı Pierre Laurent Wantzel'di. Babası önceleri bir askeri memurdu, daha sonra Ğcole Speciale du Commerce'te uygulamalı matematik profesörü olmuştu. Pierre zekâca erken gelişmiş biriydi; Wantzel'i tanıyan Adhemard Jean Claude Barre de Saint-Venant çocuğun "matematiğe karşı olağanüstü bir yeteneği olduğunu, bu konuyu aşırı ilgiyle okuduğunu" yazmış ve şunları eklemişti: "Kısa sürede ustasını bile geçmişti; hocası zor bir yer ölçümü problemiyle karşılaştığında, dokuz yaşındaki genç Wantzel'i çağırtmıştı."

Pierre 1828'de College Charlemagne'ye girmeyi başarıyla gerçekleştirmişti. 1831'de Fransızca ve Latincenin ikisinden de birincilik ödülünü kazanmış ve hem lıcole Polytechnique'in hem de şimdiki Ğcole Normale'in fen kısmının giriş sınavlarında birinci gelmişti; daha önce bunu hiç kimse başaramamıştı. Her şey hakkında -matematik, müzik, felsefe, tarih- ilgi duymuş; iyi ve sıkı tartışmadan başka hiçbir şeyden daha fazla zevk almamıştı.

1834'te, kafasına mühendisliği takmış ve Ğcole des Ponts et Chaussees'ye devam etmişti. Fakat kısa sürede arkadaşlarına "ancak vasat bir mühendis" olabileceğini, aslında matematik öğretmek istediğine karar verdiğini itiraf etmiş ve oradan izinli olarak ayrılmıştı. Değişim işe yaramıştı: 1838'de Ğcole Polytechnique'te analiz hocası olmuş ve 1841 yılma kadar ayrıca eski mühendislik okulunda uygulamalı mekanik profesörlüğü yapmıştı. Saint-Venant, bize Pierre'in "genelde akşamları çalıştığını, gece geç vakitlere kadar yat-

mayıp kitap okuduğunu, yattığında da ancak birkaç saat tedirgin şekilde uyuduğunu; ayrıca kahve ve afyon kullandığını, evliliğine kadar yemeklerini fırsat buldukça düzensiz saatlerde yediğini" söylemektedir. Evliliği, önceki Latince hocasının kızıylaydı.

VVantzel denklemler kuramına korkunç bir ilgi göstererek, Ruffini, Abel, Galois ve Gauss'un çalışmalarını incelemişti. 1837'de "Geometrik bir problemin cetvel ve pergelle çözülebilir olup olmadığını saptama araçları üzerine" adlı makalesi Liouville'nin Joumal de Mathematiques Pures et Appliquees dergisinde çıkmıştı. Bu çalışma, Gauss'un vazgeçmiş olduğu kurulabilirlik öyküsünü tamamlamıştı. VVant-zel 1848'de 33 yaşında, büyük olasılıkla öğretim ve yönetim işleriyle aşırı çalışması yüzünden ölmüştü.

Bir açının üç eşit parçaya bölünmesi ve küpün iki misline çıkarılması soruları üzerine VVantzel'in olanaksızlık ispatı, Gauss'un düzgün çokgenler hakkındaki destansı çalışmasına benzemekte, fakat onlardan çok daha kolaydır. Küpün iki misline çıkarılmasıyla başlayacağım, burada sorunlar çok daha saydamdır. 3\2 uzunluklu bir doğru cetvel-ve-pergelle kurulabilir mi?

Gauss'un düzgün çokgenler çözümlemesi, her geometrik kurulumun bir dizi ikinci derece denkleminin çözümüyle özetleneceği düşüncesine dayanır. O buna kesin gözüyle bakar, çünkü bu doğruların ve çemberlerin özelliklerinden cebirsel olarak çıkar. Oldukça kolay bir cebir şunu akla getirir: Herhangi kurulabilir bir niceliğin "minimum çokterimli"si -onun sağlayacağı en basit denklem-, ikinin bir kuvvetine eşit dereceye sahiptir. O denklem, doğrusal, kuadratik, kuar-tik, oktik (8'inci derece), 16'ncı, 32'nci, 64'üncü derece olabilir, fakat derece ne olursa olsun, ikinin bir kuvvetidir.

Diğer taraftan, 3ı/2 , kübik ıc3 - 2 = 0 denklemini sağlar ve bu onun minimum çokterimlisidir. Derecesi 3 olup, 2'nin bir kuvveti değildir. Dolayısıyla cetvel ve pergel kullanarak küpün iki misline çıkarılabileceği varsayımı, kusursuz man-

tikin, *3 MuyiBi 2'nin bir kuvvetidir" sonucuna yol açar. Bu açıkça (lojru değildir. Dolayısıyla olmayana ergi (reductio ad absurdum) yoluyla, böyle bir kurulum var olamaz.

Açının üç eşit parçaya bölünmesi benzer bir nedenle olanaksızdır, fakat ispat biraz daha çetrefillidir.

Her şeyden önce, bazı açılar tam olarak üç eşit parçaya bölünebilirler. İyi bir örnek 180°'dir; 60°'lik açı üç parçaya bölünür, bu öyle bir açıdır ki onu düzgün bir altıgen yaparak kurabiliriz. Dolayısıyla olanaksızlık ispatına, başka bir açı seçilerek ve bu seçimin üç eşit parçaya bölünemeyeceği kanıtlanarak başlanır. Ele alınacak en basit açı 60°'nin kendisidir. Bunun üçte biri 20°'dir ve göstereceğiz ki 20° cetvel ve pergel kullanarak kurulamaz.

Bu ılımlı bir düşüncedir. Açıları ölçen bir araç olan iletkiye bakınız. Onun üzerinde 10°, 20° vb açılar emin bir şekilde işaretlenmiştir. Fakat bu açılar tam değildir; her şeyden önce, mürekkeple çizilmiş çizgilerin bir kalınlığı vardır. 20°'lik bir açı çizebiliriz, bu bir mimarlık ya da mühendislik çiziminde yeterince iyidir. Fakat mükemmel bir 20°'lik açıyı Öklit yöntemlerini kullanarak kuramayız; kanıtlamayı tasarladığımız işte budur.

Bu bilmecenin anahtarı trigonometridir: açıların sayısal incelenişi. 1 yançaplı bir çemberin içine çizilmiş bir altıgenle başladığımızı varsayınız. O zaman 60°'lik bir açı bulabiliriz ve onu üç eşit parçaya bölebilseydik, şekil içindeki (sonraki sayfa) kalın doğru parçasını kurabilirdik.

Bu doğru parçasının x uzunluğunda olduğunu varsayalım. Trigonometri, bize x'in 8^ - 6x - 1 = 0 denklemini sağladığını bildirir. Bu, küpün iki misline çıkarılması probleminde olduğu gibi, üçüncü dereceden bir denklemdir ve /in minimum çokterimlisidir. Fakat x kurulabilirse, o zaman minimum çokterimlinin derecesi 2'nin bir kuvveti olmalıdır. Aynı çelişki, aynı sonuç: Önerilen kurulum olanaksızdır.

60°'lik bir açının üç eşit parçaya bölünmesi, x'le işaretlenen doğru parçasının kurulmasına eşdeğerdir.

Bu ispatlan sunduğum yol, daha derin bir yapıyı gizlemektedir ve çok daha soyut perspektiften bu iki antik problemin ikisinin Wantzel çözümleri de simetri önermelerine indirgenebilir: Geometriye karşılık gelen denklemlerin Galo-is gruplan, cetvel-ve-pergelle kurulumlar için yanlış yapıya sahiptir. Wantzel, Galois gruplanndan tabii ki haberdardı ve 1845'te bazı cebirsel denklemlerin köklülerle çözülemeyeceğine dair yeni bir ispat geliştirmişti. îspat Ruffini ve Abel'i yakından izlemekteydi, fakat fikirleri basitleştirmiş ve açıklığa kavuşturmuştu. VVantzel girişte şunlan belirtir:

[Abel'in] ispatı sonuçta doğru olsa da, aşın karmaşık bir yapıda ve öyle üstü kapalı sunulmakta ki genel olarak kabul edilemez. Yıllar önce, Ruffini . . . aynı soruyu daha da bulanık bir tarzda ele almıştı... Bu iki matematikçinin araştırmaları üzerine derin derin düşünerek . . . denklemler kuramının bu önemli kısmındaki tüm kuşkuları ortadan kaldırmak hususunda çok mutlak görünen bir ispat yapısına ulaştık.

Antik çağlardan kalma tek problem çemberin karelenmesiydi; uzunluğu tam olarak n'ye eşit bir çizgi kurmaya kalmış bir iş. Bu kurulumun olanaksızlığını kanıtlamanın çok zor olacağı anlaşılmıştı. Niçin? Çünkü n'nin yanlış dereceli bir minimum çokterimliye sahip olması şöyle dursun, onun hiçbir minimum çokterimliye sahip olmadığı anlaşılmıştı.

Bir kökü rr'ye eşit olan rasyonel katsayılı çokterimli denklem yoktur, n'ye istediğiniz kadar yaklaşabilirsiniz, ama onu tam olarak asla elde edemezsiniz.

19. yüzyılın matematikçileri, rasyonel ve irrasyonel sayıların yararlı biçimde hassas hale gelebileceklerini anlamışlardı. Farklı türden irrasyonel sayılar vardı. >İ2 gibi oldukça "ıslah edilmiş" irrasyonel sayılar, tam kesirler -yani, rasyonel sayılar- olarak temsil edilemezlerdi, ama rasyonel sayılar cinsinden temsil edilebilirlerdi. Onlar katsayıları rasyonel sayılar olan denklemleri sağlamaktaydı; bu durumda, x2 - 2 = 0 öyleydi. Böyle sayıların "cebirsel" oldukları söylenirdi.

Fakat matematikçiler, ilke olarak, cebirsel olmayan irrasyonel sayıların var olabileceklerini ve onların rasyonellere olan bağlantısının cebirsel sayılara göre çok daha dolaylı olduğunun farkına varmışlardı. Bunlar bütün yanlarıyla rasyonel âlemin üstündeydiler.

tik soru, böyle "aşkın" [transandantal] sayılar gerçekten var mı sorusuydu. Hippasos onları hayal âleminden çıkarın-caya kadar, Yunanlar tüm sayıların rasyonel olabileceklerini varsayıyordu ve Pisagor, söylentiye bakılırsa, haberciyi suda boğacak kadar çileden çıkmıştı. (Daha büyük ihtimalle, Hippasos sadece Pisagor ekolünden atılmıştı.) 19. yüzyılın matematikçileri, tüm sayıların cebirsel olduğuna dair her inancın aynı düzeyde felakete yol açacağının bilincindeydi-ler, fakat yıllarca bir Hippasos’tan yoksundular. Tek yapmaları gereken şey, özel bir gerçel sayının -n olası bir adaydı-cebirsel olmadığını kanıtlamaktı. Ama bir sayının -örneğin, n- irrasyonel olduğunu kanıtlamak yeterince zordu ve bunun için tüm göstermeniz gereken, birinin diğerine bölümü size n'yi verecek şekilde, herhangi bir tam sayı çiftinin var olmadığıdır. Bir sayının cebirsel olmadığını kanıtlamak için, bu varsayımsal tam sayıları her dereceden olası tüm denklemlerde yerine koymak ve sonra bir çelişki türetmektir. Bu içinden çıkılmaz bir hal alır.

tik önemli gelişme Alman matematikçi ve astronom Jo-hann Lambert tarafından 1768'de yapılmıştı. Aşkın sayılar

üzerine olan bir makalede, n'nin irrasyonel olduğunu kanıtlamıştı ve onun yöntemi daha sonra gelen her şeye yol açmıştı. Bu yöntem, diferansiyel ve integral hesaptaki fikirleri, özellikle "integral" kavramını esas olarak kullanmıştı. (Verilen herhangi bir fonksiyonun integrali, öyle bir fonksiyondur ki bunun değişim oranı özgün fonksiyonu verir.) Lambert, n'nin bir tam fonksiyona eşit olması varsayımından hareketle, sırf bu amaçla yarattığı epeyce karışık -sadece çok-terimlileri değil, trigonometrik fonksiyonları da içeren-bir integrali hesaplamayı önermişti. Bu integrali hesaplamanın iki farklı yolu vardır. Bunlardan biri sıfır yanıtını verir. Diğeri, yanıtın sıfır olmadığını kanıtlar.

n bir kesir olmasaydı, iki yöntem de uygulanamazdı, böy-lece hiçbir problem ortaya çıkmazdı. Fakat n bir kesir olsaydı, sıfır kendisinden farklı olmak durumunda kalırdı. Asla olmaz!

Lambert'in ispatının ayrıntıları teknik olmakla birlikte, nasıl yürüdüğü öğreticidir. Başlamak için, n'yi daha basit bir şeyle ilişkilendirmeliydi ve kurtuluşuna trigonometri yetişmişti. Bir sonraki problem, her şeyi öyle ayarlamaktı ki n'nin rasyonel olması halinde, özel bir şey meydana gelebilsin. İspatın bundan sonrası, integralin hesaplanması için bu iki farklı yöntemin karşılaştırılması ve farklı yanıtlar verdiklerinin gösterilmesiydi. Bu kısım karmakarışık ve teknikle ilgilidir, ama uzmanlar için sıradan bir iştir.

Lambert'in ispatı, ileri doğru atılmış büyük bir adımdı; fakat, en açık olanı birim karenin köşegeni, yani yj2 olmak üzere, pek çok irrasyonel sayı kurulabilir. Dolayısıyla n'nin irrasyonelliği ispatlanarak, kurulamazlığı kanıtlanmış olmaz. Bu, n için bir tam kesir bulmaya çalışmanın artık hiçbir âlemi yok demeye gelirdi. Fakat bu hepten başka bir meseleydi.

Bu noktada, matematikçiler olağandışı bir ikilemle karşılaşmışlardı. Cebirsel sayılar ile aşkın sayılar arasında bir ayırım yapmışlardı ve bunun önemli olabileceğine inanmışlardı.

Alkili hâl* Ufkin unyıların var olup olmadığını bilmiyorlardı. Pratik uçulun, varsayılan ayırım anlamsız olabilirdi.

Aykırı sayıların varlığı 1844 yılma kadar kanıtlanamamıştı. Bu engel, daha önce Galois'nın çalışmasını akademik çöp yığınından kurtaran Liouville tarafından aşılmıştı. Şimdi de Liouville bir aşkın sayı icat etmeyi becermişti. Şöyle bir şeye benzemekteydi:

0,110001000000000000000001000...

Burada 0'lann gittikçe uzayan dizileri tek kalmış l'lerle ayrılmaktaydı, önemli husus, sıfır bloklarının uzunluğunun çok hızlı bir biçimde artmakta olduğuydu.

Bu tür sayılar "neredeyse" rasyoneldirler. Temelde bu sıfır blokları sayesinde, aşın derecede iyi rasyonel yaklaştırmalar söz konusudur, örneğin, yukarıdaki 17 ardışık sıfırlı uzun blok, önündeki 0,110001 kısmın, Liouville sayısına rastgele tahmin edebileceğiniz ondalık kesirden çok daha iyi bir yaklaşıklık olduğunu akla getirir. Ve bu 0,110001 sayısı, her sonlu ondalık gibi, rasyoneldir: 110001/1000000'e eşittir. Bu kesir, altı ondalık basamağa kadar doğru olmak yerine, 23 ondalık basamağa kadar doğrudur. Bir sonraki sıfırdan farklı rakam, virgülden sonra 24'üncü basamaktaki l'dir.

Liouville, rasyonel sayıların dışında, cebirsel sayıların rasyonellerle her zaman oldukça kötü şekilde yaklaşıma uğrayacaklarını fark etmişti. Sadece böyle sayılar irrasyonel değildir; iyi bir rasyonel yaklaştırma elde etmek için, yaklaşan kesirde çok büyük sayılar kullanmanız gerekir. Böyle-ce Liouville, olağanüstü iyi rasyonel yaklaştırmalara sahip -cebirsel olmaya aşırı derecede yakın-olması için, sayısını kasten öyle tanımlamıştı. Dolayısıyla o aşkın olmalıydı.

Bu zekice fikre karşı yöneltebileceğimiz tek eleştiri, Li-ouville sayısının çok yapay olduğudur. Matematikte hiçbir şeyle ayan beyan bir ilişkiye sahip değildir. Bu, onun rasyonellerle çok iyi biçimde yaklaştırılabileceğine dair hiç yoktan bir neden çekip çıkarmaktır. Hiç kimse şu tek olağanüstü nitelik için -yani, onun kanıtlanabilir biçimde bir aşkın sayı olabileceği için- onu korumaya asla kalkışmaz. Böylece ar-

tık matematikçiler aşkın sayıların gerçekten var olduklarını anlamışlardı.

İlginç aşkın sayıların var olup olmaması bir başka meseledir, fakat en azından aşkın sayılar kuramı bir içeriğe sahiptir. Şimdi esas iş, ona ilginç bir içerik sağlamaktı. Her şeyden önce, n bir aşkın sayı mıdır? Öyle olsaydı, bu, eski çemberi kareleme problemini bıraktınrdı. Tüm kurulabilir sayılar cebirseldir, öyleyse kurulabilir aşkın sayı yoktur, n aşkın sayıysa, çemberin kare şeklini alması olanaksızdır.

Çember ve kürelerle olan ilişkisi nedeniyle n sayısı haklı olarak ünlüdür. Yine de, matematik başka dikkate değer sayılar da içerir ve en önemlisi -belki n'den bile çok daha önemli- e olarak bilinendir. Onun sayısal değeri yaklaşık olarak 2,71828'dir ve n gibi irrasyoneldir. Bu sayı 1618'de, logaritmaların ilk günlerinde ortaya çıkmıştı; bu sayı eğer birleşik faiz sürekli-kısalan aralıklara uygulanırsa doğru faiz oranını saptamaktadır. Leibniz'in 1690'da Huygens'e yazdığı bir mektupta b olarak adlandırılmıştı, e sembolü 1727’de Euler tarafından ortaya atılmıştı ve 1736'daki Mekanik kitabında basılı olarak görünmüştü.

Karmaşık sayıları kullanarak, Euler e ile n arasında, çoğu kez matematikte en güzel formül sayılan, dikkate değer bir bağıntı keşfetmişti. (Bu formül sezgisel bir açıklamaya sahiptir, fakat diferansiyel denklemleri içermektedir.) Liouville'in keşfinin ardından, n'nin bir aşkın sayı olduğunun kanıtlanması için bir sonraki adım 29 yıl daha almıştı ve bu e sayısına uygulanmıştı. 1873'te Fransız matematikçi Charles Hermite e'nin aşkın olduğunu kanıtlamıştı. Hermite'in kariyeri Galois'nmkiyle dikkate değer paralellikler taşıyordu: Hermite, Louis-le Grand'a gitmişti, Richard tarafından eğitilmişti, beşinci derecenin çözülemez olduğunu kanıtlamaya çalışmıştı ve Ecole Polytechnique'te çalışmak istemişti. Fakat Galois'dan farklı olarak oraya güç belâ girmişti.

Hermite'in öğrencilerinden biri olan ünlü matematikçi Henri Poincare, Hermite'in kafasının acayip şekillerde ça-

lıştığını gözlemişti: "Hermite'e mantıkçı demek! Bana hiçbir şey gerçeğe bundan daha aykırı görünmez. Yöntemler onun kafasında daima biraz gizemli şekilde doğmuş gibidir." Bu özgünlük, e'nin aşkın sayı olduğuna dair ispatında Hermite'in çok işine yaramıştı. İspat, Lambert'in n'nin irrasyonel olduğuna dair ispatının özenilmiş bir genellemesiydi. Bu ispatta ayrıca diferansiyel ve integral hesap kullanılmış; bir integral iki şekilde geliştirilmişti ve e cebirsel olsaydı, bu iki yanıt farklı olurdu: biri sıfıra eşit, biri sıfırdan farklı. Güç olan adım, hesaplanacak doğru integrali bulmaktı.

Gerçek ispat iki basılı sayfa kadar yer tutmaktadır. Ama ne kadar fevkalade iki sayfa! Hayat boyu araştırır ve integ-ralin doğru seçimini keşfedemezsiniz.

e sayısı en azından matematiksel çalışmanın "doğal" nesnesidir. Matematiğin her yerinde ortaya çıkmaktadır; karmaşık analizde ve diferansiyel denklemler kuramında mutlak surette yaşamsaldır. Hermite n problemini çözmüş olmasa da, en azından Liouville'in oldukça yapay örneğini geliştirmişti. Artık matematikçiler biliyorlardı ki, olağan matematik işlemleriyle aşkın oldukları anlaşılmış olan tamamıyla akla yakın sayılar kuruluvermekteydi. Pek yakında bir ardıl, bu sayılardan birinin n olduğunu kanıtlamak için Hermite'in fikirlerini kullanabilirdi.

Cari Louis Ferdinand von Lindemann, dil öğretmeni Ferdinand Lindemann'm ve okul müdürünün kızı Emilie Crusius'un oğlu olarak 1852'de doğmuştu. Ferdinand işten işe girerek bir havagazı fabrikasının yöneticisi olmuştu.

19. yüzyıl sonu Almanyası'nda pek çok öğrenci gibi, oğul Lindemann -Göttingen, Erlangen, Münih gibi- bir üniversiteden diğerine geçip durmuştu. Erlangen'de Felix Klein'm gözetiminde Öklitçi-olmayan geometri üzerine doktorasını almıştı. Yurtdışına, Oxford'a ve Cambridge'e seyahat etmiş, daha sonra Paris'e gitmiş ve orada Hermite'le tanışmıştı. 1879'da doçentliğini alması üzerine, Freiburg Üniversitesinde bir profesörlük elde etmişti. Dört yıl sonra, Königsberg

Üniversitesine geçmiş, orada bir öğretmenin aktris olarak çalışan kızı Elizabeth Küssner'le tanışmış ve onunla evlenmişti. Bundan on yıl sonra da, Münih Üniversitesinde tam profesör olmuştu.

Lindemann, 1882'de, Paris seyahatiyle Königsberg'e atanmasının ortalarında, Hermite'in yöntemini n'nin aşkın sayı oluşunu kanıtlamaya nasıl genişleteceğini çözmüş ve meşhur olmuştu. Bazı tarihçiler Lindemann'm sadece şanslı olduğuna -Hermite'in muhteşem fikrinin doğru genişletilmesine yolunu şaşırarak ulaşan biraz niteliksiz biri olduğuna- inanmaktadır. Fakat golf oyuncusu olarak, Gary Pla-yer bir keresinde "daha iyi oynadıkça, daha şanslı olurum" demişti. Dolayısıyla, büyük olasılıkla, bu deyiş Lindemann'a arka çıkmaktadır. Biri şanslı olacaksa, neden Hermite bu şansa ulaşmamıştı?

Daha sonra, Lindemann, elektronu incelemek üzere, matematiksel fiziğe dönmüştü. En ünlü araştırma öğrencisi Da-vid Hilbert'ti.

Lindemann'm n'nin aşkın sayı olduğu hususundaki ispatı, Lambert tarafından başlatılan ve Hermite tarafından geliştirilen şu yöntemi kullanmaktaydı: Uygun bir integral yaz, onu iki yoldan hesapla ve n cebirselse, yanıtların uyuşmadığını göster. İntegral Hermite tarafından kullanılanla çok sıkı şekilde ilgili, fakat ondan daha da karmaşıktı. Aslında e ile n arasındaki ilişki, Euler tarafından keşfedilmiş olan o güzelim bağıntıydı. Eğer n cebirselse, o zaman e bazı yeni ve şaşırtıcı özelliklere sahip olabilmeliydi; cebirsel oluşa benzeyen, fakat ondan farklı olan özelliklere. Lindemann'm ispatının özü, n hakkında değil, e hakkındadır.

Lindemann'm ispatıyla, matematiğin bu bölümü gerçekten ilk önemli sonucuna ulaşmıştı. Çemberin karesini almanın olanaksızlığı sadece küçük-gösteriydi. Çok daha önemli olan, matematikçilerin artık bunun nedenini bilmeleriydi. Şimdi onlar aşkın sayıların kuramını geliştirmeye devam edebilirlerdi; ki bu, bugünün aktif -ve gaddarca zor- bir araştırma alanıdır. Aşkın sayılarla ilgili en açık ve akla yakın varsayımlar bile çoğunlukla yanıtlanmamış halde beklemektedir.

Abel ve (iııloİN'nın sezgileriyle donanmış olarak, düzgün çokgenlerin kuruluş problemini yeniden değerlendirebiliri/., Hungi n sayıları için düzgün n-gen, cetvel ve pergelle kurulabilirdir? Yanıt olağanüstüdür. Disquisitiones Arithmeticae [Aritmetik Araştırmaları] kitabında Gauss, n tam sayısı üzerindeki gerekli ve yeterli koşulları belirtmiş, fakat sadece onlann yeterliliğini kanıtlamıştı. Aynı koşullann gerekli olduğuyla ilgili bir ispata da sahip olduğunu öne sürmüştü, fakat -çalışmasının çoğu gibi- bunu da hiçbir zaman bastırmamıştı. Gauss gerçekten güç olan kısmı yapmıştı; eksik olan ayrıntıları ise 1837'deki makalesinde dolduran Wantzel'di.

Gauss'un yanıtını harekete geçirmek için, düzgün 17-geni kısaca gözden geçirelim. 17-kenarlı çokgeni kurulabilir yapan 17 sayısı, özünde nedir? 11 ya da 13 gibi sayılar için bu durum neden söz konusu değildir?

Buradaki üç sayının da asal olduklarına dikkat edin. Eğer bir düzgün n-gen kurulabiliyorsa, o zaman n'i bölen her asal p için düzgün p-gen de kurulabilirdir. Sadece her n/p'yinci köşeyi alın, örneğin, düzgün bir 15-genin her üçüncü köşesini alarak düzgün bir 5-gen elde edersiniz. Böylece kenar sayısı asal olan çokgenleri düşünmek ve bir tam çözüme doğru ilerlemek için asal sayılı sonuçları kullanmak anlamlı olur.

17 sayısı asaldır, öyleyse o iyi bir başlangıçtır. Gauss'un analizi, daha çağdaş terimlerle yeniden formüllenerek, şu olguya dayanır: x17 - 1 = 0 denkleminin çözümleri karmaşık düzlemde bir düzgün 17-genin köşelerini oluşturur. Bir apaçık kök, x = l'dir. Diğer 16'sı, 16 dereceden bir çokterimlinin kökleridir, ki bunun x16 + x15 + x14 + ••• + x2 + x + 1 = 0 olduğu gösterilebilir. 17-gen, ikinci derece denklemlerinin bir dizisini çözerek kurulabilir ve bunun mümkün olduğu anlaşılır; çünkü 16 sayısı 2'nin bir kuvvetidir, yani 16 = 24'tür.

Daha genel olarak, aynı tartışma çizgisiyle kanıtlanır ki p bir tek asal sayı olduğunda, ancak ve ancakp - 1 sayısı 2'nin bir kuvvetiyse, düzgün p-gen kurulabilir. Böyle tek asallara Fermat asalları denir, çünkü onları ilk inceleyen Fermat'ydı.

Yunanlar düzgün 3-geni ve düzgün 5-geni kurmayı biliyorlardı. 3-1=2 ve 5-1=4 olduğunu gözleyin: ikisi de 2'nin bir kuvvetidir. Dolayısıyla Yunan sonuçları Gauss'un ölçütüyle uyumludur ve 3 ile 5 ilk iki Fermat asal sayısıdır. Diğer taraftan, 7-1=6 sayısı 2'nin bir kuvveti değildir, öyleyse düzgün 7-gen kurulamaz.

Biraz fazlaca çalışma Gauss karakterizasyonuna yol açar: Ancak ve ancak n ikinin bir kuvvetiyse ya da ikinin bir kuvveti çarpı başka Fermat asallarıysa, bu durumda düzgün n-gen kurulabilirdir.

Bu, şu soruyu getirir: Fermat asalları nelerdir? 3 ve 5'ten sonra gelen, Gauss'un keşfi olan 17'dir. Bir sonraki 257'dir; bunu ise oldukça büyük bir sayı olan 65.537 sayısı izler. Bilinen Fermat sayıları sadece bunlardır. Daha başka Fermat sayılarının var olduğu asla kanıtlanmamıştır; fakat var olmayacakları da daha kanıtlanmamıştır. Kim bilir, belki de insanlığın henüz bilmediği kesinlikle devasa bir Fermat asal sayısı var olabilir. Bilginin geçerli durumunda bu sayı en azından 233554432 + l'dir ve gerçekten de bu sonraki Fermat asalı olabilir. (33554432 üssünün kendisi 2'nin bir kuvvetidir, yani 225'tir. Tüm Fermat asalları, ikiyi ikinin bir kuvvetinin kuvvetine yükselterek bulunan sayıdan bir fazladır.) Bu sayı, on milyondan daha fazla rakama‘sahiptir. Gauss'un büyük keşiflerinden sonra bile, hâlâ tam olarak hangi düzgün çokgenlerin kurulabileceğini kesin şekilde bilmiyoruz, fakat bilgimizdeki tek boşluk, çok büyük Fermat asallarının olası varlığıdır.

Gauss 17-genin kurulabilirliğini kanıtlamıştı kanıtlamasına, ama aslında kurulumun kendisini betimlememişti; yine de esas meselenin aşağıdaki uzunluğa sahip doğru parçasını kurmak olduğuna işaret etmişti:

-1 + Vİ7 + V34-2-JÎ7 + ^68 +12717 -16^34 + 2-717 -2(1 - Vt7)(VM-^

Gauss'un düzgün 17-genin kuruluşunu saptayan formülü.

Karekökler her zaman için kurulabildiğinden, gerekli kurulum bu dikkate değer sayıda gizlidir. îlk açık kurulum 18O3'te Ulrich von Huguenin tarafından tasarlanmıştı. H. W. Richmond ise 1893'te bunun daha basit bir halini bulmuştu.

F. J. Richelot 1832'de düzgün 257-genin kurulumuyla ilgili olarak "De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, şive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in parte 257 inter se aequales commentatio coronata" adı altında bir makaleler dizisi yayımlamıştı; ki bu, onun çokgeninin kenar sayısından bile daha çok etkiliydi.

Şöyle uydurma bir öykü vardır; aşın gayretli bir doktora öğrencisine tez projesi olarak 65537-genin kurulumu verilmişti ve öğrenci teziyle yirmi yıl sonra ortaya çıkmıştı. Gerçek, tuhaf mı tuhaf gibi görünmektedir: Lingen Üniversitesinden J. Hermes, onu 1894'te bitirinceye kadar, bu işe on yılını harcamıştı; basılmamış çalışması Göttingen Üniversitesinde korunmaktadır. Günümüzde bu belgelere bakmış olan tek matematikçi herhalde John Horton Conway'dir ve o da çalışmanın doğruluğundan kuşku duymaktadır.

SARHOŞ VANDAL

William Rowan Hamilton İrlanda'nın yetiştirdiği en büyük matematikçiydi. Tam olarak 3 ile 4 Ağustos arasındaki gece yarısında doğmuştu ve bu tarihlerden hangisinin doğum günü olduğuna asla tam karar verememişti. Çoğunlukla 3 Ağustosu kabullenmişti, fakat mezar taşında 4 Ağustos tarihi yer alır, çünkü yaşamının sonlarına doğru duygusal nedenlerle bu tarihi değiştirmişti. Parlak bir dilci, bir matematik dehası ve bir alkolikti. Üç boyut cebirini icat etmek için yola çıkmış, fakat bir köprüyü tahrip etmesine neden olan bir önsezi parıltısı içinde, birden bire bunun yerine bu işi dört boyutta yapması gerektiğini anlamıştı. Böylece o; insanın cebire, uzaya ve zamana bakışını sonsuza kadar değiştirmişti.

William, ticari kafalı bir avukat olan Archibald Hamilton'un üçüncü oğlu olarak, zengin bir aile içinde dünyaya gelmişti. William'm Eliza adında bir kız kardeşi de vardı. Babası birkaç bardak içkiye bayılırdı; bu onu bir süre hoşsohbet kılardı, fakat akşam ilerledikçe sıkıntıları büyürdü. Archibald güzel konuşurdu, akıllı ve dindardı; önemli niteliklerinin tümünü, alkol ve hepsini en genç oğluna geçirmişti. William'm annesi, Sarah Hutton, kocasından bile daha akıllıydı; aydın bir aileden geliyordu; fakat genlerden gelenin dışında, genç William'a annesinin etkisi, babası onu daha üç yaşında amcası James tarafından eğitilsin diye başından savdığında kesilmişti. James bir papaz ve başarılı bir dilciydi; onun ilgi alanları, William'ın eğitiminin esas yönünü belirlemişti.

Sonuçlar etkileyici, fakat saplantı derecesinde dardı. Beş yaşlarında William Yunanca, Latince ve Ibraniceyi akıcı bi-

çimde konuşmaktaydı. Sekizinde Fransızca ve İtalyanca konuşabiliyordu. İki yıl sonra bunlara Arapça ve Sanskritçe eklenmişti; sonra da Farsça, Süryanice, Hintçe, Malezyaca ve Bengalce. Oğlana Çince öğretme girişimleri uygun metinlerin yokluğu yüzünden engellenmişti. James şöyle yakınmaktaydı: "Onları Londra'dan sağlamak bana pahalıya patladı, ama sanırım para doğru yere harcandı."

Matematikçi ve sözde-tarihçi Eric Temple Beli ("sözde", çünkü akışı bozan bir gerçeğin iyi bir öykünün arasına girmesine asla izin vermez) şunu sormuştu: "Tüm bunlar ne içindi?"

Bereket versin ki, William, Amerikalı hesaplama dâhisi Zerah Colbum'le temas sağlamakla, dünyanın binlerce dilinde daha fazla uzmanlaşma hayatından fen ve matematik adına kurtarılmıştı. Colbum küçük hesap makinesine benzeyen şu acayip insanlardan biriydi; hızlı, doğru hesaplama için bir yetenekti. Colbum'a 1.860.867'nin küpkökünü sorduğunuz takdirde, nefes almadan "123" yanıtını verirdi size.

Bu beceri, matematiksel kabiliyetten ayrıdır; tıpkı bir olanak olarak yazım işinin birini iyi bir romancı yapmadığı gibi. Defter ve elyazmalannda sayısız büyük hesaplamalar bırakmış olan Gauss dışında, büyük matematikçilerin çok azı hızlı hesaplayıcılardı. Kalanları yetkin hesapçılardı -o günlerde öyle olmanız gerekirdi- fakat nitelikli bir hesap uzmanından daha iyi değil. Bugün bile, bilgisayarlar kâğıt-ve-kalemle ya da zihinle yapılan hesaplamaların tam karşılığını veremezler; bir matematiksel problemin iç yüzünü, çoğunlukla hesapları elle yaparak ve sembolleri etrafta dolaştırarak anlayabilirsiniz. Fakat çoğu kısmı matematikçilerce yazılmış, doğru yazılımı verince, bir saatlik eğitim almış herkes Colbum gibileri hezimete uğratabilir.

Bunların hiçbiri sizi Gauss'a uzaktan yakından benzete-meyecektir.

Colbum, belleğin büyük rol oynadığından haberdar olmakla birlikte, kullandığı incelikleri ve kestirme yollan tam manasıyla anlamamıştı. Genç deha Hamilton'a bu gizemli tekniklere ışık tutabilir beklentisiyle takdim edilmişti. Wil-liam bunu yapmış ve ilerlemeler bile üretmişti. Colbum ay-

nlıncaya kadar, Hamilton en sonunda şaşılası beyin gücüne layık bir konu bulmuştu.

Hamilton, on yedi yaşma kadar, matematik üstatlarının pek çok çalışmasını okumuştu ve tutulmaları hesaplamaya yetecek kadar matematiksel astronomi biliyordu. Hâlâ klasikler üzerine matematikten daha fazla zaman harcamaktaydı, fakat İkincisi onun gerçek tutkusu haline gelmişti. Kısa süre içinde yeni keşifler yapmıştı. Tıpkı 19 yaşındaki Gauss'un düzgün 17-genin kurulumunu keşfettiği gibi, genç Hamilton da aynı derecede eşi görülmemiş bir buluş yapmıştı: mekanik ile ışık bilimi olan optik arasında bir benzeşim -matematiksel olarak, bir özdeşlik- bulmuştu, önce bu fikirleri kız kardeşi Eliza'ya yazdığı şifreli bir mektupta üstü kapalı söylemişti; fakat kuzeni Arthur'a yolladığı sonraki mektubuyla onların mahiyetinden iyice emin olabiliriz.

İnsanı şaşkına uğratan bir keşifti bu. Mekanik, hareketli cisimleri inceler: parabolik bir eğri üzerinde giden top gülleleri, bir yandan diğer yana düzgün şekilde salınan sarkaçlar ve güneşin çevresinde elipsler üzerinde hareket eden gezegenler. Optik ise ışık ışınlarının geometrisi hakkındadır, yansıma ve kırılma, gökkuşakları ve prizmalar ve teleskop mercekleri. Bunların bağlantılı olmaları şaşırtıcıydı; onların aynı oldukları inanılmazdı.

Ayrıca bu gerçekti. Ve bu, doğrudan doğruya matematikçiler ve matematiksel fizikçiler tarafından, sadece mekanik ve optikte değil fakat kuantum kuramında da bugün kullanılan biçimsel düzenlemeye yol açmıştı: Hamilton sistemlerine. Hamilton sistemlerinin temel niteliği şudur: Bunlar, bir mekanik sistemin hareket denklemlerini bir tek özellikten, şimdi sistemin Hamiltonu denilen toplam enerjiden türetirler. Çıkan denklemler, sadece sistemin parçalarının konumlarını içermekle kalmazlar, ayrıca bu parçaların ne kadar hızlı hareket ettiklerini -yani sistemin momentumunu.- da içerirler. Son olarak, denklemler şu güzel niteliğe de sahiptirler: Koordinatların seçimine de bağlı değildirler. Güzellik gerçekliktir; en azından matematikte. Ve burada fizik hem güzeldir, hem de gerçek.

Hamilton, olağandışı yeteneklerinin erken çocukluk döneminden itibaren yaygın şekilde tanınması bakımından, Abel'den de Galois'dan da daha şanslıydı. Dolayısıyla İrlanda'nın önde gelen üniversitesi olan Dublin'deki Trinity Kolejine 1823'te kabul edilmesinde şaşılacak bir taraf yoktu. Yüz adaylık bir grubun başında onu bulmak da hiç sürpriz değildi. Trinity'de tüm ödülleri o kazanmıştı. Daha önemlisi, optik konusundaki başyapıtının ilk cildini tamamlamıştı.

1825 yılının ilkbaharında, Catherine Disney adlı bir kadın üzerinden, karşı cinsin cazibesini keşfetmişti. Kafası dumanlı Hamilton, sevgisini şiirler yazmaya hasretmiş ve sözde-aşkı aniden kendisinden on beş yaş büyük ve kibar genç kızlara pek edebi üsluba yaklaşmayan zengin bir din adamıyla evlenmişti. Hamilton yıkılıp kahrolmuştu; sağlam bir dindar olduğu halde, büyük bir günah sayılan kendini boğmayı düşünmüştü. Sonra pişmanlıklar galip gelmiş ve hayal kırıklığını başka bir şiire dökerek avunmuştu.

Hamilton şiiri severdi ve arkadaş çevresi ileri gelen edebiyatçıları içermekteydi. William Wordsworth yakın arkadaşı olmuştu; Samuel Taylor Coleridge ve çeşitli başka yazar ve şairlerle de zaman geçirmekteydi. Wordsworth Hamilton'a yeteneklerinin şiir sanatında yatmadığını nazikçe hatırlatarak değerli bir hizmette bulunmuştu: "Beni çok keyif aldığım şiir sağanaklarıyla karşılaştırdın ... yine de bu iş seni bilim yolundan ayırabilir diye korkuyorum. Acaba senin tabiatının şiirsel yanları, onların doğasına daha uygun düzyazı alanında bir yer bulamaz mı önerimi değerlendirmene sunma cesaretinde bulunuyorum..."

Hamilton yanıtında, gerçek şiirinin kendi matematiği olduğunu belirtmiş ve bilime dönmüştü. Trinity'de görevli olan John Brinkley, Cloyne Piskoposu olmak için istifa edince, Hamilton 1827'de, daha lisans öğrencisiyken, oybirliğiyle Trinity'de Astronomi Profesörlüğüne seçilmişti. Hamilton optik konusundaki kitabını bastırarak büyük bir hevesle işe başlamıştı; pek çok astronomik araç gerecin tasarımına destek veren kitabı, her astronomi uzmanının tam anlamıyla işine yarayacak bir konudaydı.

Mekanikle bağlantı henüz ilkel biçimindeydi. Kitap esas olarak, deyim yerindeyse, ışık ışınlarının geometrisine -bir aynadan yansıdıklarında ya da bir mercekte kırıldıklarında nasıl yön değiştirdikleri üzerine- yoğunlaşmıştı. "Işın optiği", ışığın bir dalga olduğu anlaşılınca, "dalga optiği"ne bırakmıştı yerini. Dalgalar her türden daha başka özelliklere de sahiptir; özellikle kırınım özelliğine. Dalgalar arasındaki girişim, perdeye yansıtılmış bir cismin kenarlarını yumuşatabilir ve hatta ışığı köşeler etrafında eğriltir; bu, ışınlar için yasak bir oyundur.

Işık ışınlarının geometrisi yeni bir konu değildi; Fermat'ya, hatta Yunan filozofu Aristoteles'e kadar gerilere giden, daha önceki matematikçiler tarafından genişlemesine çalışılmıştı. Legendre'ın mekanik için mükemmelen yaptığı şeyi, şimdi de Hamilton optik için yapmıştı: Geometriden kurtulup onu cebir ve analizle yer değiştirmişti, özel olarak, diyagramlara dayalı açıktan açığa yapılan geometrik akıl yürütmelerini, sembolik hesaplamalarla değiştirmişti.

Bu büyük bir ilerlemeydi, çünkü özensiz betimlemeler titiz analizle yer değiştirmişti. Sonraki matematikçiler Hamilton'un yolunu tersine çevirmek için yorucu çabalar harcadılar ve tekrar görsel düşünmeyi ortaya attılar. Fakat o zamana kadar, resmi cebirsel duruş matematiksel düşüncenin en önemli ve ayrılmaz parçası, daha açık olan görsel müzakerelerin doğal eşi olmuştu. Modanın çarkı dönüp dolaşıp başlangıca, fakat spiral merdiven gibi daha yüksek bir düzeyde başlangıca, gelmişti.

Hamilton'un optiğe yaptığı büyük katkı, birleştirmeydi. Bilinen muazzam çeşitlilikteki sonuçları ele almış ve onların tümünü aynı temel tekniğe indirgemişti. Işık ışınlarının bir sistemi yerine, sistemin "karakteristik fonksiyonu" denilen bir tek nicelik ileri sürmüştü. Her optik şekillenim, bu suretle bir tek denklemle temsil edilmekteydi. Üstelik, bu denklem, bizi ışın sisteminin ve onun davranışının tam bir tasvirine götüren tekdüze bir yöntemle çözülebilirdi. Yöntem tek bir temel ilke üzerine oturmaktaydı: Herhangi bir aynalar, prizmalar ve mercekler sistemi içinde seyahat

eden ışık ışınları, hedefine en kısa sürede varacak yolu izleyecektir.

Bu ilkenin bazı özel hallerini Fermat zaten bulmuş ve ona En Kısa Zaman İlkesi demişti. Onu en kolay biçimde açıklayacak örnek, bir düz aynadan yansıyan ışıktı. Aşağıda yer alan şekil, bir noktadan çıkan bir ışık ışınının bir aynaya çarpıp ikinci bir noktaya varışını gösteriyor. Optikteki ilk büyük keşiflerden biri, yansıma yasasıydı; bu yasa, ışık ışınının iki parçasının aynayla eşit açılar yaptığını ifade eder.

Fermat net bir oyunla ortaya çıkmıştı: Işının ikinci parçasını ve ikinci noktayı, sağ yandaki şekilde olduğu gibi, aynadan yansıtınız. Öklit sayesinde, "eşit açılar" koşulu, bu yansıtılmış temsildeki ifadeyle aynıdır: ilk noktadan İkinciye giden yol düzdür. Fakat öklit, bir düz çizginin iki nokta arasındaki en kısa yol olduğunu mükemmel şekilde kanıtlamıştı. Havada ışığın hızı sabit olduğuna göre, en kısa yol en kısa zamana eşit olur. Geometriyi "yansıtmayarak" aşağıdaki şekle geri dönmek, aynı ifadeyi doğru bırakır. Dolayısıyla eşit-açılar koşulu, ışık ışınının mantıksal olarak birinci noktadan, yolu boyunca aynaya çarparak, ikinci noktaya en kısa zamanda gitmesine eşdeğerdir.

En kısa zaman ilkesinin, yansıma yasasına yol açması.

Bununla ilgili bir ilke de Snell kırılma yasasıdır; bu yasaya göre, ışık ışınları havadan suya ya da herhangi bir ortamdan bir diğerine geçerken yön değiştirirler. Bu durum, ışığın suda havaya göre daha yavaş ilerlediğini akılda tutarak, benzer bir yöntemle kanıtlanabilir. Hamilton daha da ileri

giderek, zamanı en aza indirme ilkesini tüm optik sistemlere uygulamış ve bu düşünceyi bir tek matematiksel nesne, karakteristik fonksiyon, içine hapsetmişti.

Matematik etkileyiciydi, fakat Hamilton'un ellerinde hemen deneysel rövanş maçına çevrilmişti. Hamilton, yönteminin "konik kırılma"nın varlığına işaret ettiğini anlamıştı; yani bir tek ışık ışını uygun bir kristale çarpıp tam bir ışın konisi olarak çıkacaktı. Optik konusunda çalışan herkesi şaşırtan bu öngörü, 1832'de Humphry Lloyd tarafından aragonit mineralinin bir kristali kullanılarak çarpıcı biçimde doğrulanmış ve Hamilton bir gece içinde bilimde ünlenmişti.

1830'larda, Hamilton bir yuva kurmayı düşünüyor ve Wordsworth'a Ellen de Vere'nin "zekâsına hayran olduğunu" söyleyerek onunla evlenmeyi içinden geçiriyordu. Yine ona şiirlerini gönderme yoluna başvurmuştu; tam ona evlenme teklifinde bulunmak üzereyken, Ellen doğduğu Curragh Köyünden asla ayrılamayacağını söylemişti. Hamilton bunu nazikçe olumsuz bir yanıt olarak yorumlamıştı ve haklı olabilirdi, çünkü bir yıl sonra Ellen başka biriyle evlenmiş ve uzaklara gitmişti.

Hamilton, en sonunda, gözlemevinin yakınında yaşayan oralı bir genç kadın olan Helen Bayly ile evlenmişti. Hamilton onu "hiç parlak zekâlı değildi" diye betimlemişti. Balayı bir felaketti; Hamilton optik çalışmıştı, Helen ise hastaydı. 1834'te William Edwin adında bir oğulları olmuştu. Sonra Helen o yılın çoğunda uzaklarda bulunmuştu. 1835'te bunu ikinci oğul, Archibald Henry izlemişti; ama evlilik dağılmıştı.

Genç kuşak Hamilton'un mekanik-optik benzetiminin onun en büyük keşfi olduğunu kabul etmektedir. Fakat onun kendi düşüncesine göre, tam ölümüne doğru ve artan bir saplantıyla, bu onur çok farklı bir şeye ayrılmıştı: kuaterni-yonlara.

Kuaterniyonlar, karmaşık sayılara yakın akraba olan bir cebirsel yapıdır. Onların, fiziğin en derin bölgelerinin ilacı olduğuna inanmıştı Hamilton; gerçekten de son yıllarında,

kuaterniyonlann esas itibanyla her şeye deva olacağına kanaat getirmişti. Tarih aynı fikirde görünmüyordu; gelen yüzyılda kuatemiyonlar yavaş yavaş gözden düşmüş, birkaç önemli uygulamasıyla soyut cebirin karanlık durgun suyu haline gelmişti.

Bununla birlikte, son zamanlarda kuatemiyonlar bir uyanışın keyfini çıkarmaktadır. Asla Hamilton'un ümitleri düzeyine ulaşamasa da, anlamlı matematiksel yapıların önemli bir kaynağı olarak gitgide daha fazla tanınmaktadır. Kuater-niyonlar, anlaşılıyor ki, çok özel yaratıklardır; tam çağdaş fizik kuramlarının istediği özel şeyler.

tik keşfedildiklerinde, kuatemiyonlar cebirde büyük bir devrimi başlatmıştı. Önemli cebirsel kurallardan birini bozmuştu. Yirmi yıl içinde, cebirin hemen hemen tüm kuralları, çoğunlukla büyük yararlar getirerek ve çoğu kez de eşit ölçüde kısır çıkmazlara yol açarak sıradan bir biçimde bozulmuştu. 1850'lerin ortasındaki matematikçilerin çiğnenemez kurallar diye düşündükleri şeylerin, sadece cebirciler için yaşamı kolaylaştıran elverişli varsayımlar oldukları fakat matematiğin kendisinin daha derin gerekleriyle her zaman uyuşmadığı anlaşılmıştı.

Galois-sonrası yeni cesur dünyada, cebir bundan böyle sadece denklemlerdeki sayılar için semboller kullanma işi değildi. Denklemlerin daha derin yapısı hakkındaydı; sayılar değil, fakat süreçler, dönüşümler, simetriler. Bu köklü yenilikler matematiğin yüzünü değiştirmişti. Onu daha soyut hale getirmişti, fakat ayrıca daha genel ve daha güçlü hale. Tüm alan, gizemli ve çoğu kez şaşırtıcı bir güzelliğe sahipti.

Bolonyalı Rönesans matematikçileri eksi birin anlamlı bir kareköküne sahip olup olunamayacağını merak etmeye başlayıncaya kadar, matematikte ortaya çıkan sayıların tümü bir tek sisteme aitti. Bu sistem bugün bile, matematiğin gerçeklik ile ilişkisi hakkındaki tarihsel karmaşanın bir mirası olarak, gerçel sayılar [reel sayılar] olarak biliniyor. Bu isim uygun değildir, çünkü bu adlandırma bu sayıların bir bakıma evrenin dokusuna ait olduklarını akla getirir; oysaki bu doğru değil, bu sayılar evreni anlamak için insanların gi-

pişimleriyle üretilmişti. Geçen 150 yılı aşkın sürede insanın hayal gücüyle icat edilmiş diğer "sayı sistemlerinden daha fazla gerçek değildirler. Yine de, bunların gerçeklikle ilgisi, en yeni sistemlere göre çok daha dolaysızdır. Bu sayılar, ideal ölçüm yapısına çok sıkı şekilde karşılık gelirler.

Bir gerçel sayı, esas olarak, bir ondalık sayıdır. Bu özel -ondalık- gösterim tipi, sadece gerçel sayıları hesaplamalara uygun düşen bir yapıda yazmanın kolay bir yolu olduğu için değil de, ondalıkların sahip olduğu daha derin özellikler nedeniyle yeğlenmiştir. Gerçel sayılar, daha yalın ve daha az hırslı olan atalarımız tarafından doğurulmuştu. önce, insanlık 0, 1, 2, 3, 4, . . "doğal sayılar" sistemine doğru olan yolunda tökezlemişti. "Tökezlemişti" diyorum, çünkü ilk aşamalarda,İm sayıların bazıları sayı bile sayılmamıştı. Eski Yunanların 2*yi bir sayı olarak yadsıdıkları zamanlar olmuştu; 2 tipik "çokluk" olmak için aşırı küçüktü. Sayılar 3'ten başlamaktaydı. En sonunda, 2'nin 3,4 ve 5 gibi bir sayı olmasına izin vermişler, fakat l'de ayak diremişlerdi. Bununla birlikte, birisi "belli sayıda" ineği olduğunu iddia etseydi ve siz onun sadece bir ineği olduğunu öğrenseydiniz, boş abartma nedeniyle kabahatli olurdu. "Sayı" belli ki "çokluk" anlamı taşımaktaydı ve bir'i dışlıyordu.

Fakat gösterim sistemleri geliştikçe, Tin hesaplama sisteminin daha büyük üyeleri kadar önemli bir parçası olduğu tüm çıplaklığıyla ortaya çıkmıştı. Böylece o da bir sayı haline gelmişti; fakat özel, çok küçük bir sayı. Bir bakıma hepsinden daha önemli bir sayıydı, çünkü sayılar ondan başlıyordu. Bir sürü Ti birbirine ekleyerek, her şeyi elde edebilirdiniz ve bir ara gösterim bunu aynen böyle yapmıştı, öyle ki "yedi", 1111 | 11 şeklinde yedi çizgiyle yazılıyordu.

Çok sonraları, Hint matematikçiler, l'den önce gelen ve daha bile önemli olan bir sayının var olduğunu anladılar. Sayılar l'den değil, sıfırdan başlıyordu; şimdi onun için 0 sembolü kullanılıyor. Daha da sonra, karışıma negatif sayıların da katılmasının yararlı olduğu anlaşılmıştı; hiçten daha küçük sayılar. Böylece bütün negatif sayılar sisteme eklenmiş ve insanlık tam sayıları icat etmişti:... ,-3,-2,-1,0,1,2,3,.. .Fakat bu orada durmamıştı.

Tam sayılar, birçok yararlı niceliği temsil etmekte başarısız kalmaktaydı. Örneğin, hububat değiş-tokuş eden bir çiftçi, 1 çuval ile 2 çuval arasındaki buğday miktarını belirtmek isteyebilirdi. Arada tam ortadaysa, bu miktar 1^2 çuval ederdi. Belki biraz daha az, 1% ya da biraz daha fazla, 1%. Ve böylece, çeşitli gösterimlerle, kesirler icat edilmişti. Kesirlere tam sayılar arasında ara değerler biçilmişti. Yeterince karmaşık kesirler, Babil aritmetiğinde zaten gördüğümüz gibi, aşırı derecede hassas değerler almaktaydı. Mutlaka her nicelik bir kesirle temsil edilebilirdi.

Pisagor ve onun adıyla anılan teoreme bakalım. Hemen çıkan bir sonuç şudur: Bir birim karenin köşegeninin uzunluğu, karesi tam 2 olan bir sayıdır. Bu demektir ki bu köşegen 2’nin kareköküne eşit uzunluğa sahiptir. Böyle bir sayı var olmalıdır, çünkü bir kare çizebilirsiniz ve bu açıkça bir köşegene sahiptir ve köşegenin de bir uzunluğu olmalıdır. Fakat Hippasos'un üzülerek fark ettiği gibi, 2'nin karekökü ne olursa olsun, o bir tam kesir olamaz. O irrasyoneldir, öyleyse kesirlerin sisteminde görünmeyen aralıkların doldurulması için daha da çok sayı gerekmektedir.

En sonunda, bu süreç kesilmiş gibiydi. Yunanlar sayısal şemaları geometrinin lehine boşlamışlardı; fakat Bruges Kasabasında yaşamış olan Simon Stevin adında bir Flaman matematikçi ve mühendis 1585'te William the Silent tarafından oğlu Nassaulu Maurice'i eğitmek üzere atanmıştı. Stevin, kanalların denetçisi, ordunun genel levazım subayı ve maliye bakanı olmaya kadar yükselmişti. Bu atamalar, özellikle son ikisi, hakiki muhasebe ihtiyacını aklına sokmuş ve İtalyanların sekreterlik sistemlerini ödünç almıştı. Stevin, Hint-Arap hane gösteriminin esnekliğine ve Babil'deki altmışlı kesirlerin ince hassasiyetine sahip olacak şekilde kesirleri temsil etmenin bir yolunu ararken, çözüm yolu olarak Babillilerin 60-tabanlı sisteminin on-tabanlı bir benzerini bulmuştu: ondalık sayılar.

Stevin yeni gösterimsel sistemini betimleyen bir makale yayımlamıştı. Pazarlama konularında yeterince uyanık birisi

olarak, makalesine şu ifadeyi de katmıştı: "Bu fikirler uygulamacı kişiler tarafından kusursuz bir sınamaya tâbi tutulmuştu ve onlar bunu o kadar yararlı bulmuşlardı ki bu yeni icadı benimsemek için kendi buluşlarının kestirme yollarından gönüllü olarak vazgeçmişlerdi." Üstelik, onun iddiasına göre, onun ondalık sistemi, iş başında karşılaşılan tüm hesaplamaların kesirlere ihtiyaç duymaksızın sadece tam sayılarla nasıl yapılabileceğini öğretmektedir."

Stevin'in gösterimi bugünün ondalık virgülünü kullanmamaktaydı; ama onunla doğrudan ilgilidir. Bizim 3,1416 olarak yazdığımızı, Stevin 3O1®4@1®6® olarak yazmaktaydı. O sembolü bir tam sayıyı, ® onda biri, (D yüzde biri vb belirtmekte ve böylece devam etmektedir. İnsanlar sisteme alıştıkça, ®, (D, vb'den vazgeçmekte, sadece O sembolünü tutmaktaydılar; böylece bu sonuncusu ondalık virgülüne değişecekti.

Aslında ikinin karekökünü ondalık sayılarla yazamayız; durmayı asla planlamazsak, hayır yazamayız. Fakat % kesrini de ondalık sayılarla yazamayız. Bu kesir 0,33'e yakındır, ama 0,333 daha yakındır ve 0,3333 daha da yakın. Ancak 3'lerin sonsuz uzunlukta bir listesini düşünürsek, bir tam temsil -bu sözcüğü özgün anlamında kullanıyorum- vardır. Fakat bu kabul edilebilirse, ilke olarak, ikinin karekökünü de tam olarak yazabiliriz. Rakamlarda açık bir tekrarlanan örüntü yoktur, fakat yeterince çok rakam alırsak, karesi 2'ye istediğimiz kadar yakın bir sayı elde edebiliriz. Kavramsal olarak, rakamların tümünü alırsak, karesi tam 2 olan bir sayı elde ederiz.

"Sonsuz ondalıkların kabulüyle, gerçel sayı sistemi tamamlanmıştı. Bu sistem, bir iş adamının ya da bir matematikçinin arzuladığı her hassasiyette her sayıyı temsil edebilirdi. Her akla yatkın ölçüm bir ondalık sayıyla ifade edilebilirdi. Eğer negatif sayıları yazmak yararlı idiyse, ondalık sistem onları da kolayca hallederdi. Fakat daha başka tür sayılara herhalde gerek yoktu. Doldurulacak aralıklar kalmamıştı.

Şunun dışında.

Cordano'nun şu baş belası üçüncü derece formülü sanki bize bir şeyler söylüyordu, fakat söylediği, ne olursa olsun, korkunç derecede belirsizdi. Görünürde zararsız bir üçüncü derece denklemiyle -bir kökünü bildiğiniz biriyle- başladıy-sanız, bu formül size o yanıtı açık olarak vermezdi. Bunun yerine, daha karışık bir şeylerin küpkökünü almanızı isteyen karman çorman bir reçete önerirdi size ve o şeyler sizden olanaksızı, yani bir negatif sayının karekökünü talep ederdi. Pisagorcular ikinin karekökünden kaçınmışlardı, fakat eksi birin karekökü daha bile şaşırtıcıydı.

Eksi birin kareköküne akla yatkın anlam verme olasılığı, birkaç yüzyıl boyunca, ortak matematiksel bilincin içine girip girip çıkmıştı. Hiç kimse böyle bir sayının var olup olamayacağı konusunda bir fikre sahip değildi. Fakat eğer varsa, aşırı derecede yararlı olabileceği akla yatmaya başlamıştı.

Önceleri, böyle "sanal" [imajinerl niceliklerin tam olarak bir yararı vardı: Bir problemin çözümsüz olduğunu göstermeye. Karesi negatif olan bir sayı bulmak istediyseniz, resmi çözüm olan "eksi birin karekökü" sanaldı; dolayısıyla çözüm yoktu. Düşünür Rene Descartes'ın bizzat kendisi tam bu noktaya parmak basmıştı. 1637'de, ısrarla sanalların varlığı çözümlerin yokluğuna işaret eder diyerek "gerçel" sayıları "sanal"lardan ayırt etmişti. Newton da aynı şeyi söylemişti. Fakat her iki bilge kişi de Bombelli'yi hesaba katmıyordu; Bombelli yüzyıllarca önce, sanalların bazen çözümlerin varlığına işaret ettiğine dikkat çekmişti. Fakat bu uyarıyı deşifre etmek zordur.

Kent eyaletinde benim kasabamın on beş mil kadar ötesinde bulunan Ashford'da doğmuş olan İngiliz matematikçi John Wallis, 1673'te harika bir buluş yapmıştı. Sanal sayıları -hatta gerçel sayıları sanallarla birleştirerek oluşturulan "karmaşık" sayıları- düzlemde noktalar olarak temsil etme gibi bir basit yol bulmuştu. İlk adım, bildiğimiz gerçel "sayı çizgisi" kavramıdır: her iki yönde sonsuza kadar uzanan bir tür cetvel; ortada 0 vardır, pozitif gerçel sayılar sağa doğru ve negatifler sola doğru sıralanırlar.

Her gerçel sayı, sayı çizgisi üzerinde yerleşebilir. Her ardışık ondalık hane, birim uzunluğun eşit olarak ona, yüze, bine, vb alt-bölmelere ayrılmasını gerektirir; fakat bunda bir sorun yoktur. V2 gibi sayılar, 1 ile 2 arasında 1,5'in birazcık solundaki bir yere, istenen hassasiyetle yerleşebilir, n sayısı 3'ün biraz sağına oturur vb.

V2 n

-I—I—I—I—4-4—I--3-2-10123

Gerçel sayı çizgisi.

Fakat V-l nereye konacaktır? Gerçel sayı çizgisinde ona yer yoktur. Pozitif de değildir, negatif de; O'ın ne sağına gidebilir, ne de soluna.

Böylece Wallis onu bir başka yere koymuştu. Sanalları -f nin katlarını- dahil etmek için, ikinci bir sayı çizgisi ortaya atmış ve onu gerçel sayı çizgisine dik açıda yerleştirmişti. Bu, kelime anlamıyla bir "yanal düşünme" haliydi.

Gerçel ve sanal iki sayı çizgisi, O'da kesişmelidir. Bunu kanıtlamak çok kolaydır: Sayılar bir anlam ifade ediyorsa, 0 çarpı i, O'a eşit olmalıdır; dolayısıyla gerçel ve sanal çizgilerin başlangıçlan çakışmalıdır.

Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşmaktadır: Bir gerçel, bir sanal. Bu sayıyı düzleme yerleştirmek için, Wallis okuyucularına, gerçel kısmı yatay "gerçel" çizgi boyunca ve sonra sanal kısmı düşey doğrultuda -sanal çizgiye paralel- ölçünüz demişti.

Bu öneri, sanal ve karmaşık sayılara anlam verme problemini tam olarak çözmüştü. Basit, ama kesindi; bir deha işiydi.

Ne yazık ki tamamen görmezden gelinmişti.

Toplum tarafından tanınmamasına karşın, Wallis'in buluşu matematiksel bilince sızmalıydı, çünkü matematikçiler,

Wallis'in temel fikriyle doğrudan ilgili olan bilinçaltı imgelerini kullanmaya başlamışlardı: Karmaşık sayı çizgisi yoktur, karmaşık düzlem vardır.

Matematik çok yönlü hale geldikçe, matematikçiler daha da karmaşık nesneleri hesaplamaya başlamışlardı. 1702'de Johann Bernoulli bir diferansiyel hesap problemini çözmeye çalışırken, bir karmaşık sayının logaritmasını değerlendirmesi gerektiğini anlamıştı. 1712'ye kadar, Bernoulli ve Leibniz şu temel konu üzerinde mücadele içindeydiler: Bir negatif sayının logaritması nedir? Bunu çözebilirseniz, her karmaşık sayının logaritmasını alabilirdiniz, çünkü bir sayının karekökünün logaritması, bu sayının logaritmasının tam yarısıdır, öyleyse, fnin logaritması, -Fin logaritma-

Birbirine dik olarak yerleştirilmiş gerçel sayı çizgisinin iki kopyası.

Wallis'e göre karmaşık düzlem.

sının yarısıdır. Fakat -Fin logaritması nedir?

Sözü edilen konu basitti. Leibniz -Fin logaritmasının karmaşık olması gerektiğine inanmaktaydı. Bernoulli'yse onun gerçel olması gerektiğini söylüyordu. Bernoulli tartışmasını diferansiyel hesabın basit bir kısmına dayandırmaktaydı; Leibniz ne yöntemin ne de yanıtın bir anlamı var diye karşı çıkıyordu. 1749'da Euler, ciddi şekilde Leibniz'in tarafını tutarak, çekişmeyi çözmüştü. Bernoulli'nin bir şeyi unuttuğunu belirtmişti. Onun diferansiyel hesabı "keyfi bir sabit"in eklenmesini içeren türdendir. Karmaşık hesaba olan

hayranlığı içinde, Bernoulli bu sabitin sıfır olduğunu üstü kapalı kabul etmişti. Ama bu sabit sıfır değildi. Sanaldı. Bu ihmal, Bernoulli'nin yanıtı ile Leibniz'in yanıtı arasındaki uyuşmazlığı açıklıyordu.

Matematiğin "karmaşıklaştırılması"nın temposu hızlanmaktaydı. Gerçel sayıların incelenmesinde ortaya çıkan pek çok fikir, gitgide karmaşık sayılara genişletilmekteydi. 1797'de, Caspar Wessel adlı bir Norveçli, karmaşık sayıları bir düzlem üzerinde noktalar olarak temsil etmek için bir yöntem yayımlamıştı. Caspar bir kilise papazları ailesinden geliyordu ve on dört çocuğun altıncısıydı. O zamanlar Norveç'te üniversite yoktu ve ülke Danimarka'yla birleşikti, bu nedenle 1761'de Kopenhag Üniversitesine gitmişti. O ve kardeşi Ole hukuk okumuşlardı, 01e ailenin mali durumunu rahatlatmak için ayrıca topograf olarak çalışıyordu. Daha sonra Caspar, Ole'nin yardımcısı olmuştu.

Topograf olarak çalışırken, Caspar düzlem geometrisini -özellikle çizgilerini ve onların yönlerini- karmaşık sayılarla temsil etmek için bir yol icat etmişti. Tersine, onun fikirleri karmaşık sayıları düzlem geometri cinsinden temsil etme şeklinde görülebilirdi. Bu çalışmayı -onun matematikteki bir ve tek araştırma makalesini- 1797'de Danimarka Kraliyet Akademisine sunmuştu.

Neredeyse hiçbir önde gelen matematikçi Danimarka dilini bilmiyordu ve bu çalışma yüzyıl sonra Fransızcaya çevri-linceye kadar okunmadan çürümeye yüz tutmuştu. Bu arada, Fransız matematikçi Jean-Robert Argand 1806'da bağımsız olarak aynı fikri üretip onu yayımlamıştı. 1811 yılına kadar, karmaşık sayıların bir düzlemin noktaları olarak görülebileceği, yine bağımsız olarak, Gauss'un aklına da gelmişti. "Argand diyagramı", Wessel diyagramı" ve "Gauss diyagramı" terimleri ortalıkta dolaşmaya başlamıştı. Farklı uluslar farklı deyişleri kullanma eğilimine girmişlerdi.

Son adımı Hamilton atmıştı. 1837'de, Cardano'nun "sanal" sayıların yararlı olabileceğini önerdiği formülünden neredeyse üç yüzyıl sonra, Hamilton geometrik öğeyi kaldırmış ve karmaşık sayıları saf cebire indirgemişti. Düşüncesi ba-

sitti: Bu, Wallis'in önerisinde ve Wessel, Argand ve Gauss'un eşdeğer fikirlerinde üstü kapalı olarak vardı. Fakat hiçbiri bunu açık şekilde ortaya koymamıştı.

Cebirsel olarak, Hamilton demişti ki, düzlemdeki bir nokta bir çift gerçel sayıyla, yani bu noktanın (x, y] koordinatlarıyla özdeşleştirilebilir. Wallis'in diyagramına (ya da VVessel'in, Argand'm ya da Gauss'un) bakarsanız, x'in karmaşık sayının gerçel kısmı ve y'nin sanal kısmı olduğunu görürsünüz. Bir x + iy karmaşık sayısı "gerçekten" de tam (x, y) gerçel sayı çiftidir. Bu çiftleri toplama ve çarpma kurallarını bile yazabilirsiniz ve esas adım şunu gözlemektir: Madem ki i sayısı (0, 1) çiftine karşılık gelmektedir, o zaman (0, 1) x(0, 1) çarpımı (-1,0)'a eşit olmalıdır. Bu noktada Gauss bir mektupla Macar geometrici Wolfgang Bolyai'ye tam olarak aynı fikrin 1831'de onun aklına geldiğini açıklamıştı. Tilki, bir kez daha, izini örtmüştü; öyle ki görünür hiçbir şey yoktu.

Problem çözülmüştü. Bir karmaşık sayı, kısa bir basit kurallar listesi uyarınca yönetilen bir gerçel sayı çiftiydi. Bir gerçel sayı çifti kesinlikle bir tek gerçel sayı kadar "gerçek" olduğundan, gerçel ve karmaşık sayılar gerçeklikle sıkı şekilde ilgilidirler ve "sanallık" aldatıcıdır.

Bugünün görüşü oldukça farklıdır: Aldatıcı olan "gerçeT'dir. Gerçel ve sanal sayılar, ikisi de, insan imgeleminin aynı düzeydeki ürünleridir.

Üç yüzyıllık bir bilmecenin Hamilton çözümüne tepki, belirgin bir biçimde yumuşamıştı. Matematikçiler karmaşık sayılar kavramını güçlü bir tutarlı kuram içine örünce, karmaşık sayıların varlığı hakkmdaki korkular önemsiz hale gelmişti. Karmaşık sayılar konusu bir heyecan kaynağı olmasa da, eskilerden yeni sayı sistemleri kurma düşüncesi matematiksel bilinçte kök salmıştı.

Karmaşık sayıların sadece cebirde değil, temel diferansiyel hesapta da yararlı olduğu anlaşılmıştı. Akışkanlar, ısı, kütleçekim, ses, kısacası matematiksel fiziğin neredeyse her alanındaki problemleri çözmek için güçlü bir yöntem oluş-

turmuştu karmaşık sayılar. Fakat büyük bir sınırlama da söz konusuydu: Bu problemleri iki-boyutlu uzayda çözmekteydiler, içinde yaşadığımız üç-boyutlu uzayda değil. Davul derisinin hareketi ya da ince bir akışkan tabakanın akışı gibi bazı problemler iki boyuta indirgenebilirdi; dolayısıyla durum tamamen kötü değildi. Ama matematikçiler, karmaşık-sayı yöntemlerinin düzlemden üç boyutlu uzaya genişletile-meyebileceği endişesiyle gitgide gerilmekteydiler.

Sayı sisteminin henüz keşfedilmemiş bir üç boyuta genişletilme durumu olamaz mıydı? Karmaşık sayıların Hamilton tarafından gerçel sayı çiftleri olarak şekillendirilmesi, bu öneriye bir yaklaşım yolu akla getirmişti: (x, y, z} üçlüleri üzerine dayanan bir sayı sistemi kurmaya çalışmak. Sorun, hiç kimsenin bir üçlüler cebiri üzerinde çalışmamış olmasıydı. Hamilton bunu denemeye karar vermişti.

Üçlüleri toplamak kolaydı: Karmaşık sayılardan bir ipucu alabilir ve karşılık gelen koordinatları toplardınız. Bugün "vektör toplamı" olarak bilinen bu tür bir aritmetik çok hoş koşullara uyar ve bunu yapmamn sadece bir anlamlı yolu vardır.

Kâbus çarpmaydı. Çarpma, karmaşık sayılar için bile, toplama gibi çalışmaz. İki gerçel sayı çiftinin çarpımını, birinci ve ikinci bileşenlerini ayrı ayn çarparak yapamazsınız, öyle yaparsanız, pek çok hoş şey olur, ama iki ölümcül nahoş şey de olur.

Birincisi, artık eksi birin bir karekökü yoktur.

İkincisi, iki sıfırdan farklı sayıyı çarpıp sıfır elde edersiniz. Böylece "sıfırın bölenleri", denklemleri çözme yolları gibi alışılmış cebirsel yöntemlerin tümüne zarar verir.

Karmaşık sayılarda çarpım için biraz daha az açık bir kural seçerek bu engeli aşabiliriz, Hamilton'un yaptığı buydu. Fakat üçlü sayılar üzerinde benzer numaraları denediğinde, korkunç bir şok yaşamıştı. Ne kadar uğraşırsa uğraşsın, bazı ölümcül kusurlardan kaçınamamıştı. Fakat ancak sıfırın bölenlerini ortaya atarak eksi bir için bir karekök elde edebilirdi. Ne yaptıysa da, sıfırın bölenlerinden kurtulmanın tamamen olanaksız olduğu görünmekteydi.

Bunun biraz beşinci derece denklemini çözme girişimleri gibi tınladığını düşünürseniz, bir şeyler keşfetmek üzeresi-nizdir. Birçok yaman matematikçi bir şey dener ve başarısız olursa, onun olanaksız olduğu muhtemeldir. Matematiğin bize öğrettiği büyük bir şey varsa, o da pek çok problemin çözümsüz olduğudur. Karesi 2 olan bir kesir bulamazsınız. Bir açıyı cetvel ve pergelle üç eşit parçaya bölemezsiniz. Beşinci derece denklemini köklülerle çözemezsiniz. Matematiğin sınırlamaları vardır. Belki de, sahip olmayı istediğiniz bütün hoş özellikleriyle üç boyutlu bir cebir kuramazsınız.

Gerçek durumun bu olup olmadığını öğrenme konusunda ciddiyseniz, bir araştırma programı başlatırsınız. Önce üç boyutlu cebirinizin sahip olmasını istediğiniz özellikleri belirtmeniz gerekir. Ondan sonra bu özelliklerin sonuçlarını analiz etmelisiniz. Bu programdan yeterli bilgi verilmiş olarak, eğer böyle bir cebir varsa, onun sahip olması gereken nitelikleri arayabilirsiniz; ya da niçin var olamayacağının nedenlerini.

En azından, bugün yapabileceğiniz budur. Hamilton'un yaklaşımı böyle sistematik değildi. O üstü kapalı olarak ce-birinin "tüm" akla yakın özelliklere sahip olması gerektiğini varsaymış ve birdenbire onlardan birinden vazgeçilmesi gerekliğini fark etmişti. Daha da önemlisi, üç boyutlu bir cebirin olmadığını anlamıştı. Ele alabileceği en yakın boyut dörttü. Üçlüler değil, dörtlüler.

Cebirin şu tanımlanması zor kurallarına geri dönelim. Matematikçiler cebirsel hesaplar yaparken, sembolleri sistematik yollarla yeniden düzenlerler. Özgün Arapça "al-jabr" adının "yenileme, restore etme" olduğunu hatırlayın; bugün "terimi denklemin diğer tarafına geçirin ve işaretini değiştirin" deriz. Matematikçiler, mantıksal sonuçlar olarak iyi-bilinen diğer kuralları türetirken, ancak son 150 yıl içinde, böyle el hünerlerinin ardındaki kuralların açık listelerini yapmayı iş edinmişlerdi. Öklit'in geometri için yaptığını bu aksiyomatik yaklaşım cebir için yapar; sırf bu fikri elde etmek, matematikçilerin iki bin yılını almıştı.

Zemin hazırlamak için, bu kuralların üçüne -hepsi çarpmayla ilgili- odaklanalım. (Toplama işlemi benzer, fakat dümdüzdür; çarpma ise her şeyin ters gitmeye başladığı yerdir.) Çarpım tablolarını öğrenen çocuklar zamanla çifte emeğin farkına varırlar. Sadece üç kere dört on iki etmez, dört kere üç de on iki eder. îki sayıyı çarparken, hangisi önce gelirse gelsin, aynı sonucu elde edersiniz. Bu olguya yerde-ğiştirme yasası denir ve sembollerle her a ve b sayısı için bize ab = ba olduğunu söyler. Bu kural karmaşık sayıların genişletilmiş sisteminde de geçerlidir. Çiftlerin nasıl çarpıldığını söyleyen Hamilton formüllerini inceleyerek kanıtlayabilirsiniz bunu.

Biraz daha incelikli olan yasa, birleşme özelliğidir; buna göre, aynı mertebede üç sayıyı çarptığınızda, nereden başladığınızın önemi yoktur, örneğin, 2x3x5 çarpımını hesaplamak isteyeyim. 2 x 3'le başlarım, 6 eder; sonra 6'yı 5'le çarparım. Bunun yerine, 3 x 5'le başlarım, 15 eder; sonra 2'yi 15'le çarparım. Her iki yol aynı sonucu, 30'u verir. Birleşme yasası, bunun daima aynı durum olduğunu ifade eder; sembollerle (ab)c = a(bc) demektir, burada parantez çarpmanın yapıldığı iki yolu gösterir. Yine, bu kural hem gerçel hem de karmaşık sayılar için geçerli olup Hamilton formülleri kullanılarak kanıtlanabilir.

Son ve çok yararlı bir kural -ona bölme yasası diyeyim; bunu ders kitaplarında "ters çarpımın varlığı" olarak bulacaksınız- şunu ifade eder: Her sayıyı, ne olursa olsun, daima sıfırdan farklı her sayıya bölebilirsiniz. Sıfıra bölmeyi yasaklamak için iyi nedenler vardır: Esas neden, nadiren anlamlı olmasıdır.

Daha önce, "aşikâr" bir çarpma yapısı kullanılarak üçlülerin bir cebirinin imal edilebileceğini görmüştük. Bu sistem yerdeğiştirme ve birleştirme yasalarını sağlamakta; fakat bölme yasasına uymakta başarısız kalmaktadır.

Hamilton'un büyük esini, saatlerce yararsız araştırma ve hesaplamalardan sonra şu olmuştu: Birleşme ve bölme yasalarının geçerli olduğu yeni bir sayı sistemi oluşturmak mümkündür, fakat yerdeğiştirme yasasını kurban etmelisi-

niz. Bundan sonra bile, gerçel sayı üçlüleriyle bunu yapamazsınız. Dörtlüler kullanmanız gerekir. "Akla yakın" üç boyutlu cebir yoktur, fakat oldukça hoş bir dört boyutlu cebir vardır. O kendi türünde tektir ve sadece bir bakımdan ideale ulaşamamaktadır: Yerdeğiştirme yasasında tökezlemektedir.

Fark eder mi? Hamilton'un en büyük düşünce engeli, yer-değiştirme yasasının temel olduğunu düşünmesindeydi. Her şeyi bilen tarafından birdenbire gelen bir esinle dörtlülerin nasıl çarpılacağını anladığında, her şey bir anda değişmişti. Tarih 16 Ekim 1843'tü. Hamilton ve karısı, Dublin'deki Kraliyet İrlanda Akademisinin bir toplantısına gitmek üzere, Kraliyet Kanalının yan yolu boyunca yürüyorlardı. Onun bilinçaltı zihni, birdenbire gelen bu ilhamla, üç boyutlu cebir problemini çalkalayıp altını üstüne getirmiş olmalıydı. "Ben tam o anda galvanik düşünce devresinin kapandığını hissetmiştim" diye yazmıştı bir sonraki mektubunda, "ve ondan çıkan kıvılcımlar i, j, k arasındaki temel denklemlerdi; tam olarak ben hep onları kullanıyormuşum gibi."

Böylece galip gelen Hamilton'du; Broome Köprüsünün taş duvarına bu formülleri oydurtmuştu (ona "Fayton" adını vermişti). Köprü hâlâ yerinde duruyor, fakat oyma yok; yine de bir anı plakası var. Formüller de orada:

i2 = j2 = k2 = ijk = -1

Bunlar, çok sayıda simetriye sahip, çok güzel formüller. Fakat herhalde merak ettiğiniz şudur: Peki, dörtlüler nerede?

Karmaşık sayılar (x, y) çiftleri olarak yazılabilir; fakat i = V-l olmak üzere, genelde x + iy biçiminde yazılırlar. Aynı şekilde, Hamilton'un aklındaki sayılar ya (x, y, z, w) dörtlüleri olarak ya da x + iy + jz + kw karışımı şeklinde yazılabilirdi. Hamilton'un formülleri ikinci gösterimi kullanmaktadır; ama biçimsel düşünce tarzına sahipseniz, bunun yerine dörtlüleri yeğleyebilirsiniz.

Hamilton yeni sayılarına kuatemiyonlar adını vermişti. Onların birleşme yasasına ve -dikkat çekecek derecede, daha sonra belli olduğu gibi- bölme yasasına uyduklarını kanıtlamıştı. Fakat yerdeğiştirme yasasına değil. Kuatemiyonlann çarpım kuralları ij = k , fakat ji = -k olduğunu ifade eder.

Kuatemiyonlar sistemi, karmaşık sayıların bir kopyasını içerir: x + iy yapısında kuatemiyonlar. Hamilton’un formülleri gösteriyor ki, -1 sadece i ve -i gibi iki kareköke sahip değildir; ayrıca j, -j ve k, -fc'lere de sahiptir. Aslında, kuater-niyon sisteminde eksi birin sonsuz sayıda çok farklı karekö-kü vardır.

Böylece yerdeğiştirme yasasıyla birlikte, ayrıca ikinci derece denkleminin iki köke sahip olma kuralını da kaybettik. Neyse ki, kuatemiyonlar icat edilinceye kadar, cebirin odağı zaten denklem çözümlerinden başka yerlere kaymış bulunuyordu. Kuatemiyonlann yararları büyük ölçüde kusurlarına ağır basmıştı. Sadece onları kullanmaya alışmalıydınız.

1845'te Thomas Disney, Hamilton'u ziyaret etmiş ve yanında kızı, William'm çocukluk aşkı Catherine'i de getirmişti. O zamana kadar, Catherine ilk kocasını kaybetmiş ve tekrar evlenmişti. Karşılaşma, eski yaralan depreştirmiş ve Hamilton'un alkole karşı dayanıksızlığı daha bir şiddet kazanmıştı. Dublin'de bir bilimsel yemekte kendini öylesine budala bir duruma düşürmüştü ki içkiyi terk etmiş ve ondan sonraki iki yıl sadece su içmişti. Fakat gökbilimci George Airy onunla bu perhizi nedeniyle alay etmeye başladığında, Hamilton ona büyük miktarlarda alkolü mideye indirerek yanıt vermişti. Ondan sonra o kronik bir alkolikti.

Hamilton'un iki amcası ölmüş, bir arkadaş ve bir meslektaşı intihar etmişti; o zaman Catherine ona yazmaya başlamış, bu ise onun bunalımını daha da kötüleştirmişti. Catherine yaptığı şeyin saygıdeğer evli bir kadın için uygun olmadığını çok geçmeden anlamış ve gönülsüz bir şekilde kendini öldürmeye kalkışmıştı. Kocasından ayrılmış ve annesiyle yaşamaya gitmişti.

Hamilton akrabaları aracılığıyla ona yazmayı sürdürmüştü. 1853'e kadar Catherine ona küçük hediyeler yollayarak teması yenilemişti. Hamilton onu görmeye giderek, ku-atemiyonlar üzerine olan kitabının bir kopyasını götürerek yanıt vermişti, tki hafta sonra Catherine ölmüştü. Hamilton çok üzgündü; yaşamı giderek daha düzensiz bir hal almıştı.

1865'te öldüğünde, yenmemiş yiyecekler matematiksel makaleleriyle karışmış şekilde bulunmuştu; ölümü, aşırı ayyaşların ortak hastalığı olan eklem iltihabı kaynaklıydı.

Hamilton, kuatemiyonların cebir ve fiziğin Kutsal Kâsesi -karmaşık sayıların daha yüksek boyutlara hakiki genellemesi ve uzayda geometri ve fiziğin anahtarı- olduğuna inanmaktaydı. Kuşkusuz, uzay üç boyuta sahiptir, oysaki ku-atemiyonlar dört; fakat Hamilton üç-boyutlu doğal bir alt-sistemi hedeflemişti. Bunlar bi + cj + dk şeklindeki "sanal" kuaterniyonlardı. Geometrik olarak, i, j, k sembolleri uzayda birbirine dik üç eksen etrafında dönmeler olarak yorumlanabilir; temelde bir tam çemberin 360°'yi değil de, 720°'yi kapsadığı bir geometride çalışmak gerektiği gibi bazı incelikler olsa da. Bu gariplik bir yana, Hamilton'un bunları geometri ve fizik için neden yararlı bulduğunu görebilirsiniz.

Eksik olan "gerçel" kuatemiyonlar, aynı gerçel sayılar gibi davranırlar. Onları tamamen ortadan kaldıramazsınız, çünkü ne zaman cebirsel hesaplamalar yapsanız, sanal kuater-niyonlarla başlamış olsanız bile, gerçellerin ortaya çıkması muhtemeldi. Sırf sanal kuatemiyonlar bölgesi içinde kalmak mümkün olsaydı, bu makul bir üç boyutlu cebir olurdu ve Hamilton'un araştırması başarıya ulaşırdı. Bir sonraki en iyi şey, dört boyutlu kuatemiyonlar sistemiydi ve onun içine gayet düzenli bir şekilde gömülmüş olan doğal üç boyutlu sistem, katışıksız bir üç boyutlu cebirin yararlı olabildiği kadar çok yararlıydı.

Hamilton yaşamının geri kalan kısmını kuatemiyonlara -onların matematiğini geliştirmeye ve fiziğe uygulamalarını özendirmeye- ayırmıştı. Birkaç sadık halefi bunları hararetle övmüştü. Bu kişiler bir kuatemiyonlar okulu kurmuşlardı; Hamilton öldüğünde, dizginler, Edinburg'ta Peter Tait ve Harvard'da Benjamin Peirce'in eline geçmişti.

Bununla birlikte, pek çok kişi kuatemiyonlardan hoşlanmamıştı; kısmen onların yapmacıklığı nedeniyle; fakat daha çok da, daha iyi bir şeyler bulduklarına inandıkları için. Mu-

haliflerin en seçkinleri, şimdi "vektör cebiri"nin yaratıcıları olarak tanınan Prusyalı Hermann Grassmann ve Amerikalı Josiah Willard Gibbs'ti. Bunların ikisi de herhangi boyut sayılı yararlı cebir tipleri icat etmişti. Onların çalışmalarında, dört boyuta ya da sanal kuaterniyonların üç-boyutlu altkü-mesine sınırlama yoktu. Bu vektör sistemlerinin cebirsel özellikleri, Hamilton'un kuatemiyonlan kadar hoş değildi. Bir vektörü diğerine bölemezsiniz örneğin. Fakat Grassmann ve Gibbs işleyen genel kavramları yeğlemekteydiler; sayıların birkaç alışılmış niteliği eksik olsa da. Bir vektörü bir diğerine bölmek olanaksız olabilirdi, bu kimin umurundaydıl

Hamilton fen ve matematiğe yaptığı en büyük katkının kuatemiyonlar olduğuna inanarak gitmişti mezanna. Sonraki yüzyıllarda, Tait ve Peirce'ten başka neredeyse hiç kimse kuatemiyonlan pek kabullenmedi ve kuatemiyonlar Victoria Dönemi cebirinin modası geçmiş bir su birikintisi olarak kalmıştı. Matematiğin, kendi iyiliği için, bir verimsizlik örneğini isteseydiniz, kuatemiyonlar buna tam uygun düşerdi. Saf matematik üzerine olan üniversite derslerinde bile, kuatemiyon-lar asla yer almaz ya da merak olarak gösterilir. Bell'e göre,

Hamilton'un en derin trajedisi, ne alkol ne de evlilikti; kuaterniyonların fiziksel evrenin matematiğine ilaç olduğu şeklindeki müzmin inancıydı. Tarih göstermişti ki Hamilton, "17. yüzyıl kapanırken fluksiyonların keşfi ne kadar önemliyse, bu keşfin de, bana 19. yüzyıl ortaları için o denli önemli geldiğini ileri sürmek zorundayım" diye ısrar ettiğinde, kendini feci şekilde kandırmıştı. Bir büyük matematikçi hiçbir zaman böylesine ümitsizce yanılmamıştı.

Gerçekten mi?

Kuatemiyonlar, tam Hamilton'un sergilediği gibi geliştirilmemiş olabilir, fakat onların önemi her yıl artmaktadır. Matematikte kesinlikle temel hale geldiler ve göreceğiz ki kuatemiyonlar ve onların genellemeleri fizikte de temeldir. Hamilton'un saplantısı, modem cebirin ve matematiksel fiziğin geniş yollarına kapılar açmıştı.

Hiçbir zaman bir sözde-tarihçi böylesine ümitsizce yanılmamıştı.

Hamilton belki kuatemiyonlarm uygulamalarını abartmiştı ve gerçekte uygun olmayan numaralar yaparak onlan çarpıtmıştı, fakat onların önemi konusundaki inancı haklı görünmeye başlıyor. Kuatemiyonlar en olmadık yerlerde tuhaf bir sapma alışkanlığı geliştirdi. Bir nedeni, onların tek ve biricik olmalarıdır. Birkaç makul, oldukça basit özellikle karakterize edilebilirler -bir "aritmetik yasaları" seçimi, sadece bir önemli yasayı atlayarak- ve bu özellikler listesiyle tek matematiksel sistemi oluştururlar.

Bu ifade paketin açılmasını gerektirmektedir.

Gezegendeki pek çok kişinin tanıdığı tek sayı sistemi ger-çel sayılardır. Gerçel sayıları toplar, çıkarır, çarpar ve bölebilirsiniz; sonucunuz daima bir gerçel sayıdır. Kuşkusuz, sıfıra bölmeye izin verilmez; fakat bu gerekli sınırlamanın dışında, gerçel sayılar sistemini terk etmeksizin, upuzun bir aritmetik işlemler dizisini uygulamaya koyabilirsiniz.

Matematikçiler böyle bir sisteme alan derler. Rasyonel ve karmaşık sayılar gibi birçok başka alan vardır; fakat gerçel alan özeldir. Ayrıca şu iki özelliğe daha sahip tek alan budur: Sıralıdır ve tamdır.

"Sıralı" oluşu şu anlama gelir: Sayılar doğrusal bir sırada bulunmaktadırlar. Gerçeller, negatif sayılar sola doğru ve pozitif sayılar sağa doğru olmak üzere, bir çizgi boyunca dizilirler. Rasyonel sayılar gibi başka sıralı alanlar da vardır; fakat diğer sıralı alanlardan farklı olarak, gerçeller ayrıca tamdır. Bu fazladan özellik (bunun tok ifadesi biraz tekniktir), V2 ve n gibi sayıların var olmasına izin verir. Esasında, tamlık özelliği, sonsuz ondalıkların anlamlı olduğunu söyler.

Gerçel sayıların tam sıralı tek alanı oluşturdukları kanıtlanabilir. Matematikte böylesine merkezi bir rol oynamalarının nedeni budur. Gerçel sayılar, içerisinde aritmetik,"... den büyük" ve diferansiyel hesap işlemlerinin yapılabildiği tek ortamdır.

Gerçel sayıların içine yeni türden bir sayı -eksi birin ka-rekökü- yerleştirilerek genişletilen sistem karmaşık sayılardır. Fakat negatif sayıların kareköklerini almaya karşılık ödenen bedel, sıranın kaybedilmesidir. Karmaşık sayılar bir tam sistemdir, fakat tek sıralı bir dizide dizilmeyip bir düzlem üzerine saçılmışlardır.

Düzlem 2-boyutludur ve 2, sonlu bir tamsayıdır. Karmaşık sayılar, gerçel sayıları içeren ve sonlu boyuta sahip olan tek alandır; bir boyutlu gerçel sayıların kendileri dışında. Bu, karmaşık sayıların da tek ve biricik olduğunu ifade eder. Pek çok önemli amaç için, karmaşık sayılar çok işe yarayan tek nesnedir. Onların tek oluşu, onları vazgeçilmez kılar.

Karmaşık sayıları, boyutu (sonlu tutmak kaydıyla) artırarak ve mümkün olduğunca çok cebir yasasını alıkoyarak genişletmeye kalkıştığımızda, kuatemiyonlar ortaya çıkmaktadır. Alıkoymak istediğimiz yasalar, toplama ve çıkarmanın tüm olağan özellikleri, çarpmanın özelliklerinin çoğu ve sıfırdan farklı her şeye bölme olanağıdır. Bu kez kurban edilecek şey çok ciddidir; Hamilton'a müthiş baş ağrısı veren budur. Çarpmanın yerdeğiştirme yasasını terk etmelisiniz. Bunu sırf kaba bir olgu olarak kabul edip devam etmek zorundasınız. Ona alıştığınız zaman, neden her durumda yer-değiştirme yasasının geçerli olmasını beklediğinize hayret edersiniz ve onu karmaşık sayılar için geçerli küçük bir mucize olarak düşünmeye başlarsınız.

Bu özelliklerin, yer değiştirebilir ya da değiştiremez, karışımına sahip her sisteme bir bölme cebiri denir.

Gerçel sayılar ve karmaşık sayılar bölme cebirleridir, çünkü çarpmanın yerdeğiştirebilirliğini reddetmiyoruz; onu sadece istiyor değiliz. Her alan bir bölme cebiridir. Fakat bazı bölme cebirleri alan değildir ve bunların ilki, keşfedilecek olan kuatemiyonlardır. 1898'de, Adolf Hurwitz kuater-niyonlar sisteminin de tek ve biricik olduğunu kanıtlamıştı. Kuatemiyonlar, gerçel sayılan içeren ama ne gerçel sayılara ne de karmaşık sayılara eşit olmayan tek sonlu boyutlu bölme cebiridir.

Burada garip bir örüntü vardır. Gerçellerin, karmaşık sayıların ve kuaterniyonların boyutları 1, 2 ve 4'tür. Bu, kuşkulu biçimde bir dizinin, 2'nin kuvvetlerinin başlangıcı gibi görünmektedir. Bunun doğal uzantısı 8,16, 32 vb olabilir.

Bu boyutlara sahip ilginç cebirsel sistemler var mıdır?

Evet ve hayır. Fakat nedenini görmek için beklemelisiniz, çünkü simetrinin öyküsü artık yeni bir aşamaya girmektedir: Diferansiyel denklemlerle ilişkilere, fizik dünyasını modelle-mek için en yaygın kullanılan yola ve fizikçilerin çoğu doğa yasasını ifade ettiği dile.

Kuramın en derin yanları, yine, simetriye varmaktadır, fakat yeni bir bükülmeyle. Bu kez simetri grubu sonlu değil, "sürekliydin Matematik, şimdiye dek yürütülmüş en etkili araştırma programlarından biriyle zenginleşmek üzereydi.

SÖZDE ASKER VE CILIZ KİTAPKURDU

Marius Sophus Lie sadece fen okumuştu, çünkü zayıf görme duyusu onu her türlü askeri görevden dışlamıştı. Sophus, biline geldiği gibi, 1865'te Christiania Üniversitesinden mezun olduğunda, Norveçli Ludwig Sylow tarafından verilen Galois kuramı üzerine bir ders dahil, sadece birkaç matematik dersi almış bulunmaktaydı, fakat konu üzerine özel bir beceri göstermemişti. Bir süre kararsız kalmıştı; akademik kariyer yapmak istiyordu, ama botanikte mi, zoolojide mi, yoksa astronomide mi, bundan emin değildi.

Üniversitedeki kütüphane kayıtları, onun matematiksel konularda gitgide daha çok kitap aldığını gösteriyor. 1867'de, gecenin ortasında, bir meslek düşüyle çarpılmıştı. Arkadaşı Ernst Motzfeldt, Lie tarafından heyecan içinde "onu buldum, oldukça basit!" diye bağırarak uyandırılmış olmaktan şaşkındı.

Lie'nin bulduğu şey, geometriyi düşünmenin yeni bir yoluydu.

Lie, Alman Julius Plücker ve Fransız Jean-Victor Pon-celet gibi büyük geometricilerin çalışmalarını incelemeye başlamıştı. Plücker'den, temel öğeleri öklit'in bilinen noktaları değil de, başka nesneler -çizgiler, düzlemler, çemberler- olan geometriler fikrini öğrenmişti. Kendi büyük fikrini ana hatlarıyla özetleyen bir makaleyi 1869'da kendi kesesinden bastırmıştı. Kendinden önce gelen Galois ve Abel gibi, fikirlerinin eski tüfekler için aşın derecede devrimci olduklarını anlamıştı ve alışılmış dergiler onun araştırmalarını basmak istememişlerdi. Fakat Ernst arkadaşının ümitsizliğe kapılmasına razı gelmemiş ve geometri çalışmalarını sür-

dürtmûştü. Sonunda, Lie'nin makalelerinden biri saygın bir dergide yayımlanmış ve uygun karşılanmıştı. Bu Lie'ye bir burs kazandırmıştı. Artık seyahat etmek, önde gelen matematikçileri ziyaret etmek ve onlarla fikirlerini tartışmak için parası vardı. Prusya ve Alman matematikçilerinin mekânları olan Göttingen ve Berlin'e gitmiş ve Leopold Kronecker ve Emst Kummer gibi cebirciler ile analizci Kari Weierstrass'la konuşmuştu. Kummer'in matematik yapma yolundan çok, Weierstrass'mkinden az, etkilenmişti.

Bununla birlikte, en önemli karşılaşma, Berlin'de Felix Klein'laydı; Klein, tesadüfe bakın ki, Plücker'in öğrencisi olmuştu, Lie ona hayrandı ve ona yetişip geçmek istiyordu. Lie ve Klein benzer matematiksel temellere sahiptiler, fakat eğilimleri büyük ölçüde farklıydı. Klein, temelde geometrik eğilimleri olan bir cebirci olarak, iç güzellikli özel problemler üzerinde çalışmaktan hoşlanmaktaydı; Lie ise geniş genel kuramları seven bir analizciydi. Kaderin garip cilvesine bakın ki, matematiğe onun en önemli özel yapılarından bazılarını vermiş olan Lie'nin genel kuramları, olağanüstü güzel, olağanüstü derin ve çoğunlukla cebirseldiler ve hâlâ öyledirler. Bu yapılar, Lie'nin itmesiyle genelleştirilmeselerdi, hiç keşfedil-meyebilirlerdi. Belli türden tüm olası matematiksel cisimleri anlamaya çalışır ve bunu başarırsanız, kaçınılmaz olarak, nadir özelliklere sahip böyle pek çok cisim bulursunuz.

1870'te, Lie ve Klein Paris'te tekrar buluşmuştu. Orada, Jordan Lie'yi grup kuramı davasına çevirmişti. Geometri ve grup kuramının aynı madeni paranın iki yüzü gibi oldukları şeklinde gitgide büyüyen bir anlayış vardı, fakat bu fikrin tam biçimlenmesi uzun zaman almıştı. Lie ve Klein, gruplarla geometri arasında çok daha açık bir ilişki kurma yolunda bazı ortak çalışmalar yapmışlardı. En sonunda, Klein 1892'de kendi "Erlangen Programı"nda bu düşünceyi krista-lize etmişti; buna göre, geometri ve grup kuramı özdeşti.

Modem dilde, fikir öyle basit tınlıyordu ki başından beri apaçık olmalıydı. Verilen herhangi bir geometriye karşılık gelen grup, bu geometrinin simetri grubudur. Tersine, herhangi bir gruba karşılık gelen geometri, bu grubu simetri

grubu kabul eden cisimdir. Yani, geometri, grup altında değişmez kalan nesnelerle tanımlanır.

örneğin, Öklit geometrisinin simetrileri düzlemin öyle dönüşümleridir ki bu dönüşümler uzunlukları, açıları, çizgileri ve çemberleri korurlar. Tersine, katı hareketler altında değişmez kalan her şey, doğal olarak Öklitçi geometrinin alanı içine düşer, öklitçi olmayan geometri basitçe farklı dönüşüm gruplarını kullanır.

O halde neden geometriyi grup kuramı içine çevirme zahmetine giriyoruz? Çünkü bu, geometriyi düşünmek için size iki farklı yol sunar; gruplan düşünmek içinde de iki farklı yol. Meseleyi bazen bir yolla daha iyi anlarsınız, bazen de diğer yolla.

Fransa ile Prusya arasındaki ilişkiler hızla kötüleşmekteydi. İmparator III. Napoleon Prusya'yla bir savaş başlatmanın düşmekte olan popülaritesini düzeltebileceğini düşünmüştü. Bismarch Fransa'ya sert bir telgraf göndermişti ve Fransa-Prusya Savaşı 19 Temmuz 1870'te ilan edilmişti. Paris'te bir PrusyalI olan Klein Berlin'e geri gitmeyi bir tedbir saymıştı.

Bununla birlikte, Lie bir Norveçliydi ve ziyaretinden büyük ölçüde hoşnuttu; dolayısıyla Paris'te kalmayı yeğlemişti. Fakat Fransızlann savaşı kaybetmekte ve Alman ordusunun Metz'e doğru ilerlemekte olduğunu fark ederek kararını değiştirmişti. Tarafsız bir ülkenin yurttaşı olmakla birlikte, potansiyel bir savaş bölgesinde kalmak pek güvenli değildi.

Lie, İtalya yönünde uzun bir yürüyüşe çıkmaya karar vermişti. Çok uzağa gitmemişti ki Fransız yetkilileri onu Paris'in 40 kilometre kadar güneydoğusunda Fontainebleau'da, yanında anlaşılmaz sembollerle kaplı çok sayıda belgeyle yakalamışlardı. Bunlar kuşkusuz kodlardı, Lie belli ki Almanlar lehine casusluk yapıyordu ve tutuklanmıştı, önde gelen Fransız matematikçi Gaston Darboux'nun arabuluculuğuna başvurulmuş; o da yazıların matematik olduğuna yetkilileri inandırmıştı. Lie hapisten çıkmış, Fransız ordusu kuşatılmış,

Alınanlar Paris'i ablukaya almış ve Lie bir kez daha İtalya'ya yhnnlmişti; bu kez başarılıydı. Oradan Norveç'e dönmüştü. Yolda Klein'a uğramıştı; Klein Berlin'de güven içindeydi.

Lie 1872'de doktorasını almıştı. Norveç akademik dünyası onun çalışmalarından öylesine etkilenmişti ki Christiania Üniversitesi aynı yılda özel olarak onun için bir kadro yaratmıştı. Önceki öğretmeni Ludwig Sylow'la birlikte Abel'in toplu çalışmalarının düzenlenmesini iş edinmişti. 1874'te Anna Birch'le evlenmiş, sonunda da üç çocuk babası olmuştu.

O ana kadar, Lie gelişmeye hazır hissettiği özel bir konu üzerine yoğunlaşmıştı. Matematikte birçok denklem cinsi vardır, bunlardan iki tip özellikle önemlidir. îlki, Abel ve Galois tarafından çok etkin biçimde çalışılmış cinsten olan cebirsel denklemlerdir. İkincisi, doğa yasaları üzerine olan çalışmalarında Newton tarafından ortaya atılan diferansiyel denklemlerdir. Böyle denklemler diferansiyel ve integral hesaptan kavramlar içerirler ve doğrudan bir fiziksel nicelikle uğraşmak yerine, bu niceliğin zamanla nasıl değiştiğini betimlerler. Daha kesin söylersek, niceliğin değişme hızını saptarlar. Örneğin, Newton'ın en önemli hareket yasası, "bir cisim tarafından kazanılan ivme, onun üzerine etkiyen toplam kuvvetle orantılıdır" der. îvme, hızın değişim oranıdır. Yasa bize doğrudan cismin hızının ne kadar olduğunu söylemek yerine, hızın değişim oranını söylemektedir. Benzer şekilde, Newton'm geliştirdiği bir başka denklem, bir cismin soğutulurken sıcaklığının nasıl değiştiğinin açıklanmasıdır ve der ki "sıcaklığın değişim hızı, cismin sıcaklığı ile çevresinin sıcaklığının arasındaki farkla orantılıdır."

Fizikteki önemli denklemlerin çoğu -bir sıvının akışı, küt-leçekimin etkisi, gezegenlerin hareketi, ısı aktarımı, dalgaların hareketi, manyetizmanın etkisi ve ışık ve sesin yayılmasıyla ilgili olanlar- diferansiyel denklemlerdir. îlkin Nevvton'm farkına vardığı gibi, gözlemek istediğimiz niceliklerin, kendilerine değil de, değişme hızlarına bakarsak, doğanın örüntü-lerini tanımak genelde daha basit ve daha kolay hale gelir.

Lie kendine çok önemli bir soru sormuştu. Galois'nın cebirsel denklemler kuramına benzer bir diferansiyel denk-

lemler kuramı var mıdır? Bir diferansiyel denklemin ne zaman belirli yöntemlerle çözülebildiğine karar vermenin bir yolu var mıdır?

Anahtar, bu kez de, simetriydi. Lie, geometrideki bazı kendi sonuçlarının diferansiyel denklemler cinsinden yeniden yorumlanabildiklerinin şimdi farkına varmıştı. Özel bir diferansiyel denklemin bir çözümü verildiğinde, Lie bir dönüşüm (özel bir gruptan) uygulayabilir ve sonucun da bir çözüm olduğunu kanıtlardı. Bir çözümden, tümü grupla bağlantılı, pek çok çözüm elde edebilirdiniz. Diğer bir deyişle grup, diferansiyel denklemin simetrilerinden oluşmaktaydı.

Bu, güzel bir şeyin keşfedilmeyi beklediğini açıkça sezinletiyordu. Galois'mn simetrileri uygulamasının cebirsel denklemler için neler yapmış olduğunu bir düşünün. Şimdi de çok daha önemli bir diferansiyel denklemler sınıfı için aynı şeyin yapılacağını hayal edin!

Galois'nm çalıştığı grupların tümü sonludur. Yani, gruptaki dönüşüm sayısı bir tamsayıdır. Örneğin, beşinci derece denkleminin beş kökü üzerine kurulan tüm permütasyonlar grubu 120 elemana sahiptir. Bununla birlikte, diferansiyel denklemlerin simetri grupları dahil, birçok akla yakın grup sonsuzdur.

Bir çemberi herhangi bir açıda döndüren dönüşümlerin oluşturduğu grup, yani çemberin simetri grubu, bir genel sonsuz gruptur. Sonsuz sayıda olası açı var olduğundan, çemberin dönme grubu sonsuzdur. Bu grubun sembolü S0(2)'dir. Burada "O", "ortagonal = dik" anlamına gelir ve dönüşümlerin düzlemdeki katı hareketler olduğunu söylemeye çalışır; "S" ise düzlemi ters-yüz etmeyen dönmeler anlamını taşır.

Çemberler ayrıca sonsuz sayıda yansımalı simetri eksenine sahiptir. Bir çemberi herhangi bir çapa göre yansıtırsanız, aynı çemberi elde edersiniz. Dönmelere yansımaları eklemek, daha büyük bir grup olan 0(2)'ye yol açar.

SO(2) ve 0(2) gruplan sonsuzdur, fakat uysal bir sonsuz tipidir. Farklı dönmeler bir tek sayı -ilgili açı- belirtilerek

saptanabilir, iki dönmeyi art arda uyguladığınızda, sadece karşılık gelen açıları toplarsınız. Lie bu cins bir davranışa "sürekli" demişti ve dolayısıyla onun terminolojisinde SO(2) bir sürekli gruptu. Bir açıyı belirtmek için sadece bir sayı gerektiğinden, SO(2) bir-boyutludur. Aynı şey 0(2) için de ge-çerlidir, çünkü gerekli olan tek şey, yansımaları dönmelerden ayırt etmektir; ki bu da cebirde bir artı ya da bir eksi işareti sorunudur.

S0(2) grubu, en basit bir Lie grubu örneğidir, fakat aynı anda iki yapı tipine sahiptir: O bir gruptur ve ayrıca bir ma-nifolddur; çok boyutlu uzay. S0(2) için, manifold bir çemberdir ve grup işlemi, çember üzerindeki iki noktaya karşılık gelen iki açıyı toplayarak bu noktalan birleştirir.

Çember sonsuz adet dönmesel simetriye sahiptir (solda) ve sonsuz adet yansımasal simetriye (sağda).

Lie gruplannın nefis bir özelliğini keşfetmişti Lie: Grup yapısının "doğrusal hale" getirilebileceğini. Bu demektir ki temeldeki eğri manifold, düz bir öklitçi uzayla yer değiştirebilir. Bu uzay manifoldun teğet uzayıdır. Bu, S0(2) için işte şöyle görünür:

Lie grubundan Lie cebirine: Bir çembere teğet uzayı.

Grup yapısı, üstteki tarzda doğrusal hale getirildiğinde, teğet uzayına kendisinin cebirsel yapısını verir; bu da grup yapısının bir tür "sonsuz-küçük" biçimidir ve özdeşlik dönüşümüne iyice yakın dönüşümlerin davranışlarını betimler. Buna söz konusu grubun Lie cebiri denir. Grupla aynı boyuta sahiptir, fakat geometrisi çok daha basittir, düzdür.

Bu basitliğe karşılık ödenecek bir fiyat vardır kuşkusuz: Lie cebiri, karşılık gelen grubun en önemli özelliklerini alı-koyar, fakat bazı ince ayrıntıları yitirir. Alıkonulan özellikler incelikli değişimlere uğrar. Yine de, Lie cebirine geçerek Lie grubu hakkında pek çok şey öğrenebilirsiniz ve Lie cebiri düzenlemesinde pek çok soru daha kolay şekilde yanıtlanır.

Lie cebiri üzerindeki doğal cebirsel işlem AB çarpımı değil de, komütatör adı verilen AB - BA farkı olduğu -Lie'nin büyük sezgilerinden biriydi bu- anlaşılmıştı. AB = BA olan SO(2) gibi gruplar için, komütatör sıfırdır. Fakat üç-boyuttaki dönmelerin SO(3) grubunda, A ve B'nin dönme eksenleri aynı ya da birbirlerine dik olmadıkça, AB - BA sıfır değildir. Böylece komütatörlerin davranışı grubun geometrisini açığa vurur.

Lie'nin diferansiyel denklemler için bir "Galois kuramı" rüyası, en sonunda 1900'lerin başlarında" diferansiyel alanların" bir kuramının yaratılmasıyla gerçekleşmişti. Fakat Lie gruplan kuramının Lie'nin umduğundan çok daha önemli ve çok yaygın uygulanılabilir olduğu anlaşılmıştı. Bir diferansiyel denklemin özel yollarla çözülüp çözülemeyeceğini saptama aracı olmasının yerine, neredeyse her matematik dalında Lie gruplan ve Lie cebirleri kuramına rastlanmaktadır. "Lie kuramı" mucidinden kopmuş ve onun düşündüğünden çok daha önemli hale gelmişti.

Sonradan öneminin anlaşılma nedeni simetridir. Simetri büyük ölçüde matematiğin her alanında içerilir ve matematiksel fizikteki esas fikirlerin çoğunun temelini oluşturur. Dünyanın temelindeki düzenliliği simetriler ifade eder ve fiziği bunlar sürüp götürürler. Dönmeler gibi sürekli simetriler, uzay, zaman ve maddenin doğasıyla sıkı sıkıya ilişkilidir; onlar çeşitli korunum yasaları içerirler; bunun bir örneği

enerjinin korunum yasası olup, bu yasaya göre, kapalı bir sistem ne eneıji kazanabilir ne de kaybedebilir. Bu bağlantı Hilbert'in öğrencisi Emmy Noether tarafından incelenmişti.

Bir sonraki adım, kuşkusuz, tıpkı Galois ve ardıllarının sonlu grupların birçok özelliklerini sınıflandırdıkları gibi, olası Lie gruplarını anlamaktır. Bu noktada araştırmaya ikinci bir matematikçi katılmaktaydı.

Anna Catharina oğlu için endişelenmekteydi.

Doktoru ona genç VVilhelm'in "oldukça zayıf, hem de çok beceriksiz" ve "her zaman heyecanlı, fakat tam anlamıyla işe yaramaz bir kitap kurdu" olduğunu söylemişti. Wilhelm'in sağlığı o büyüdükçe iyileşmişti, fakat aşın kitap okuma eğilimleri değişmemişti. 39'uncu doğum gününden hemen önce, haklı olarak, "tüm zamanların en ünlü matematik makalesi" diye betimlenmiş olan bir matematiksel araştırma bastırmıştı. Böyle belirtmeler elbette özneldir, fakat Wilhelm'in makalesi kesinlikle herkesin listesinin üzerinde olurdu.

Wilhelm Kari Joseph Killing, Josef Killing ve Anna Cat-harina Kortenbach'ın oğluydu. Bir erkek kardeşi, Kari ve bir kız kardeşi, Hedwig vardı. Josef bir yasal kâtip, Anna bir eczacının kızıydı. Orta Almanya'nın doğusunda Burbach'ta evlenmişler ve hemen ardından Josef oraya belediye başkanı olunca Medebach'a taşınmışlardı. Daha sonra Winterberg'e belediye başkanı olmuş ve ardından da Rüthen'in belediye başkanı yapılmıştı.

Aile epeyce varlıklıydı; Wilhelm'i Dortmund'un 80 kilometre batısında bulunan Brilon'daki liseye hazırlamak için özel bir hoca tutabilirdi. Okulda VVilhelm klasik dilleri -Latince, îbranice, Yunanca- sevmişti. Harnischmacher adında bir öğretmen onu matematikle tanıştırmıştı; VVilhelm'in geometride çok iyi olduğu anlaşılmış ve matematikçi olmaya karar vermişti. Bugünkü adı Münster VVestfalya VVilhelm Üniversitesi olan, fakat o zaman sadece Kraliyet Akademisi denen üniversiteye devam etmişti. Akademide ileri matematik dersleri okutulmamaktaydı, bu nedenle Killing matema-

tiği kendi kendine öğrenmişti. Plücker'in geometri üzerine olan çalışmalarını okumuş ve kendine ait birkaç yeni teorem türetmeye çalışmıştı. Ayrıca Gauss'un Disquisitiones Arithmeticae eserini de okumuştu.

Kraliyet Akademisindeki iki yılın ardından Berlin'e taşınmıştı; orada matematik öğretim kalitesi çok üstündü ve Weierstrass ile Kummer'in yanı sıra, enerjinin korunumu ile simetri arasındaki ilişkiyi açıklığa kavuşturan matematiksel fizikçi Hermann von Helmholtz'un etkisinde kalmıştı. Killing doktora tezini, Weierstrass'm bazı düşüncelerine dayanarak yüzeylerin geometrisi üzerine yazmış ve Yunanca ile Latin-cenin yanı sıra, matematik ve fizik öğretmeni olarak bir iş elde etmişti.

1875'te bir müzik öğretmeninin kızı olan Anna Commer'le evlenmişti, tik iki çocukları, ikisi de oğlan, bebekken ölmüşlerdi; sonra doğan iki kızlan, Maria ve Anka, sorunsuz büyümüşlerdi. Daha sonra Killing'in iki oğlu daha olmuştu.

1878'de, bu kez öğretmen olarak, eski okuluna geri gitmişti. Haftada 36 saat gibi ağır bir iş yükü vardı, fakat yine de bir şekilde matematik araştırmalannı sürdürmeye zaman bulmuş, daima büyük işler yapmıştı. En saygın dergilerde bir dizi önemli makale yayımlamıştı.

Weierstrass 1882’de Killing'e Braunsberg'teki Hosianum Lisesinde bir profesörlük temin etmiş Killing sonraki on yılını burada geçirmişti. Braunsberg güçlü bir matematik geleneğine sahip değildi ve orada onunla matematik tartışacak hiçbir meslektaş yoktu, fakat Killing'in bu gibi teşviklere gereksinimi yok gibiydi. Çünkü tüm matematik alanında en önemli sayılan keşiflerinden birini orada yapmıştı. Buna rağmen, yine de bir dereceye kadar düş kırıklığı içindeydi.

Gerçekleştirmeyi ümit ettiği şey, ihtiras yüklüydü: Tüm olası Lie gruplarının bir betimlemesi. Hosianum Lisesi Lie'nin yayın yaptığı dergileri satın almamıştı ve Lie'nin çalışmaları hakkında Killing'in çok az fikri vardı; fakat Killing, Lie cebirlerinin rolünü 1884'te bağımsız olarak keşfetmişti. Dolayısıyla Killing her Lie grubunun bir Lie cebiriyle ilişkili olduğunu biliyordu ve Lie cebirlerinin Lie gruplarından bü-

yük olasılıkla daha iyi izi sürülebilir olduğunu hemen anlamıştı; böylece problemi, tüm olası Lie cebirlerinin sınırlandırılmasına indirgenmişti.

Bu problemin çaresizce zor olduğu anlaşılmıştı; şimdi herhalde onun akla yakın bir yanıtı olmadığını biliyoruz; şu anlamda ki, tekdüze ve saydam bir süreçle tüm Lie cebirlerinin basit bir kurgusu üretilemez. Dolayısıyla Killing biraz daha az ihtiraslı bir şeyi kabullenmeye zorlanmıştı: onları birleştirerek tüm Lie cebirlerinin kurulabileceği temel yapı bloklarını betimlemek. Bu, tüm olası mimari biçimleri betimlemeyi istemekle birlikte, önce tüm tuğla biçimlerinin ve boyutlarının bir listesine razı olmaya benziyordu biraz.

Bu temel yapı blokları, basit Lie cebirleri olarak bilinir. Basit Lie cebirleri, Galois'nın basit grup -aşikâr olanlar dışında, normal alt-grubu olmayan grup- fikrine çok benzeyen bir özellikle tanınırlar. Aslına bakılırsa, bir basit Lie grubu, bir basit Lie cebirine sahiptir ve bunun tersi de neredeyse doğrudur. Şaşırtıcı olarak, Killing tüm olası basit Lie cebirlerini listelemeyi başarmıştı; matematikçiler böyle bir teoreme bir "sınıflandırma" derler.

Killing'in gözünde, bu sınıflandırma, iyice genel bir şeyin çok sınırlı bir biçimiydi ve bir yere varmak için yapmak zorunda kaldığı çeşitli kısıtlayıcı varsayımlarla hüsrana uğramıştı. Lie cebirlerini gerçel sayılar yerine karmaşık sayılar üzerine bağlamaya zorlayan basitliği kabul etme ihtiyacı onu özellikle rahatsız etmişti. İkincisi daha iyi davranışlıdır, ama Killing'i büyüleyen geometrik problemlerle olan doğrudan ilişkisi daha azdır. Bu kendi dayattığı sınırlamalar nedeniyle, bu çalışmasını basılmaya değer bulmamıştı.

Lie'yle temas kurmayı başarmıştı; ama anlaşıldığı kadarıyla çok verimli olmamıştı, önce Klein'a yazmıştı, o da onu Lie'nin asistanı olan ve sonra Christiania'da çalışan Fried-rich Engel'le temasa geçirmişti. Killing ile Engel hemen anlaşmışlar ve Engel, Killing'in çalışmalarının sadık destekçisi olmuş, bazı incelikli noktaların üstesinden gelmesi için ona yardım etmiş ve fikirleri daha ileri götürmesi için onu yürek-lendirmişti. Engel olmaksızın, Killing vazgeçebilirdi.

önceleri, Killing basit Lie cebirlerinin tam listesini bildiğini sanıyordu ve bunlar, iki sonsuz Lie grubu ailesiyle, yani, n-boyutlu uzaydaki tüm dönmelerden oluşan SO(n) özel dik gruplar ve onların karmaşık n-boyutlu benzerleri olan SU(n) özel üniter gruplarla ilişkili so(n) ve su(n) Lie cebirleriydi. Tarihçi Thomas Hawkins şunu hayal etmekteydi: "Engel Killing'in cesur varsayımlarla dolu mektubunu hayretle okumaktaydı. Doğu Prusya'nın uzak bölgelerinde papazları eğitmeye ayrılmış bir Lisede uzmanca konuşan ve dönüşüm gruplarının Lie kuramı üzerine derin teoremler ortaya atan belirsiz bir profesördü işte bu."

Killing, 1886 yazında, Lie ve Engel'i o sıralarda ikisinin de çalıştığı Leipzig'de ziyaret etmişti. Ne yazık ki, Lie ile Killing arasında bir sürtüşme vardı; Lie aslında Killing'in çalışmalarını hiçbir zaman takdir etmemiş ve genelde onları önemsiz göstermeye çalışmıştı.

Killing basit Lie cebirleri hakkında onun özgün varsayımının yanlış olduğunu çabucak keşfetmişti, çünkü bulduğu yeni bir cebire karşılık gelen Lie grubu, şimdi G2 olarak bilinen gruptu. Bu grup 14 boyuta sahipti ve doğrusal ve dik Lie cebirlerinden farklı olarak, sonsuz bir aileye aitmiş gibi görünmüyordu. Yalnız başına bir istisnaydı.

Bu acayip acayip görünüyorsa, Killing'in 1887 kışında tamamladığı son sınıflandırma daha acayipti. îki sonsuz aileye Killing bir üçüncüsünü, şimdi simplektik gruplar, Sp(2n), olarak bilinen sp(2n) Lie cebirlerini eklemişti. (Bugünlerde, dik grupları, çift boyutlu uzaylar üzerine etki edenler ve tek boyutlu uzaylar üzerine etki edenler olmak üzere, iki farklı alt-aileye ayırıyoruz; böylece dört aile üretmiş oluyoruz. Bunu yapmak için nedenler var.) Şimdi G2 istisnai grubu beş adet eş kazanmış oluyor: 56 boyutlu iki ile 78, 133 ve 248 boyutlu küçülmüş bir kısa aile.

Killing'in sınıflaması uzun cebirsel bir tartışmayla devam etmiş; bu da tüm soruyu geometride güzel bir probleme indirgemişti. Varsayımsal bir basit Lie cebirinden, bugün bir

kök sistemi olarak bilinen çok boyutlu bir uzayda bir noktalar şekillenimi icat etmişti. Basit Lie cebirlerinin tam olarak üçü için, kök sistemleri iki boyutlu bir uzayda yer almaktadır. Bu kök sistemleri şöyledir:

Bu örüntüler çok sayıda simetriye sahiptir. Aslında, bunlar bir kaleydeskopta gördüğümüz örüntülerin benzeridir; orada iki ayna çoklu yansımalar yaratmak için belli bir açıda yerleştirilir. Benzerlik, rastlantı değildir, çünkü kök sistemleri şahane, hoş simetri gruplarına sahiptir. Şimdi Weyl gruplan olarak bilinen (Killing tarafından icat edildiklerine göre, haksız bir adlandırma) bunlar, bir kaleydeskopta yansıyan cisimlerle oluşturulan örüntülerin çok boyutlu benzerleridir.

Killing'in ispatının temelini oluşturan yapı şudur: tüm olası basit Lie cebirlerinin araştırılması, bu cebirleri su(n)'de bulunmuş yapılara benzer hoş parçalara ayırarak yapılabilir. Sonra onların şahane simetrileri kullanılarak, sınıflama, bu parçaların geometrilerine indirgenir. Bu parçaların geometrilerini cinslerine ayırdıktan sonra, artık sonuçlarınızı aslında çözmek istediğiniz probleme, yani olası basit Lie cebirlerini bulmaya, geri çekebilirsiniz.

Killing'in dediği gibi, "Basit bir sistemin kökleri basit bir gruba karşılık gelir. Tersine, basit bir grubun kökleri, basit bir sistemle saptanmış olarak görülebilir. Basit gruplar bu yolla elde edilir. Her bir € için, dört yapı vardır; ilaveten de t = 2,4,6, 7,8 için istisnai basit gruplar.

Burada "grup", "sonsuzküçük grup"un kısaltılmış bir şekliydi, ki buna şimdi bir Lie cebiri diyoruz ve t kök sisteminin boyutudur.

Killing'in işaret ettiği dört yapı su(n), so(2n), so(2n+l) ve sp(2n) Lie cebirleridir: üniter grup, çift boyutlu uzaylardaki dik gruplar, tek boyutlu uzaylardaki dik gruplar ve çift boyutlu uzaylardaki simplektik gruplar. Simplektik gruplar, Hamilton'un kendi mekanik formülasyonunda ileri sürdüğü konum-momentum değişkenlerinin simetrileridir ve boyut sayısı daima çifttir, çünkü değişkenler daima konum-momentum çiftleri halinde gelirler. Bu dört aileden başka, Kil-ling tam olarak altı adet daha basit Lie cebirinin var olduğunu iddia etmişti.

Killing neredeyse haklıydı. 1894'te Ğlie Cartan, Killing'in iki 56-boyutlu cebirinin aslında aynı cebirin iki farklı yoldan görünümü olduğuna dikkat çekmişti. Bu, sadece beş istisnai basit Lie grubuna karşılık gelen beş istisnai basit Lie cebirinin var olduğu anlamına gelir: Killing'in eski arkadaşı G2 ve şimdi F4, E6, E7 ve E8 olarak adlandırılan diğer dört grup.

Bu aşırı derecede merak uyandıran bir yanıttır. Sonsuz aileler yeterince akla uygundur; onların tümü her sayıda boyuttaki çeşitli tipte geometrilerle ilgilidirler. Fakat beş istisnai Lie grubu hiçbir geometrik nesneyle ilgili değilmiş gibi görünmektedir ve bunların boyutları tuhaftır. 14, 56, 78,133 ve 248 boyutlu uzaylar neden özeldir?

Bu, biraz da, bir tuğlanın tüm olası biçimlerinin bir listesine ihtiyaç duyma ve şuna benzer bir yanıt bulma gibidir:

• 1, 2, 3,4,... büyüklüğünde uzunca bloklar.

• 1, 2, 3,4,... büyüklüğünde küpler.

• 1, 2,3,4,... büyüklüğünde dilimler.

• 1, 2, 3,4,... büyüklüğünde piramitler.

Bunlar çok zarif ve düzgün olabilirler, ancak liste devam eder:

• 14 büyüklüğünde bir dört yüzlü.

• 52 büyüklüğünde bir sekiz yüzlü.

• 133 büyüklüğünde bir on iki yüzlü.

• 248 büyüklüğünde bir on iki yüzlü.

Ve işte bu kadar, başka bir şey yok.

Tuğlalar neden bu garip biçimler ve büyüklüklerde var olurlar? Onlar ne içindir?

Bu tamamen aptalca görünmüştü.

Bu aslında öylesine aptalca görünmüştü ki Killing istisnai grupların varlığından üzüntü duymuş ve onların yok edebileceği bir hata olduğu ümidine bile kapılmıştı. Onun sınıflamasının şıklığını bozmuşlardı. Fakat oradaydılar; en sonunda onların neden orada olduklarını artık anlamaya başlıyoruz. Birçok bakımdan, beş istisnai Lie grubu artık dört sonsuz aileden çok daha ilginç görünüyor. Bunlar, göreceğimiz gibi, parçacık fiziğinde önemli olacak gibi görünüyor; matematikte kesinlikle önemliler. Onlar, henüz tam açığa çıkmamış gizli bir birliğe/ahenge sahipler; onların hepsi Hamilton'un kuatemiyonlarıyla ilgili ve hatta daha fazla merak uyandıran bir genellemeyle, oktonyonlarla. Vakti geldiğinde, bunlardan daha fazla söz edeceğiz.

Bu olağanüstü bir fikirler dizisidir ve Killing bunların tümüne sahipti. Elbette, onun çalışmaları birkaç hata içermekteydi; pek işlenmemiş bazı ispatlar. Fakat hataların tümü çok önce onarılmıştı.

İşte tüm zamanların en büyük matematiksel makalesinin serüveni. Killing'in çağdaşlan bu makale hakkında ne düşünmüşlerdi?

Pek fazla değil. Killing'in 'magnum opus'una (başyapıt) Lie'nin alaylar yağdırması işe yaramamıştı. Lie bilinmeyen nedenlerle Killing'le kavga etmişti ve Lie'ye göre, Killing hiçbir zaman önemli bir iş yapmamıştı. Daha kötüsü, kuşkusuz, Lie'nin kendisinin canı gönülden ispatlamak istediği bir teoremdi bu. tik vuruşta yenilmiş olan Lie, deyim yerindeyse, erişemediği çiğere kokmuş deme yoluna başvurmuştu. Lie'ye göre, bu alanda kendisi tarafından yapılmamış her şey saçmaydı. Gerçi tamamen de pervasız sayılmazdı.

Killing'in kendi teoreminin değerini küçümsemesine bunun yaran daha bile az olmuştu. Ona göre, bu, başaramadığı çok daha önemli bir şeyin soluk bir gölgesiydi; tüm Lie grup-

larının sınıflaması. Killing alçakgönüllü bir adamdı ve Lie onu daha da öyle yapmak için elinden geleni yapmıştı.

Her koşulda, Killing zamanının önündeydi. Lie kuramının ne kadar önemli hale geleceğini çok az matematikçi görmüştü. Pek çoğu için, bu, geometrinin diferansiyel denklemlerle ilişkili oldukça teknik bir dalıydı.

Son olarak, Killing güçlü bir görev ve tevazu duygusuna sahip, ağırbaşlı, sadık bir Katolikti; Assisili Aziz Francis'i kendine model olarak almıştı; o ve karısı 39 yaşında Fran-siskanların Üçüncü Tarikatına girmişti, öğrencileri yerine yorulmaksızın çalışan baştan başa saygıdeğer bir adam olmuş gibiydi. Tutucuydu ve yurtseverdi; I. Dünya Savaşından sonra Almanya'nın aşın sosyal çözülmesinden büyük ölçüde üzüntü duymuştu. 1910 ve 1918'de iki oğlunun ölümüyle psikolojisi iyice kötü hale gelmişti.

Killing'in araştırmalarının gerçek değeri, 1894'te, Ğlie Cartan doktora tezinde tüm kuramı tekrar türettiği zaman görünür hale gelmiş ve sadece basit Lie cebirlerini değil fakat matrisler cinsinden onlann temsillerini sınıflayarak ileri doğru büyük bir adım atmıştı. Cartan neredeyse fikirlerin tümünde Killing'e kredi vermekte dürüsttü; o sadece her şeyi derleyip toplamış, birkaç boşluğu (bazısı ciddi) doldurmuş ve terminolojiyi modern hale getirmişti. Fakat, Killing'in çalışmasının yanlışlarla dolu olduğu söylencesi hızla yayılmış ve gerçek kredi Cartan'a gitmiştir. Matematikçiler nadiren iyi tarihçilerdir ve buna yol açan önceki çalışmadan ziyade bildikleri çalışmayı aktarma eğilimi taşırlar. Böylece Cartan'ın adı, Killing'in birçok düşüncesine bağlanmıştı.

Killing'in makalelerini okuyan herkes, bunun bir söylence olduğunu hemen keşfeder. Fikirler temiz ve iyi oluşturulmuştur, ispatlar muhtemelen modası geçmiş ama neredeyse tam doğrudur. En önemlisi, istenen sonucun üretilmesi için, fikirler bir uçtan bir uca güzel bir şekilde seçilmiştir. En yüksek mertebeden bir matematiktir ve bir başkasının değildir.

Ne yazık ki Killing'in makalelerini neredeyse kimse okumamıştı. Cartan'ı okumuşlar ve onun Killing'e verdiği krediyi kulak ardı etmişlerdi. Fakat en sonunda Killing'in ça-

lışmaları takdir edilmeye başlandı. Killing 1900'de Kazan Fiziko-Matematik Topluluğunun Lobaçevski ödülünü kazandı. Bu, ödülün ikinci kez verilişiydi; birincisi Lie'ye gitmişti.

Killing 1923'te öldü. Bugün bile, onun adı layık olduğu kadar iyi bilinmiyor. O yaşamış olan en büyük matematikçilerden biriydi. Onun mirası, en azından, ölümsüzdür.

PATENT OFİSİNDEKİ SEKRETER

Yirminci yüzyılın başlarında gruplar, matematiği köklü olarak değiştirdiği kadar değiştirebilecek bir alan olan temel fizikte gözükmeye başlıyordu.

Zamanının en simgesel bilim insanı haline gelecek olan kişi, 1905 altın yılında, her biri fiziğin ayrı bir dalında devrim yaratan üç makale yayımlamıştı. O zamanlar henüz profesyonel bir bilim insanı değildi. Üniversitede okumuştu, fakat bir öğretim kadrosu elde edememişti ve İsviçre'de Bern'deki patent ofisinde yazı işleri memuru olarak çalışıyordu. Onun adı elbette, Albert Einstein'dı.

Eğer modern fiziği bir kişi temsil edecekse, o kişi Einstein'dır. Birçoklarına göre, o ayrıca matematiksel dehayı da simgelemektedir; ama aslında o sadece uzman bir matematikçidir, Galois ya da Killing düzeyinde yaratıcı biri değildir. Einstein'ın yaratıcılığı, yeni matematik üretmesinde değil de, fizik dünyası hakkında olağanüstü doğru sezgisinde ve bunu mevcut matematiği fevkalade kullanışıyla ifade edebilmesinde yatmaktadır. Einstein sağlıklı felsefi görüş yeteneğine de sahipti, ilkelerin en basitinden köklü kuramlar çıkarırdı ve geniş deneysel olgular bilgisinden ziyade zarafet duygusuyla yolunu bulurdu. Önemli gözlemlerin daima birkaç ana ilkeye damıtılabileceğine inanmıştı. Gerçeğe geçiş kapısı güzellikti.

Bilimsel araştırmalarının pek çok baskısı ve ömür süreleri, Einstein'ın yaşamına ve işlerine çok bağlı olmuştu. Bir tek bölüm, ne tamlık açısından ne de derin bilgi bakımından yarışmaya giremez. Fakat o simetri tarihinde önemli bir kişidir: Diğer hepsinin ötesinde, olaylar ağını harekete geçire-

rek simetri matematiğini temel fiziğe döndüren Einstein'dı. Einstein'ın bunu bu şekilde görmüş olacağını zannetmiyorum: matematik, ona göre, fiziğin hizmetçisiydi; çoğu kez oldukça inatçı bir hizmetçi. Ancak daha sonraları, bir başka kuşak, Einstein'ın açtığı yolu izleyerek ve onun öncü gayretlerinin yol boyunca serptiği karmakarışık, kırık dökük hareketsiz vejetasyonu derleyip toplayarak, onun çalışmalarının dayandığı hoş ve derin matematiksel kavramları açıklayacaktı.

Bu yüzden, bu küçük patent sekreterinin -kesin olmak gerekirse, üçüncü sınıf teknik uzman ve üstelik deneme safhasında- şöhrete şaşılası yükselişinin ana hatlarını yeniden anlatmalıyız. O öykümüzün ancak bir parçası olduğundan, sadece ilgili olayları seçeceğim. Einstein'ın kariyerinin daha kapsamlı ve tarafsız bir değerlendirmesini istiyorsanız, Ab-raham Pais'in Subtle is the Lord [Kavranılması Güç Olan Tanrıdır] kitabını okumalısınız.

Kavranılması güç olan, evet; fakat, Einstein'ın bir keresinde işaret ettiği gibi, kötü niyetli olan değil.

Dinle pek ilgisi olmayan Einstein yaşamını şu ilkeye adamıştı: Evren anlaşılabilirdir ve matematiksel bağlamda işler. Onun ünlü deyişlerinin pek çoğu Tanrı'yı hatırlatır; fakat toplumsal işlerde kişisel çıkarını gözeten doğaüstü bir varlık olarak değil de, evrenin düzenliliğinin bir simgesi olarak. Einstein Tanrıya ibadet etmez ve dinsel törenlere katılmazdı.

Einstein genelde Newton'ın doğal ardılı olarak görülür, önceki bilim insanları Nevvton'ın Doğa Felsefesinin Matematiksel İlkeleri kitabına alt başlık olan "dünya sistemi"ne ilaveler yapmışlardı, fakat bu görüşe önemli değişiklikler getiren kişi Einstein'dı. önceki kuramcıların en önemlisi James Clerk MaxwelTdi; onun elektromanyetizma denklemleri, elektrik ve manyetik olayları, özellikle ışığı, Newtonci faaliyet alanı içine taşımıştı. Einstein büyük değişiklikler yaparak çok daha ileri gitmişti. Kaderin garip cilvesine bakın ki düzeltilmiş bir kütleçekim kuramına yol açan değişiklikler,

elektromanyetik dalgaların -ışığın ve onun hısımlarının-Maxwell kuramının sonuçları olarak doğmuştu. İşin daha da garip yanı, esas rolü, bu kuramın temel bir niteliği olan ışığın dalga doğasının oynamış olmasıydı, ama bizzat New-ton ışığın bir dalga olabileceğini yadsımaktaydı. En şaşırtıcı olansa, ışığın bir dalga olduğunu göstermek için şimdi kullanılan en hoş deneylerden birinin ilk kez Newton tarafından gerçekleştirilmiş olmasıdır.

Işığa bilimsel ilgi en azından Aristoteles'e kadar geri gider; o, aslında bir filozof olsa da, bilim insanlarının doğal bulacağı türden bir soru sormuştu: Nasıl görürüz? Aristoteles'in önerisine göre, bir cisme baktığımızda, o cisim kendisiyle bakan göz arasındaki ortamı etkiler. (Şimdi biz bu ortama "hava" diyoruz.) O zaman göz ortamdaki bu değişimi saptar ve sonuç görme duygusudur.

Orta çağlarda bu yorum tersine çevrilmişti. Gözümüz bir tür ışın yayınlar ve bu ışın neye bakıyorsak onu aydınlatır diye düşünülmüştü. Cismin göze sinyaller yollaması yerine, göz cismin her yerine göz-izleri bırakırdı.

Nihayet, cisimleri yansıyan ışık aracılığıyla gördüğümüz anlaşılmıştı ve günlük hayatta ana ışık kaynağı güneştir. Deneyler ışığın "ışınlar" oluşturarak düz çizgiler halinde yayıldıklarını göstermişti. Bir ışın uygun bir yüzeye çarpıp geri döndüğünde, yansıma meydana gelir. Demek ki güneş başka bir şey tarafından gölgelenmeyen her şeye ışık ışınları gönderir, ışınlar her yere çarpıp geri dönerler, onlardan bazıları bir gözlemcinin gözüne girer, o göz o yönden bir sinyal almış olur; beyin gözden içeri giren bilgiyi işler ve biz de ışığın çarpıp geri geldiği o cisim her neyse onu görmüş oluruz.

Esas soru, "ışık nedir?"di. Işık çok sayıda şaşırtıcı şey yapar. Sadece yansıma yapmaz, ayrıca kırılır da; hava ve su gibi iki farklı ortam arasında aniden yön değiştirir. Bir havuza sokulan bir çubuğun bükülmüş gibi görünmesi ve merceklerin çalışması bundandır.

Daha da şaşırtıcı olanı, kırınım olayıdır. Kariyeri tekrar tekrar Newton'ınkiyle karşı karşıya gelmiş olan ve her şeyi bilen bilim insanı Robert Hooke, 1664'te, bir düz ayna üzeri -

ne bir mercek yerleştirildiğinde eş merkezli ufak renkli halkalar görüldüğünü keşfetmişti. Bu halkalar şimdi "Newton halkaları" olarak biliniyor, çünkü onların oluşumunu çözümleyen ilk kişiydi Newton. Bugün bunu ışığın bir dalga olduğunu gösteren açık bir deney olarak ele alıyoruz: bu halkalar girişim saçaklarıdır; orada, dalgalar üst üste bindiklerinde, birbirlerini ya yok ederler ya da yok etmezler. Fakat Newton ışığın bir dalga olduğuna inanmamıştı. Işık düz çizgiler halinde hareket ettiğinden, onu parçacıkların bir akıntısı olarak düşünmüştü. 1705'te tamamladığı Optik kitabına göre, "Işık, ışık saçan cisimlerin yayınladığı küçücük parçacıklardan ya da zerreciklerden oluşmaktadır. Parçacık kuramı yansımayı çok basit şekilde açıklayabilmekteydi: parçacıklar yansıtıcı bir yüzeye çarptıklarında geri dönerler. Kırılmayı izah etmede güçlüklerle karşılaşılmış ve kırınıma gelindiğinde iyice apışıp kalınmıştı.

Işık ışınlarını bükmeye neyin sebep olduğunu düşünen Newton, buna ışığın değil, asıl ortamın neden olduğuna karar vermişti. Bu onu ışıktan daha hızlı titreşimler yayan bir "esir ortamınm"ın varlığını önermeye götürmüştü. Işınım ısısının bu titreşimlerin lehinde kanıt olduğuna inandırmıştı kendisini; çünkü ısı ışınımının bir boşluğu bir yandan diğer yana geçebildiğim saptamıştı. Boşlukta bir şey ısıyı taşıyor ve kırılma ile kırınıma neden oluyor olmalıdır. Newton'ın sözleriyle:

Ilık Odanın Isısı, Havadan çok daha ince bir Ortamın Titreşimleriyle Boşluk içinde taşınamaz mı? Hava dışarı çıkarıldıktan sonra, bu Ortam, Boşlukta olduğu yerde kalamaz mı? Bu Ortam, Işığı kıran ve kırınıma uğratan, onun Titreşimleriyle Isıyı Cisimlere ileten, kolay Yansıma ve kolay Yayılmaya uygun olan Ortamla aynı değil midir?

Bu sözcükleri okuduğumda, kendimi tutamayarak arkadaşım Terry Pratchett'i düşündüm. Terry'nin "Diskdünya" üzerine kurulu kurgu romanlar dizisi bizim kendi dünyamızı hicvetmektedir; o dünyanın çeşit çeşit büyücüleri, devleri, cüceleri ve halkı, insan zaaflarıyla dalga geçmektedir. Disk-

dünyada ışık kabaca ses hızıyla hareket eder; tan ışıklarının ovalara yaklaşmasının görülme nedeni budur. Işığın kaçınılmaz karşıtı karanlıktır -Diskdünyada neredeyse her şey so-mutlaştınlır- ve karanlık açıkça ışıktan daha hızlı hareket eder, çünkü ışığın yolundan çekilmelidir'. Her şey mükemmelen anlamlıdır*; bizim dünyamızda bile, onlann hiçbirinin gerçek olmadığı hayal kırıcı olgusu bir yana bırakılırsa.

Nevvton'ın ışık kuramı aynı kusuru taşımaktadır. Newton aptal değildi: kuramı çok sayıda önemli soruyu yanıtlıyor gibi görünüyordu. Ne yazık ki, bu yanıtlar temel bir yanlış anlaşılmaya dayanmaktaydı: ışınım ısısı ve ışığın iki farklı nesne olduklarını düşünmekteydi. Işığın bir yüzeye çarptığında, ısı titreşimlerine neden olduğuna inanıyordu. Bunlar, ışığın kırılmasına ve kırınımına neden olduğunu düşündüğü aynı titreşimlerin başka türlü halleriydi.

Böylece "ışık yayan esir" kavramı doğmuş ve olağanüstü dayanıklı olduğu anlaşılmıştı. Gerçekten de, daha sonra ışığın bir dalga olduğu ortaya çıktığında, esirin, bir dalganın içinde bulunacağı tam doğru ortam olduğu anlaşılmıştı. (Şimdi ışığın ne sırf dalga ne de sırf parçacık olduğunu, biraz ikisi ' -yani, bir dalçacık- olduğunu düşünüyoruz. Galiba haddimi aşıyorum.)

Tamam da, peki, esir neydi? Newton tamamen içtendi: "Bu esirin ne olduğunu bilmiyorum.” Esir de parçacıklardan oluşmaktaysa, bunların hava ve hatta ışık parçacıklarından bile çok daha küçük ve hafif olmaları gerektiğini ileri sürmüştü; esasında Diskdünyaya özgü nedenle, onlar ışığın yolundan çekilebiliyordu. "Parçacıklarının aşırı derecede küçüklüğü" diyordu Newton esirden söz ederken, "bu parçacıkları birbirinden uzaklaştırabilen kuvvetin büyüklüğüne katkıda bulunabilir ve böylece bu Ortamı Havadan aşırı derecede seyrek ve esnek yapar ve sonuçta Mermilerin hareketine aşırı derecede az direnir, ama kendisi genişlemeye çalışırken büyük Cisimlerin üzerine aşırı derecede çok baskı uygular."

Daha önceleri, HollandalI fizikçi Christian Huygens 1678'deki Işık Üzerine Tez'inde farklı bir kuram ileri sür-

müştü: Işık bir dalgadır. Bu kuram zarif bir şekilde yansıma, kırılma ve kırınımı açıklar; benzer etkiler, örneğin su dalgalarında da görülür. Okyanustaki dalgalar için su neyse, ışık için de esir oydu; dalga geçtiğinde hareket eden nesne. Fakat Newton aynı fikirde değildi. Tartışma karmakarışık bir hal almıştı, çünkü her iki bilim insanı da ileri sürülen dalgaların doğası hakkında doğru olmayan varsayımlar yapıyordu.

Maxwell sahneye çıktığında her şey değişmişti. O bir başka devin omuzları üzerinde durmaktaydı.

Elektrikle ısıtma, aydınlatma, radyo, televizyon, mutfak robotları, mikrodalga fırınları, buzdolapları, elektrik süpürgeleri ve sonu gelmez sanayi makine türlerinin tümü bir kişinin, Michael Faraday'ın sezgilerinden türer. Faraday 1791'de Londra'nın Newington Butts Köyünde (şimdiki Elephant and Castle) doğmuştu. Bir nalbantın oğluydu, Kraliçe Victoria Döneminde bilimin doruğuna ulaşmıştı. Babası, bir azınlık Hıristiyan mezhebi olan Sandemanianlara mensuptu.

Faraday 1805'te bir ciltçi çırağı olmuş ve özellikle kimyada bilimsel deneyler yapmaya başlamıştı. Fen konusuna ilgisi önemli ölçüde 1810'da, bilim konuşmak üzere bir araya gelmiş genç kişilerin oluşturduğu Şehir Felsefe Topluluğuna üye olduğu zaman artmıştı. 1812'de kendisine Britanya'nın önde gelen kimyacısı Sir Humphry Davy'nin Kraliyet Enstitüsündeki son derslerini dinleme izni verilmişti. Bundan kısa süre sonra, Davy'den bir iş istemişti; kendisiyle mülakat yapılmıştı, ama hazırda bir kadro yoktu. Fakat o sıralarda Davy'nin kimya asistanı bir kavgaya karıştığı için işten atılmış ve böylece Faraday bu kadroyu elde etmişti.

1813'ten 1815'e kadar Faraday, Davy ve karısıyla Avrupa'da tur atmıştı. Napoleon Davy'ye, uşağını da kapsayan bir pasaport vermiş,, böylece Faraday Davy'nin uşağı olmayı kabul etmişti. Davy'nin karısı Jane'in bu unvanı ciddiye alıp ondan hizmetçisi gibi davranış beklemesi canını sıkmıştı. 1821'de, olaylar çok olumlu bir şekil almış, Faraday terfi etmiş ve ünlü bir Sandemanianın kızı olan Sarah

Bamard'la evlenmişti. Daha da iyisi, elektrik ve manyetizmadaki araştırması kalkışa geçmişti. DanimarkalI bilim insanı Hans 0rsted'in önceki araştırmasını izleyerek, bir mıknatısın yakınındaki bir bobinden akan elektriğin bir kuvvet doğurduğunu keşfetmişti Faraday. Bu, elektrik motorunun temelindeki basit ilkedir.

Bundan sonra onun araştırma ilgisi, yönetim ve öğretim işleri altında ezilir hale gelmişti; gerçi bunların çok olumlu etkileri görülmüştü. 1826'da, bilim üzerine bir akşam konferansları dizisi başlatmış ve ayrıca gençFer için Noel konuşmalarına önayak olmuştu; bunların ikisi de hâlâ sürmektedir. Bugün Noel konuşmaları, Faraday'ın keşiflerinin sonucunda yapılan cihazlardan biri olan televizyondan yayınlanmaktadır. 1831'de deneylerine dönerek, elektromanyetik indüksiyo-nu keşfetmişti. Bu, on dokuzuncu yüzyılın sanayi çehresini değiştiren keşifti, çünkü elektrik transformatörlerine ve jeneratörlerine yol açmıştı. Bu deneyler sonucunda Faraday elektriğin, genelde düşünüldüğü gibi bir sıvı olmayıp, maddesel parçacıklar arasında etkiyen bir tür kuvvet olması gerektiğine inanmıştı.

Bilimde şöhret genellikle yönetim makamının saygısına yol açar; bu da tanınmayı sağlamış olan bilimsel etkinliklerin aniden canına okur. Faraday Trinity Kuruluna danışman atanmıştı; görevi Britanya deniz yollarım ticaret filosu için güvenli tutmaktı. Yağla-yanan ve daha parlak ışık üreten, daha verimli yeni bir tür lamba keşfetmişti. 1840'larda Sandemanian mezhebinin itibarlı kişisi olmuştu, fakat sağlığı kötüye gitmeye başlamıştı. 1858'de kendisine, daha önde Kral VIII. Henry'nin sarayı olan Hampton Avlusunda bir "lütuf ve minnet" evinde ücretsiz kalacak yer verilmişti. 1867'de ölen Faraday Highgate Mezarlığına gömülmüştür.

Faraday'm icatları, Victoria dünyasında devrim yaratmıştı, fakat (belki de onun başlangıçtaki eğitim eksikliği yüzünden) kuramsal açıdan zayıftı ve icatlarının nasıl işlediğini tuhaf mekanik benzerliklere dayanarak açıklıyordu.

Faraday'ın manyetizmanın elektriğe nasıl dönüştüğünü keşfettiği 1831 yılında, îskoçyalı bir avukat bir oğluyla -anlaşıldığı kadarıyla, onun tek çocuğu- boy göstermişti. Avukat daha çok arazilerini yönetme işleriyle uğraşıyordu, fakat resmen James Clerk Maxwell olarak bilinen genç "Jamesie"nin eğitimiyle de hatırı sayılır derecede ilgilenmekteydi.

Jamesie parlak zekâlıydı ve makinelerle büyülenmişti. "Nasıl çalışır?" onun standart sorusuydu: Bunu nasıl yapar? Bir başka sorusu da "Onun başarısı nedir?"di. Benzer büyü-lenmelere sahip olan babası, açıklamak için elinden geleni yapardı. Eğer baba yeterince ileri gidemezse, Jamesie tamamlayıcı bir soru sorardı: "Onun diğerlerinden farklı başarısı nedir?"

James'in annesi, o daha dokuz yaşındayken kanserden ölmüştü; bu kayıp baba ile oğlunu iyice yakınlaştırmıştı. Oğul Edinburgh Akademisine gönderilmişti; burası klasiklerde uzmanlaşmıştı; öğrencilerinin standart konularda becerikli, zevkli ve düzenli olmalarını, ayrıca sistemli öğretimin önüne geçebileceği için özgün düşüncelerden yoksun olmalarını isterdi.. Jamesie okul öğretmenlerinin ne istediklerinden pek emin değildi ve temizlik saplantısına sahip babasının çocuğu için, dantelle süslenmiş fırfırlı tunik dahil, özel elbiseler ve ayakkabılar tasarlaması fayda etmemişti. Diğer çocuklar James'e "Kaçık" diye isim takmışlardı. Fakat James inatçıydı ve onları hâlâ şaşırtsa da, saygılarını kazanmıştı.

Okul James için bir iyi şey yapmıştı: Onda matematiğe karşı bir ilgi uyandırmıştı. Babasına yazdığı bir mektupta, "bir dört yüzlü, bir on iki yüzlü ve doğru isimlerini bilmediğim iki başka yüzlü daha" yaptığından söz etmektedir. (Büyük olasılıkla, sekiz ve yirmi.) 14 yaşlarında, bağımsız olarak, özgün buluşçusu Descartes'a izafeten Kartezyen Ovaller diye bilinen bir matematiksel eğriler sınıfını icat ettiği için bir ödül kazanmıştı. Makalesi, Edinburgh Kraliyet Cemiyetinde okunmuştu.

James şiir de yazmıştı, fakat matematiksel yetenekleri daha üstündü. 16'sında Edinburgh Üniversitesine başlamış ve sonra eğitimini, matematikte Britanya'nın önde gelen ens-

titüsü olan Cambridge Üniversitesinde sürdürmüştü. Onu sınavlara hazırlayan William Hopkins, James'in "tanıdığı en olağanüstü adam" olduğunu söylemişti.

James mezun olmuş ve ışık üzerine deneyler yapan bir lisansüstü öğrencisi olarak yine Cambridge'te kalmıştı. Daha sonra Faraday'm Deneysel Araştırmalar'ını okumuş ve elektrik çalışmaya başlamıştı. Uzun sözün kısası, Faraday'm elektromanyetik olayların mekaniksel modellerini ele almış ve 1864'te onları dört matematiksel yasalı bir sistem içine da-mıtmıştı. (O günlerin gösteriminde, dörtten daha fazlaydılar, fakat onları dört denklem içine toplamak için artık vektörel gösterimi kullanıyoruz.) Bu yasalar elektrik ve manyetizmayı, biri elektrik ve biri manyetik olmak üzere, tüm uzaya yayılmış iki "alan" cinsinden betimlemektedir. Bu alanlar, elektrik ve manyetizmanın sadece her konumdaki şiddetlerini vermekle kalmayıp ayrıca onların yönlerini de betimlerler.

Bu dört denklem basit fiziksel anlamlara sahiptir. İkisi, bize elektrik ve manyetizmanın ne yaratılabileceğini ne de yok edilebileceğini söyler. Üçüncüsü, zamanla değişen bir manyetik alanın çevreleyen elektrik alanını nasıl etkilediğini betimler ve Faraday'm indüksiyon keşfini matematiksel yapıda somutlaştırır. Dördüncüsü de, zamanla değişen bir elektrik alanının çevreleyen manyetik alanı nasıl etkilediğini betimler. Sözcüklerle bile, bu denklemler çok zariftir.

Dört Maxwell denkleminin basitçe işlenmesi, Maxwell'in uzun süredir kuşkulandığı bir şeyi doğrulamıştı: ışığın elektrik ve manyetik alanların yayılan bir çalkantısı, yani bir elektromanyetik dalga olduğunu.

Bunun matematiksel nedeni, Maxwell denklemlerinden tüm matematikçilerin hemen tanıyabileceği bir şeyin, adının akla getirdiği gibi, dalgaların nasıl ilerlediğini betimleyen "dalga denklemi"nin kolayca türetilebilmesidir. Maxwell denklemleri böyle dalgaların hızını da öngörür: Onlar ışık hızıyla hareket etmelidir.

Sadece bir şey ışık hızıyla hareket eder.

O günlerde dalgaların bir nesnenin dalgaları olması gerektiği varsaydırdı. Onları iletecek bir ortam olmalıydı; dal-

galar bu ortamın titreşimleriydi. Işık dalgalan için aşikâr ortam esirdi. Matematik, ışık dalgalannın hareket doğrultusuna dik açıda titreşmesi gerektiğini söylemekteydi. Bu, Newton ve Huygens'in neden böylesine yanılgıya düştüklerini açıklamaktaydı: Onlar dalgaların hareket doğrultusunda titreştiğini düşünmekteydi.

Kuram bir başka öngörüde bulunmaktaydı: Elektromanyetik ışınımın "dalga boyu" -bir dalgadan diğerine olan mesafe- her şey olabilirdi. Işığın dalga boyu aşın derecede kısadır, fakat çok daha uzun dalga boylu elektromanyetik dalgalar da var olmalıdır. Heinrich Hertz'e, şimdi radyo dalgalan dediğimiz bu tür dalgalan üretmeyi esinlendirecek kadar da iyi bir kuramdı bu. Onu tezelden Guglielmo Marco-ni pratik bir verici ve alıcıyla izlemişti ve birdenbire, neredeyse anında, tüm gezegen boyunca birbirimizle konuşabilir olmuştuk. Artık aynı şekilde resimler yolluyoruz, radarla gökleri izliyoruz ve GPS'le (Global Positioning System [Küresel Yer Belirleme Sistemi]) her türlü ulaşımı yönetiyoruz.

Ne yazık ki, esir kavramı problemliydi. Eğer esir varsa, o zaman güneş etrafında dönen dünya esire göre hareket etmelidir. Bu hareketi saptamak mümkündür; yoksa, gerçek esir kavramı deneyle uyuşmadığı için terk edilmelidir.

Bu bilmecenin yanıtı, fiziğin çehresini tam olarak değiştirecekti.

1876 yazında, Württemberg eyaletindeki Ulm kentinde iki Yahudi tüccar tarafından yönetilen Israel and Levi Firması, Hermann Einstein adında yeni bir ortak almıştı. Gençliğinde Hermann matematikte büyük beceri göstermişti, fakat ailesi onu üniversiteye gönderme gücüne sahip değildi. Şimdi kuş-tüyü yataklar satan bir firmaya ortak oluyordu.

Hermann, Ağustosta Cannstadt Sinagogunda Pauli-ne Koch'la evlenmişti ve ardından Bahnhofstrasse-Sta-tion Road'da yuva kurmuşlardı. Sekiz aydan daha kısa bir süre sonra, ilk çocukları doğmuştu. Doğum belgesine göre, "Ulm'da [Hermann'ın] konutunda, İsrail kavmi dininden, kız-

lık adı Koch olan [Hermann'ın] karısı Pauline Einstein'dan doğma, Albert ismini almış, erkek çocuğu." Beş yıl sonra, Albert'in kız kardeşi Maria doğmuştu ve daha sonra ikisi arasında sıkı bir bağ oluşmuştu.

Albert'in anne ve babası dinlerine karşı rahat bir tutum içindelerdi ve yerel kültüre uyum sağlayabilmek için çaba sarf ediyorlardı. O zamanlar, Alman Yahudileri diğer inançlara sahip yurttaşlarla daha iyi uyuşabilmek için kültürel geleneklerini yumuşatma anlamında "özümsemeci"ydiler. Hermann ve Pauline'nin çocuklarına seçtikleri isimler geleneksel Yahudi isimleri değildi; yine de, Albert'e büyükbabası Abraham'a "atfen" o ad verilmişti. Hermann'ın evinde din çok sık konuşulan bir konu değildi ve Einstein'lar geleneksel Yahudi ritüellerini pek yerine getirmemişlerdi.

Maria'nm 1924'te basılmış olan çocukluk anılan, Albert'in erken deneyimleri ve kişiliği hakkında esas bilgi kaynağımızdır. Görünüşe bakılırsa, Albert doğumda annesini çok korkutmuştu; çünkü kafasının arka kısmı acayip şekilde köşeliydi ve aşın derecede büyüktü. Bebeğini ilk gördüğünde, "Aşın derecede ağır! Çok ağır!" diye bağırmıştı. Konuşmaya başlaması uzun bir süre alınca, çocuğun zihinsel açıdan kusurlu olabileceği korkuları artmıştı. Fakat Albert ne yaptığını bildiğinden emin oluncaya kadar bekliyordu sadece. Daha sonra Einstein'ın da belirttiği üzere, ancak tam cümleleri kurma becerisi kazandıktan sonra konuşmaya başlamıştı. Onları kafasında dener ve sonra sözcüklerin doğruluğundan emin olunca onları söylerdi.

Albert'in annesi başarılı bir piyano icracısıydı. Altı ile on üç yaşlan arasında, Albert'e Schmied adında bir öğretmen tarafından keman dersleri verilmişti. Daha sonraki yaşamında, kemanına sadık kalmış, fakat çocukken dersleri sıkıcı bulmuştu.

Kuştüyü yatak işi başarısızlığa uğramıştı; Hermann, kardeşi Jakop'la birlikte gaz ve su malzemeleri işine girişmişti. Jacob bir mühendis ve girişimciydi; Einstein'lar yeni riskli işlere büyük oranda yatırım yapmışlardı. Jacob daha sonra yatıranlarını elektriğe de yaymaya karar vermişti; tesisler

kurmak yerine, güç istasyonları için teçhizat imal etme işine yönelmişlerdi. Şirket resmen 1885'te ortaya çıkmıştı ve iki kardeş Münih'te, Pauline'nin babası ve diğer aile fertlerinin yardımıyla, aynı eve taşınmıştı, tik önce iş iyi gitmiş ve Elek-ronische Fabrik J. Einstein und Co. İtalya'da olduğu kadar Münih bölgesinde güç istasyonları satmıştı.

Einstein, babası ona bir pusula gösterdiğinde, fiziğe ilgisinin tetiklendiğini söyler. O zaman dört ya da beş yaşında olan Albert, nasıl döndürülürse döndürülsün, pusulanın hep aynı yönü gösterme yetisiyle büyülenmiş ve bu onun fiziksel evrenin gizli mucizesini ilk sezişi olmuştu. Bu deneyim ona neredeyse tam gizemli gelmişti.

Okulda Albert yetenekliydi, fakat başlarda özel bir pırıltı göstermemişti. Yavaş ve sistemliydi; iyi notlar alıyordu, fakat pek arkadaş canlısı değildi. Daha çok kendi kendine oynamayı yeğlerdi; özellikle kartlardan evler kurmaktan hoşlanırdı. Sporu sevmezdi. 1888'de liseye geçtiğinde, Latin-ceye eğilim göstermiş ve on beşinde oradan ayrılıncaya dek Latince ve matematikte sınıfının hep en üstünüydü. Matematiksel yeteneği, epeyce yüksek matematik almış bir mühendis olan Jakob amcası tarafından teşvik edilmişti. Jacob genç Albert'a matematik problemleri düzenlerdi ve Albert onları çözdüğü zaman çok sevinirdi. Bir aile dostu olan Max Talmud'un da Albert'm eğitiminde önemli etkisi olmuştu. Talmud çok yoksul bir tıp öğrencisiydi ve Hermann ile Pau-line onu her Perşembe akşam yemeğine çağırırlardı. Talmud Albert'e popüler bilim üzerine çeşitli kitaplar verirdi; daha sonra genç adamı Immanuel Kant'm felsefe yazılarına alış-tırmıştı. İkisi, saatlerce felsefe ve matematik tartışırdı. Tal-mud, Einstein'm diğer çocuklarla oynadığını hiçbir zaman görmediğini ve okuduğu malzemenin çok ciddi olduğunu, hiç de eften püften şeyler olmadığını yazmıştı. Tek dinlencesi, Pauline eşliğinde Beethoven ve Mozart sonatlar dahil, müzik icra etmekti.

Albert'in matematik tutkusu, 1891'de -daha sonraları "kutsal geometri kitabı" olarak adlandırdığı- Öklit'in bir baskısını ele geçirdiğinde bir artışa uğramıştı. Onu en çok

etkileyen, Öklit'in fikirlerin akışını düzenlediği yolun, mantığın berraklığıydı. Einstein, bir ara, zorunlu okul yönetmeliği (Katoliklikte, olduğu gibi seçim yoktu) ve Yahudi dininin ev içi eğitimi yüzünden çok dindar hale gelmişti. Fakat bilimi öğrendiğinde, tüm bunlar bir kenara itilmişti. îbranice çalışmaları ve yetişkinliğe kabul törenine yönelik işlemler birdenbire karaya oturmuştu; Albert farklı bir çağrı bulmuştu.

1890'lann başlarında, Elektronische Fabrik J. Einstein und Co.'da işler iyi değildi. Almanya'da satışlar çok düşmüştü ve şirketin İtalya temsilcisi Lorenzo Garrone şirketin İtalya'ya taşınmasını önermişti. 1894 Haziranında, Alman şirket tasfiye edilmiş, aile evi satışa çıkarmış ve Einstein'lar -okulunu bitirmek zorunda olan Albert dışında- Milano'ya taşınmışlardı. "Einstein ve Garrone" ailenin sonradan taşındığı Pavia'da bir iş kurarken, Albert tek başına Münih'e gitmişti.

Üzücü bir deneyimdi bu ve Albert bundan çok etkilenmişti. Sadece bu değildi ki; ufukta askerlik hizmeti de görünüyordu. Ailesine söylemeden, onlara İtalya'da katılmaya karar vermişti. Sinir bozukluğu çektiğini belirten -belki de doğruydu- bir belge vermesi için aile doktorunu ikna etmişti. Okulu erken terk etme izni almış ve 1895'in ilkbaharında haber vehmeden Pavia'ya gelmişti. Anne ve babası dehşete düşmüşlerdi, ama onlara öğrenimine devam etme sözü vermişti: Zürih'teki ETH'nin (Eidgenossische Technische Hochschule, şimdi olduğu gibi, o zaman da İsviçre'nin önde gelen yüksek öğretim enstitüsü) giriş sınavlarına katılacaktı.

Albert İtalya'nın güneşli havasında canlanmıştı. Ekimde ETH'nin giriş sınavına katılmış, ama başarısız olmuştu. Matematik ve fenden kolayca geçmiş, fakat sosyal derslerden kalmıştı. Kompozisyonda hiç de iyi değildi. Fakat ETH'ye girmenin, bir lise diploması (the Matura)' almakla başlayan başka bir yolu daha vardı; bu otomatik giriş yoluydu. Do-

Almanca karşılığı abitur olan bu söz lise mezuniyeti, lise geçiş sınavı anlamlarına gelir -yn.

layısıyla Aarau'da bir okula Winteler ailesinin pansiyoneri olarak gitmişti. VVinteler'lerin yedi çocukları vardı ve Albert onların arkadaşlıklarından hoşlanmış, vekil ailesine karşı sonu gelmez bir sevgi geliştirmişti. Okulun "liberal doğası''nı ve seçkin öğretmenlerini göklere çıkarmış ve öğretmenlerin dış otoritelere boyun eğmediklerini üstüne basa basa söylemişti.

Hayatında ilk kez okulda mutluydu. Güveni artmış ve düşüncelerini beyan eder olmuştu. Okuldaki Fransızca kompozisyon yazılarının birinde, gelecek planlarını matematik ve fizik çalışmak olarak ortaya sermişti.

1896'da ETH'ye girmiş, Württenberg vatandaşlığından çıkarak uyruksuz hale düşmüştü. Aylık harçlığının beşte-birini İsviçre vatandaşlığına geçişte kullanmak üzere biriktirmişti. Fakat şimdi de babası ve amcası Jakob'un sahip olduğu elektrik fabrikası, aile servetinin çoğunu götürerek, iflas etmişti. Jakob büyük bir şirkette düzgün bir iş bulmuş, fakat Hermann tekrar bir başka iş başlatma kararı almıştı. Albert'in muhalefetine itibar etmeyip tekrar Milano'da başladığı bu girişim de başarısızlığa uğraması sadece iki yıl sürmüştü. Albert bir kez daha ailenin bu şanssızlığı karşısında bunalıma girmiş ve bu durumu babasının Jakob'u dinleyerek güç istasyonları kuran bir şirkette bir iş bulmasına kadar devam etmişti.

Albert ETH'de zamanının çoğunu fizik laboratuarında deneyler yaparak geçirirdi. Profesörü, Heinrich Friedrich Weber, ondan fazla etkilenmemişti. "Sen akıllı bir çocuksun Einstein" derdi genç adama, "fakat büyük bir kusurun var: hiçbir şey söylemiyorsun." Albert'i, dünyanın esire, yani elektromanyetik dalgalan ilettiği düşünülen ve her yeri kaplayan varsayımsal akışkana göre hareket edip etmediğini ortaya çıkaracak deneyler yapmaktan vazgeçirmişti.

Einstein da Weber'den büyük ölçüde etkilenmemişti, onun derslerini modası geçmiş bulmaktaydı. Elektromanyetizmanın Maxwell kuramı hakkında pek bir şey söylemediği ve bunu 1894 basımı bir Alman ders kitabını kullanarak ona öğretmediği için iyice hayal kırıklığına uğramıştı. İki ünlü

matematikçi, Hurwitz ve Hermann Minkovvski'den dersler almıştı. Parlak bir özgün düşünür olan Minkovvski, sayılar kuramındaki temel yeni yöntemleri ortaya atmış ve sonra göreliliğe önemli matematiksel katkılar yapmıştı. Albert ayrıca Charles Darwin'in evrim üzerine olan çalışmalarından bazılarını da okumuştu.

ETH'de devam etmesi için, artık bir asistanlık -şimdi buna öğretim görevlisi kadrosu diyoruz- elde etmesi gerekiyordu; böylece ETH'de kalırken ileri çalışmaları için para sağlamış olurdu. Weber, Albert'e böyle bir görev sunabileceğini çıtlatmıştı, fakat bu gerçekleşmemiş ve Albert onu asla affetmemişti. Albert bir mektupla Hurvvitz'e böyle bir görevin boş olup olmadığını sormuş ve görünüşte olumlu yanıt almış, fakat yine hiçbir şey olmamıştı. 1900 yılının sonuna kadar işsizdi Albert. Bununla birlikte, moleküller arasında etkiyen kuvvetler üzerine ilk makalesini yayımlamıştı. Bundan kısa bir süre sonra, İsviçre vatandaşlığına kavuşmuş ve hayatının sonuna kadar, Amerika Birleşik Devletleri'ne gittikten sonra bile, bu vatandaşlıkta kalmıştı.

1901 yılı boyunca, Albert mektuplar yazarak, makalesinin kopyalarını göndererek, açık olan her pozisyona başvurarak, bir üniversite konumu elde etmeye çalışıp durmuştu. Ama nerede o şans. Ümitsizlik içinde, geçici bir lise öğretmenliği bulmuştu. Sürpriz bir şekilde, öğretmekten hoşlandığını keşfetmişti; ayrıca bu ona fizik araştırmalarını sürdürmek için bol boş zaman bırakmıştı. Arkadaşı Marcel Grossmann'a, gazların kuramı ve -bir kez daha- maddenin esir boyunca hareketi üzerinde çalışmakta olduğunu söylemişti. Bir başka okulda başka bir geçici öğretim görevine geçmişti.

Şimdi de Grossmann Albert'in yardımına koşuyordu: Marcel'in babası Bern'deki Federal Patent Ofisinin müdürüne Albert'i önermeye ikna edilmişti. Bu iş resmen ilan edildiğinde, Einstein başvurusunu yapmıştı. Okul öğretmenliğinden ayrılmış ve 1902'nin başlarında, işi elde ettiği daha kendisine resmen bildirilmediği halde, Bern'e taşınmıştı. Belki kendisine gayri resmi olarak güvence verilmişti ya da belki kendisi bundan tam emindi. Atama resmen 1902 Hazi-

ranında yapılmıştı. Bu gıptayla baktığı akademik bir görev değildi, fakat yiyecek, giyecek ve konaklamayı karşılamaya yetecek parayı kazandıracak bir işti: yılda 3500 İsviçre frangı. Üstelik, ona fizik için yeterli zaman bırakabilecekti.

ETH'de Mileva Maric adında genç bir öğrenciyle karşılaşmıştı, fiziğe -ve Albert'e- büyük ilgi gösteren biri. Birbirlerine aşık olmuşlardı. Ne yazık ki, Pauline Einstein olası gelininden hoşlanmamıştı ve bu düşmanlığa neden olmuştu. Bu arada Hermann ölümcül bir kalp hastalığına tutulmuştu. Ölüm döşeğindeki baba en sonunda Albert ve Mileva'nm evlenmelerine rıza göstermiş ve sonra ailedeki herkesin dışarı çıkmasını istemişti; böylece tak başına ölebilirdi. Albert yaşamının geri kalanı boyunca kendini suçlu hissetmişti. Al-bert ve Mileva Ocak 1903'te evlenmişler; tek oğulları, Hans Albert, Mayıs 1904'te doğmuştu.

Patent ofisi işi Einstein'a uygundu ve oradaki görevlerini öyle etkin şekilde yapmaktaydı ki 1904'ün sonuna doğru işi sürekli hale gelmişti; fakat patronu Einstein'ın makine teknolojisiyle uğraşması halinde terfi edebileceği uyarısında bulunmuştu. Fiziği de, istatistik mekanik üzerindeki çalışmasıyla ilerlemekteydi.

Patent ofisi memuru en sonunda ona Nobel Ödülünü kazandıran bir makale yazdığında, bunların tümü 1905 "altın yılı"na yol açtı. Aynı yılda Zürih Üniversitesinde doktorasını tamamlamıştı. Yılda 1000 İsviçre franklık bir artışla ikinci derece teknik uzmanlığına da terfi etmişti. Anlaşıldığı kadarıyla, makine teknolojisine hâkim olmayı da becermişti.

Ünlü olduktan sonra bile, Albert, patent ofisindeki işe zemin hazırladığı için Grossmann'm hakkını hep teslim etmiş; her şeyden çok bunun fizikteki çalışmalarını mümkün kıldığını söylemişti. Bu dâhiyane bir iş, mükemmel bir şans olmuştu onun için ve bunu hiçbir zaman unutmamıştı.

Fizik tarihinin bu en göze çarpan yılında, Einstein üç ana araştırma makalesi yayımladı.

Biri, Brown hareketi, yani bir sıvı içinde asılı duran çok küçük parçacıkların rastgele hareketleri üzerineydi. Bu olay, onu keşfeden botanikçi Robert Brown'ın adıyla anılır. Brown

mikroskobuyla 1827'de suda yüzen polen taneciklerine bakmaktaydı. Polendeki deliklerin içinde rastgele biçimde titreyen daha da küçük parçacıklar dikkatini çekmişti. Bu tür hareketin matematiği 1880'de Thorvald Thiele ve bağımsız olarak Louis Bachelier tarafından çalışılmıştı. Bachelier'nin ilham kaynağı bu cins Brovvn hareketi değildi, borsadaki aynı rastgele dalgalanmalardı; matematiğin özdeş olduğu anlaşılmıştı.

Fiziksel yorum daha o zaman hazırdı. Einstein ve bağımsız olarak PolonyalI bilim kadını Marian Smoluchowski şunun farkına varmışlardı: Brovvn hareketi, maddenin molekülleri oluşturmak için bir araya gelen atomlardan meydana geldiği şeklindeki o zaman daha-ispatlanmamış kuram için kanıt olabilirdi. "Kinetik kuram''a göre, gazlar ve sıvılar içindeki moleküller etkin şekilde rastgele hareket ederek sürekli birbirleriyle çarpışıp geri gidiyorlardı. Einstein böyle bir sürecin matematiğini yeterince inceleyerek, bu varsayımın Brovvn hareketinin deneysel gözlemleriyle çakıştığını gösterdi.

İkinci makale fotoelektrik etki üzerineydi. Alexandre Bec-querel, Willoughby Smith, Heinrich Hertz ve başka kişiler belli metal tiplerinin ışığa tutulduklarında elektrik akımı ürettiklerini gözlemişlerdi. Einstein, ışığın küçücük parçacıklardan oluştuğunu söyleyen kuantum-mekaniksel öneriden hareket etmekteydi. Hesaplamaları gösterdi ki, bu kabul, deneysel verilere çok iyi uymaktaydı. Kuantum kuramının lehindeki kanıtın ilk güçlü parçalarından biriydi bu.

Bu makalelerin her biri, büyük bir ilerleme olmuştu. Fakat üçüncü makale bunların hepsinden de üstündü. O özel görelilik üzerineydi; uzay, zaman ve madde görüşümüzde devrim yaratacak kadar Nevvton'm ötesine geçmiş bir kuram üzerine.

Bizim olağan uzay görüşümüz Öklit ve Nevvton'mkiy-le aynıdır. Uzay üç boyuta sahiptir; bir binanın köşesi gibi kuzey, doğu ve yukarı olmak üzere birbirlerine dik üç ba-

ğımsız doğrultu. Uzayı kaplayan madde yerden yere deği-şebilse de, uzayın yapısı tüm noktalarda aynıdır. Uzaydaki cisimler farklı şekillerde hareket edebilirler: dönebilirler, sanki bir aynada gibi yansıyabilirler ya da "ötelenebilirler", yani dönmeksizin yanlamasına kayarlar. Çok daha soyut olarak, bu dönüşümleri uzayın kendisine uygulanmış ("gözlem çerçevesi"nin değişimi) gibi düşünebiliriz. Uzayın yapısı ve bu yapıyı ifade eden ve onun içinde işlem gören fizik yasaları, bu dönüşüm altında simetriktir. Yani, fizik yasaları her yerde ve tüm zamanlarda aynıdır.

Fiziğin Newtonci görünümünde, zaman bir başka "boyut" oluşturur; bu boyut, uzayın boyutlarından bağımsızdır. Zaman bir tek boyuttur ve onun simetri dönüşümleri daha basittir. ötelenebilir (her gözleme sabit bir süre eklenir) ya da yansıtılır (zaman tersine yürütülür; sadece bir düşünce-de-neyi olarak). Fizik yasaları, ölçümlerinizin başlama tarihine bağlı değildir; böylece onlar zaman ötelenmeleri altında simetrik olmalıdır. En temel fizik yasaları zaman terslenmesi altında da simetriktir, ama hepsi değil; oldukça gizemli bir gerçek.

Fakat matematikçiler ve fizikçiler yeni keşfedilmiş olan elektrik ve manyetizma yasaları hakkında düşünmeye başladıklarında, Newtonci görüş bunlara pek uymuyor gibiydi. Yasaları değişmez bırakan uzay ve zaman dönüşümleri, ötelenme, dönme ve yansımanın basit "hareketleri" değillerdi; üstelik, bu dönüşümler uzay ve zamana bağımsız olarak uy-gulanamıyorlardı. Tek başına uzayda bir değişme yaptığınızda, denklemler karmakarışık bir hale geliyordu. Durumu düzeltecek şekilde zamanı da değiştirmeniz gerekiyordu.

incelenen sistem hareket etmediği sürece, bu sorun bir dereceye kadar önemsenmeyebilirdi. Fakat elektron gibi hareketli bir yüklü parçacığın matematiğiyle bu sorun buhranlı bir aşamaya girmiş ve on dokuzuncu yüzyıl sonlarının fiziğinde tam merkeze oturmuştu, ilgili simetri endişeleri artık yok sayılamazdı.

1905'e zemin hazırlayan yıllarda, çok sayıda fizikçi ve matematikçi Maxwell denklemlerinin bu tuhaf tarafına şa-

şınp kalmışlardı. Bir laboratuarda ya da hareketli bir trende elektrik ve manyetizmayı içeren bir deney yaparsanız, sonuçlar nasıl karşılaştırılmalıdır?

Kuşkusuz, birkaç deneyci hareketli trenler üzerinde çalışır, fakat onların hepsi hareketli olan dünya üzerinde çalışmaktadır. Pek çok amaç için, gerçi dünyanın durmakta olduğu düşünülebilir, çünkü deney düzeneği onunla birlikte hareket etmektedir, dolayısıyla hareket gerçek bir fark yaratmaz. örneğin, Nevvton'm hareket yasaları, bir düz çizgi üzerinde sabit hızla hareket eden her "eylemsiz" gözlem çerçevesinde tam olarak aynı kalır. Dünyanın hızı epeyce sabittir, fakat hem kendi ekseni etrafında dönmektedir hem de güneş çevresinde dolanmaktadır; dolayısıyla güneşe göre hareketi düz çizgi boyunca değildir. Yine de, düzeneğin izlediği yol neredeyse düzdür; eğriliğin önemli olup olmaması deneye bağlıdır ve çoğu kez bu hiç önemli olmaz.

Maxwell denklemleri dönen bir gözlem çerçevesinde farklı bir biçim alırsa, bundan hiç kimse endişelenmezdi. Ama keşfedilen şey çok daha rahatsız ediciydi: Maxwell denklemleri eylemsiz çerçevelerde farklı bir biçim almaktaydı. Hareketli bir tren üzerindeki elektromanyetizma, tren bir düz çizgi boyunca sabit hızla hareket etse bile, sabit bir laboratuardaki elektromanyetizmadan farklıdır.

Bir başka sorun daha vardı: Trenin ya da dünyanın hareket ediyor olması tamamdır, ama hareket kavramı görelidir. örneğin, çoğu kez dünyanın hareketine dikkat etmeyiz. Sabahları güneşin doğması ve akşamları batması, dünyanın dönmesiyle açıklanır. Fakat dönmeyi hissetmeyiz, sadece çıkarsama yaparız.

Trende oturup pencereden dışarıya bakarsanız, sizin sabit olup kırların hızla önünüzden geçip gittiği izlenimini edinebilirsiniz. Dışarıdaki arazide dikilmiş sizin geçip gitmenize bakan birisi tersini gözler: o durmakta ve tren gitmektedir. Güneşin dünya çevresinde dönmesi yerine dünyanın güneş çevresinde döndüğünü söylediğimizde, incelikli bir ayırım yapıyoruz, çünkü seçtiğiniz gözlem çerçevesine bağlı olarak her iki betimleme de geçerlidir. Çerçeve güneş

birlikte taşınıyorsa, dünya bu çerçeveye göre hareket etmekte, güneşse etmemektedir. Fakat çerçeve dünyayla birlikte taşınıyorsa, o zaman da hareket eden cisim güneştir.

öyleyse güneş-merkezli kuram hakkındaki ısrar, yani "dünya güneş çevresinde bir yörüngede dolanır, tersi değil" şeklinde koparılan o yaygara niyeydi? Zavallı Giordano Bru-no, bir betimlemenin doğru olduğunu söylediği, Kiliseyse diğerini tercih ettiği için, yakılarak öldürülmüştü. Bruno bir yanlış anlama yüzünden mi ölmüştü?

Tam olarak öyle değil. Bruno Kilisenin dine aykırı gördüğü çok sayıda iddiada bulunmuştu; Tanrı'nın var olmadığı gibi küçük meseleler. Güneş-merkezli kurama hiçbir zaman değinmeseydi de, kaderi yine aynı olurdu. Fakat "dünya güneş çevresinde dolanmaktadır" savının "güneş dünyanın çevresinde dolanmaktadır"dan üstün oluşunun önemli bir anlamı vardır, önemli fark şudur: Uyduların güneşe göre hareketlerinin matematiksel betimlemesi, dünyaya göre ha-reketlerininkinden çok daha basittir. Dünya-merkezli bir kuram mümkündür, fakat çok karmaşıktır. Güzellik, salt gerçeklikten daha önemlidir. Birçok görüş noktası doğayı doğru şekilde betimler, fakat bazıları işin içyüzünü diğerlerinden daha iyi gösterir.

Şimdi, tüm hareketler göreliyse, hiçbir şey mutlak şekilde "durgun" olamaz. Newton mekaniği sıradaki en basit önermeyle uyumludur: tüm eylemsizlik çerçeveleri aynı temele dayanmaktadır. Fakat bu Maxwell denklemleri için doğru değildir.

On dokuzuncu yüzyıl sona ererken, daha da merak uyandıran bir olasılık da ele alınmalıydı. Madem ki ışık esir içinde hareket eden bir dalga hareketiydi, o taktirde belki de esir durgundu. Tüm hareketlerin göreli olması yerine, bazı hareketler -esire göre olanlar- mutlak olabilirdi. Fakat bu yine de Maxwell denklemlerinin neden tüm eylemsizlik çerçevelerinde aynı olmadıklarını açıklamamaktaydı.

Ortak tema burada simetridir. Bir gözlem çerçevesinden diğerine olan değişim, uzay-zamanda bir simetri işlemidir.

Eylemsizlik çerçeveleri ötelenme simetrileri hakkındadır; dönen çerçeveler çevrimsel simetriler hakkındadır. Newton yasalarının her eylemsizlik çerçevesinde aynı olduklarını söylemek, bu yasaların tekdüze hızlı ötelenmeler altında simetrik olması demektir. Her nedense, Maxwell denklemleri bu özelliğe sahip değildir. Bu, bazı eylemsizlik çerçevelerinin diğerlerinden daha fazla eylemsiz olduklarını akla getiriyor gibidir. Bazı eylemsizlik çerçeveleri özelse, elbette bunlar esire göre durgun olanlar olmalıdır.

Bu problemlerin sonucu, bu durumda, biri fiziksel ve diğeri matematiksel olmak üzere, iki soruydu. Fiziksel olan şuydu: Esire göre hareket saptanabilir mi? Matematiksel olansa şu: Maxwell denklemlerinin simetrisi nedir?

Birincinin yanıtı, bir ABD Bahriye subayı olan ve işinden izinli olarak Helmholtz'un gözetiminde fizik çalışan Albert Michelson ile kimyacı Edward Morley tarafından bulunmuştu. Farklı doğrultularda hareket eden ışık hızındaki ufacık farklılıkları ölçmek için duyarlı bir düzenek kurmuşlardı ve farklılıkların olmadığı sonucuna varmışlardı. Ya Yeryüzü esire göre durgundu ya da esir diye bir şey yoktu ve ışık göreli hareket için her zamanki kurallara uymuyordu.

Einstein probleme matematiksel yönden girişmişti. Makalelerinde Michelson-Morley deneyine hiç değinmemişti; ama daha sonra bu deneyden haberdar olduğunu ve onun düşüncesini etkilediğini söylemişti. Deneylere başvurmak yerine, Maxwell denklemlerinin bazı simetrilerini dikkatle incelemişti; bu simetriler yeni bir özelliğe sahiptirler: uzay ve zamanı karıştırırlar (Einstein simetrinin rolünü açığa ka-vuşturmamıştı, fakat yüzeyin çok altında değildir). Bu garip simetrilerin bir saklı anlamı odur ki, esire göre tekdüze hareket -böyle bir ortamın var olduğunu kabul ederek- gözle-nemez.

Einstein'ın kuramı "görelilik" adını ele geçirmişti, çünkü göreli hareket ve elektromanyetizma hakkında beklenmeyen öngörüler yapmıştı.

Görelilik çok kötü bir isimdir. Yanıltıcıdır, çünkü Einstein kuramının en önemli yanı, bazı şeylerin göreli olmamasıdır. özellikle, ışığın hızı mutlaktır. Yolladığınız bir ışık demeti arazide duran bir gözlemciyi ve hareketli bir trende oturan bir başka gözlemciyi geçtiğinde, ikisi de aynı hızı ölçecektir.

Bu belirgin biçimde sezgilere aykırıdır ve ilk bakışta saçma görünür. Işığın hızı kabaca saniyede 300.000 kilometredir. Açıkça bu arazideki gözlemcinin ölçmesi gereken hızdır. Ya trendeki kişiye ne dersiniz?

Trenin saatte 80 km hızla gittiğini varsayalım, önce, ikinci bir trenin de paralel bir çizgide yine saatte 80 km hızla gittiğini düşünelim. Pencereden bakıyorsunuz ve onun geçip gittiğini gözlüyorsunuz. Size ne kadar hızla hareket etmekte olduğu görünür?

Sizinle aynı yönde gidiyorsa, yanıt 0 km/saat'tir. ikinci tren sizinkine ayak uyduracak, onunla yan yana gidecektir; dolayısıyla sizin trene göre hareket etmiyor gibi görünür. Zıt yönde hareket ediyorsa, o zaman 160 km/saat'lik bir hızla geçiyor görünür, çünkü sizin trenin 80 km/saat'lik hızı etkin olarak gelen trenin hızına eklenir.

Trenlerle ölçümler yaparsanız, bulacağınız budur.

Şimdi ikinci treni bir ışık demetiyle değiştiriniz. Işığın hızı, uygun birimlere çevrildiğinde, 1.080.000.000 km/ saat'tir. Treniniz ışık kaynağından öteye hareket ediyorsa, 1.080.000.000 - 80 = 1.079.999.920 km/saat'lik bir hız gözlemeyi beklersiniz, çünkü ışık trene "yetişiverir". Diğer taraftan, treniniz ışık kaynağına doğru geliyorsa, o zaman da ışığın trene göre hızının, 1.080.000.000 + 80 = 1.080.000.080 km/saat olmasını beklersiniz, çünkü trenin hareketi görünür hıza eklenecektir.

Einstein'a göre, bu sayıların ikisi de yanlıştır. Gözleyeceğiniz şey, her iki halde de, 1.080.000.000 km/saat hızla giden ışıktır; tam olarak arazide duran gözlemcinin gözlediği aynı hız.

Bu, kulağa çılgınca gelmektedir. Göreli harekette diğer tren için Nevvtoncı kurallar işliyorsa, onlar ışık için neden işlememektedir? Einstein'm yanıtı şudur: Fizik yasaları, çok hızlı hareket eden cisimler için Newton yasalarından farklıdır.

Daha doğrusu, fizik yasaları Nevvton zamanmdakilerden farklıdır. Fakat bu fark, ancak cisimler ışık hızına çok yakın hızlarla hareket ediyorken görünür hale gelir. 80 km/saat gibi düşük hızlarda Nevvton yasaları, Einstein'm önerdiği yer değiştirmelere öylesine iyi bir yaklaştırmadır ki hiçbir fark hissedemezsiniz. Fakat hızlar arttıkça, çelişkiler gözlenmeye yetecek kadar büyük hale gelir.

Temel fiziksel nokta şudur: Maxwell denklemlerinin simetrileri sadece denklemleri korumaz, onlar aynca ışığın hızını da korurlar. Gerçekten de, ışık hızı denklemlerin içine monte edilmiştir. Bu nedenle ışık hızı mutlak olmalıdır.

Bu önerinin "görelilik" olarak adlandırılması gariptir. Einstein aslında onu "Invariantentheorie": değişmez kuram olarak adlandırmak istemişti. Fakat "görelilik" adı yapışıp kalmıştı ve her koşulda matematiğin bir alanında değişmez kuram denen bir adlandırma zaten vardı, böylece Einstein'm yeğlediği ad karışıklık yaratabilirdi. Gerçi tüm eylemsizlik çerçevelerinde ışık hızının değişmezliğini betimlemek için "görelilik'! kullanmak kadar da kafa karıştırıcı değil.

"Görelilik''in sonuçları tuhaftır. Işık hızı sınırlandırıcı bir hızdır. Işıktan daha hızlı gidemezsiniz. Aşın sürüşlü Yıldız Savaşları yoktur. Işık hızının yakınında, uzunluklar büzülür, zaman iyice yavaşlar ve kütle sınırsız artar. Fakat -ve işte mükemmel bir şey- bunların farkına varmazsınız, çünkü ölçüm aletleriniz de büzülür, yavaşlar (zamanın çok daha yavaş geçmesi anlamında) ya da ağırlaşır. Arazideki gözlemcinin ve trende olanın sizin ışığınızı, onların göreli hareketine karşın, aynı hızda ölçmeleri bundandır: uzunluk ve zamandaki değişmeler, göreli hareketin beklenen etkilerini tam olarak karşılar. Michelson ve Morley işte bu nedenle dünyanın esire göre hareketini saptayamamışlardı.

Hareket ediyorsanız, her şey size hareket etmediğiniz zaman olan durumla aynı görünür. Fizik yasaları siz hareket mi ediyorsunuz, yoksa duruyor musunuz, size bunu söyleyemez. îvmelenip ivmelenmediğinizi söyleyebilir, fakat hızınız sabitse, hangi hızla gittiğinizi söyleyemez.

O hâlâ esrarengiz görünebilir, fakat deneyler kuramı bütün ayrıntılarıyla doğrulamaktadır. Bir başka sonuç, Einstein'm kütleyi enerjiye bağlayan meşhur E = mc2 formülüdür; ki bu dolaylı şekilde atom bombasına yol açar, ama onun rolü burada çok kere abartılır.

Işığa öylesine aşinayız ki onun ne denli esrarlı olduğunu belki de hiç düşünmeyiz. Ağırlığı yokmuş gibi görünür, her yere nüfuz eder ve görmemizi sağlar. Işık nedir? Elektromanyetik dalgalar. Dalgalar neyin içindedir? Uzayzaman sürekliliği içinde; bu ise "bilmiyoruz" demenin süslü bir yoludur. Yirminci yüzyılın başlarında, dalgaların ortamının ışık yayan esir olduğu düşünülmüştü. Einstein'dan sonra bu esir hakkında bir şeyi anladık: esir mevcut değildir. Dalgalar hiçbir şey içinde değildir.

Kuantum mekaniği, göreceğimiz gibi, daha da ileri gitmişti. Işık dalgalan sadece hiçbir şey içinde olmamakla kalmaz, ayrıca tüm nesneler dalgadırlar. Dalgalan desteklemek için bir ortam yerine -dalga geçerken kırış kırış olan bir uzayzaman dokusu- dokunun kendisi dalgalardan oluşur.

Maxwell denklemlerinde su yüzüne çıkmış olan uzayza-man simetrilerinin, aşikâr Nevvton simetrileri olmadıklarını fark eden tek kişi Einstein değildi. Newtoncı görüşte, uzay ve zaman birbirlerinden ayrı ve farklıdır. Fizik yasalarının simetrileri, uzayın katı hareketleri ile zamanda bağımsız bir kaymanın karışımlarıdır. Fakat değindiğim gibi, bu dönüşümler Maxwell denklemlerini değişmez bırakmazlar.

Bunu düşünerek, Henri Poincare ve Hermann Minkowski gibi matematikçiler, salt matematiksel düzeyde, yeni bir uzay ve zaman görüşüne sürüklenmişlerdi. Bu simetrileri fiziksel terimlerle betimlemiş olsalardı, göreliliği Einstein'dan önce ortaya atabilirlerdi, fakat fiziksel yorumlardan kaçınmışlardı. Elektromanyetizma yasalarının simetrilerinin uzay ve zamanı bağımsız olarak etkilemeyip onları karıştırdıklarını kesin şekilde anlamışlardı. Bu iç içe geçmiş değişimleri betimleyen matematiksel şema, fizikçi Hendrik Lorentz'e izafeten, Lorentz grubu olarak bilinir.

Minkowski ve Poincare, Lorentz grubunu fizik yasalarının belli özelliklerinin soyut bir ifadesi olarak görmüşler ve "çok daha yavaş geçen zaman" ya da "hızlandıkça büzülen cisimler" gibi betimlemeleri, herhangi bir gerçek şeyden ziyade belirsiz benzetimler olarak düşünmüşlerdi. Fakat Einste-in bu dönüşümlerin hakiki bir fiziksel anlama sahip olduğu konusunda ısrarcıydı. Cisimler ve zaman, gerçekten de böyle davranmaktaydı. Fiziksel bir kuram olarak, Lorentz grubunun matematiksel şemasını -uzay ile ayn bir zamanın değil de- birleşik bir uzayzamanm fiziksel betimlemesi içinde birleştiren özel göreliliği formüle etmeye sürüklenmişti.

Daha sonra Minkowski bu Newtoncı-olmayan fizik için, şimdi Minkovvski uzayzamanı denen, bir geometrik resimle çıkageldi. Bu resim, uzay ve zamanı bağımsız koordinatlar olarak temsil eder ve hareketli bir parçacık bu koordinat sisteminde zaman geçtikçe bir eğri izler. Einstein buna parçacığın dünya çizgisi demişti. Hiçbir parçacık ışıktan daha hızlı gidemeyeceği için, dünya çizgisinin eğimi, zaman doğrultusuna göre asla 45°'den fazla olamaz. Parçacığın geçmişi ve geleceği, onun ışık konisi denen bir çift koninin daima içinde yer alır.

alan

Minkovvski uzayzamanınm geometrisi.

Elektrik ve manyetizma doğanın iki temel kuvvetiyle ilgilenir. Fakat bu betimlemede bir temel kuvvet hâlâ ortada yoktur: kütleçekim. Kütleçekimi de içerecek daha genel bir

kuram geliştirmeye girişerek ve doğa yasaları simetrik olmalıdır ilkesine dayanarak, Einstein genel göreliliğe ulaştı: fikir, uzayzamanm kendisinin eğri olması ve onun eğriliğinin kütleye karşılık gelmesiydi. Bu fikirlerden, şu anki Büyük Patlama kozmolojimiz ortaya çıkar: buna göre evren 13 milyar kadar yıl önce küçücük bir noktadan büyümüştü. Bir başka sonuç olağanüstü kara delik kavramıdır: kara delik öyle kütleli bir cisimdir ki ışık bile onun kütleçekim alanından kaçamaz.

Genel görelilik, öklitçi-olmayan geometri üzerine yapılan ve Gauss'u bir "metrik" (herhangi iki nokta arasındaki mesafe için bir formül) fikrine götüren ilk çalışmalara kadar geri gider. Bu formül, Pisagor teoreminden türetilen klasik öklit-çi formül olmadığı zaman, yeni geometriler ortaya çıkar. Formül birkaç basit kurala uyduğu sürece, anlamlı bir "mesafe" kavramı tanımlar. Ana kural şudur: bir A noktasından bir başka C noktasına olan mesafe, eğer arada bir B noktasından geçerseniz, azalamaz. Yani, A'dan C'ye direkt mesafe, A'dan B'ye olan mesafe ile B'den C'ye olan mesafenin toplamından az ya da ona eşittir. Bu "üçgen eşitsizliği" dir; Öklit geometrisinde bir üçgenin herhangi bir kenarının, diğer ikisinin toplamından daha kısa olması nedeniyle böyle adlandırılır.

Pisagor formülü, uzayın "düz" olduğu öklit geometrisinde geçerlidir. Böylece metrik Öklitçi metrikten farklı olduğunda, bu farkı, uzayın bir tür "eğriliği"ne bağlarız. Bunu gözünüzde uzayın bükülmesi olarak canlandırabilirsiniz, fakat bu aslında en iyi resim değildir; çünkü o zaman özgün uzayın içinde bükülebileceği daha büyük bir uzay da var olmalıdır. "Eğriliği" düşünmenin daha iyi bir yolu şudur: Uzayın bölgeleri ya sıkışmış ya da gerilmiştir, öyle ki bunlar içerden, dışarıdan bakıldığının tersine, daha az ya da daha çok yer tutuyormuş gibi görünür. (İngiliz TV dizisi Doctor PVho'nun hayranları, içi dışından büyük olan zaman-gezgini uzay gemisi Tardis'i hatırlayacaklardır.) Gauss'un parlak zekâlı öğrencisi Riemann metrik fikrini iki boyuttan herhangi bir

boyuta genişletmiş ve bu fikri öyle düzeltmişti ki uzaklıklar artık yerel olarak -birbirlerine iyice yakın noktalar için- tanımlanabiliyordu. Böyle bir geometriye Riemann manifold-ları denir ve "eğri uzay"ın en genel türü budur.

Fizik uzayda değil, uzayzamanda olur; Einstein'a göre, uzayzamanda doğal "düz" geometri öklitçi değil, Minkowski-cidir. Zaman "uzaklık" formülüne uzaydan daha farklı şekilde girer. Böyle bir geometrik kurgu, bir "eğri uzayzaman"dır. Bu sonunda tam da patent memurunun düzenlediği şekilde ortaya çıkmıştı.

Einstein kendi genel görelilik denklemlerini tasarlamak için uzun bir süre mücadele etti, önce ışığın kütleçekim alanı içinde nasıl hareket ettiğini araştırmıştı; bu onu sonraki araştırmalarını temellendirmek için tek bir temel ilkeye, eşdeğerlik ilkesine, götürdü. Newtoncı mekanikte kütleçekim, cisimlerin birbirlerini çekmesiyle bir kuvvet etkisine sahiptir. Kuvvetler ivmeye neden olurlar. Eşdeğerlik ilkesi der ki, ivmeler hiçbir zaman uygun bir kütleçekim alanının etkilerinden ayırt edilemezler. Başka bir deyişle, kütleçekimi göreliliğe yerleştirmenin yolu, ivmeleri anlamaktır.

1912'ye kadar, Einstein bir kütleçekim kuramının her Lo-rentz dönüşümü altında simetrik olmayabileceğine inanmıştı; ancak madde yoksa, kütleçekim sıfırsa ve Minkowskici ise, o zaman bu tür bir simetri tam olarak, her yerde uygulanır. Bu "Lorentz değişmezliği" gereksinimini bir yana bırakarak, kendisini birçok verimsiz çabadan kurtarmıştı. "Kesinlikle inandığım tek şey " diye yazıyordu 1950'de, "eşdeğerlik ilkesinin temel denklemlerin içine sokulmasının kaçınılmaz oluşuydu." Fakat ayrıca bu ilkenin sınırlamalarını da fark etmişti: bu ilke sadece gerçek kurama bir tür sonsuz-küçük yaklaştırma anlamında yerel olarak geçerliydi.

1907'de, Einstein'm arkadaşı Grossmann ETH'de geometri profesörü olmuştu ve Albert de orada bir görev alması için razı edilmişti. Uzun değil, bir yıl sonra Berlin'e doğru yola çıkmış ve daha sonra Prag'a gitmişti. Fakat Grossmann'la

temasını korumuş ve bunun karşılığı cömertçe ödenmişti. 1912'de, Grossmann da Einstein'a hakkında düşünmesi gereken matematik türüne erişmesi için yardım etmişti:

Bu problem benim açımdan çözülemez gibi duruyordu ta ki... Birdenbire anladım ki Gauss'un yüzeyler kuramı bu gizemi açacak anahtara sahipti... Bununla birlikte, Riemann'ın geometrinin temellerini daha da derin şekilde çalışmış olduğunu o zamanlar bilmiyordum . . . Prag'dan Zürih'e döndüğümde, can dostum matematikçi Grossmann oradaydı. Ricci ve sonra Riemann'ı ilk kez ondan duydum. Böylece arkadaşıma benim problemim acaba Riemann'ın kuramıyla çözülebilir mi diye sordum.

"Ricci", Riemann manifoldları analizinin -öğrencisi Tullio Levi-Civita'yla birlikte- ortak mucidi olan Gregorio Ricci-Curbastro'dur. Ricci tensörü, eğriliğin bir ölçüsüdür ve Riemann'ın özgün kavramından daha basittir.

Başka kaynaklarda, Einstein'ın Grossmann'a "Bana yardım etmelisin,yoksa delireceğim!" dediği yer almaktadır. Daha sonra Einstein," Grossmann beni sadece ilgili matematiksel yazını inceleme zahmetinden kurtarmakla kalmamış, ayrıca kütleçekimin alan denklemleri için araştırmalarımda da beni desteklemişti" diye yazmıştı. 1913'te, Einstein ve Grossmann, gerekli olan denklemlerin yapısı hakkında bir varsayımla sona eren ortak çalışmalarının ilk meyvelerini yayımlamışlardı: stres-eneıji tensörü ... bir şeyle orantılı olmalıdır.

Neyle?

Henüz bilmiyorlardı. Bir başka tensör olmalıydı, bir başka eğrilik ölçüsü.

Bu noktada ikisi de matematiksel hatalar yapmışlardı; bu da onları olmayacak duaya amin deme yoluna sokmuştu. Haklı olarak, kuramlarının uygun bir limitte Newton'ın kütleçekimini vermesi gerektiğine inanmışlardı; düz uzay-zaman, küçük kütleçekimi. Bundan aranan denklem üzerine bazı teknik sınırlamalar, yani gereken "o şey"in doğası üzerine sınırlamalar çıkarmışlardı. Fakat savları yanıltıcıydı ve sınırlamalar uygulanmamıştı.

Einstein doğru alan denklemlerinin, tek olarak metriğin -yani, uzayzamandaki mesafe formülünün, ki bu onun tüm geometrik özelliklerini belirler- matematiksel yapısından saptanması gerektiğine inanmaktaydı. Bu düpedüz yanlıştı: koordinat sistemindeki değişmeler, uzayın içsel eğriliği üzerine etki yapmaksızın, formülü değiştirir. Fakat Einstein'm, biricik oluşun yokluğunu açıklayan Bianchi özdeşliklerinden haberi bile yoktu ve görünüşe göre Grossmann da öyleydi.

Şu her araştırmacının korkulu rüyasıdır: Görünürde hata kabul etmez bir fikir, doğru yöne sevk edecekmiş gibi durur, fakat aslında insanı oyuna getirir. Böyle yanılgıların kökünden sökülüp atılması son derece güçtür, çünkü hata olmadıklarına inanmışsmızdır. Çoğu kez üstü örtülü olarak hangi varsayımları yapmakta olduğunuzun farkında bile değilsiniz dir.

1914'ün sonunda, Einstein nihayet anlamıştı ki, fiziksel çıkarımları olmayan fakat metrik formülünü değiştiren farklı bir koordinat sistemi seçme olasılığı nedeniyle, alan denklemleri tek başına metriği saptayamaz. Hâlâ Bianchi özdeşliklerini bilmiyordu, ama artık onlara gereksinimi yoktu. Hangi koordinatlar en elverişliyse onu seçmekte özgür olduğunu artık biliyordu.

18 Kasım 1914'te, Einstein kütleçekimsel alan denklemleriyle olan savaşında yeni bir cephe açmıştı. Öngörüler yapmaya başlamak için son formülasyonuna iyice yaklaşmıştı. İki öngörü yapmıştı. Biri -olaydan sonra yapılmış, aslında bir söylem sonrası- Merkür gezegeninin yörüngesinde gözlenmiş olan ufacık bir değişmeyi açıklamaktaydı. Gezegenin güneşe en yakın olduğu "günberi" konumu, yavaş bir şekilde değişmekteydi. Einstein'm yeni kütleçekim kuramı günberi-nin ne kadar hızla hareket etmesi gerektiğini ona söylemekteydi ve onun hesabı tam üstüne basmıştı.

İkinci öngörü, onu doğrulayacak ya da yalanlayacak yeni gözlemler gerektirmekteydi; bu enfes bir haberdi, çünkü yeni gözlemler yeni kuramların en iyi testleridir. Einstein'm kuramına göre, kütleçekim ışığı bükmelidir. Bu etkinin geometrisi basittir ve jeodeziklerle -herhangi iki nokta arasındaki

en kısa yolla- ilgilidir. Bir ipi iyice gerer ve havada tutarsanız, o bir düz çizgi oluşturur; o böyle olur, çünkü öklit uzayında bir düz çizgi bir jeodeziktir. Bununla birlikte, ipin iki ucunu bir topa karşı tutup sıkıca çekerseniz, topun yüzeyine yayılmış bir eğri oluşturur. Bir eğri uzay -top- üzerindeki jeodeziklerin kendileri eğridir. Ayrıntılar biraz farklı olsa da, eğri uzayzamanda aynı şey olur.

Bu etkinin ortaya çıkabildiği fiziksel durumlar da apaçıktır. Güneş gibi bir yıldız, yanından geçen her ışığı bükecektir. Bu etkiyi görmenin tek yolu, o zaman için, bir güneş tutulmasını beklemekti; bu durumda, güneşin kendi yoğun ışığı gökyüzündeki konumu güneşin kenarına yakın olan yıldızlardan gelen ışığı bastıramayacaktı. Einstein haklıysa, o yıldızların görünür konumlan, güneşle aynı doğrultuda ol-madıklan zamanki konumlarıyla karşılaştırıldıklarında, hafifçe kaymalıdır.

Bu olayın nicel çözümlemesi pek açık değildir. Einstein'm 1911'deki ilk girişimi, bir yay saniyesinin hemen altında bir kayma öngörmüştü. Işığın ufacık parçacıklardan oluştuğu inancını taşıyan Newton da benzer bir miktar öngörmüştü: kütleçekim kuvveti bu parçacıklan çekerek yolarından bükmeye neden olurdu. Fakat 1915'te Einstein yeni kuramında ışığın iki misli miktarında, 1,74 yay saniyesi kadar büküle-ceği sonucunu çıkarmıştı.

Şimdi, Newton ile Einstein arasında karar verme gibi bir gerçek beklenti vardı. Einstein, 25 Kasım 1914'te alan denklemlerini son yapılan içinde yazdı. Kütleçekimin göreli kuramı olan genel göreliliğin temelini, bu Einstein denklemleri oluşturur. Bunlar, bir tensör, bir tür abartılmış matris, olarak bilinen bir matematiksel formalizmde yazılmışlardır. Einstein denklemi, bize Einstein tensörünün stres-enerji tensörünün değişim hızıyla orantılı olduğunu söyler. Yani, uzayzamanm eğriliği, mevcut madde miktarıyla orantılıdır. Bu denklemler bir tür simetri ilkesine uyarlar, fakat bu bir yerel simetridir. Bunlar uzayzamanm küçük bir bölgesinde,

eğriliğin yerel etkisi dikkate alınmak koşuluyla, özel görelilikle aynı simetrilere sahiptirler.

Einstein, Merkür'ün günberi noktasının hareketiyle ilgili hesaplamalarının ve bir yıldız tarafından ışığın saptırılmasının, yaptığı küçük düzeltmelerle aynı kaldığına işaret etmişti. Einstein kendi denklemlerini Prusya Akademisine, sadece şunu meydana çıkarmak için sunmuştu: Matematikçi David Hilbert aynı denklemleri zaten yollamıştı, fakat onlar için sadece bir kütleçekim kuramından çok daha fazlasını iddia etmişti. Aslında, o bunların elektromanyetik denklemleri de içerdiğini iddia etmekteydi, ki bu bir hataydı. Çok iyi bir matematikçinin, yine Einstpin'dan önce davranmaya iyice yaklaştığını görmek büyüleyicidir.

Güneşin kütleçekim alanıyla ışığın saptırılabileceği şeklindeki Einstein öngörüsünü doğrulamak için çeşitli girişimlerde bulunulmuştu. Bunların ilki Brezilya'da yağmurla bozulmuştu. 1914'te Bir Alman keşif heyeti Kırım'da bir tutulmayı gözlemeye gitmişti, fakat I. Dünya Savaşı çıktığı için tez elden eve dönmeleri talimatı verilmişti. Bazıları dönmüştü. Kalanlar tutuklanmış, ama sonunda sağ salim eve dönmüşlerdi. Doğal olarak, hiçbir gözlem yapılmamıştı. Savaş 1916'da Venezüella'daki gözlemleri engellemişti. 1918'de Amerikalılar denemişler, fakat sonuçlar yetersiz kalmıştı. Nihayet, Arthur Eddington'un liderliğinde bir Britanya keşif heyeti Mayıs 1919'da işi başarmış, fakat Kasıma kadar sonuçlarını duyulmamışlardı. *

Duyurduklarında, sonuç Einstein'ı Newton'a yeğlemekteydi. Bir sapma vardı, Newton modeline uymayacak kadar çok büyüktü ve Einstein'ınkine güzel bir şekilde uyum göstermişti.

Geriye dönüp bakıldığında, deneyler göründüğü kadar belirleyici değildi. Deneysel hata bölgesi oldukça büyüktü ve varılan en iyi sonuç, Einstein'ın herhalde haklı olduğuydu. (Daha iyi yöntemler ve donanımla yapılan çok yakın gözlemler, Einstein'ın kuramını doğruladı.) Fakat o zaman, onlar kusursuz diye açıklanmış ve medya çılgına dönmüştü. Newton'ın hatalı olduğunu kanıtlayan birisi, bir dâhi olmalı-

dır. Köklü şekilde yeni fizik keşfeden birisi, yaşayan en büyük bilim insanı olmalıdır.

Böylece bir efsane doğmuştu. Einstein düşüncelerini Londra'nın Times gazetesinde yazmıştı. Birkaç gün sonra, gazetenin başyazısı karşılık vermişti:

Bu açıkça şok edici bir haberdir ve çarpım tablosunda bile güvenlik endişeleri ortaya çıkacaktır... Bu, iki Kraliyet Cemiyetinin başkanlarım ışığın ağırlığa ve uzayın sınırlara sahip olduğunu beyan etmenin akla yakınlığını ya da hatta düşünülebilirliğini kabul etmeye götürebilir. Bu sadece tanımla olmaz, bu sıradan halk için işin sonudur; ne var ki, yüksek matematikçiler için olabilir.

Fakat yüksek matematikçiler haklıydı. Kısa süre içinde, Times "birdenbire ünlü olan Dr. Einstein'm kuramını sadece on iki kişinin anlayabildiğini" dünyaya duyuruyordu. Bu efsane yıllarca, hatta kuramın çok sayıda lisans öğrencisine sınıfçalışmalarında sıradan biçimde öğretildiği zamanlarda bile dolaşıp durmuştu.

1920'de Grossmann'da çoklu skleroz hastalığının ilk belirtileri göründü. Son makalesini 1930'da yazdı ve 1936'da öldü. Einstein yirminci yüzyılın simgesel fizikçisi olmayı sürdürmüştü. Daha sonraları ününü, onu belli belirsiz eğr lenceli bularak, hoş görmeye başlamıştı. Başlangıçta, medyayla etkileşmekten zevk alır gibiydi.

1920'den sonra fizikteki uğraşlarını, görelilikle kuantum mekaniğini bir tek "birleşik alan kuramı" içinde birleştirme gibi bir kısır arayışa ayırdığına dikkat çekerek, Einstein'm kariyerinden ayrılalım. 1955'te, ölümünden önceki güne kadar hep bu problem üzerinde çalışmıştı.

BİR KUANTUM BEŞLİSİ

"Neredeyse her şey zaten keşfedilmiştir ve kalan tek şey birkaç deliği kapatmak içindir." Bu, fizik çalışmak isteyen yetenekli bir genç için cesaret kırıcı bir haberdir; özellikle bu haber bilen birinden gelirse: bu olayda, bilen kişi bir fizikçi olan Philipp von Jolly'dir.

Tarih 1874'tü ve Jblly'nin görüşü, o dönemdeki çoğu fizikçisin inandığı şeyi yansıtmaktaydı: fizik yapılıp bitmişti. 1900'de bizzat bilge Lord Kelvin şöyle demişti: "Artık fizikte keşfedilecek yeni bir şey yoktur. Kalan tek şey, gitgide daha kesin ölçümler yapmaktır."

Unutmayın, ayrıca demişti ki "açıkça ifade ederim ki, havadan daha ağır makineler yapmak olanaksızdır" ve "ay üzerine iniş, insanlar için öyle çok ciddi problem çıkarır ki onları yenmek için bilimin 200 yıl daha uğraşması gerekir." Kelvin'in yaşam öyküsü yazarı, onun kariyerinin ilk yarısını haklı olduğuna ve ikinci yarısını haksız olduğuna harcadığını yazmıştı.

Fakat tümden haksız değildi. 1900'deki "Isı ve Işığın Dinamik Kuramı üzerindeki On dokuzuncu Yüzyıl Bulutları" konferansında, fiziksel evrenin süresinin anlaşılmasındaki iki can alıcı boşluğa parmak basmıştı: Isıyı ve ışığı hareketin kipleri olarak ileri süren dinamik kuramın güzelliği ve açıklığı (berraklığı) şu anda iki bulutla örtülmüştür. Birincisi şu soruyu içerir: Dünya, esasen ışıklı esir gibi esnek bir katı boyunca nasıl hareket eder? îkincisi, enerjinin bölüşümüne ilişkin Maxwell-Boltzmann ilkesidir." tik bulut göreliliğe yol açmıştı, İkincisiyse kuantum kuramına.

Çok şükür ki, Jolly'nin öğüdünü alan gencin gözü kork-mamıştı. Yeni şeyler keşfetme isteği yoktu, böyle demişti; bütün istediği, fiziğin bilinen temelleri için daha iyi bir anlayış geliştirmekti. Bu anlayış için araştırma yaparken, yirminci yüzyıl fiziğindeki iki büyük devrimin birini gerçekleştirmişti ve Kelvin'in ikinci bulutunu dağıtmıştı. Onun adı Max Planck'tı.

Julius Wilhelm Planck, Kiel ve Münih'te bir hukuk profesörüydü. Babası ve annesi, ikisi de, ilahiyat profesörüydüler ve ağabeyi bir hâkimdi. Böylece ikinci karısı, Emma Patzig, Julius'a bir oğlan -Julius'un altıncı çocuğu- sunduğunda, oğlan kuşkusuz aydın bir çevrede büyüyecekti. Max Cari Emst Ludvvig Planck 23 Nisan 1858'de doğmuştu. Avrupa olağan politik karmaşa içindeydi ve oğlanın en eski anılarında 1864 Danimarka-Prusya Savaşı esnasında Kiel'e yürüyen Prusya ve Avusturya askerleri yer etmişti.

1867 dolayında Planck'lar Münih'e taşındılar ve Max'a, Kral Maximilian Okulunda matematikçi Hermann Müller tarafından özel dersler verildi. Müller çocuğa astronomi, mekanik, matematik ve enerjinin korunumu yasası dahil, biraz temel fizik öğretmişti. Planck mükemmel bir öğrenciydi ve çok erken, on altı yaşında, mezun oldu.

Planck yetenekli bir müzisyendi de, fakat Jolly'nin iyi-ni-yetli öğüdüne karşın fizik çalışmaya karar vermişti. Jolly’nin gözetimi altında bazı deneyler yapmış, ama hızla kuramsal fiziğe kaymıştı. Helmholtz, Gustav Kirchhoff ve Weierstrass'ın yanında çalışmak için, 1877'de Berlin'e taşınarak, dünyanın önde gelen fizikçileri ve matematikçilerinden bazılarıyla arkadaşlığını sürdürmüştü. 1878'de ilk sınavlarını geçmiş ve 1879'da termodinamik üzerinde bir tezle doktorasını almıştı. Bir ara eski okulunda matematik ve fizik dersleri verdi. Farklı sıcaklıktaki cisimlerin denge durumları üzerine olan doçentlik tezi 1880'de kabul edilmiş ve sürekli bir akademik kariyer için yeterli hale gelmişti. Böyle bir konumu layıkıyla hak etmiş, fakat Kiel Üniversitesi kendisini 1885'te yardım -

cı profesör olarak atayıncaya kadar bu gerçekleşmemişti. O dönemde araştırmaları termodinamiğe, özellikle entropi kavramına odaklandı. Max, bir arkadaşının kız kardeşi olan Marie Merck'le tanışmış, 1887'de evlenmişler ve bir daire kiralamışlardı. Toplam dört çocukları oldu: Kari, ikiz çocukları Emma ile Grete ve Erwin.

Max ikizlerin doğduğu 1889'da Berlin'de Kirchhoff'un yerine atandı ve 1892'de tam kadrolu profesör oldu. Aile Berlin'in Grunevvald Bölgesinde bir villaya, çok sayıdaki öğretim üyesinin yakınma taşınmıştı. Bunlardan biri olan ilahiyatçı Adolf von Harnack'le yakın dostu oldular. Planck'lar sosyaldiler ve ünlü aydınlar düzenli olarak onları evlerinde ziyaret ederlerdi. Bunların arasında Einstein, Otto Hahn ve atom bombasıyla nükleer güç istasyonlarına yol açan uzun gelişmelerin parçası olan nükleer fisyon hakkında temel keşifler yapmış Lise Meitner gibi fizikçiler de vardı. Bu olaylarda Planck, Helmholtz tarafından başlatılan müzik çalma geleneğini sürdürmüştü.

Hayat bir süre toz pembeydi, fakat Marie bir akciğer hastalığına, herhalde vereme, yakalandı ve 1909'da öldü. Bir buçuk yıl sonra, 52'sinde, Max bu kez Marga von Hösslin'le evlendi, ondan üçüncü oğlu Hermann doğdu.

1894'te yerel bir elektrik firması, daha verimli bir ışık ampulü geliştirmeye çalışıyordu; böylece Max endüstriyel sözleşmeli bir araştırmaya başlamıştı. Kuramsal olarak, bir ışık ampulünün analizi, "kara cisim ışınımı" olarak bilinen standart bir fizik problemidir: üzerine düşen ışığı hiç yansıtmayan bir cisim tarafından ışık nasıl yayınlanır? Böyle bir cisim, ısıtıldığında, tüm frekanslarda ışık yayınlar; fakat ışığın şiddeti ya da eşdeğer olarak enerjisi, frekansla değişir. Temel soru, frekansın şiddeti nasıl etkilediğidir. Böyle temel veriler olmaksızın, daha iyi bir ışık ampulü icat etmek zordu.

Güzel deneysel sonuçlar vardı ve bir kuramsal yasa, Ray-leigh-Jeans yasası, klasik fiziğin temel ilkelerinden türetilmişti. Ne yazık ki bu yasa, yüksek frekanslarda deneyle çe-

üşmekteydi. Aslında, olanaksız bir şey öngörmekteydi: ışığın frekansı yükseldikçe, onun enerjisi sonsuz derecede büyüyordu. Bu olanak dışı sonuç, "morötesi felaket" olarak bilinir olmuştu. Başka deneyler, yüksek-frekans ışınımı gözlemleriyle uyuşan ve kâşifi Wilhelm Wien'e izafeten Wien yasası adını alan yeni bir yasaya yol açmıştı.

Bununla birlikte, Wien yasası da düşük-frekans ışınımı için işlememekteydi.

Fizikçiler iki yasayla karşı karşıya kalmışlardı: biri dü-şük-frekanslarda işleyip yüksek-frekanslarda işlemiyordu; diğeri bunun tam tersini yapmaktaydı. Planck bu ikisi arasında bir ara-buluşum yapma fikrine kapılmıştı: Yani, düşük-frekanslarda Rayleigh-Jeans yasasına ve yüksek-fre-kanslarda Wien yasasına yaklaşan bir matematiksel ifade yazmak. Sonuçta ortaya çıkan formüle şimdi kara cisim ışıması için Planck yasası deniyor.

Bu yeni yasa, elektromanyetik spektrumun bir ucundan diğer ucuna deneylerle güzel bir şekilde uyuşması için kasten tasarlanmıştı, fakat tamamen ampirikti: deneylerden türetilmişti, herhangi bir temel fiziksel ilkeden değil. Planck, bilinen fiziği daha iyi anlama amacı doğrultusunda, bundan tatmin olmamıştı ve bu formülüne yol açabilecek fiziksel ilkeleri arama hususunda çok çaba sarf etmişti.

En sonunda, 1900'de, formülünün garip bir özelliğini fark etmişti. Formülü, Rayleigh ve Jeans'in yaptıkları hesabın neredeyse aynısıyla, sade ufacık bir değişiklik ekleyerek, türetebiliyordu. Klasik türetmede, verilen her frekans için elektromanyetik ışınım eneıjisinin ilke olarak istenen her değeri alabileceği varsayılmıştı, özellikle, sıfıra istediğiniz kadar yaklaşabilirdiniz. Planck morötesi felaketin nedeninin bu varsayımdan kaynaklandığını anlamıştı ve farklı bir varsayım yapılsaydı, güçlük yaratan bu sonsuzluk hesapta ortadan kalkardı.

Gerçi varsayım köklüydü. Verilen bir frekansın ışınım enerjisi, tam sayıda sabit büyüklükte "paketçikler" olarak gelmeliydi. Aslında, her paketin büyüklüğü frekansla orantılı olmalıydı; yani, frekans çarpı şimdi Planck sabiti dediğimiz ve h simgesiyle yazdığımız bir sabite eşit olmalıydı.

Bu enerji paketçiklerine kuantumlar (tekili: kuantum) denilmişti. Planck ışığı kuantize etmişti.

Güzel olmasına her şey güzel de, deneyciler neden enerjinin daima tam sayıda kuantumlar olduğunu asla fark etmemişlerdi? Planck hesaplarını gözlenmiş enerjilerle karşılaştırarak, sabitinin büyüklüğünü hesaplamayı başarmış ve onun çok, çok küçük olduğu anlaşılmıştı. Aslında, h kabaca 6xl0-34 joule-saniye'dir. Kabaca söylersek, olası enerji bölgesindeki "arahklar"ı -klasik fiziğin izin verdiği, fakat kuantum mekaniğinin vermediği değerler- fark etmek için, 34'üncü ondalık basamağına kadar doğru olacak gözlemler yapmalıydınız. Bugün bile, çok az sayıda fiziksel nicelik, altı ya da yediden fazla ondalık basamağa kadar ölçülebilmektedir; o günlerde üçüncü basamak sorunluydu. Kuantumların doğrudan gözlenmesi, anlamsız doğruluk düzeyleri gerektirmekteydi.

Asla görülemeyecek kadar ufak bir matematiksel farkın ışınım yasası üzerine böylesine devasa bir etki yapabilmesi garip görünebilir. Fakat yasanın hesabı, enerjiye tüm olası frekanslardan gelen tüm katkıların toplanmasını içerir. Sonuç, tüm olası kuantumların toplu bir etkisidir. Aydan Yer üzerindeki tek bir kum tanesini fark edemezsiniz. Fakat Büyük Sahra'yı görebilirsiniz. Yeterince çok sayıda ufacık birimleri bir araya getirirseniz, sonuç kocaman olabilir.

Planck'ın fiziği başarılı olmuştu, fakat kişisel yaşamı trajedilerle doluydu. Oğlu Kari I. Dünya Savaşı esnasında bir çatışmada öldürülmüştü. Kızı Grete 1917'de çocuk doğururken ölmüş; Emma'ysa Grete'nin dul kocasıyla evliyken 1919'da aynı kadere kurban gitmişti. Çok sonra Erwin, 1944'te Adolf Hitler'e düzenlenen başarısız suikast teşebbüsüne katıldığı için Naziler tarafından idam edilecekti.

1905'te Einstein'ın fotoelektrik olay üzerine yaptığı çalışma şeklinde, Planck'ın köklü önerisini destekleyen yeni bir kanıt ortaya çıkmıştı. Anımsarsanız, bu ışığın elektriğe çevrilebileceğinin keşfiydi. Einstein elektriğin kesikli paketçik-

ler halinde olduğundan haberdardı. Gerçekten de, fizikçiler o zamanlarda elektriğin elektron denen ufacık parçacıkların hareketi olduğunu biliyorlardı. Einstein, fotoelektrik olaydan, aynı şeyin ışık için de doğru olması gerektiği sonucuna varmıştı. Bu, sadece Planck'm ışık kuantumları hakkındaki düşüncelerini doğrulamakla kalmıyor, aynı zamanda kuan-tumların ne olduklarını da açıklıyordu: Işık dalgaları, elektronlar gibi parçacıklar olmalıdır.

Bir dalga nasıl parçacık olabilir? Henüz bu, deneylerin tartışma götürmez mesajıydı. Işık parçacıklarının ya da fo-tonlann keşfi, derhal doğanın kuantum resmine yol açmıştı; bu resimde parçacıklar gerçekten dalgadırlar; bazen parçacık gibi, bazen dalga gibi davranırlar.

Fizik topluluğu kuantumları daha ciddi şekilde ele almaya başlamıştı. DanimarkalI büyük fizikçi Niels Bohr atomun bir kuantum modeliyle çıkagelmişti; bu modelde elektronlar bir merkezi çekirdek çevresinde çembersel yörüngelerde hareket etmekte, çemberlerin büyüklüğü kesikli kuantumlara sınırlanmaktadır. Fransız fizikçisi Louis de Broglie, 'madem ki fotonlar hem dalga hem parçacık olabiliyor ve fotonlann çarptığı uygun metaller elektronlar yayınlıyor' diye akıl yürütmüştü, 'öyleyse elektronlar da hem dalga hem parçacık olmalıdır.' Gerçekten de, tüm madde bu ikili yaşam biçimine sahip olmalıdır: bazen katı parçacık, bazen inip çıkan dalga. Deneylerin hem iki biçimi göstermesi bundandır.

Ne "parçacık" ne de "dalga" gerçekten maddeyi aşırı küçük ölçeklerde betimler. Maddenin en temel yapıtaşları biraz ikisidir: dalgacıklar. De Broglie dalçacıkları betimlemek için bir formül bulmuştu.

Şimdi öykümüz için gerekli olan ana adıma geldik. Erwin Schrödinger de Broglie'nin formülünü almış ve onu dalça-cıkların nasıl hareket ettiklerini betimleyen bir denklem haline dönüştürmüştü. Newton'm hareket yasaları nasıl klasik mekanik için temelse, Schrödinger denklemi de kuantum mekaniği için temel denklem haline gelmişti.

Erwin 1886'da Viyana'da karışık bir evliliğin evladı olarak doğmuştu. Babası Rudolf Schrödinger kefen bezi üreticisi ve ayrıca bir botanikçiydi. Rudolf bir katolikti; Erwin'in annesi Georgine Emilia Brenda ise Lutherciydi. 1906'dan 1910'a kadar Erwin Viyana'da Franz Exner ve Friedrich Hasenhöhrl'ün gözetimi altında fizik okumuş ve 1911'de Exner'in asistanı olmuştu. 1914'te, I. Dünya Savaşı başladığında, yüksek doktorasını kazanmış ve savaşı Avusturya topçu birliğinde subay olarak geçirmişti. Savaş bittikten iki yıl sonra, Annema-rie Bertel'le evlenmiş, 1920'de Stuttgart'ta doçent ve 1921'de Breslau'da (şimdi Polonya'da Wroclaw) tam kadrolu profesör olmuştu.

Schrödinger şimdi kendi adıyla anılan denklemi 1926'da, hidrojen atomu spektrumu için doğru enerji düzeylerini verdiğini gösterdiği bir makalede yayımladı. Bunu hemen ardından kuantum kuramı üzerine olan diğer üç ana makale izledi. 1927'de, Berlin'de Planck'a katılmıştı, fakat 1933'te Nazilerin Yahudi karşıtlığıyla altüst olarak, Almanya'dan Oxford'a geçti; orada Magdalen Kolejinin hocası yapıldı. Oxford'a varışından kısa bir süre sonra, Paul Dirac'la birlikte fizikte Nobel ödülüyle ödüllendirildi.

Schrödinger iki kadınla yaşayarak, aykın bir yaşam şekli sürdürmüş ve bu Oxford öğretim görevlilerinin narin duyarlılıklarını rencide etmişti. Bir yıl içinde, bu kez Princeton'a, taşındı. Orada kendisine sürekli bir kadro önerildi, fakat kabul etmedi. Herhalde, aynı çatı altında karısı ve metresine karşı olan sevgisinin, Oxford'da olduğu gibi, Princeton'da da iyi karşılanmamasmdandı. Sonunda, 1936'da Avusturya'da Graz'a yerleşmiş ve bağnaz AvusturyalIların düşüncelerini duymazdan gelmişti.

Hitler'in Avusturya işgali, Nazi karşıtı olarak bilinen Schrödinger için ciddi sıkıntılar yarattı. Daha önceki görüşlerini açıkça reddetmişti (ve çok sonra öyle yaptığı için Einstein'dan özür diledi). Ancak bu taktik çalışmadı: politik açıdan güvenilmez sayıldığından, işini kaybetti ve İtalya'ya kaçmak zorunda kaldı.

Schrödinger en sonunda Dublin'e yerleşti. 1944 yılında, kuantum mekaniğini canlı yaratıklara uygulayan ilgi çekici

ama kusurlu bir girişim olan What is Life? [Yaşam Nedir?] kitabını yayımladı. Düşüncelerini, yaşamın termodinamiğin ikinci yasasına itaat etmemeye -ya da bir bakıma düzeni altüst etmeye- eğilimli olması anlamındaki "negentropi" kavramı üzerine temellendirmişti. Schrödinger canlı yaratıkların genlerinin kodlanmış talimatlar içeren bir tür karmaşık molekül olması gerektiğini vurgulamıştı. Şimdi bu moleküle DNA diyoruz, fakat onun yapısı ancak 1953'te Francis Crick ve James Watson tarafından keşfedilecekti; kısmen Schrödinger'den esinlenmişlerdi.

Schrödinger İrlanda'da da rahat cinsel alışkanlıklarını sürdürdü; öğrencileriyle düşüp kalktı ve farklı kadınlardan iki çocuk yaptı. 1961'de Viyana'da veremden öldü.

Schrödinger en iyi şekilde kedisiyle bilinir. Gerçek bir kedi değil, bir düşünce deneyinde görünen bir kedi. Bu düşünce deneyi, Schrödinger dalgalarının gerçek fiziksel nesneler olarak ele alınmaması gerektiği şeklinde yorumlanır. Bunun yerine, onlar deneysel olarak asla doğrulanamayan, fakat doğru sonuçlara sahip bir gizli betimleme olarak düşünülür. Yine de, bu yorum tartışmaya açıktır: dalgalar yoksa, onların tüm sonuçlan neden böylesine güzel işlemektedir?

Her neyse, yine kediye dönelim. Kuantum mekaniğine göre, dalçacıklar birbirlerinin üzerine yığılarak girişim yapabilirler ve tepe tepeyle karşılaşınca güçlenir, tepe çukurla karşılaştığındaysa birbirlerini yok eder. Bu tür bir davranışa "üst üste binme" denir; böylece dalçacıklar üst üste binebilirler (onların çeşitli potansiyel durumlar içerebildiği, ama bunların herhangi birinde bütünüyle var olmadığı anlamında). Gerçekten de, Bohr'a ve kuantum mekaniğinin ünlü "Kopenhag yorumu''na göre, olayın doğal durumu budur. Ancak bir fiziksel niceliği gözlersek, o zaman kuantum "üst üste binmesi"nin dışına itilip bir tek "saf' durum içine sokuluruz.

Bu yorum elektronlar için çok iyi işlemektedir, fakat Schrödinger bunun bir kedi için ne demek olduğunu merak etmişti. Onun düşünce deneyinde, bir kutu içine kilitlenmiş

bir kedi, ölü ve diri durumların üst üste binmiş bir halinde bulunabilir. Kutuyu açtığınızda, kediyi gözlersiniz ve onu ya bir duruma ya da diğer duruma zorlarsınız. Pratchett'in [Diskdünya serisinin on sekizinci kitabı] Maskerade'de eleştirdiği gibi, kediler böyle değildir. Hipermaço kedi, Greebo, kutudan üçüncü bir durumda çıkar: tamamıyla kudurmuş olarak.

Schrödinger de, farklı nedenlerle de olsa, kedilerin böyle olmadıklarını biliyordu. Bir elektron mikroskopla bile görünmeyen bir varlıktır ve kuantum düzeyindeki nesneler gibi davranır. (Onu ölçtüğünüzde) oldukça basit şekilde be-timlenebilen özel bir konuma ya da hıza veya spine sahiptir. Bir kedi ise makroskopiktir ve öyle davranmaz. Elektron durumlarını üst üste bindirebilirsiniz, fakat kedileri öyle yapamazsınız. Karımla benim iki kedimiz var ve üst üste binmeye çalıştıklarında, sonuç uçuşan tüyler ve oldukça kızgın iki kedidir. Burada mesleki terim "eşevresizlik"tir [decoherence]. Bu, günlük hayatımızda kediler gibi büyük kuantum sistemlerinin neden aşina olduğumuz "klasik" sistemler gibi göründüklerini açıklar. Eşevresizlik bize şunu söyler: kedi öylesine çok dalçacıklar içerir ki, onların tümü birbirlerine bulaşır ve üst üste binmeyi, ışığın bir elektronun çapını geçeceğinden daha kısa zamanda mahveder. Dolayısıyla kediler, kesinlikle devasa sayıda kuantum parçacığından meydana gelmiş bir makroskopik sistem olarak , kedi gibi davranırlar. İşte bu her şeyi değiştirir.

Kuantum dünyasının ne kadar acayip olduğu Wemer Heisenberg'in çalışmalarından ortaya çıkmıştı. Heisenberg parlak zekâlı bir kuramsal fizikçiydi, fakat deneyleri kavraması öyle zayıftı ki doktora sınavı esnasında teleskop ve mikroskoplar hakkmdaki basit soruları yanıtlayamamıştı. Bir pilin nasıl çalıştığını bile bilmezdi.

August Heisenberg 1899'da Anna Wecklein'la evlenmişti. August bir Lutherciydi, Anna ise bir Katolik ve evlenmek için mezhebini değiştirmişti. Ortak çok şeyleri vardı: August bir

öğretmen ve eski Yunancada uzman bir kİasikçiydi, Anna ise bir başöğretmenin kızı ve Yunan trajedileri uzmanıydı. İlk oğulları Erwin 1900'de doğmuş ve bir kimyacı olmuştu. İkinci oğulları Werner 1901 'de doğmuş ve dünyayı değiştirmişti.

O zamanlar Almanya hâlâ bir monarşiydi ve öğretmenlik mesleği yüksek sosyal statüydü; dolayısıyla Heisenberg'ler parasal açıdan rahattılar ve oğullarını iyi okullara gönderebildiler. 1910'da baba Heisenberg Münih Üniversitesine ortaçağ ve modern Yunanca profesörü olarak alınmıştı; bu nedenle aile Münih'e taşındı. 191 l'de Werner, Planck'ın da çalışmış olduğu, Münih'teki Kral Maximilian Okulunda eğitime başladı. Werner'in dedesi Nikolaus Wecklein okulun müdürüydü. Çocuk zeki ve ataktı, biraz da babası onu ağa-beysiyle yarışsın diye teşvik ediyordu. Böylece genç Werner matematik ile fende göze çarpan yetenekler göstermekteydi. Müzikte de doğal bir yetenekti; o kadar iyi piyano çalıyordu ki 12 yaşında okul konserlerin katılıyordu.

Heisenberg daha sonra şunu yazmıştı: "Hem dillere hem de matematiğe karşı olan ilgim oldukça erken yaşımda uyanmıştı." Yunanca ve Latincede en yüksek notları alıyordu, matematik, fizik ve dinde de çok iyiydi. En kötü dersleri beden eğitimi ve Almancaydı. Matematik öğretmeni Christoph Wolff mükemmel biriydi, Werner'i özel problemler çözmeye yönelterek onun yeteneklerini geliştiriyordu. Kısa sürede öğrenci öğretmenini geçmiş ve Heisenberg'in okul raporunda "Matematiksel fizik alanındaki bağımsız çalışmasıyla okulun isteklerinin çok ötelerine ulaşmıştır" ibaresi yer almıştı. Kendi kendine göreliliği, fiziksel çıkarımlarına matematiksel içeriğini yeğ tutarak, öğrenmişti. Ailesi yerel bir kolej öğrencisine sınavları için ders vermesini istediğinde, okul ders programında yer almayan bir konuyu, diferansiyel ve integ-ral hesabı kendi kendine öğrenmişti. "Şurası açık ki, her şey öyle ki onu ta kökenine inerek anlayabilirsin" diyerek sayı kuramına ilgi duymuştu.

Werner Latincesini geliştirsin diye, babası ona matematik üzerine Latince yazılmış bazı eski makaleler getirmişti. Onların arasında, cebirsel sayı kuramında bir konu ("karma-

şık birimler") üzerinde Kronecker'm tezi vardı. Dünya çapında bir sayı kuramcısı olan Kronecker, tamamıyla şuna inanıyordu: "Tann tamsayıları yarattı; geri kalan her şey insan eseridir." Heisenberg, Fermat'nın Son Teoremini kanıtlamayı deneme esinine kapılmıştı. Okulda yedi yıl okuduktan sonra, sınıfının en iyi öğrencisi olarak mezun olmuş ve Münih Üniversitesine girmişti.

I. Dünya Savaşı patlak verdiğinde, Müttefik Devletler Almanya'yı kuşattı. Yiyecek ve yakıt çok zor bulunmaktaydı ve bir seferinde Wemer açlıktan öyle zayıf hale gelmişti ki bisikletinden bir hendeğe düşmüştü. Babası ve öğretmenleri orduda çarpışmakta; geride kalan gençler ise askeri eğitim ve milliyetçi telkinler almaktaydılar. Savaşın sonu Alman monarşisini de sonlandırmıştı ve Bavyera'da kısaca Sovyet benzeri bir sosyalist hükümet oluşmuştu; fakat 1919'da Berlin'den gelen Alman askerleri sosyalistleri oradan kovdular ve daha ılımlı bir sosyal demokrasi düzeni sağladılar.

Onun kuşağının çoğu gibi, Wemer de Almanların mağlubiyetiyle hayal kırıklığına uğramış ve atalarını askeri başarısızlıkla suçladı. Yeni Erkek izcilerle ilişkili bir grubun lideri olmuştu; grup, monarşiyi geri getirme amacı taşıyan ve bir Üçüncü Reich rüyası kuran aşın bir sağ kanat örgütüydü. Yeni Erkek İzcilerin birçok şubesi Yahudi karşıtıydı, fakat Werner'in grubunda çok sayıda Yahudi çocuk vardı. Çocuklarla kamp ve dağ yürüyüşleri yaparak ve genelde Almanya'nın romantik bir görünümünü yakalamaya çalışarak çok zaman geçirmişti; fakat bu etkinlikler 1933'te, Hitler'in kendi kurduğunun dışındaki tüm gençlik örgütlerini yasakladığında, sona erdi.

Wemer 1920'de, salt matematikçi olma niyetiyle Münih Üniversitesine gitmiş, fakat salt matematik profesörlerinden biriyle bir mülâkat onu bu fikirden soğutmuş ve Amold Sommerfield'in gözetiminde fizik çalışmaya karar vermişti. Sommerfield, Wemer'in yeteneklerini çabucak fark ederek, onun ileri derslere devamına izin vermişti. Wemer kısa sürede atomik yapıya kuantum yaklaşımı üzerine bazı araştırmalar yaptı. 1923'te üniversitenin hız rekorunu kırarak dok-

torasını aldı. Aynı yılda, Hitler Berlin'e yürüyüşe bir prelüd olarak niyetlendiği "bira salonu isyanı"yla Bavyera hükümetini devirmeye çalışmış, fakat girişim başarısız kalmıştı. Aşın enflasyon şaha kalkmıştı; Almanya parçalanıyordu.

Wemer çalışmaya devam etmiş, birçok önde gelen fizikçiyle işbirliği yapmıştı; onların tümü kuantum kuramı üzerine çalışmaktaydı, çünkü tüm etkinlikler bu konudaydı. Daha iyi bir atom kuramı tasarlamak için Max Bom'la çalıştı. Bir atomun durumunu frekanslar cinsinden temsil etmek için Heisenberg'in aklına onun spektrumunu -yayımladığı ışık çeşitleri- gözlemek gelmişti. Bu düşünceyi sayı dizelgelerini içeren özel bir matematik türüne uyguladı. Bom en sonunda bu tür bir dizelgenin gerçekte epeyce iyi olacağını fark etmişti: matematikçiler bunu matris olarak adlandırıyorlardı. Bu fikirlerin anlam oluşturması iyiydi; Bom makaleyi basıma yolladı. Bu fikirler gelişip olgunlaşınca, kuantum kuramı yeni, sistematik bir matematik içine oturtuldu: matris mekaniği. Bu, Schrödinger dalga mekaniğine bir rakip gibi görülüyordu.

Kim haklıydı? 1926’da Schrödinger'in keşfettiği gibi, iki kuramın eşdeğer olduğu anlaşıldı. Bunlar, aynı temel kavramların iki ayrı matematiksel temsiliydi; tıpkı Öklitçi yöntemlerin ve cebirin, geometriye bakışın iki eşdeğer yolu olduğu gibi. İşin başında Heisenberg buna inanmamıştı, çünkü onun matris yaklaşımında, bir elektronun durum değiştirmesinde süreksiz atlamaların varlığı esastı. Matrisindeki elemanlar, ilgili enerji değişimleriydi. Dalgaların, sürekli nesneler olarak, süreksizlikleri nasıl modelleyebileceğini gö-remiyordu. Avusturya-ve-îsviçreli fizikçi VVolfgang Pauli'ye yolladığı bir mektupta şunları yazmıştı: "Schrödinger kuramının fiziksel kısmını ne kadar çok düşünürsem, onu o kadar çok itici buluyorum. . . Schrödinger'in kendi kuramının gözde canlandırılabilirliği hakkında yazdıkları, 'büyük olasılıkla çok doğru değil'; bir başka deyişle, saçmalık." Fakat aslında bu uyuşmazlık, çok daha eski bir tartışmanın -Ber-

noulli ve Euler'in dalga denkleminin çözümleri konusundaki anlaşmazlığının- yeniden ortaya sürülmesiydi. Bemoulli çözümler için bir formüle sahipti, fakat Euler sürekli görünen bu formülün süreksiz çözümleri nasıl temsil edebileceğini göremiyordu. Bununla birlikte, Bemoulli haklıydı ve dolayısıyla Schrödinger de. Onun denklemleri sürekli olabilirdi, fakat çözümlerinin birçok özelliği, enerji düzeyleri dahil, kesikli olabilirdi.

Pek çok fizikçi, daha sezgisel olduğu için, dalga mekaniği resmini yeğlemişti. Matrisler biraz fazla soyuttu. Heisen-berg yine de kendi dizelgelerini tercih ediyordu, çünkü onlar gözlenebilir niceliklerden oluşuyordu ve Schrödinger'in dalgalarından birini deneysel olarak saptamak olanaksız görünüyordu. Aslında, kuantum kuramının Schrödinger'in kedisi gibi dramatize edilmiş Kopenhag yorumu, her deneysel ölçme girişiminin dalgayı iyi tanımlı bir tek doruğa "çökerttiği"ni ifade ediyordu. Böylece Heisenberg kuantum mekaniğinin hangi özelliklerinin ve nasıl ölçülebileceği hakkında gitgide daha çok ilgilenir olmuştu. Onun dizelgelerindeki her elemanı ölçebilirdiniz. Bunu Schrödinger'in dalgalarından biri için yapamazsınız. Heisenberg bu farkı, matrislere bulaşmak için güçlü bir neden saymıştı.

Bu düşünce dizisini izleyerek, Heisenberg, ilke olarak, bir parçacığın konumunu istediğimiz kesinlikle ölçebileceğinizi keşfetmişti; fakat buna karşılık ödenecek bir fiyat vardır: konumu ne kadar kesin bilirseniz, momentumu o kadar az kesin bilirsiniz. Tersine, momentumu çok kesin ölçerseniz, konumun izini kaybedersiniz. Enerji ve zaman için aynı değiş-tokuş söz konusudur. Birini ya da diğerini ölçebilirsiniz, ama ikisini de değil. Çok hassas ölçümler isterseniz, [ikisi de birden] olmaz.

Bu, deneysel sürecin bir sorunu değil; kuantum kuramının doğasında var olan bir nitelikti. Heisenberg bu düşünceyi Şubat 1927'de Pauli'ye bir mektupta yazdı. Mektup en sonunda bir makaleye esin kaynağı olmuş ve Heisenberg'in bu fikri "belirsizlik ilkesi" adını almıştı. Bu fizikteki ilk doğal sınırlama örneklerinden biriydi. Einstein'in 'hiçbir şey ışıktan daha hızlı gidemez' savı bir diğeriydi.

1927'de Heisenberg Leipzig Üniversitesinde Almanya'nın en genç profesörü oldu, Hitler'in iktidara yükseldiği 1933'te, Heisenberg fizikte Nobel ödülünü kazanmıştı. Bu onu oldukça etkili bir kişi yapmış ve Nazi rejimi esnasında Almanya'da kalma istekliliği, birçok kişide Heisenberg'in kendisinin bir Nazi olduğu fikrini uyandırmıştı. Saptanabildiği kadarıyla, o bir Nazi değildi. Fakat bir vatanseverdi ve bu onu Nazi'lerle ilişkiye itmiş; etkinliklerinin birçoğunda suç ortağı olmuştu. Etkisiz olsa da, Yahudi hocaların üniversiteden atılmamaları için yönetim güçlerini durdurmaya çalıştığına dair kanıtlar vardır. 1937'de, kendisinin "beyaz Yahudi" olarak betimlendiğini hissetmişti, bir toplama kampına gönderilme tehdidi altındaydı, fakat bir yıl sonra SS'lerin başı Heinrich Himmler tarafından soruşturulmasından temize çıkmıştı. Yine 1937'de, Hisenberg bir ekonomistin kızı olan Elisabeth Schumacher'la evlendi, ilk çocukları ikizdi; zamanla yedi çocukları oldu.

Heisenberg II. Dünya Savaşı boyunca Almanya'nın nükleer silah -"atom bombası"- araştırmalarına katılan önde gelen fizikçilerden biriydi. Karısı ve çocukları Bavyera'da ailenin yaz evine gönderilmiş, Heisenberg ise Berlin'de nükleer reaktörler üzerinde çalışmıştı. Almanya'nın atom bombası projesinde Heisenberg'in rolü oldukça tartışmalıdır. Savaş bittiğinde, îngilizler tarafından gözaltına alındı ve Cambrid-ge yakınında bir kır evinde altı ay süresince sorguya çekildi. Yakınlarda halka açılan sorgulama belgeleri, tartışmayı alevlendirmiştir. Heisenberg bir noktada sadece bir nükleer reaktör ("makine") yapmakla ilgilendiğini, bir bombaya karışmak istemediğini söylemektedir. "Diyebilirim ki, kesinlikle bir uranyum makinesi yapma olasılığına inandırılmıştım, ne var ki bir bomba yapacağımızı asla düşünmemiştim ve tüm içtenliğimle onun bir bomba olmayıp bir makine olması nedeniyle gerçekten mutluyum. Bunu itiraf etmeliyim." Bu iddianın doğruluğu, hâlâ heyecanla tartışılmaktadır.

Savaştan sonra, Ingiliz gözetiminden salınınca, Heisen-berg kuantum çalışmalarına geri döndü;. 1976'da kanserden öldü.

Kuantum kuramının büyük Alman yaratıcılarının çoğu aydın çevrelerden çıkmıştı; onlar doktorların, hukukçuların, akademisyenlerin ya da diğer profesyonellerin çocuklarıydı. Pahalı evlerde yaşamışlar, müzik yapmışlar ve yerel sosyal yaşam ve kültür içinde yer almışlardı. Kuantum mekaniğinin büyük İngiliz yaratıcısı ise çok farklı ve çok daha mutsuz bir çocukluğa sahipti: baba, ailesinden soğumuş zorba ve açıkça uçuk biriydi ve anne o kadar sindirilmişti ki kocası yemeğini genç oğluyla birlikte sessizce yemek odasında yerken, o ve iki çocuğu mutfakta yiyorlardı.

Baba Charles Adrien Ladislas Dirac, 1866'da İsviçre'de Valais kantonunda doğdu ve 20 yaşında evden kaçtı. Char-les, 1890'da Bristol'a vardı, ama 1919'a kadar İngiliz vatandaşı olamadı. 1899'da bir deniz kaptanının kızı olan Floren-ce Hannah Holten'la evlenmiş ve bir yıl sonra ilk çocukları Reginald doğmuştu. İki yıl sonra ikinci oğullan Paul Adrien Maurice büyüyen aileye katıldı; bundan dört yıl sonra da Be-atrice adını verdikleri bir kıza sahip oldular.

Charles evlendiğini ya da onlann büyükbaba ve büyükanne olduklarını, 1905'te İsviçre'de annesini ziyaret edene kadar ailesine söylememişti. Bundan on yıl sonra babası öldü.

Charles Bristol'de Ticaret Girişimcileri Teknik Okulunda öğretmen olarak çalıştı. Genelde iyi bir öğretmen sayılırdı, fakat insani duygulardan tamamen yoksunluğu ve çok sıkı disipliniyle önlenmişti. Kısacası, kurallara aşın bağlı sert bir amirdi, ama pek çok öğretmende zaten öyleydi.

Doğuştan içedönük olan Paul, babasının tuhaf yalıtımı ve sosyal hayatının olmayışı yüzünden daha da içine kapanmıştı. Charles, belki de onun bu dili öğrenmesini teşvik etmek için, Paul'ün kendisiyle sadece Fransızca konuşmasında ısrarcıydı. Paul'ün Fransızcası berbat olduğundan, hiç konuşmamayı uygun bulmuştu. Bunun yerine, zamanını doğal dünyayı merak ederek geçiriyordu. Dirac'ların evindeki asosyal yemek düzeni de sohbetlerin tamamen Fransızca yapılması kuralından kaynaklanıyor gibiydi. Paul'un babasından bilfiil nefret edip etmediği ya da hoşlanıp hoşlanmadığı hiçbir zaman açıkça anlaşılamamıştı; fakat Charles

öldüğünde, Paul'ün esas yorumu "artık kendimi daha özgür hissediyorum" olmuştu.

Charles, Paul'ün entelektüel yeteneklerinden gurur duyuyordu ve çocukları için çok hırslıydı; bununla, onlar için planladığı şeyleri gerçekleştirmeleri gerektiğini kastediyordu. Reginald doktor olmak istediğini söylediğinde, Char-les mühendis olmasında ısrar etmişti. 1919'da, Reginald çok düşük bir mühendislik derecesi elde etti; beş yıl sonra, Wolverhampton'da bir mühendislik projesi üzerinde çalışırken, kendi canına kıydı.

Paul ailesiyle aynı evde yaşadı ve ağabeyi gibi aynı kolejde mühendislik okudu. Gözde konusu matematikti, fakat matematik okumayı seçmemişti. Herhalde babasının isteklerine karşı gelmeyi istememişti; ama ayrıca bugün bile hâlâ yaygın olan şu yanlış izlenim altındaydı: matematik derecesine sahip biri için tek mesleğin okul-öğretmenliği oluşu. Hiç kimse ona başka seçeneklerin de -bunların arasında da, araştırma seçeneğinin- olduğunu söylememişti.

Kurtuluş, bir gazete manşeti şeklinde gelmişti. 7 Kasım 1919 tarihli Times'm ön sayfası çığlığı basmıştı: BİLİMDE DEVRİM. EVRENİN YENİ KURAMI. NEWTONCI FİKİRLER DEVRİLDİ. İkinci sütunun ortasındaki alt başlık UZAY "EĞRİLMlŞ"ti. Birdenbire herkes görelilik hakkında konuşur olmuştu.

Hatırlarsanız, genel göreliliğin öngörülerinden biri, kütle-çekimin ışığı büktüğüdür; hem de Newton yasalarının öngördüğü miktann iki katı kadar. Frank Dyson ve Sir Arthur Stan-ley Eddington, bir tam güneş tutulmasının beklendiği Batı Afrika'daki Principe Adasına gidecek bir keşif heyeti kurmuştu. Aynı anda, Greenwich Gözlemevinden Andrew Crommelin de Brezilya'daki Sobral'a giden ikinci bir heyete öncülük ediyordu. İki takım da tüm periyod süresinde güneşin kıyısına yakın yıldızlan gözlemişler ve yıldızlann görünür konumlarında Newton mekaniğiyle değil de Einstein'm öngörüleriyle uyumlu olan hafifyer değiştirmeler bulmuşlardı.

Bir gecede şöhret olan Einstein, annesine şu kartı yollamıştı: "Sevgili Anne, bugün haberler sevinçli. H. A. Lorentz'in

telgrafla bildirdiğine göre, İngiliz keşif heyetleri ışığın güneşten saptığını gerçekten de göstermişler." Dirac kendini kaptırmıştı: "Göreliliğin doğurduğu coşkuya kapılıp kaldım. Onu çok tartıştık. Öğrenciler kendi aralarında onu tartıştılar, fakat devam etmek için çok az bilgiye sahiptiler." Toplumun görelilik bilgisi büyük ölçüde lafla sınırlıydı; filozoflar "her şeyin göreli olduğunu" yıllardır bildiklerini iddia edip yeni fiziği modası geçmiş diye kapı dışarı etmişlerdi. Ne yazık ki, sadece bilgisizliklerini ve yanıltıcı terminolojiye kanmanın rahatlığını sergilemişlerdi.

Paul, daha sonra Bristol'de felsefe profesörü olan Charlie Broad'un verdiği bazı görelilik derslerine girdi; bu derslerin matematik içeriği önemsizdi. En sonunda, Eddington'ın Uzay, Zaman ve Kütleçekim kitabının bir kopyasını satın aldı ve gerekli matematik ile fiziği kendi kendine öğrendi. Bristol'ü terk etmeden önce, özel ve genel göreliliğin içini dışını artık iyice bilmekteydi.

Paul kuramda iyi, laboratuar çalışmasındaysa berbattı. Sonraki yıllarda, fizikçiler "Dirac etkisi"nden söz ediyorlardı: Dirac'm bir laboratuara sadece adım atmasıyla, oradaki deneyler çılgınca ters giderdi. Bir mühendislik mesleği onun için bir felaket olurdu. Savaş sonrası ekonomik çöküntü nedeniyle iş kıt olduğundan, bir ara kendini birinci sınıf bir dereceyle işsiz olarak bulmuştu. Şans eseri, Dirac’a Bristol Üniversitesinde tüm öğretim harcı ödenmiş olarak matematik okuma olanağı sunulmuş ve o da buna balıklama atlamıştı. Orada uygulamalı matematikte uzmanlaştı.

Paul 1923’te Cambridge Üniversitesinde lisansüstü araştırma öğrencisi oldu; orada utangaçlığı gerçek bir engeldi. Spora karşı ilgisizdi, çok az arkadaşı vardı ve kadınlarla yapacak herhangi bir şeyi yoktu. Zamanının çoğunu kütüphanede geçirmekteydi. 1920'de, ağabeyi Reginald'm olduğu fabrikada yaz çalışmasında geçirdi. İkisi çoğunlukla sokakta gezerler, fakat asla konuşmak için durmazlardı; demek ki aile üyeleri arasındaki susma alışkanlığı içlerine işlemişti.

Paul çabucak sivrilmişti; altı ay içinde ilk araştırma makalesini yazdı. Peşinden hızla başka makaleler geldi. Daha sonra, 1925'te kuantum mekaniğiyle karşılaştı. Cambridge kıyısı kırlarında uzun bir sonbahar yürüyüşünde, kendini Heisenberg'in "dizelgeleri" hakkında düşünürken bulmuştu. Bunlar matrislerdi ve matrislerin yer değiştirmez oluşları başlangıçta Heisenberg'in canını sıkan şeydi. Dirac, Lie'nin bu durumlarda önemli niceliğin AB değil, AB - BA komütatö-rü olduğu fikrinden haberdardı ve mekaniğin Hamilton formalizminde de, Poisson parantezleri denen çok benzer bir kavramın bulunduğu şeklindeki büyüleyici düşünceyle çarpılmıştı. Fakat Dirac formülü hatırlayamamıştı.

Bu düşünce onu gecenin çoğunda uyanık tutmuştu ve sabah olunca "açılır açılmaz aceleyle kütüphanelerden birine gitmiş, Whittaker'in Analytical Dynamics kitabında Poisson parantezlerine bakmış ve onların tam istediği şeyler olduğunu anlamıştı." Keşfettiği şuydu: îki kuantum matrisinin komütatörü, karşılık gelen klasik değişkenlerin Poisson parantezi çarpı ıh/2n sabitine eşittir. Burada h Planck sabiti, i = V-î ve n bildiğimiz n'dir.

Bu dramatik bir keşifti. Fizikçilere klasik sistemleri ku-antum sistemlerine nasıl dönüştürüleceğini söylemekteydi. Daha önce ilgisiz olan iki derin kuramı birbirine bağlayan matematik çok güzeldi. Heisenberg bundan etkilenmişti.

Dirac'm kuantum mekaniğine katkısı çoktur ve ben sadece en dikkat çekici olanını, 1927 tarihli elektronun göreli kuramını, seçeceğim. O günlerde, kuantum kuramcıları elektronların "spin''e sahip olduklarını biliyorlardı. "Spin" bir bakıma bir topun bir ekseni etrafında dönmesine benzemektedir, fakat tuhaf niteliklere sahip olması bu benzerliği çok kaba kılmaktadır. Dönen bir top alır ve sistemi tam 360° döndürürseniz, hem top hem de spin başladığı yere geri gelir. Fakat bunu bir elektrona yaparsanız, spin tersine çevrilir. Spinin özgün değerini geri elde etmesi için, sistemi 720° döndürmelisiniz.

Bu aslında kuatemiyonlara çok benzemektedir, onların uzayın "dönmeleri" olarak yorumlanmasında aynı garip olay

söz konusudur. Matematiksel olarak, uzayın dönmeleri SO(3) grubunu oluşturur, fakat kuatemiyonların ve elektronların her ikisi için de ilgili grup SU(2)'dir. Bu gruplar neredeyse aynıdır, fakat SU(2) -belli bir anlamda- SO(3)'ün iki kopyasından yapılmış olarak iki kez daha büyüktür. Buna bir "çift örtme" denir ve sonuç, bir 360°'lik dönmeyi bu açının iki katı boyunca yaymaktır.

Dirac ne kuaterniyonlan kullanmıştı, ne de gruplan. Fakat 1927'nin sonunda Noel boyunca, aynı rolü oynayan "spin matrisleri''ni bulmuştu. Daha sonra matematikçiler Dirac matrislerini, Lie gruplannm temsil kuramında önemli olan spinörlere genellemişlerdi.

Spin matrisleri Dirac'a elektron için göreli bir kuantum modeli kurma yolu sağladı. Bu ona umduğu her şeyi -ve biraz da fazlasını- vermişti. Beklenen pozitif enerjili çözümlerin yanında negatif enerjili çözümler de öngördü. En sonunda, bazı yanlış çıkışlardan sonra, bu gizemli nitelik Dirac'ı "karşı-madde" kavramına götürdü: her parçacık, ona karşılık gelen aynı kütleli fakat zıt yüklü bir karşı-parçacığa sahiptir. Elektronun karşı-parçacığı pozitrondur ve Dirac onu ön-görünceye dek pozitron bilinmemekteydi.

Her parçacığı karşı-parçacığıyla yer değiştirirseniz, fizik yasaları (neredeyse) değişmez kalır; öyle ki bu işlem doğal dünyanın bir simetrisidir. Grup kuramından hiçbir zaman çok fazla etkilenmemiş olan Dirac, doğadaki en büyüleyici simetri gruplarından birini keşfetmişti.

Dirac, 1935'ten başlayarak 1984'te Tallahassee'de ölünceye kadar, fizik kuramlarının matematiksel zarafetine çok önem vermiş ve bu ilkeyi araştırmaları için mihenk taşı olarak kullanmıştı. Bir şey güzel değilse, onun yanlış olduğuna inanırdı. 1956'da Moskova Devlet Üniversitesini ziyaret ettiğinde, gelecek kuşaklara kalmak üzere karatahtaya özlü sözler yazma geleneğini izleyerek şunları kaydetmişti: "Bir fizik yasası, matematiksel güzelliğe sahip olmalıdır." Doğada bir "matematiksel nicelik" hakkında konuşmuştu. Gelgelelim, grup kuramını hiçbir zaman güzel olarak düşünmemiş gibiydi; herhalde bunun nedeni, fizikçilerin gruplara daha çok

yoğun hesaplamalarla yaklaşmalarıydı. Görünüşe göre, Lie gruplarının nefis güzelliğine sadece matematikçiler uyum sağlamışlardı.

Güzel ya da değil, grup kuramı, bir deri tüccarının oğlu sayesinde, kısa sürede her yetişen kuantum kuramcısı için asıl okunacak konu haline gelmişti.

On dokuzuncu yüzyıl sonunda deri ticareti büyük işti ve hâlâ da öyle. Fakat o günlerde deri tabaklayıp satan küçük bir iş adamı iyi bir geçim sağlayabilirdi. Bir tabakhanenin yöneticisi olan Antal Wigner buna iyi bir örnekti. O ve karısı Erzsebet Yahudi kökenliydi, fakat Museviliğe özgü pratikleri yoktu. Zamanın Avusturya-Macaristanı'nın Pest kentinde yaşıyorlardı. Komşu Buda'yla birleşmiş olan bu kent bugünün Budapeşte'si, Macaristan'ın başkenti olmuştu.

Üç oğullarından İkincisi, Jenö Pâl VVigner, 1902'de doğdu; beş ile on yaşları arasındayken özel bir öğretmenden evde eğitim gördü. Jenö okula başladıktan kısa bir süre sonra, verem tanısı konmuş ve iyileşmesi için Avusturya sanatoryumuna gönderilmişti. Yanlış tanı konulduğu anlaşılmadan önce, orada altı hafta kaldı. Tanı doğru olmuş olsaydı, hemen hemen kesinlikle yaşamazdı.

Günün çoğunda sırt üstü yatırıldığından, zaman geçirmek için kafasında matematik problemleri kurardı. Daha sonra "Günlerce bir şezlonga uzanır ve üç yüksekliği verilmiş bir üçgeni kurmak için çok fazla çalışırdım" diye yazdı. Bir üçgenin yükseklikleri, bir köşeden karşı kenara dik varan üç doğrudur. Verilen bir üçgende yükseklikleri bulmak kolaydır; ters yönde gitmekse, kesinlikle daha zordur.

Jenö sanatoryumdan çıktıktan sonra, matematik düşünmeyi sürdürdü. 1915'te, Budapeşte Luther Lisesinde, dünyanın önde gelen matematikçilerinden biri haline gelecek olan bir başka çocukla tanışmıştı: Jenö (daha sonra, John) von Neumann. Fakat ikisi hiçbir zaman sıkı dost olamadılar, çünkü von Neumann kendi kendine olmaya eğilimliydi.

1919'da komünistler Macaristan'da iktidarı ele geçirince, VVigner Avusturya'ya kaçmış ve aynı yıl komünistler yenilin-

ce Budapeşte'ye geri gelmişti. Tüm aile Lutherciliğe dönmüş, fakat bu Jenö'yü pek etkilememişti; çünkü, daha sonra dediği gibi, "ancak ılımlı bir dindar"dı.

Jenö, 1920'de, sınıfının üst sıralarında okuldan mezun oldu. Fizikçi olmak istemiş, fakat babası onun da ailenin deri tabaklama işine katılmasını arzulamıştı. Dolayısıyla fizik derecesi almak yerine, babanın işlerinin ilerlemesine yardımı olur diye, Jenö kimya mühendisliği okudu. Üniversitenin ilk yılı için Budapeşte Teknik Enstitüsüne gitmiş; sonra Berlin Teknik Yüksekokuluna geçiş yapmıştı. Okulunu, zamanının çoğunu hoşlandığı kimya laboratuarında ve çok azını da kuramsal derslerde geçirerek bitirdi.

Yine, de Jenö fizikten vazgeçmemişti. Berlin Üniversitesi çok uzakta değildi ve pek önemli olmayan bilgelerin yanı sıra, özellikle Planck ve Einstein oradaydı. Jenö onların yakınlığından yararlanmış, ölümsüzlerin derslerine gitmişti. Doktorasını, moleküllerin oluşması ve parçalanması üzerine bir tezle bitirmiş ve usulen tabaklama işine katılmıştı. Tahmin edildiği gibi, sonunda bunun kötü bir fikir olduğu ortaya çıktı: "Tabaklamayı pek becerememiştim . . . Kendimi orada rahat hissetmemiştim . . . Bunun benim hayatım olduğunu hissetmemiştim." Onun hayatı matematik ve fizikti.

1926'da, Kaiser VVilhelm Enstitüsünde araştırma asistanı arayan bir kristal bilimciyle bağlantı kurdu. Görev, VVigner'in iki ilgisini de kimyasal bağlamda bir araya getirebilirdi. Proje VVigner'in kariyerine ve dolayısıyla nükleer fiziğin gidişatına muazzam ölçüde etki yaptı, çünkü bu onu grup kuramının içine sokmuştu: simetrinin matematiğine. Grup kuramının fiziğe ilk ana uygulaması, olası tüm 230 kristal yapının sınıflandırılması olmuştur. VVigner şunları yazmıştı: "Bir kristolograftan aldığım mektupta, kristal örgülerde atomların neden simetri eksenlerine karşılık gelen konumlara yerleştiklerini bilmek istemekteydi. Bunun grup kuramıyla ilgili olması gerektiğini de söylemişti bana ve grup kuramı üzerine bir kitap okumamı ve sonra bunu çalışıp sonucu ona söylememi istemişti."

Herhalde Jenö'nün tabaklama ticaretine girmesinden en az oğlu kadar dehşete düşmüş olacak ki, Antal Wigner araştırma asistanlığına rıza göstermişti. Jenö Heisenberg'in ku-antum kuramı üzerine olan makalelerinden birkaçını okuyarak işe başlamış ve üç elektronlu bir atomun spektrumunu hesaplamak için kuramsal bir yöntem geliştirmişti. Fakat yönteminin üçten fazla elektron için aşırı derecede karmaşık olacağını da anlamıştı. Bu noktada, öğüt için eski dostu von Neumann'a dönmüş, o da grup temsilleri kuramını okumasını önermişti. Matematiğin bu alanı, aşın derecede zamanın cebirsel kavramlan ve yöntemleriyle, özellikle matris cebiriyle yüklüydü. Fakat kristalografideki çalışmaları ve dönemin önde gelen bir cebir kitabına -Heinrich Weber'in Lehrbuch der Algebra- olan aşinalığı sayesinde, matrisler Wigner için hiç sorun oluşturmadı.

Von Neumann'm öğüdü işe yaradı. Bir atom belli sayıda elektrona sahipse, tüm elektronlar özdeş olduğundan, bu atom hangi elektronun hangisi olduğunu "bilmez". Başka bir deyişle, bu atomun saldığı ışınımı betimleyen denklemler, bu elektronların tüm permütasyonları altında simetrik olmalıdır. Grup kuramını kullanarak, Wigner her sayıda elektrona sahip atomların spektrumlanna ait bir kuram geliştirdi.

Bu noktada, Wigner'in çalışması klasik fiziğin geleneksel alanı içinde yer bulmuştu. Fakat heyecan kuantum kuramı alanındaydı. O da şimdi hayatının başyapıtı olan grup temsilleri kuramını kuantum mekaniğine uygulamaya girişmişti.

Ne gariptir ki, yeni işinden ötürü olmadığı halde, bunu yapmıştı. Alman matematiğinin kıdemli ulusal lideri olan David Hilbert, kuantum kuramının ardındaki matematiksel ilkelere aşın ilgi gösteriyordu ve bir araştırma asistanına gereksinim duymuştu. 1927'de Wigner Hilbert'in araştırma grubuna katılmak üzere Göttingen'e gitti. Onun görünürdeki rolü, Hilbert'in geniş matematiksel uzmanlığını canlandırmak için fiziksel anlayışlar temin etmekti.

Bu pek de planlandığı gibi çalışmadı. İkisi bir yıl boyunca sadece beş kez buluşmuştu. Hilbert yaşlıydı, yorgundu ve toplumdan iyice uzaklaşmıştı. Böylece Wigner Berlin'e geri

dönerek, kuantum mekaniği üzerine dersler vermeyi ve Gro-up Theory and Its Application to the Ouantum Mechanics of Atomic Spectra [Grup Kuramı ve Onun Atomik Spektrumla-nnın Kuantum Mekaniğine Uygulanması] adlı en ünlü olacak kitabını derleyip toparlamayı sürdürdü.

Wigner bir ölçüde Hermann Weyl tarafından beklenmekteydi; o da kuantum kuramında gruplar hakkında bir kitap yazmıştı. Fakat Weyl'in asıl odaklanma noktası temel konulardı, oysa Wigner belli fizik problemlerini çözmek istemekteydi. Weyl güzelliğin peşindeydi, Wigner ise gerçeği arıyordu.

Wigner'in grup kuramına yaklaşımını klasik bağlamda, basitçe bir davulun titreşimleriyle anlayabiliriz. Müzik davulları genelde daireseldirler, fakat ilkesel açıdan her biçimde olabilirler. Bir davula bir çubukla vurduğunuzda, deri titrer ve bir gürültü çıkarır. Farklı davul biçimleri farklı sesler üretir. Bir davulun üretebildiği, onun spektrumu denen frekanslar bölgesi davulun biçimine karmaşık bir tarzda bağlıdır. Davul simetrikse, spektrumda ortaya çıkacak simetriyi tahmin edebiliriz.

Dikdörtgen bir davul düşünün; bunları matematik bölümleri dışında pek göremezsiniz. Böyle bir davulun tipik titreşim örüntüleri, onu çok sayıda daha küçük dikdörtgenlere böler. İşte örnekleri:

Bir dikdörtgen davulun iki titreşim örüntüsü.

Burada iki farklı frekanslı iki farklı titreşim örüntüsü görüyoruz. Resimler, bir anda çekilmiş şipşak örüntülerdir. Koyu bölgeler aşağı doğru ve beyaz bölgeler yukarı doğru yer değiştirmiştir.

Davulun simetrileri örûntüler için çıkarımlara sahiptir, çünkü davulun her simetri dönüşümü, bir olası titreşim örüntüsüne uygulanarak bir diğer olası örüntüyü üretebilir. Böylece örüntüler simetrik olarak ilişkili hale gelirler. Bununla birlikte, tek tek örüntülerin davulla aynı simetriye sahip olmaları gerekmez, örneğin, bir dikdörtgen 180°'lik dönme altında simetriktir. Bu simetri dönüşümünü üstteki iki örüntüye uygularsak, şu hale gelirler:

Davulu 180° döndürdükten sonra aynı iki örüntü.

Sol taraftaki örüntü değişmemiştir, demek ki o davulun simetrisini paylaşmaktadır. Fakat sağ taraftaki örüntüde koyu bölgeler beyazlarla değiş-tokuş edilmiştir. Bu etkiye kendiliğinden simetri bozulması denir ve fizik sistemlerinde çok alışılmış bir olaydır bu: Bir simetrik sistem daha az sayıda simetrik duruma sahipse, bu meydana gelir. Soldaki örüntü simetriyi bozmaz, fakat sağdaki bozar. Sağdaki örüntüye odaklanalım ve onun bozulan simetrisinin sahip olduğu etkiye bakalım.

örüntü ve onun dönmesi farklı olsa da, ikisi de aynı frekansta titreşir; çünkü dönme, davulun ve dolayısıyla titreşimleri betimleyen denklemlerin simetrisidir. Böylece davulun spektrumu bu özel frekansı "iki kez" içerir. Bu etkiyi deneysel olarak saptamak zor görünebilir, fakat davulda onun dönme simetrisini bozan küçük değişiklikler yaparsanız -diyelim ki, bir kenar boyunca küçük bir girinti- o zaman iki frekans birbirinden biraz ayrılır ve onlardan birbirine çok yakın iki adet olduğunu fark edersiniz. Simetrik davulda bir frekans sadece bir kez meydana gelmişse, bu ortaya çıkmaz.

Wigner aynı etkinin simetrik moleküller, atomlar ve atom çekirdeklerinde ortaya çıktığını anlamıştı. Davuldan

çıkan sesler moleküllerin titreşimleri haline gelir ve seslerin spektrumu salınan ya da soğurulan ışığın spektrumuyla yerine geçer. Kuantum dünyasında, spektrum farklı eneıji durumları arasındaki geçişler tarafından yaratılır ve atom fotonlar salar, bunların enerjisi -dolayısıyla frekansı, Planck sayesinde- bu enerji farkına karşılık gelir. Artık spektrum bir spektroskop kullanarak saptanabilir. Yine, frekansların bazıları -spektrum çizgileri olarak gözlenmiş- molekül, atom ya da çekirdeğin simetrisi nedeniyle, çift (ya da çok-katlı) olabilir.

Bu çok katilliği nasıl saptayabiliriz? Davulda yaptığımız gibi, molekülde bir girinti yapamayız. Fakat molekülü bir manyetik alan içine yerleştirebiliriz. Bu da temeldeki simetriyi bozar ve spektrum çizgilerini yarar. Şimdi frekansları ve onların nasıl yanldıklarını hesaplamak için grup kuramını -daha doğrusu, grup temsilleri kuramını- kullanabilirsiniz.

Temsil kuramı en güzel ve en güçlü matematiksel kuramlardan biridir, fakat teknik güç gerektirir ve gizli tuzaklarla doludur. Wigner bunu yüksek sanata dönüştürmüştü.

Wigner 1930'da Amerika'da İleri Çalışmalar Enstitüsünde yarı-zamanlı bir görev garantilemiş ve Princeton ile Berlin arasında mekik dokumuştu. 1933'te Naziler Yahudilerin üniversitelerde işe alınmalarını yasaklayan kanunu geçirdiler ve böylece Wigner kalıcı şekilde Birleşik Devletler'e, esasen Princeton'a, taşındı; orada adını Eugene Paul olarak îngi-lizleştirdi. Kız kardeşi Margit, Princeton'da ona katılmıştı. Margit orada ziyaretçi konumundaki Dirac'la tanıştı ve 1937'de ikisi, herkesi hayrette bırakarak, evlendiler.

Margit'in evliliği çok iyi gitmiş, fakat Eugene'in işi iyi gitmemişti. 1936'da Wigner şunları yazıyordu: "Princeton beni işten attı. Neden olduğunu asla açıklamadılar, öfkelenmeyi önleyemiyorum." Aslına bakılırsa, galiba yeterince hızlı ilerleyemediği için, Wigner istifa etmişti. Büyük olasılıkla Princeton'm terhini geri çevirmesi onu istifaya zorladığına inanmış, böylece sanki işten atıldığı izlenimini edinmişti.

Aceleyle Wisconsin Üniversitesinde yeni bir iş buldu, ABD vatandaşlığına geçti ve Amelia Frank adında bir fizik öğrencisiyle evlendi. Fakat Amelia kansere yakalanarak bir yıl içinde öldü.

VVisconsin'da Wigner dikkatini çekirdek kuvvetlerine çevirdi ve çekirdek kuvvetlerinin SU(4) simetri grubuyla yönetildiğini keşfetti. Lorentz grubuna ilişkin temel bir keşifte de bulunmuş ve bunu 1939'da yayımlamıştı. Fakat o zamanlar grup kuramı bir fizikçi eğitiminin standart parçası değildi ve grup kuramının esas uygulama yeri hâlâ kristalografinin oldukça özel bir alanıydı. Ne yazık ki, çoğu fizikçi için, grup kuramı karmaşıktı, iyi bilinmemekteydi. Alanlarının istila edilmesiyle şoke olan kuantum fizikçileri gelişmeyi "Grup-penpest" ya da "grup hastalığı" olarak betimlemişlerdi. Wig-ner bir salgını tetiklemişti ve meslektaşları buna yakalanmak istemiyordu. Fakat Wigner'in görüşleri kehanet gibiydi. Grup kuramları içeren yöntemler kuantum mekaniğine egemen olacaktı,-çünkü simetrinin etkisi her yeri kuşatmıştır.

Wigner 1941'de, Mary Annette adında bir öğretmenle ikinci evliliğine başladı. İki çocukları, David ve Martha, oldu. Savaş boyunca, Von Neumann ve pek çok üst düzey matematiksel fizikçi gibi, Wigner de atom bombası yapmak için Manhattan Projesinde çalıştı. 1963'te Fizikte Nobel ödülüne layık görüldü.

Yıllarca ABD'de yaşadığı halde, Wigner hep anavatanını özledi. "Birleşik Devletler'deki 60 yıldan sonra," diye yazmıştı azalan yıllarında, "hâlâ Amerikalıdan daha çok Macarım. Amerikan kültürünün çoğu benden uzak." 1995'te öldü. Fizikçi Abraham Pais onu "çok tuhaf bir adam . . . 20'nci yüzyıl fiziğinin devlerinden biri," diye anlatır. Geliştirdiği bakış açısı yirmi-birinci yüzyılı da kökten değiştirmektedir.

BEŞ BOYUTLU ADAM

Yirminci yüzyılın sonlarında, fizikte olağanüstü gelişmeler yaşandı. Evrenin büyük-ölçekli yapısı, genel görelilikle çok iyi biçimde betimlenecek gibi görünüyordu. Kara deliklerin -cüsseli yıldızların kendi kütleçekimleri altında çökmesiyle yaratılan ışığın bile asla kaçamayacağı uzayzaman bölgelerinin- varlığı gibi dikkat çekici öngörüler gözlemlerle desteklenmekteydi. Diğer taraftan, evrenin küçük-ölçekli yapısı, genel göreliliği değil de özel göreliliği kapsamına alan ku-antum kuramıyla ya da modem biçimi içinde kuantum alan kuramıyla olağanüstü ayrıntılı olarak ve çok kesin şekilde betimlenmişti.

Bununla birlikte, fizikçinin cennetinde iki yılan vardı. Biri "felsefi" yılandı: Bu iki çılgınca başarılı kuram birbirleriyle uyuşmamaktaydı. Fiziksel dünya hakkındaki varsayımları karşılıklı olarak tutarsızdı. Genel görelilik "belirlenimcidir; denklemleri rastgeleliğe yer vermez. Kuantum kuramıysa özünde belirsizliğe sahiptir; Heisenberg'in belirsizlik ilkesiyle esir alınmıştır; bir radyoaktif atomun bozunumu gibi pek çok olay rastgele meydana gelir. Diğer yılan "fizikseidi: temel parçacıkların kuantuma-dayalı kuramları çok sayıda önemli sorunu çözümsüz bırakır: örnek olarak, parçacıkların neden özel kütleleri vardır ya da aslında, neden bir kütleye sahiptirler.

Pek çok fizikçi, her iki yılanın da aynı cesur eylemle Cennet Bahçesinden kovulabileceğine inanmaktadır: görelilik ile kuantum fiziğini birleştirmekle. Yani, büyük ölçeklerde görelilikle ve küçük ölçeklerde kuantum kuramıyla uyuşan mantıksal olarak tutarlı yeni bir kuram düzenlemekle. Eins-

tein yaşamının yansında bunu yapmaya çalışmıştı ve başarısız olmuştu. Tipik alçakgönüllülükle, fizikçiler bu birleşik görüşe "Her Şeyin Kuramı" adını vermişlerdir. Ümidimiz, fiziğin tümünün bir tişört üzerine basılacak kadar basit bir denklemler cümlesine indirgenebilmesidir.

Bu öyle hoyrat bir fikir değildi. Maxwell denklemlerini bir tişört üzerine yazabilirsiniz ve ben şu anda üzerinde İbranice "Işık olsun” sloganıyla özel görelilik denklemlerini bulunduran bir tişörte sahibim. Onu bir arkadaşım bana Tel Aviv havaalanından almıştı. Pek önemsiz olmayan bir biçimde, bambaşka gibi görünen fizik kuramlarının birleşimleri daha önceleri başarılmıştı. Bir zamanlar tümüyle farklı doğa kuvvetleriyle çalışan tamamen ayn doğal olaylar olarak düşünülmüş olan manyetizma ve elektrik, Maxwell kuramında bir tek kuram içinde birleştirilmişti: elektromanyetizma, îsim hantal görünebilir, fakat birleştirme sürecini doğru biçimde yansıtmaktadır. Fizik topluluğu dışında az bilinen çok daha çağdaş bir örnek, elektromanyetizma ile zayıf çekirdek kuvvetini birleştiren elektrozayıf kuramdır (bkz. ilerideki bölümler). Güçlü çekirdek kuvvetiyle daha ileri bir birleştirme, kanşımda sadece bir tek şeyi noksan bırakmıştı: kütle-çekimi.

Bu öykü dikkate alındığında, bu son doğa kuvvetinin fiziğin geri kalanıyla aynı çizgiye getirilebileceğini ümit etmek tümüyle akla yatkındır. Ne yazık ki, kütleçekim, bu süreci zorlaştıracak biçimsiz niteliklere sahiptir.

Her Şeyin Kuramı var olmayabilir. Matematiksel denklemler -fizik yasaları- şu ana kadar evrenimizi başarılı bir biçimde açıklamış olsalar da, bu sürecin devam etmesinin bir garantisi yoktur. Belki de evren fizikçilerin hayal ettiğinden daha az matematikseldir.

Matematiksel kuramlar doğayı çok iyi bir biçimde yaklaşık olarak betimleyebilir, fakat matematiğin her parçasının gerçekliği tam olarak yansıtabileceği kesin değildir. Yansı-tamıyorsa, o zaman karşılıklı tutarsız kuramların bir yamalı

örtüsü, farklı bölgelerde geçerli olan elverişli yaklaşıklıklar teinin edebilir; bu yaklaştırmaların tümünü birleştiren ve tüm bölgelerde işleyen bir tek ağır basan ilke olmayabilir.

Kuşkusuz, "eğer/öyleyse" kurallarının önemsiz listesi haricinde: "Eğer hızlar küçük ve ölçekler büyükse, o zaman Newton mekaniğini kullanınız; eğer hızlar büyük ve ölçekler de büyükse, o zaman özel göreliliği kullanınız" vb. Böyle bir karıştır-ve-eşleştir kuramı korkunç şekilde çirkindir; eğer güzellik gerçeklikse, o zaman karıştır-ve-eşleştir ancak yanlış olabilir. Fakat belki de kökende evren çirkindir. Belki de orada olmak için kök yoktur. Bunlar çekici düşünceler değildir, fakat evren üzerine dar görüşlü güzel duyularımızı dayatan bizler kimiz ki?

Her Şeyin Kuramı var olmalıdır görüşü, insanın akima tek-tannlı dinleri getiriyor; orada, bin yıllık sürenin üzerinde, kendilerinin özel alanlarıyla Tanrı ve Tanrıçaların tamamen farklı toplulukları yerine, alanı her şey olan bir tek Tanrı geçmişti. Bu süreç yaygın biçimde bir ilerleme olarak görülür, fakat bu "bilinmeyenlerin denklemi " olarak bilinen bir standart felsefi yanılgıya benzemektedir; burada aynı neden tüm gizemli olaylara bağlanmaktadır. Bilimkurgu yazarı Isaac Asimov'un ortaya attığı gibi, uçan dairelere, telepatiye ve hayaletlere şaşırıyorsanız, o zaman aşikâr açıklama, uçan dairelerin telepatik hayaletler tarafından kullanıldığıdır. Bu tür "açıklamalar" yanlış bir gelişim duygusu verir: açıklamak için üç gizeme sahiptik; şimdi sadece birine sahibiz. Fakat bu bir tek yeni gizem, tamamıyla farklı açıklamalara sahip olabilecek üç ayrı gizemi bir araya getirmiştir. Onları bir araya getirerek, bu olasılığa gözümüzü kapatmış oluruz.

Güneşi bir güneş-tanrısıyla, yağmuru bir yağmur-tan-rısıyla açıkladığınızda, her Tanrı'ya kendi özel niteliklerini sağlamış olursunuz. Fakat hem güneşin hem de yağmurun aynı Tanrı tarafından kontrol edilmesinde ısrar ederseniz, iki farklı şeyi aynı deli gömleği içine sokmaya çalışma durumuna düşebilirsiniz. Böylece temel fizik, bir bakıma, daha çok aşırı tutucu bir fizik olur. Bir tişört üzerindeki denklemler yerini özünde var olan bir Tanrı'ya bırakır ve bu denk-

temlerin sonuçlarının gözler önüne serilmesi, günlük hayata ilahi müdahaleyle yer değiştirir.

Bugün aranmakta olan Her Şeyin Kuramının kökleri, daha önce elektromanyetizma ve genel göreliliği birleştirme girişiminde yatmaktadır; o zaman, bilinen fiziğin tamamı bunlardan ibaretti. Bu girişim, Einstein'm özel görelilik üzerine ilk makalesinden sadece on dört yıl, kütleçekimin ışığı bükebileceği öngörüsünden sekiz yıl ve genel göreliliğin bitmiş kuramının bekleyen dünyaya açıklanmasından dört yıl sonra yapılmıştı. Fiziği tamamıyla yeni bir rotaya kolayca çevirebilecek kadar güzel bir girişimdi bu, fakat mucidi açısından talihsiz bir şekilde, fiziği yeni bir yöne sevk edecek bir başka şeyle -kuantum mekaniğiyle- çakışmıştı. Bunu izleyen altına hücumda, fizikçiler birleşik alan kuramlarına ilgiyi kaybettiler; kuantum dünyası onlara, temel keşifler yapma şansı olan aşırı bol avantalar sunmaktaydı. Bu, ilk girişimin ardındaki fikrin yeniden dirilmesi altmış yıl sürdü.

Öykü, Alman eyaleti Doğu Prusya'nın başkenti olan Kö-nigsberg kentinde başlar. Königsberg şimdi Prusya'yla Lit-vanya arasında uzanan bir Rus toprak parçasının idari merkezi olan Kaliningrad'dır. Matematiğin gelişmesi üzerine bu kentin şaşırtıcı etkisi bir bilmeceyle başlamıştı. Königsberg kenti Pregel (şimdiki Pregolya) nehri kıyısında yer alır ve nehrin iki kıyısı ite iki adayı yedi köprü birbirine bağlar. Acaba Königsberg yurttaşlarını, aynı köprüyü iki kez geçmeksizin, sırasıyla her köprüyü bir kez geçerek yürümeye izin verecek bir yol var mıydı? Bu yurttaşlardan birisi, Leonhard Euler, böyle soruların genel bir kuramını geliştirmişti; söz konusu durumda yanıtın "hayır" olduğu belliydi. Matematiğin şimdi topoloji denen alanına doğru ilk adımlardan biri burada atılmıştı. Topoloji, bir şeklin büküldüğü, burulduğu, ezildiği ve genelde sürekli biçimde deforme edildiği zaman -yırtma ve kesme olmaksızın- değişmeden kalan geometrik özellikleri hakkındadır.

Bugünün matematiğinde topoloji, fiziğe birçok uygulamasıyla en güçlü katkılardan birini sağlar. Çok boyutlu

uzayların olası biçimlerini bize o söyler; bu hem kozmolojide hem de parçacık fiziğinde giderek önemi artan bir konudur. Kozmolojide uzayzamanın büyük ölçekteki biçimini, tüm ev-reninkini bilmek isteriz. Parçacık fiziğindeyse, uzay ve zamanın küçük ölçeklerdeki biçimini bilmeyi arzularız. Yanıtın aşikâr olduğunu düşünebilirsiniz, fakat fizikçiler artık böyle düşünmüyor. Onların kuşkulan Königsberg'e kadar da geri gider.

Königsberg Üniversitesinde silik bir matematikçi olan Theodor Kaluza, 1919'da çok tuhaf bir fikre saplanmıştı. Bunu yazıp Einstein'e göndermiş; bunun karşısında, anlaşıldığı kadarıyla, Einstein dona kalmıştı. Kaluza kütleçekimi ve elektromanyetizmayı bir tek uyumlu "birleşik alan kuramı" içinde birleştirmenin bir yolunu bulmuştu; Einstein'ın yıllardır ba-şansız bir şekilde yapmaya çalıştığı bir şeydi bu. Kaluza'nın kuramı çok şık ve doğaldı. Rahatsız edici tek bir yanı vardı sadece: birleştirme, uzayzamanm beş boyuta sahip olmasını gerektiriyordu, dört değil. Zaman her zamankiyle aynıydı, fakat uzay bir bakıma bir dört boyut gerektirmekteydi.

Kaluza kütleçekimini ve elektromanyetizmayı birleştirme kurgusuna girişmemişti. Kendisinin iyi bildiği bir nedenle, beş boyutlu kütleçekimine burnunu sokmuştu; bir matematikçinin bir tür ısınma alıştırması: eğer uzay bu saçma ekstra boyuta sahip olsaydı, Einstein alan denklemleri nasıl görünürdü?

Einstein denklemleri dört boyutta on "bileşen"e sahiptir; bunlar on ayrı sayıyı betimleyen on ayn denklemde özetlenirler. Bu sayılar birlikte, uzayzamanın eğriliğini betimleyen, metrik tensörü oluştururlar. Beş boyutta on beş bileşen ve dolayısıyla on beş denklem vardır. Bunların onu, Einstein'ın standart dört-boyutlu kuramını meydana getirirler ve bunun şaşırtıcı bir yanı yoktur; dört-boyutlu uzayzaman beş-boyutlu uzayzaman içine gömülüdür. Dolayısıyla kütleçe-kimin dört-boyutlu halinin beş-boyutlu uzayzaman içine gömülmüş olduğunu tahmin edersiniz doğal olarak. Peki, geri kalan beş denkleme ne dersiniz? Onlar bizim dünyamız için önemsiz, sırf acayip bir yapı olmuş olabilirlerdi. Fakat

öyle değildiler. Buna karşılık, bu denklemler çok iyi bilinmekteydi, bu da Einstein'ı hayrete düşürmüştü. Kaluza'nın kalan denklemlerinin dördü kesinlikle elektromanyetik alan için Maxwell denklemleriydi: bizim dört-boyutlu uzayzama-nımızda geçerli olanlar.

Kalan bir denklem, önemsiz bir rolü olan, çok basit türden bir parçacığı betimlemekteydi. Fakat hem Einstein'm küt-leçekim kuramının hem de Maxwell'in elektromanyetizma kuramının kendiliğinden sadece kütleçekimin beş-boyutlu benzerinden ortaya çıkacağını hiç kimse, özellikle de Kalu-za, beklemiyordu. Kaluza'nın hesabı, 'ışık uzayın ekstra, gizli bir boyutundaki bir titreşimdir' anlamına geliyordu. Sadece uzayın gerçekte dört-boyutlu ve uzayzamanm beş-boyutlu olduğunu varsayarak, kütleçekimi ve elektromanyetizmayı birlikte tek parça bir bütün içine koyabilirdiniz.

Kaluza'nın makalesi Einstein'ı ıstırapla kıvrandırmıştı, çünkü uzayzamanm bir ekstra boyuta sahip olmasını hayal etmeye kesinlikle gerek yoktu. Fakat en sonunda fikir, tuhaf görünse de, öyle güzel ve potansiyel olarak kapsamlıydı ki onun basılması gerektiğine karar vermişti. îki yıllık endişenin ardından, Kaluza'nın makalesi önemli bir fizik dergisi için kabul edildi. Makalenin başlığı "Fizik problemlerinin birleşmesi üzerine"ydi.

Ekstra boyutların tüm bu tartışması herhalde oldukça bulanık ve gizemli tınlamaktadır. Bu, Victoria Çağı tinselci-leriyle ilişkili bir kavramdır, onlar bilinen üç-boyutta anlam taşımayan her şeyi gizlemek için uygun bir yol olarak dördüncü boyuta başvururlardı. Ruhlar nerede yaşar? Dördüncü boyutta. Medyumdan çıktığı düşünülen sihirli ruh nereden gelir? Dördüncü boyuttan. İlahiyatçılar Tanrı'yı ve onun meleklerini bile oraya yerleştirmişlerdi; sonra beşincinin daha iyi ve altmcmm daha da iyi olduğunu düşünmüşler ve en sonunda her şeyi bilen ve her an her yerde bulunan bir varlık için aslında sadece sonsuz boyutun uygun olabileceğinde karar kılmışlardı.

Tümü hoş, fakat hiç bilimsel değil. Burada temeldeki matematiğin açıklanmasına yönelmek daha değerlidir. Esas mesele, matematiksel ya da fiziksel bir kurgunun "boyutu"nun onu betimlemek için gerekli bağımsız değişkenlerin sayısı olmasıdır.

Bilim insanları değişkenler -değişmeye konu olan nicelikler- hakkında düşünmeye çok zaman harcarlar. Deneyci olanlar da, onları ölçmek için daha çok zaman sarf ederler. Bir değişkeni anmak için sadece geometrik bir yol olan "boyut" sonunda öylesine yararlı bir hale gelmiştir ki, artık bilim ve matematiğin içine standart bir düşünme yolu olarak yerleştirilmiştir ve tamamıyla bayağı ve olağan sayılır olmuştur.

Zaman uzaysal olmayan bir değişkendir, dolayısıyla olası bir dördüncü boyut sağlar; fakat aynı şey sıcaklık, rüzgâr hızı ya da Tanzanya'daki ak karıncaların yaşam süresi için de geçerlidir. Üç-boyutlu uzayda bir noktanın konumu üç değişkene bağlıdır: bu noktanın, bir referans noktasına göre, doğuya, kuzeye ve yukarıya olan uzaklıkları (zıt yönler negatif sayılar için kullanılır). Benzeşimle, dört değişkene bağlı herhangi bir şey dört-boyutlu bir "uzay"da ve 101 değişkene bağlı herhangi bir şey 101-boyutlu bir uzayda yaşar.

Her karmaşık sistem doğal olarak çok-boyutludur. Arka bahçenizdeki hava koşulları sıcaklığa, neme, rüzgâr hızının üç bileşenine, barometre basıncına, yağış şiddetine -bunlar şimdiden yedi boyut oldu bile- ve ekleyebileceğimiz çok sayıda başka şeye bağlıdır. Bahse girerim ki yedi boyutlu bir arka bahçeniz olduğunu düşünmemişsinizdir. Güneş sistemindeki dokuz (haydi, sekiz olsun; heyhat, zavallı Plüton!) gezegenin durumu, her gezegen için altı değişken -üç konum koordinatı ve üç hız bileşeni- vasıtasıyla saptanır. Buna göre, bizim güneş sistemimiz 54 (ya da 48) boyutlu bir matematiksel cisimdir; uyduları ve asteroidleri de katarsanız çok daha fazla. Her biri kendi fiyatıyla bir milyon farklı ürünlü bir ekonomi, bir milyon boyutlu uzayda yaşar. Elektrik ve manyetik alanların yerel durumlarını belirtmek için sadece altı ekstra sayı gerektiren elektromanyetizma, bununla kar-

şılaştınnca, çocuk oyuncağıdır. Bunun gibi örnekler boldur. Bilim çok sayıda değişkene sahip sistemlerle ilgilendikçe, iyice çok-boyutlu uzaylarla ciddi biçimde uğraşmak zorunda kalınmaktadır.

Çok-boyutlu uzayların formal matematiği, düşük-boyutlu uzayların "aşikâr" genellemelerine dayalı olarak tümden cebirseldir. örneğin, düzlemde (iki-boyutlu bir uzay) her nokta iki koordinatla ve üç-boyutlu uzayda her nokta üç koordinatla belirtilebilir. Dört-boyutlu uzayda bir noktayı dört koordinatlı bir listeyle ve çok daha genel olarak n-boyutlu uzayda bir noktayı n koordinatlı bir listeyle tanımlamaksa kısacık bir adımdır. O zaman n-boyutlu uzayın (ya da, kısaca n-uzaym) kendisi, sırf tüm böyle noktaların bir kümesidir.

Benzer cebirsel düzenlemeler n-boyutlu uzayda herhangi iki nokta arasındaki uzaklığı, herhangi iki doğru arasındaki açıyı vb şeyleri hesaplamaya izin verir. Oradan sonrası, hayal gücüdür: iki ve üç boyuttaki en sezilir geometrik şekiller n boyutlarda açık benzeşimlere sahiptir ve onlan bulma yolu, koordinatların cebirini kullanarak benzer şekilleri betimlemek ve sonra bu betimlemeyi n koordinata genişletmektir.

n-uzayla ilgili bir sezgi elde etmek için, bir şekilde kendimizi n-boyutlu gözlüklerle donatmalıyız. İngiliz rahibi ve okul müdürü Edwin Abbott Abbott'un 1884'te yazdığı Flat-land [Yassıülke] adlı kısa kitabından bir oyunu borç alabiliriz. Kitap, Öklit düzlemi şeklindeki iki-boyutlu bir uzayda yaşayan A. Square'in serüvenleri hakkındadır. Abbott bize "A."nın hangi adın ilk harfi olduğunu söylemez: Benim devam kitabım olan Yayvanülke'de [Flatterland] açıkladığım nedenlerle onun "Albert" olduğuna inanıyorum ve burada bu varsayımı yapacağım. Duygusal bir tip olan Albert Square, üçüncü boyut saçmalığı kavramına inanmıyordu, ne zaman ki uğursuz bir günde, düzlemsel evreni içinden bir küre geçene ve onu asla hayal edemediği âlemlerin içine savurana kadar.

Yassıülke, aşırıboyutsal benzeşime dayalı dördüncü boyut hakkında bir alegori içine gömülmüş Victoria sosyete-

sine hicivli bir bakıştı. Burada bizi ilgilendiren hiciv değil, benzeşimdir. 3-uzayın daha büyük gerçekliğinden habersiz, mutluluk içinde, kendinizi bir düzlemde yaşayan iki-boyutlu bir yaratık olarak başarıyla hayal ettikten sonra, 4-uzaym daha büyük gerçekliğinden mutlu bir şekilde habersiz, kendinizi 3-uzayda yaşayan üç-boyutlu bir yaratık olarak hayal etmeniz o kadar zor olmaz. Albert Square'in Yassıülke'de mutlu şekilde oturarak gözü önünde bir katı küre canlandırmak istediğini varsayınız. Abbott bunu, Yassıülke düzlemine dik hareket ederek geçen böyle bir küre çizip gerçekleştirir; öyle ki Albert onun enine kesitlerini dairesel diskler biçiminde görür, önce bir nokta görür, sonra bu diskler bir noktadan kürenin ekvatoruna kadar genişler, sonra da tekrar bir noktaya kadar büzülür ve sonunda yok olur.

Yassıülkeyle çarpışan küre.

Aslında, Albert bu diskleri çevresi hareketli olarak görür, dereceli gölgeli çizgi parçalan olarak, fakat onun görme duyusu bu görüntüyü bir disk olarak yorumlar, tıpkı bizim stereo görüşümüz bir düz görüntüyü katı olarak yorumlaması gibi.

Benzeşimle, bir katı kürenin dört-boyutlu benzerini, bir küre oluşturmak üzere büyüyen bir noktanın "ekvator"u görünceye kadar genişleyip, sonra yok olmadan önce bir noktaya kadar büzülmesi olarak bir "hiperküre" "görebiliriz."

Uzayülkesiyle çarpışan hiperküre.

Uzay gerçekten de üçten daha fazla boyuta sahip olabilir mi? Uzaysal-olmayan değişkenlere karşılık gelen hayali bir matematiksel masal olmayıp, gerçek fiziksel uzay mı? Yine de, dördüncü boyutu araya nasıl sıkıştırabilirsiniz? Her yer zaten tıka basa doluyken.

Düşünürseniz, düzlem hakkında tam olarak aynı şekilde ısrar etmiş olan Albert Square'i dinlememiştiniz. Dar görüşlü ön yargılarımızı bir yana bırakırsanız, ilke olarak görülür ki uzay dört-boyutlu ya da milyon-boyutlu -her ne kadarsa- olmuş olabilirdi. Bununla birlikte, günlük gözlemlerin bize ilham ettiğine göre, bizim özel evrenimizde Efendimiz uzay için üç boyut ve zaman için bir boyut üzerinde karar kılmıştı.

Ya da O mu karar kılmıştı? Fizik bize ne öğretirse öğretsin, günlük gözlemlerden kaçınmak bize iyi bir ders olur. Bir sandalye katı izlenimini uyandırır, fakat çoğunlukla her yeri boşluklarla doludur. Uzay düz gibi görünür, halbuki göreliliğe göre o eğridir. Kuantum fizikçileri, çok küçük ölçeklerde uzayın oyuklarla dolu bir tür kuantum köpüğü olduğunu düşünürler. Kuantum belirsizliğinin "çoklu evrenler" yorumunun hayranları, bizim evrenimizin birlikte var olan sonsuz sayıda evrenden biri olduğuna ve geniş bir çoklu-evrenin sadece ince bir bisküvi dilimini işgal ettiğimize inanırlar. Eğer sağduyu bu şeyler hakkında bizi yanlış yola yöneltebilirse, herhalde o uzayın ve zamanın boyutluluğu hakkında olur.

Uzak bir mesafeden (yukarıda) bir su hortumu tek boyutlu görünür. Yakından (aşağıda) iki ek boyuta daha sahiptir.

Kaluza, kendi kuramının uzayzamana tahsis ettiği ekstra boyut için basit bir yoruma sahipti. Geleneksel boyutlar, gözlemek için yeterince uzun, aslında milyarlarca ışık yılı uzunluğunda düz doğrular boyunca yönelirler. Kaluza'nm öngördüğü yeni boyut çok farklıdır: Atomdan çok daha küçük bir çember içine sıkıca kıvrılır. Işık dalgalarını oluşturan kıpırtılar çemberi dolaşırlar, çünkü onlar da atomlardan çok çok küçüktürler; fakat madde bu yönde hareket edemez, çünkü ona yeterli yer yoktur.

Bu öyle aptalca bir fikir değildir. Bir su hortumuna uzaktan bakarsanız, hortum bir eğri gibi görünür, ki bu bir boyutludur. Ancak yakından, küçük iki-boyutlu enine kesitiyle, hortumun gerçekte üç-boyutlu olduğu açık hale gelir. Yeni boyutlardaki bu gizli yapı, uzaktan gözleyebileceğiniz bir şeyi açıklar: hortumun nasıl su taşıyabildiğini. Enine kesitin tam doğru biçime, merkezde bir boşluğa, sahip olması gerekir. Şimdi hortumun kalınlığının bir atomun boyutundan daha küçük olduğunu gözünüzde canlandırınız. Ekstra boyutları fark etmek için olağanüstü yakından bakmalısınız. İnanılmaz derecede ince hortum artık su taşıyamaz, ama yeterinde küçük herhangi bir şey hâlâ hortum boyunca gidebilir.

Böylece ekstra boyutların etkisini, boyutların kendilerini anlamaksızm, anlamak mümkün olabilir. Bu demektir ki uzayzamamn gizli boyutları tamamen bilimsel bir öneridir: onlann varlığı ilke olarak sınanabilir; fakat duyuların doğrudan kullanılması yerine çıkarımla. Çoğu bilimsel sınama çıkarımla işler: herhangi bir olayın nedenini doğrudan göre-bilseydiniz, kuramlara ya da deneylere gerek duymazdınız, örneğin, hiç kimse hiçbir zaman bir elektromanyetik alan görmemiştir. Kıvılcımlar görmüşlerdir ve salınıp kuzeyi gösteren pusula iğnelerini gözlemlemişlerdir ve (onlar bilim insanlarıysa) bundan bir alanın sorumlu olması gerektiğini çıkarsamışlardır.

Kaluza'nm kuramı kesin bir popülarite kazandı, çünkü bu, bir birleşik alan kuramı ümidini sunmuş bilinen tek fikirdi. 1926'da, bir başka matematikçi, Oskar Klein, şu öneriy-

le Kaluza kuramını geliştirdi: Kuantum mekaniği, şu beşinci boyutun neden bu kadar sıkı kıvrıldığını açıklayabilirdi. Aslında, onun çapı Planck sabitine benzer büyüklük mertebesinde olmalıdır: 1035 metrelik "Planck uzunluğu" kadar.

Kaluza-Klein kuramı, tanındığında, bir süre için fizikçilere çekici gelmişti. Fakat şu ekstra boyutun varlığını doğrudan göstermenin olanaksızlığı zihinlerine takılmıştı. Tanım olarak, Kaluza-Klein kuramı kütleçekim ve elektromanyetizmada bilinen her olayla tutarlıdır. Standart deneylerle onu asla çürütemezsiniz. Fakat hiçbir şey de eklememişti, sınanabilecek yeni hiçbir şey öngörmemişti. Mevcut yasaları birleştirme girişimlerinin birçoğunu aynı sorun zora sokmaktadır. Sınanabilir olan şeyler zaten bilinmektedir ve yeni olansa sınanamamaktadır. Baştaki coşku zayıflamaya başlamıştı.

Kaluza-Klein kuramı için öldürücü darbe -doğru olmadığı değil, fakat kıymetli araştırma zamanını harcamaya değip değmediği- çok daha çekici bir kuramın hızla yaygınlaşmasıyla geldi; bu öyle bir kuramdı ki, aslında burada yeni öngörüler ve onları sınamak için deneyler yapabilirdiniz. Bu, o zaman gençliğinin baharında olan kuantum kuramıydı.

1960'larda kuantum mekaniğinin gelişmesi durma noktasına gelmişti. Başlardaki gelişme, derin bilmecelere ve açıklanamaz gözlemlere boyun eğmişti. Kuantum kuramının başarısı yadsınamazdı ve kısa süre içinde temel parçacıkların "standart model"ine yol açmıştı. Fakat yanıtlanma şansı olan yeni sorular bulmak da daha zor hale geliyordu. Gerçekten de yeni fikirleri sınamak aşırı zordu; sınanabilir fikirlerse sadece var olanların genişletilmişleriydi.

Tüm araştırmadan birçok hoş temel ilke su yüzüne çıkmıştı: Maddenin çok ufak ölçeklerdeki yapısının anahtarı simetridir. Fakat temel parçacıklar için önemli simetriler öklit uzayındaki katı hareketler değil, hatta göreli uzayzamanın Lorentz dönüşümleri bile değildir. Onlar "ayar simetrileri"ni ve "süpersimetriler"i içerirler. Kesikli cisimlerden oluşan bir

kümesinin permütasyonuyla işlem yapan, Galois tarafından çalışılmış başka türden birçok simetri daha vardır.

Farklı türden simetriler nasıl olabilir?

Simetriler daima bir grup oluşturur, fakat grupların etki edebilecekleri birçok farklı yol vardır. Simetri, dönmeler gibi katı hareketlerle, permütasyon yapan bileşenlerle ya da zamanın akışını tersine çevirerek etkiyebilir. Parçacık fiziği, simetrilerin etkimesi için yeni bir yol daha keşfetmişti: ayar simetrileri. Bu terim tarihsel bir kazadır ve daha iyi bir isim yerel simetriler olabilirdi.

Bir başka ülkede seyahat ettiğinizi düşününüz -ona Çift-lenya diyelim- orada paraya ihtiyacınız var. Çiftlenya para birimi feniktir ve döviz kuru iki feniğe bir dolardır. Dolar alışverişini feniğe çeviren çok basit ve aşikâr bir kuralı fark edinceye kadar bunu karışık bulursunuz. Yani, her şey, dolar olarak ödemeyi beklediğimiz miktarın iki katı kadar fenik eder.

Bu bir simetri türüdür. Tüm sayıları iki katma çıkarırsanız, ticari alışverişlerin "yasaları" değişmez kalır. Sayısal farkı dengelemek için dolarla değil de fenikle ödeme yapmanız gerekir. Bu "parasal ölçeğin değişimi altındaki değişmezlik" ticari alışveriş için kuralların küresel simetrisidir. Aynı değişimi her tarafta yaparsanız, kurallar değişmez.

Fakat şimdi . . . Çiftlenya'nın bitişindeki sınırı hemen geçiniz, yerel değer daha yüksektir; bir dolara üç fenik. Çiftlenya'ya bir günlük bir gezi yapmışsanız, karşılık gelen simetri tüm toplamların üçle çarpılmasını gerektirir. Fakat ticari yasalar yine de değişmez kalır.

Şimdi bir yerden bir başka yere değişen bir "simetri''ye sahibiz. Çiftlenya'da bu ikiyle çarpmadır; Üçlenya'da üçle çarpma. Beşlenya'yı ziyarette karşılık gelen çarpmanın beş olması sizi şaşırtmaz herhalde. Bu simetri işlemlerinin tümü aynı anda uygulanabilir, fakat her biri sadece karşılık gelen ülkede geçerlidir. Ancak sayıları doğru yerel değere göre yorumlarsanız, ticari yasalar hâlâ değişmez kalır.

Para birimlerinin yerel ölçeklendirilmesi, ticari yasaların ayar simetrisidir. İlke olarak, döviz kuru uzay ve zamanın

her noktasında farklı olabilirdi, fakat tüm alışveriş işlemlerini "döviz alanı"nın yerel değerleri cinsinden yorumlarsanız, yasalar hâlâ değişmez olurdu.

Kuantum elektrodinamiği özel göreliliği ve elektromanyetizmayı birleştirir. Bu, Maxwell'inkinden beri ilk fiziksel birleştirme olup elektromanyetik alanın ayar simetrisine dayanmaktadır.

Gördük ki elektromanyetizma Özel göreliliğin Lorentz grubu altında simetriktir. Bu grup global uzayzaman simetrilerinden oluşmaktadır; yani, Maxwell denklemlerinin korunmasını istiyorsak, onun dönüşümleri tüm evren boyunca tutarlı bir biçimde uygulanmalıdır. Bununla birlikte, Maxwell elektromanyetizması da, kuantum elektrodinamiği için yaşamsal olan bir ayar simetrisine sahiptir. Bu simetri, ışıkta evre değişimidir.

Her dalga düzgün biçimde iki yana sallanmalardan oluşmaktadır. Sallanmanın maksimum boyu dalganın genliğidir. Dalganın bu maksimuma ulaştığı süreye onun evresi denir; tepe değerinin ne zaman ve nerede meydana geldiğini size evre söyler. Gerçekte önemli olan, verilen herhangi bir dalganın mutlak evresi değil, iki farklı dalga arasındaki evre farkıdır. Örneğin, evreleri dışında özdeş olan iki dalganın evre, farkı periyodun (maksimum yüksekliklerin arasındaki zaman) yarısıysa, bu durumda bir dalga kendi maksimumuna diğeriyle tam zıt adımda varır; böylece birinin tepeleri diğerinin çukurlarıyla çakışır.

Yol boyunca yürürken, sol ayağınız sağ ayağınızla yarım periyot kadar zıt fazdadır. Bir fil cadde boyunca yürürken, peş peşe ayakları yere tam periyodun 0, %, /2 ve % evrelerinde çarpar; ilk arka sol, sonra ön sol, daha sonra arka sağ, sonra ön sağ. Takdir edersiniz ki saymaya farklı bir ayakla Odan başlasaydık, farklı sayılar elde edebilirdik; fakat evre farkları yine 0, U, /2 ve % olurdu. Dolayısıyla göreli evreler iyi tanımlıdır ve fiziksel olarak anlamlıdır.

yarım periyotluk evre kayması

Bir ışık demetinin karmaşık bir mercekler ve aynalar sistemi boyunca geçtiğini varsayalım. Onun davranış şeklinin tam evreye duyarlı olmadığı anlaşılır. Bir evre değişimi gözlem yapmada küçük bir zaman gecikmesine ya da gözlemcinin saatini sıfırlamasına eşdeğerdir. Bu, sistemin geometrisini ya da ışığın yolunu etkilemez. İki ışık dalgası üst üste binse bile, hiçbir şey değişmez; yeter ki iki dalga da evrelerini aynı miktarda kaydırmış olsun.

Buraya kadar, "evre değişimi" bir global simetridir. Fakat Andromeda Gökadasının bir yerinde uzaylı bir deneyci deneylerinden birinde ışığın evresini değiştirdiyse, yeryüzün-deki bir laboratuar içinde hiçbir etki duymayı beklemeyiz. Dolayısıyla uzay ve zamandaki tüm noktalarda yerel olarak ışığın evresi istenildiği gibi değiştirilebilir ve fizik yasaları değişmez kalır. Her uzayzaman noktasında evreyi keyfi şekilde -her yerde aynı değişmeyi yapma global sınırlaması olmaksızın- değiştirme olanağı, Maxwell denklemlerinin bir ayar simetrisidir ve bu simetri, bu denklemlerin kuantumlu haline, yani kuantum elektrodinamiğine de taşınır.

Bir tam titreşim periyodu kadar bir evre kayması, hiç evre kayması olmamasıdır ve bu demektir ki soyut durumda evreyi değiştirme bir dönmedir. Böylece burada içerilen simetri grubu -ayar grubu- iki boyutta dönme grubu olan SO(2)'dir. Bununla birlikte, fizikçiler kuantum koordinat dönüşümlerinin gerçel sayılarla değil de, karmaşık sayılarla tanımlanmış "üniter" olmasından hoşlanırlar. Şansımıza SO(2) grubu, karmaşık düzlemde dönmeleri betimleyen U(l) üniter grubu olarak da yazılabilir.

Kısacası, kuantum elektrodinamiği U(l) ayar grubuna sahiptir.

Ayar simetrileri fiziğin bir sonraki iki birleştirmesine ait anahtarlardır: elektrozayıf kuram ve kuantum renk dinamiği. Bunlar birlikte tüm temel parçacıkların şu anda kabul edilmiş kuramı olan "standart modelcini oluşturur. Bunun nasıl olduğunu görmeden önce, tam olarak neyin birleştirildiğini açıklamalıyız: kuramlar değil, kuvvetler birleştirilmektedir.

Bugünün fiziği doğada dört ayrı tür kuvvetin varlığını kabul etmektedir: kütleçekim, elektromanyetizma, zayıf çekirdek kuvveti ve yeğin çekirdek kuvveti. Bunlar çok farklı karakterdedir: farklı uzay ve zaman ölçeklerinde işlem yaparlar, bazıları parçacıkların birbirlerini çekmelerine, bazılarıysa onların birbirlerini itmelerine neden olurlar; bazıları parçacıklara bağlı olarak birbirlerini ya çeker ya da iterler; bazılarıysa parçacıkların birbirlerinden ne kadar uzak olduklarına bağlı olarak her ikisini de yaparlar.

îlk bakışta, her kuvvet diğerlerine çok az benzerlik taşır. Fakat yüzeyin altında bu farklılıkların göründüğünden de az önemli olduklarına dair işaretler vardır. Fizikçiler, tüm dört kuvvetin ortak bir açıklamaya sahip olduğunu ileri sürerek, daha derin bir birliğin varlığını açıklığa kavuşturdular.

Kütleçekimin sonuçlarını her zaman hissetmişizdir. Elimizden düşürdüğümüz bir tabak mutfağın tabanında kırıldığında, kütleçekimin onu dünyanın merkezine doğru çektiğini ve tabanın araya girdiğini görürüz. Buzdolabının kapısı üzerindeki plastik manyetik resimler (evet, evlerimizde bulabileceğimiz şeyler), Maxwell'in gösterdiği birleşik elektromanyetik kuvvetin sadece bir yüzü olan manyetik kuvvet sayesinde yerlerinde dururlar. Onun elektrik kısmı buzdolabını çalıştırır. Pek açık olmamakla birlikte, kırılan tabak da elektromanyetik kuvvetin sonuçlarını açığa vurur, çünkü bir madde yığınını bir arada tutmak için kimyasal bağlara etkiyen ana kuvvet budur. Tabak üzerine uygulanan baskı molekülleri bir arada tutan elektromanyetik kuvvetten çok daha büyük hale gelince, tabak kırılır.

Atom çekirdeği düzeyinde etkiyen geri kalan iki kuvvet, bu denli rahat görünmez; fakat onlarsız hiçbir şekilde madde var olamaz, çünkü atomları bir arada tutan onlardır. Tabak, manyetik plastikler, buzdolabı, taban ve mutfak bunlar nedeniyle vardır.

Diğer kuvvet türleri, ilke olarak başka türden evrenler oluşturabilirler ve böyle olasılıkları göz ardı etmemiz neredeyse geneldir, özel kuvvetlere sahip olmadığımız sürece, çoğunlukla yaşamın olanaksızlığı öne sürülür; kimi zaman evrenimizde yaşamı mümkün kılan şaşırtıcı derecedeki ince ayar bunun kanıtı olarak gösterilir. Bu sav, yaşamı oluşturan şeylerin aşın sınırlı bir görüşüne dayanan bir düzmecedir. Bizimki gibi bir yaşam olanaksız olabilir; fakat bizim türden bir yaşamın var olabilecek tek organize karmaşık yaşam türü olacağının varsayılması böbürlenmenin son kertesidir. Buradaki yanılgı, yaşam için yeterli koşulların (bizim yaşam türümüzün dayandığı bizim evrenimizin görünüşleri) gerekli olan koşullarla karıştırılmış olmasıdır.

Bilimsel olarak formüle edilecek dört kuvvetin ilki küt-leçekimdir. Newton'm gözlediği gibi, bu bir çekici kuvvettir: Newton evrendeki her iki parçacığın birbirlerini kütleçe-kimsel olarak çektiğini söylemişti. Kütleçekim kuvveti uzun-erimlidir: uzaklıkla oldukça yavaş şekilde azalır. Diğer taraftan, kütleçekim kuvveti diğer üç kuvvetten çok çok zayıftır: tüm Yer küremiz şu plastik manyetik resimleri kütleçekim kuvvetiyle aşağı çekmeye çalıştığı halde bile, ufacık bir mıknatıs bu plastik resimleri buzdolabına sıkıca bağlayabilir.

Ayırt edilecek ikinci temel kuvvetse elektromanyetizmadır: onun etkisi altında parçacıklar birbirlerini ya çekerler ya da iterler. Bu ikisini ayırt eden şey, parçacıkların aynı elektrik yüküne ya da aynı manyetik kutupluluğa sahip olup olmamasıdır. Aynı yük ya da aynı kutupluluğa sahipseler, kuvvet itici; değilseler çekicidir. Bu kuvvet de uzun-erimlidir.

Bir atomun çekirdeği daha küçük parçacıkların -protonlar ve nötronlar- bir araya gelmesiyle oluşmuştur. Nötronlar, adı üstünde, [net] elektrik yüküne sahip değildirler, ama protonlar pozitif yüklüdür. Protonlar arasındaki elektromanye-

tik itme çekirdeğin patlamasına neden olmalıydı. Ama onları bir arada tutan nedir? Kütleçekim aşırı zayıftır; plastik resimleri düşünün. Bir başka kuvvet olmalıdır: fizikçiler bunu yeğin çekirdek kuvveti olarak etiketlediler.

Fakat yeğin kuvvet elektriksel itmeyi yenebiliyorsa, neden evrendeki tüm protonlar devasa bir atom çekirdeği içine sürüklenmemişlerdi. Açıkça anlaşılıyor ki yeğin kuvvetin etkisi çekirdek boyutundan daha büyük mesafelerde hızla azalmalıdır, öyleyse yeğin kuvvet kısa-erimlidir.

Yeğin kuvvet radyoaktif bozunma olayını açıklamaz, bu olayda belirli elementlerin atomları parçacıklar ve ışınım "püskürterek" farklı elementlere dönüşürler, örneğin, uranyum radyoaktiftir ve en sonunda kurşuna dönüşür, öyleyse başka bir atom-altı kuvvet daha var olmalıdır. Bu, zayıf kuvvettir ve yeğin kuvvetten daha bile kısa-erimlidir: ancak bir protonun boyutunun binde biri kadarlık bir mesafesinde etki eder.

Maddenin yapı taşlan sadece protonlar, nötronlar ve elektronlar olduklarında, fizik çok daha kolaydı. Bu "temel parçacıklar" atomun bileşenleriydi; atom adı "bölünemez" anlamına gelse de, o terlemekte ve parçalanmaktaydı. Niels Bohr'un ilk modelinde, atom, proton ve nötronlann sıkışık bir topluluğu ve onun etrafında uzak yörüngelerde dolanan hafif elektronlar olarak hayal edilmişti. Proton pozitif elektrik yükü taşımaktaydı, elektronsa aynı miktarda fakat negatif yüke sahipti ve elektron elektrikçe yüksüzdü.

Daha sonra, kuantum kuramı geliştikçe, bu güneş-siste-mi görüntüsü yerini daha incelikli bir sisteme bıraktı. Elektronlar iyi-tanımlı parçacıklar olarak çekirdek çevresindeki yörüngelerde dolanmayıp, fakat kendileri bir bakıma çekirdeğin etrafında ilginç şekilli bulutlar içine dağılmış halde bulunuyorlardı. Bu bulutlar iyi bir biçimde olasılık bulutları olarak yorumlanmışlardı. Bir elektrona bakıyorsanız, onu bulutun daha yoğun bölgelerinde daha büyük ve daha seyrek bölgelerinde daha küçük olasılıkla buluyordunuz.

Fizikçiler atomu incelemek, onu parçalara ayırarak bu parçaların daha derinlerdeki yapılarını yoklamak için yeni

BEŞ BOYUTLU ADAM

yollar icat ettiler. Hâlâ kullanılan esas yöntem, bir başka atom ya da parçacığı ona çarptırmak ve ondan koparak uçup gidenleri gözlemektir. Zamanla, gitgide artan farklı parçacık türleri bulundu; öykü ayrıntılı anlatım için aşın karmaşıktır. Örneğin milyonlarca mil kalınlığındaki kurşunu engelsiz geçebilen ve dolayısıyla saptanması çok çok zor olan nötrino vardır. Dirac'm madde/karşı-madde simetrisi aracılığıyla öngördüğü elektron gibi, fakat zıt elektrik yüklü pozitron vardır.

"Temel" parçacıklann sayısı altmışı geçince, fizikçiler daha derin sıralama ilkeleri aramaya başladılar. Onlar için temel olabilecek aşın çok sayıda yapı taşlan vardı ortalıkta. Her parçacık tipi bir dizi özellikle karakterize edilebilirdi: kütle, yük, "spin" denen bir şey, çünkü parçacıklar sanki bir eksen etrafında dönüyorlarmış gibi davranmaktaydı (ama bu sadece eski moda bir görüntüydü ve spin her neyse oydu, ama gerçekte bu değildi). Parçacıklar Yer gibi ya da bir topaç gibi uzayda dönmüyorlardı. Onlar çok daha egzotik boyutlarda "dön dön" ederlerdi; bu ne anlama geliyorsa!

Bu özelliklerin çoğu, kuantum dünyasındaki her şey gibi, temel, çok küçük miktarların -kuantümlann- tam katlarında ortaya çıkmaktaydı. Tüm elektrik yükleri, bir protonun üzerindeki yükün tam katlarıydı. Tüm spinler, bir elektronun spininin tam katlarıydı. Kütlenin benzer şekilde kuantumlu olup olmadığı açık değildi; temel parçacıkların kütleleri yapışız bir karmaşaydı.

Bazı aile benzerlikleri su yüzüne çıkmıştı. Önemli bir ayrım, spini elektron spininin tek tamsayı katlan olan parçacıklar ile çift tamsayı katlan olan parçacıklar arasında yapılmalıydı. Bunun nedeni simetri özelliklerine dayanmaktaydı; parçacıklan uzayda döndürürseniz, spinler (şu egzotik boyutlardaki) farklı şeyler yaparlar. Bir bakıma spinin egzotik boyuttan ve uzayın bayağı boyuttan birbirleriyle bağlantılıdır.

Parçacık fiziğinin iki devi, Enrico Fenni ve Satyendranath Bose’a izafeten, buçuklu spinli parçacıklar fermiyon ve tam spinli parçacıklar bozon adını almıştı. Bir zamanlar uygun görülmüş nedenlerle, elektron spini V2 değerine sahip olarak tanımlanır. Böylece bozonlar tamsayı spine (te'nin çift katlan tamsayılardır) ve fermiyonlar 1/2, 3/2, 5/2, vb (-1/2, -3/2,

-5/2 gibi negatifleriyle birlikte) gibi buçuklu spine sahiptirler. Fermiyonlar Pauli dışarlama ilkesine uyarlar; buna göre, kurallarla belirlenmiş her kuantum sisteminde, iki fermiyon aynı anda aynı durumda bulunamaz. Bozonlar Pauli ilkesine uymazlar.

Fermiyonlar bilinen tüm parçacıkları içerir: proton, nötron ve elektron tümü fermiyondur. Müon, tau, lambda, sigma, xi ve omega gibi çok daha özel parçacıklar da fermiyondur; tüm bu isimler Yunan alfabesinden türetilmiştir. Elektron, müon ve tauyla ilişkili üç tür nötrino da fermiyondur.

Bozonlar, piyon, kaon ve eta adlarıyla, daha da gizemlidirler.

Parçacık fizikçileri bu parçacıkların tümünün var olduklarını bilirler ve onların fiziksel niteliklerini ölçebilirlerdi. Sorun, bu görünür keşmekeşi anlamlandırmaktı. Evren elde olanlardan mı yaratılmıştı? Yoksa bir gizli plan mı vardı?

Bu tartışmaların sonucunda, pek çok sözde temel parçacığın aslında birleşik oldukları anlaşıldı. Onlar tümüyle kuarklardan yapılmıştı. Kuarklar (isim, James Joyce'un Fin-negans Wake romanından alınmadır) keyfi adlarla altı farklı çeşni halinde ortaya çıkmaktadır: yukarı, aşağı, acayip, tılsımlı, üst ve alt. Hepsi ¥z spinli fermiyonlardır. Her biri ilgili bir karşı-kuarka sahiptir.

Kuarkları birleştirmenin iki yolu vardır. Biri, üç normal kuark kullanmaktır; bu durumda bir fermiyon elde edersiniz. Proton, iki yukarı kuark artı bir aşağı kuarktan oluşur. Nötron, iki aşağı artı bir yukarı kuarktır. Omega-eksi denen tuhaf bir parçacık, üç acayip kuarktan meydana gelir. Diğer yol, bir kuark ve bir karşı-kuark kullanmaktır; bu bir bozon verir. Bunlar birbirlerini yok etmezler, çünkü çekirdek kuvvetleriyle ayrı tutulurlar.

Elektrik yüklerinin doğru çözümlemek için, kuarklar üzerindeki yükler tamsayı olamaz. Bazıları % yüke, bazılarıysa % yüke sahiptir. Kuarklar üç farklı "renk"te ortaya çıkar. Dolayısıyla, 18 kuark türü ve 18 karşı-kuark türü vardır. Aslında dahası da var. Kuarkları bir arada tutan zayıf çekirdek kuvvetini "taşımak" için biraz daha fazla parçacık eklemeliyiz. Parçacıkların çokluğuna karşın büyük bir matematiksel

zarafete sahip olan sonuçtaki kuram kuantum renk dinamiği olarak bilinir.

Kuantum kuramı, tüm fiziksel kuvvetleri parçacıkların de-ğiş-tokuşu cinsinden açıklar. Tıpkı tenis topunun kortun zıt uçlarındaki iki oyuncuyu, oyun sürdüğü sürece, salıvermeden tutuğu gibi, çeşitli parçacıklar da elektromanyetik, yeğin ve zayıf kuvvetleri taşırlar. Elektromanyetik kuvvetler fotonlar tarafından taşınır. Yeğin kuvveti gluonlar ve zayıf kuvveti de ara vektör bozonlan -namı diğer "weakonlar"~ taşır. (Beni ayıplamayın; bu adlan ben icat etmedim; onların çoğu tarihsel anza-lardır.) Nihayet, kütleçekimin graviton denen varsayımsal bir parçacık tarafından taşındığı yaygın şekilde tahmin edilmektedir. Hiç kimse henüz bir graviton gözlemiş değildir.

Tüm bu taşıyıcı parçacıklann büyük-ölçekli etkisi, evreni "alanlar"la doldurmaktır. Kütleçekimsel etkileşmeler bir kütleçekim alanı yaratır, elektromanyetik etkileşmeler bir elektromanyetik alan ve iki çekirdek kuvveti birlikte, Chen Ning Yang ve Robert Milis adlı fizikçilere izafeten, Yang-Mills alanı denen bir alan yaratır.

Temel kuvvetlerin ana niteliklerini fizikçinin bir tür alışveriş listesi halinde şöyle özetleyebiliriz:

• Kütleçekim: Şiddeti 6x1ü"39, erimi sonsuz, gravi-tonlar tarafından taşınır (gözlenmemiştir, kütlesi 0, spini ¥2 olmalıdır), kütleçekim alanı oluşturur.

• Elektromanyetizma: Şiddeti 10~2, erimi sonsuz, fotonlar tarafından taşınır (kütle 0, spin %), elektromanyetik alan oluşturur.

• Yeğin kuvvet: Şiddeti 1, erimi 10-15 metre, gluonlar tarafından taşınır (kütle 0, spin 1), Yang-Mills alanının bir bileşenini oluşturur.

• Zayıf kuvvet: Şiddeti HT®, erimi 10~18 metre, wea-konlar tarafından taşınır (çok büyük kütle, spin 1), Yang-Mills alanının diğer bileşenlerini oluşturur.

36 temel parçacık artı çeşitli gluonlann altmış ya da daha fazla sözde parçacık üzerine büyük bir ilerleme olma-

GÜZELLİK NEDEN GERÇEKLİKTİR

dığı hissine kapılabilirsiniz; fakat kuarklar çok anlamlı bir simetriyle son derecede iyi yapılı bir aile oluştururlar. Onlar aynı tema üzerine kurulmuş çeşitlemelerdir; kuarklar keşfedilmeden önce fizikçilerin uğraşmak zorunda kaldıkları yabanıl parçacıklar bahçesinden tamamıyla farklı.

Temel parçacıkların kuarklar ve gluonlar cinsinden betimlenmesi, standart model olarak bilinir. Deneyle aşın iyi şekilde uyuşur. Bazı parçacıkların kütlelerinin bazıları gözlemlerle uyuşmak için ayarlanmalıydı; fakat bu yapıldıktan sonra tüm diğer kütleler tertemiz olarak yerlerine oturur. Mantık döngüsel değildir.

Kuarklar çok sıkı şekilde bir araya bağlanırlar ve asla tek başına bir kuark göremezsiniz. Tek gözleyebileceğiniz, ikili ve üçlü bileşimlerdir. Bununla birlikte, parçacık fizikçileri kuarklann varlığını dolaylı olarak doğruladılar. Onlar sadece bahçe üzerinde zarif bir sayısal çeşitleme değildir. Evrenin özünde güzel olduğuna inananlar için, kuarklann simetri özellikleri bunu kökünden halleder.

Kuantum renk dinamiği uyarınca, bir proton üç kuarktan oluşur: iki yukan, bir aşağı kuark. Kuarklan bir protondan söker, kanştınr ve onlan geri koyarsanız, hâlâ bir protona sahipsinizdir. Buna göre, protonlar için yasalar, yapıtaşlan olan kuarklann permütasyonlan altmda simetrik olmalıdır. Daha da ilginci, yasaların aynca kuark tipinin değişimi altmda da simetrik olduğu anlaşılmıştır. Bir yukan kuarkı diyelim ki bir aşağı kuarka dönüştürebilirsiniz ve yasalar hâlâ işler.

Bu demektir ki buradaki gerçek simetri grubu sadece üç kuarkın altı permütasyonunun grubu değil, fakat yakından ilgili bir sürekli grup, Killing'in listesindeki basit gruplardan birisi, SU(3)'tür. SU(3)'teki dönüşümler doğa yasalan-nın denklemlerini değişmez bırakır, fakat bu denklemlerin çözümlerini değiştirebilirler. SU(3)'ü kullanarak, örneğin bir protonu bir nötrona "döndürebilir"siniz. Tüm yapmanız gereken, onun kuarklannın tümünü yukan aşağı döndürmektir; böylece iki yukan ve bir aşağı, iki aşağı ve bir yukan

hale gelir. Fermiyonlann dünyası SU(3) simetrisine sahiptir ve simetriler bir fermiyonu diğerine değiştirerek etki eder.

Başka iki simetri grubu daha standart modele katkı yapar. Zayıf kuvvetin ayar simetrileri, SU(2) bir elektronu bir nötrinoya değiştirebilir. SU(2) Killing'in listesindeki bir diğer gruptur. Ve bizim eski yoldaşımız elektromanyetik alan U(l) simetrisine sahiptir: Maxwell denklemlerinin Lorentz simetrileri değil, evre değişimlerinin yerel ayar simetrisi. Bu grup Killing'in listesinde atlanmıştır; çünkü o SU(1) değildir, fakat çok yakın akraba olması nedeniyle o manevi açıdan listededir.

Elektrozayıf kuram, onların ayar gruplarını bir araya getirerek, elektromanyetizma ve zayıf kuvveti birleştirmişti. Standart model, yeğin kuvveti de kapsamına alarak, tüm temel parçacıkların tek bir kuramını oluşturur. Bunu çok açık bir tarzda yapar: üç ayar grubunu da SU(3)xSU(2)xU(l) şeklinde bir araya toplar. Bu kurgulama basit ve dümdüzdür, ama pek de hoş değildir; standart modeli sakız ve ipten inşa edilmiş bir şeye benzer kılar.

Bir golf topu, bir düğme ve bir kürdanınız olduğunu düşünün. Golf topu SO(3) küresel simetrisine sahiptir, düğmenin SO(2) dairesel simetrisi vardır ve kürdan (deyin ki) bir tek 0(1) yansıma simetrisine sahiptir. Bu üç tip simetriye sahip bir birleşik cisim bulabilir misiniz? Evet, bulabilirsiniz: bu üçünü bir kese kâğıdına koyun. Şimdi kese kâğıdının içeriğine golf topunu döndürerek S0(3)'ü, düğmeyi döndürerek S0(2)'yi ve kürdanı çevirerek O(l)'i uygulayabilirsiniz. Kese kâğıdının içeriğinin simetri grubu SO(3)xSO(2)xO(l)'dir. Standart modelin simetrileri birleştirmesi işte böyledir, fakat dönmeleri kullanmak yerine, kuantum mekaniğinin "üniter dönüşümleri" kullanılmaktadır. Aynı kusura katlanılmaktadır: Üç sistem bir araya toplanmakta ve onların simetrileri, apaçık (ve oldukça bayağı) bir şekilde birleştirilmektedir.

Üç simetri grubunu birleştirmek için çok daha ilginç bir yol, aynı cisimleri içine alan fakat kese kâğıdından çok daha şık olan bir şey inşa etmek olabilirdi. Belki de kürdanı golf topunun üzerine dengeye oturtabilir ve kürdanın ucuna düğmeyi tuttururdunuz. Bir tekerleğin çubukları gibi kürdanlar-

dan bütün bir sisteme bile sahip olabilir; düğmeyi tekerleğin göbeğine koyar ve tekerleği golf topunun tepesinde döndürürdünüz. Gerçekten zekiyseniz, belki de birleşik cisim pek çok simetriye, diyelim ki K(9) grubuna sahip olabilirdi. (Böyle bir grup yok, onu bu tartışma uğruna ben oluşturdum.) Ayrı ayrı SO(3), SO(2) ve 0(1) gruplan, şansına, K(9)'ün alt-gruplan olabilirdi. Bu, golf topu, düğme ve kürdanı birleştirmek için çok daha etkileyici bir yol olabilirdi.

Fizikçiler standart model için aynı şeyi düşünmüşler ve K(9)'un Killing'in listesinde ya da ona yakın bir şey olmasını istemişlerdi, çünkü Killing'in gruplan simetrinin temel yapı bloklarıydı. Böylece onlar, kısaca GUT denilen Büyük Birleştirme Kuramlannm (Grand Unified Theory) SU(5), 0(10) gruplanna ve Killing'in gizemli E6 grubuna dayanan bütün bir dizisini bulmuşlardı.

GUT'lar Kaluza-Klein kuramıyla aynı kusurdan zarar görüyor gibiydi: sınanabilir öngörülerden yoksunluk. Fakat daha sonra gerçekten ilginç bir öngörü ortaya çıkmıştı. Kesinlikle yeni bir öngörüydü, öylesine yeni ki gerçek olması olanaksızmış gibiydi, fakat sınanabilir bir şeydi. Tüm GUT'lar protonun bir elektrona ya da bir nötrinoya "döndürülebileceğini" öngörür, öyleyse protonlar kararsızdır ve uzun dönemde evrendeki tüm madde ışınıma bozunmalıdır. Hesaplamalar, bir protonun ömrünün, ortalama olarak, 1029 yıl dolayında olması gerektiğini göstermişti: evrenin yaşından çok daha uzun. Fakat tek tek protonlar bazen çok daha erken bozunabilir ve eğer yeterince protonunuz olursa, birinin bozunduğunu görebilirsiniz.

Büyük bir su tankı, her yıl birkaçının bozunmasına yetecek kadar çok protona sahiptir. 1980'lerin sonlarında, hepsi bozunan bir proton görmeye çalışan, işler halde altı deney vardı. En büyük tank aşın derecede saf 3000 tonun üzerinde su içermekteydi. Hiçbiri bir proton bozunumunu göremedi. Bir adet bile değil. Bu, ortalama ömrün en azından 1032 yıl olması demekti. Protonlar GUT'lann öngörüsünden en azından bin kez daha uzun yaşamaktadır. GUT'lann sorunu sadece bu değildi. Geçmişe bakarak, proton bozunumu saptan-

saydı, bu biraz can sıkıcı olabilirdi, çünkü çok önemli bir şey noksandı GUT'larda: kütleçekim.

Ortaya atılan bir Her Şeyin Kuramı, neden dört temel kuvvetin var olduğunu ve onlann niçin sahip olduklan tuhafya-pılan aldıklarını açıklamalıdır. Bu biraz bir fil, bir kanguru, bir kuğu ve bir sivrisinek arasındaki bir ailevi benzerliği bulmaya çalışmak gibidir.

Eğer dördünün de bir tek kuvvetin farklı görünüşleri ol-duklan gösterilebilseydi, dört kuvveti düzene sokmak çok daha kolay olurdu. Biyolojide, bu başanlmıştı: fil, vombat (Avustralya'ya özgü keseli bir hayvan), kuğu ve sivrisinek, bunların tümü, DNA'lanyla birleşik olarak, Hayat Ağacmm üyeleridir ve DNA'nın çok uzun bir tarihsel değişimler dizisi vasıtasıyla ayırt edilirler. Dördü de bir milyar ya da iki milyar yıl önce yaşamış ortak bir atadan, adım adım, evrimleşmişlerdi.

Fillerle vombatlann ortak atalan, diyelim ki, fillerle ku-ğulannkinden çok daha yakın zamanlarda ortaya çıkmıştı. Böylece bu aynlmayı, bu dört türün hayat ağacının en yakın dallanması yaratmıştı. Ondan önce, fillerle vombatlann ortak atası kuğunun atasmdan aynlmıştı. Daha da önce, bu üç türün ortak atası sivrisineğinkinden aynlmış bulunmaktaydı.

Yeni türlerin üremesi bir cins simetri bozulması olarak görülebilir. Bir tek tür, onun organizmalannm herhangi bir permütasyonu altında (yaklaşık olarak) simetriktir; her vombat diğer her vombata benzer, iki ayn tür -vombatlar ve filler-olduğu zaman, vombatlan kendi aralannda değiş-tokuş edebilirsiniz ve filleri de değiş-tokuş edersiniz; fakat bir fili bir vombata dönüştürmeyi, birileri fark etmeden, yapamazsınız.

Dört kuvvetin temelindeki birliğin fizikçilerce açıklanışı, buna benzemektedir. Burada DNA'nın rolü evrenin sıcaklığı -yani, onun enerji düzeyi- tarafından oynanır. Doğanın temel yasaları tüm zamanlarda aynı olsa da, onlar farklı enerjilerde farklı davranışa yol açarlar; tıpkı aynı yasaların, suyu düşük sıcaklıklarda buza, orta sıcaklıklarda sıvıya ve yüksek sıcaklıklarda gaza dönüştürmesi gibi. Çok yüksek sıcaklıklarda, su molekülleri, ayrı ayrı parçacıklardan ibaret bir

plazma oluşturmak üzere parçalara ayrılır. Daha da yüksek sıcaklıklarda, bu parçacıkların kendileri kuark-gluon plazması oluşturmak üzere parçalanırlar.

sivrisinek kuğu vombat fil

Zaman geçtikçe, dört türün ayrılışı.

şimdi

geçmiş

Evren 13 küsur milyar yıl önce Büyük Patlamayla ilk kez var olduğunda, muazzam derecede sıcaktı. Önce dört kuvvetin dördü de tam olarak aynı şekilde etkileşmekteydi. Fakat evren soğudukça, simetrisi bozulmuş ve kuvvetler ayırt edilebilir nitelikleriyle kendi "kişiliklerine" ayrılmışlardı. Şu anki evrenimiz, dört kuvvetiyle, o hoş özgün halinin kusurlu bir gölgesidir; üç bozulmuş simetrisiyle.

kütleçekim yeğin zayıf elektromanyetik

{Şimdi

geçmiş

Zaman geçtikçe, dört temel kuvvetin birbirlerinden ayrılışı.

POLİTİK GAZETECİ

Haziran 1972'de, Birleşik Devletler'in başkanlık seçimi yarışı sırasında, Watergate işmerkezinde bir güvenlik görevlisi bir kapının bantlanmış olarak açık kaldığını fark etmişti. Çalışanlar tarafından kazara bırakılmış olabileceğini düşünerek bandı kaldırmıştı, fakat geri döndüğünde, birisi onu geri koymuştu. Kuşkulan artan güvenlik görevlisi polise haber vermiş ve polis de Demokrat Partinin ulusal komitesinin ofislerini kırıp içeri giren beş kişiyi yakalamıştı. Bu adamların Başkan Nixon'm yeniden seçilmesi komitesiyle ilişkili olduklan anlaşılmıştı.

Bu olay seçimin kendisi üzerinde pek az etki yaratmış, Nixon ezici bir seçim zaferi kazanmıştı. Fakat olanlar unu-tulamazdı ve VVatergate olayının hassas lifleri Nixon yönetiminde gitgide daha yükseklere uzanmıştı. VVashington Post gazetesinden iki gazeteci, Bob Woodward ve Cari Bemstein, öyküyü, "Derin Gırtlak"m sızdırdığı bilgilerin de yardımıyla, inatçı bir azimle kovuşturdular. Onun kim olduğunu kimse bilmiyordu, fakat çok üst düzey bir görevli olduğu açıktı. 2005'te Derin Gırtlağın FBI'ın başkan yardımcısı Mark Felt olduğu açıklanacaktı.

Derin Gırtlağın basına sızdırdığı bilgi fevkaladeydi. Nisan 1974'te Nixon iki üst düzey yardımcısının istifasını istemeye zorlanmıştı. Çok geçmeden başkanın kendi ofisine dinleme cihazı yerleştirmiş olduğu anlaşılmıştı ve hassas konuşmaların kaydedilmiş bantları vardı. Bantlardaki bilgilere yasal olarak girme mücadelelerinden sonra, bazı bantlarda kasıtlı silinme sonucu boşluklar bulunmuştu.

Bilgi hırsızlığı ile Beyaz Saray arasındaki ilişkiyi açığa çıkarma girişimi, neredeyse herkes tarafından hırsızlığın kendisinden daha kötü bir suç olarak algılandı. Temsilciler Meclisi, başkanın suçlanmasına yol açabilecek resmi bir süreç başlattı: ABD Senatosu önünde "ağır suçlar ve kabahatler" için yargılama ve suçlu bulunursa, başkanlıktan uzaklaştırma. Suçlama ve suçlu bulunma kaçınılmaz hale gelince, Nixon istifa etmişti.

Nixon'm seçimdeki rakibi Senatör McGovern'dı. Güney Dakota Eyaletinin Sioux Falls'den Demokratların adayı olduğunu ilan ettiğinde, McGovem gelecek için isabetli bazı düşünceler belirtmişti:

Bugün, vatandaşlarımız artık kendi yaşamlarını diğer eş vatandaşlarıyla bir arada şekillendirebileceklerinden emin değiller. Bunun da ötesinde, liderlerimizin doğru sözlülüğüne ve sağduyusuna karşı güvenleri kaybolmuştur. Amerikan politik sözlüğünde en acı yeni ifade “güven boşluğu"dur: politikacının söylediği ile yaptığı şeyler arasındaki fark. Dobra dobra söylersek, bu demektir ki halk liderlerin onlara söylediklerine artık inanmamaktadır.

McGovern'm kampanyasında ikinci dereceden kişiler arasında bir politik gazetecilik heveslisi vardı; McGovem kazandığı takdirde, büyük olasılıkla mesleğinden olurdu. Tarih böyle değişseydi, politika daha zengin olabilirdi, fakat temel fizik ve ileri matematik çok daha zayıf kalırdı. Gerçek haliyle seyreden tarihin 2004 yılında, bu gazeteci Time dergisi tarafından yılın en etkin yüz kişisinden biri olarak liste-lenmişti; ama gazeteciliği nedeniyle değil.

Bunun yerine, matematiksel fiziğe çığır açan katkıları nedeniyle listedeydi. O dünyadaki en özgün matematiğin bir kısmından sorumludur -bunun için, matematikte Nobel ödülüne eş saygınlıkta, en yüksek onur sayılan Fields Madalyasını kazanmıştı- fakat o bir matematikçi değildir. O dünyanın önde gelen kuramsal fizikçilerinden biridir ve Ulusal Bilim Madalyasıyla ödüllendirilmiştir, fakat ilk diploması tarih bölümündendi. O, gayet özgün bir mucit olmasa da,

tüm fiziği birleştirme çabasında şu anda yarışı önde götüren itici güçtür. Eskiden Einstein'm çalıştığı, Princeton'daki İleri Çalışmalar Enstitüsünde Charles Simonyi matematiksel fizik profesörüdür ve adı Edvvard VVitten'dır.

Yoksul Dirac'tan farklı olarak, büyük Alman kuantum kuramcıları gibi Witten da entelektüel bir ortamda büyümüştü. Babası Louis Witten da genel görelilik ve kütleçekim üzeride çalışan bir fizikçiydi. Edvvard Maryland'm Baltimore kentinde doğmuş ve ilk derecesi için Brandies Üniversitesinde okumuştu. Nixon'm tekrar seçilmesinden sonra, Princeton Üniversitesinden doktorasını alarak yeniden akademik hayata dönmüş ve çeşitli Amerikan üniversitelerinde araştırma ve öğretim kariyeri işine koyulmuştu. 1987'de, tüm akademik görevleri sadece araştırmaya odaklanmış olarak, İleri Çalışmalar Enstitüsüne atanmıştı ve şu anda çalıştığı yer hâlâ orasıdır.

Witten araştırmaya, kuantum kuramının görelilikle uyuşturulması çabalarının ilk meyveleri olan kuantum alan kuramıyla başladı. Burada hareketin göreli etkileri sadece düz uzayzamanda dikkate alınmıştı. (Eğri uzayzamanı gerektiren kütleçekim hesaba katılmamıştı.) Witten, 1998'deki bir Gibbs konferansında, kuantum alan kuramının "kütleçekim dışında, bildiğimiz fizik yasalarını kapsamakta olduğunu; yetmiş yılda 'karşı-madde' kuramından... atomların daha kesin be-timlenişine . . . 'parçacık fiziğinin standart modeli'ne kadar uzanan birçok kilometre taşı bulunduğunu" söyledi. Gelişmenin büyük ölçüde fizikçiler tarafından gerçekleştirilmiş olduğuna işaret ederek, bunun çoğunun matematiksel özenden yoksun bulunduğuna ve dolayısıyla matematik üzerinde böyle çok az etki yarattığına değindi.

Bu noksanlığı gidermenin zamanı geldi dedi Witten. Kuramsal matematiğin asıl alanları, etkin olarak kuantum alan kuramı kılığındaydı. Witten'ın kendi katkısı olan "topolojik kuantumlu alan kuramlan"nın keşfi ve analizi, çeşitli kuramsal matematikçilerin çok farklı kurgularında icat edilmiş kavramlar cinsinden direkt bir yoruma sahiptiler. Bunlar İngiliz matematikçi Simon Donaldson'm dört-boyutlu uzay

pek çok farklı "diferansiyellenebilir yapı"yı -içinde diferansiyel ve integral hesabın gerçekleştirilebileceği koordinat sistemi- destekleme açısından tek ve biriciktir diyen epik keşfini kapsamaktaydı. Diğer bakış açıları, düğüm kuramında Jones çokterimlileri olarak bilinen, çok-boyutlu karmaşık yüzeylerde "ayna simetrisi" denen son günlerin çığır açıcı bir buluşu ve çağdaş Lie kuramının birkaç alanıdır.

Witten cesur bir öngörüde bulunmuştu: 21. yüzyılın matematiğinde, kuantum alan kuramından fikirlerin matematiksel ana akım içine katılması asıl tema olabilir:

Burada göz alabildiğine geniş bir dağ silsilesine sahibiz, onun pek çok yeri hâlâ sisle kaplıdır. Sadece bulutların üzerine ulaşan en yüce doruklar bugünün matematik kuramlarında görünür ve bu muhteşem doruklar tek başlarına incelenirler . . . Temel kayası kuantum alan kuramı ve geniş gövde matematiksel hazineler olmak üzere, silsilenin büyük kısmı hâlâ siste kaybolmuş vaziyettedir.

Witten'a Fields Madalyası, onun bu gizli hâzinelerden birkaçını ortaya çıkarmış olmasını kutlamak üzere verildi. 'Pozitif yerel kütle yoğunluklu bir kütleçekimsel sistemin pozitif toplam kütleye sahip olması gerekir' sonucu için "pozitif kütle varsayımı"nın yeni ve gelişmiş bir ispatı bunlar arasındadır. Bu aşikâr gibi tınlayabilir, fakat kuantum dünyasında kütle çok incelikli bir kavramdır. 1979'da Richard Schoen ve Shing-Tung Yau tarafından yayımlanmış olan bu uzun-süredir-aranan sonucun ispatı, 1982'de Yau'ya bir Fi-elds Madalyası kazandırmıştı. Witten yeni ve gelişkin kanıtında, matematikteki önemli bir probleme ilk uygulanışı olarak, "süpersimetri" kavramından yararlanmıştı.

Süpersimetriyi, 'ağzı dairesel, kare ya da üçgensel olabilen bir şişeye uyabilecek bir mantar tıpa bulun' şeklindeki eski bir bilmece cinsinden anlayabiliriz. Şaşırtıcı bir şekilde, böyle biçimler gerçekten vardır ve geleneksel yanıt, uca doğru incelen kısmı kama şeklinde olan dairesel tabanlı bir

POLİTİK GAZETECİ

tıpadır. Aşağıdan bakıldığında bir daire gibi görünür; önden bakıldığında bir karedir; yandan bakıldığında bir üçgendir. Bir tek biçim üç işi de yapabilir, çünkü ûç-boyutlu bir cisim farklı doğrultularda birkaç farklı “gölge"ye ya da izdüşüme sahip olabilir.

Şimdi, aşağıdaki çizimimin "tabanı'nda yaşayan bir Yas-sıülkeli tıpanın tabana olan izdüşümünü gözleyebilir, fakat diğer izdüşümlerden haberdar değildir. Bir gün dairesel biçimin bir şekilde bir kareye dönüştüğünü şaşarak keşfeder. Bu nasıl olabilir? Bu kesinlikle bir simetri değildir.

Yassıülke'de değildir. Fakat Yassıülkelinin sırtı döndürülürken, üç-boyutta yaşayan biri tıpayı öyle döndürmüştü ki onun tabana izdüşümü bir kareye değişmişti. Dönme üç-boyutta bir simetri dönüşümüdür. Dolayısıyla yüksek boyuttaki bir simetri bazen bir düşük boyuttaki oldukça şaşırtıcı bir dönüşümü açıklayabilir.

Süpersimetrinin işleyişi. Solda: Üç delik biçimine uyacak bir tıpa. Sağda: Tıpayı döndürmenin etkisi.

Süpersimetride de çok benzer bir şey olur; sadece dairelerin karelere değişmesi yerine, o fenniyonlan bozonlara dönüştürür. Bu şaşırtıcıdır. Bu demektir ki fermiyonlarla hesaplar yapabilir ve sonra her şeyi bir simetri işlemiyle vurup fazladan hiçbir çaba harcamadan bozonlar için sonuçlar çıkarırsınız. Ya da bunun tersi.

Hakiki simetrilerle bu tür şeylerin olmasını bekleriz. Bir aynanın karşısında durup birkaç topla hokkabazlık yapar-

sanız, aynanın sizin tarafınızda olanlar şeyler, diğer tarafta olanları tam olarak saptar. Orada, sizin görüntünüz, topların görüntüleriyle hokkabazlık yapmaktadır. Aynanın gerçek tarafındaki bir hokkabazlıklar dizisinin tamamlanması 3,79 saniye alırsa, hiçbir ölçüm yapmadan bilirsiniz ki diğer taraftaki karşılık gelen hokkabazlıklar dizisinin tamamlanması da 3,79 saniye alacaktır. İki durum bir yansıma simetrisiyle bağlantılıdır; birinde ne oluyorsa, diğerinde de, yansımış olarak, o olacaktır.

Süpersimetriler bu kadar aşikâr olmamakla birlikte, benzer bir etkiye sahiptirler. Onlar bir parçacık tipinin özelliklerini, tamamen farklı bir tipin özelliklerinden çıkarmaya izin verirler. Bu, neredeyse, sanki evrenin daha yüksek boyutlu bir bölgesine ulaşıyorsunuz ve bir fermiyonu bir bozona büküyorsunuz gibidir. Parçacıklar süpersimetrik çiftler halinde ortaya çıkarlar: Sıradan bir parçacık, sparçacık denen bükülmüş biçimiyle eşleşir. Elektronlar selektronlarla çift oluştururlar, kuarklar da skuarklarla. Tarihsel nedenlerle, foton sfotonla ikiz oluşturmayıp, fotinoyla ikiz oluşturur. Sparçacıkların sıradan dünyayla sadece zayıf olarak etkileşen bir tür "gölge dünyası" vardır.

Bu düşünce çok şık bir matematik meydana getirir, fakat bu öngörülen gölge parçacıkların kütleleri onları deneylerde gözlemek için aşırı derecede büyüktür. Süpersimetri güzeldir, fakat gerçek olmayabilir. Ama direkt şekilde doğrulanması söz konusu olmasa bile, hâlâ dolaylı doğrulama mümkündür. Bilim esas olarak kuramları onların çıkarımları aracılığıyla sınamaktadır.

Witten süpersimetriyi büyük bir gayretle sürdürdü ve 1984'te "Süpersimetri ve Morse Kuramı" başlıklı bir makale yazdı. Morse kuramı topolojinin bir alanı olup, öncüsü Marston Morse'un adıyla anılan bu kuram, bir uzayın toptan biçimini onun doruk ve vadilerine bağlar. Büyük olasılıkla Britanya'nın yaşayan en seçkin matematikçisi olan Sir Michael Atiyah Witten'ın makalesini, "çağdaş kuantum alan

kuramını anlamak isteyen geometriciler için zorunlu okuma parçası" olarak betimlemişti. "Bu makale, klasik Morse eşitsizliklerinin parlak bir ispatını da içerir . . . Makalenin gerçek amacı, süpersimetrik kuantum alan kuramı için son-suz-boyutlu çoklular cinsinden bir temel hazırlamaktır." Sonradan, Witten bu yöntemleri topoloji ve cebirsel geometrinin sınırlarındaki diğer sıcak konulara uygulamıştı.

Açıkça anlaşılmalıdır ki, Witten'ın bir matematikçi olmadığım söylediğimde, matematik yeteneğinin olmadığını kas-tetmemiştim; tam tersini demek istemiştim. Büyük olasılıkla gezegenimizde ondan daha fazla matematiksel yeteneğe sahip kimse yoktur. Fakat Witten'm durumunda, bu, şaşırtıcı bir fiziksel önseziyle bütünlenmektedir.

Fizikçiler, matematikçilerden farklı olarak, matematiksel mantıktaki bazı boşluklar üzerine makalede fiziksel sezgileri kullanmaktan neredeyse hiç çekinmezler. Matematikçiler, destekleyici kanıt ne denli güçlü olursa olsun, inanç atlamalarına kuşkuyla bakmayı öğrenmişlerdir: onlar için, ispat her şeydir. Witten bunda olağandışıdır; matematikçilerin anlaması için, matematikle kendi sezgisini ilişkilendirebilir. Atiyah bunu şöyle ifade eder: "Onun fiziksel düşünceleri matematiksel biçimde yorumlama yeteneği tümüyle tek ve biriciktir. Yeni ve derin matematiksel teoremlere yol açan parlak fiziksel önsezi uygulamalarıyla, matematik camiasını çoğu kez şaşırtmıştı."

Fakat bu sezgi maharetinin bir diğer yüzü var. Witten'm fiziksel ilkelerden ya da benzerliklerden türetilmiş en önemli fikirlerinden birçoğuna ispatsız erişilmişti ve bazıları bugün hâlâ ispattan yoksundur. Aldığı Fields Madalyasının gösterdiği gibi, bu durum onun ispat yapamamasından değil de, ispatlara gerek görmeksizin derin ve doğru matematiğe yol açan mantık atlamaları yapabilmesinden kaynaklanır.

Büyük soru şudur: Acaba Witten'ın mükemmel şıklıktaki matematiğinin temel fizikle herhangi bir ilgisi var mıdır? Yoksa güzelliğin aranması, fiziksel gerçeklikle her bağlantıyı kaybederek, matematiksel bir çıkmaza mı düşürmüştü?

GÜZELLİK NEDEN GERÇEKLİKTİR

1980'lerde fizikçiler doğanın dört kuvvetinden üçünü birleştirmişlerdi: elektromanyetik, zayıf ve yeğin. Fakat Büyük Birleştirme Kuramları kütleçekim konusunda hiçbir şey dememekteydi. Ayaklarımızı kelimenin tam anlamıyla yerde tutan, günlük yaşamımızda en doğrudan karşılaştığımız kuvvetin bu birleştirmede olmaması utandırıcıydı.

Mantıklı görünen kütleçekim ile kuantum kuramının birleştirilmiş kuramlarım yazmak yeterince kolaydı. Fakat sonuçta oluşan denklemler ne zaman çözülmeye çalışılsa, saçma şeyler elde edilmekteydi. Tipik olarak, akla yakın fiziksel nicelikleri temsil etmesi gereken sayılar sonsuz oluyordu. Fiziksel bir kuramda bir sonsuzluk, bir şeylerin yanlış olduğunun işaretidir. Planck'ı ışığın kuantize olmasına sevk eden, ışınım yasasındaki bir sonsuzluktu.

Bazı fizikçiler sonsuzlukların ana kaynağının, parçacıkları noktalar olarak ele alma şeklindeki kökleşmiş alışkanlık olduğuna iyice inanmışlardı. Bir nokta -boyutu olmayan yerleşim- matematiksel bir hayaldir. Kuantum parçacıkları, olasılıkçı yayılmış "noktalar"dı; fakat bu da hastalığı iyileş-tirmemişti; daha zorlayıcı bir şeye gerek vardı. 1970'lerde bile birkaç öncü, parçacıkların ufacık titreşen halkalar -sicimler- şeklinde daha anlamlı olarak modellenebileceğini düşünmeye başlamışlardı. 1980'lerde, süpersimetri işe dahil olduğunda, bu sicimler süpersicimlere dönüştü.

Süpersicimler üzerine bütünlüklü bir kitap yazılabilirdi ve bazıları yazdı da; fakat çalakalem bir şeylerle de idare edilebilir. Dört özellik üzerine odaklanmak istiyorum: Göreli ve kuantum tasvirlerinin birleştirilme yolu, ekstra boyutlara olan gereksinim, ekstra boyutların simetrileri ya da, daha doğru olarak, oralarda yer alan çeşitli alanların simetrileri.

Hareket noktamız, Einstein'ın bir parçacığın uzayzaman-daki yörüngesinin, dünya çizgisi dediği, bir eğri olarak temsil edilmesi fikridir. Bu, esas olarak, parçacık hareket ederken uzayzamanda izlediği eğridir. Görelilikte, Einstein'ın alan denklemlerinin yapısı nedeniyle, dünya çizgileri düzgün eğrilerdir. Dallanmazlar, çünkü görelilikte her sistemin geleceği, onun geçmişiyle, aslında onun şimdisiyle tam olarak saptanabilir.

Kuantum alan kuramında Feynman diyagramı denen benzer bir kavram vardır. Feynman diyagramları, parçacıkların etkileşmesini oldukça şematik bir uzayzamanda resimlerle betimler. Örneğin, gelen şeklin sol tarafı böyle bir Feynman diyagramı olup, orada bir elektron bir foton yayınlamakta ve sonra onu ikinci bir elektron yakalamaktadır. Fotonları dalgalı çizgilerle betimlemek gelenekseldir.

Feynman diyagramı biraz da bir göreli dünya çizgisi gibidir, fakat keskin köşelere sahiptir ve dallanır. 1970'te Yoic-hiro Nambu'nun aklına şöyle bir şey gelmişti: Parçacıkların noktalar olarak varsayılması yerine, onları ufacık ilmekler olarak varsayarsak, Feynman diyagramları, sağ tarafta görüldüğü gibi, düzgün yüzeyler haline -dünya yüzeyleri- çevrilebilir. Bir dünya yüzeyi, içinde ilmeklerin yaşayacağı bir ekstra boyuta sahip düzeltilmiş bir uzayzamanda, bir dünya çizgisi olarak yorumlanabilir.

elektron 1 elektron 2

(Sol) Etkileşen parçacıklar için Feynman diyagramı. (Sağ) Karşılık gelen dünya yüzeyi, sicimlere dilimlenmiş.

İlmeklerin -nokta olmamaları dışında- en büyük özelliği, titreşebilmeleridir. Belki de her titreşim örüntüsü bir kuantum durumuna karşılık gelir. Bu, kuantum durumlarının neden bir temel niceliğin tam-sayı katları halinde ortaya çıktığını açıklayabilir: örneğin, spin; bu daima ^'nin bir tamsayı katıdır. İlmek içine uyan dalgaların sayısı, bir tam sayı olmalıdır. Bir keman telinde, bu farklı örüntüler, temel nota ve

onun daha yüksek harmonikleridir. Bu durumda, kuantum kuramı, keman telleri yerine süpersicim telleriyle çalınmış bir tür müzik haline gelir.

Nambu'nun fikri çat kapı gelmemişti. Onun kökleri 1968'de Gabriele Veneziano tarafından türetilmiş olan şaşırtıcı bir formüle dayanmaktaydı; bu, görünürde farklı olan ayrı Feynman diyagramlarının aynı fiziksel süreci temsil ettiğini ve hesaba katılmayan diyagramın kuantum alan kuramı hesaplarında yanlış yanıtlara yol açacağını göstermişti. Nambu, Feynman diyagramının tüpler tarafından sarıldığında (şeklin sağ tarafı), farklı diyagramların aynı topolo-jili tüplerin ağ örgüsünü vereceğini fark etmişti. Yani, bu ağ örgüleri birbirlerinin şekline bürünebilirler. Dolayısıyla Ve-neziano formülü, tüplerin topolojik özellikleriyle ilişkili gibi görünmekteydi.

Sicimler, olağan uzayzamanı yeni boyutlar içine uzatırlar.

Bu, üstelik, kuantum parçacıklarının, yük gibi kesikli ku-antum sayılarıyla, bir düzgün uzayzamanm topolojik özellikleri olabileceklerini sezindirmişti. Matematikçiler zaten temel topolojik özelliklerin -örneğin, bir yüzeydeki deliklerin sayısı- kesikli eğilimde olduğunu gözlemişlerdi. Her şey birbirine uyuyor gibi görünmekteydi. Fakat, her zamanki gibi, şeytan ayrıntıda gizliydi ve ayrıntı şeytaniydi. Ayrıntıların gerçek dünyayla uyuşumunu sağlamak için ilk girişim sicim kuramıydı.

Sicim kuramı Her Şeyin Kuramına gidecek olası "bir yol olarak başlamamış olup, topluca hadronlar olarak bilinen parçacıkları açıklamak için önerilmişti. Hadronlar, bir sürü daha egzotik parçacıkla birlikte, proton ve nötron gibi, atom çekirdeğinde bulunan parçacıkların çoğunu içerirler. Bununla birlikte, kuramda bir kusur vardı: hiç gözlenmemiş olan (ve hâlâ gözlenmeyen) sıfır kütleli, spini 2 olan bir parçacığın varlığını öne sürmekteydi. Buna ek olarak, W spin-li hiçbir parçacık önerememekteydi; ama tersine, proton ve nötron dahil, pek çok hadron % spinliydi. Bu, 30 cm çapında dolu taneleri öngören, fakat havanın ılık olup olmayacağı hakkında bir şey söyleyemeyen yaz ortası hava tahmini gibiydi. Fizikçiler etkilenmemişti. 1974'te, kuantum renk dinamiği ortaya çıkıp tüm bilinen hadronları açıkladığında ve hatta yeni bir parçacık olarak omega-eksiyi başarıyla öngördüğünde, sicim kuramının yazgısı belirlenmişti.

Bununla birlikte, bu noktada John Schwarz ve Joel Scherk şunun farkına varmıştı ki sicim kuramının istenmeyen şu sıfır kütleli, 2 spinli parçacığı, uzun zamandan beri aranan ve kütleçekim kuvvetini taşıdığına inanılan graviton denen varsayımsal parçacık olabilirdi. Sicim kuramı, hadronların değil de, kütleçekimin kuantum kuramı olamaz mıydı? Eğer öyleyse, o Her Şeyin Kuramı -belki de, hadron olmayan pek çok parçacık var olduğuna göre, Pek çok Şeyin Kuramı- için alımlı bir rakip olabilirdi.

Bu noktada süpersimetri devreye girdi, çünkü o fermi-yonları bozonlara çevirir. Hadronlar bu iki tür parçacığı da içerir, fakat elektron gibi diğer parçacıklar hadron değildir. Süpersimetri sicim kuramı kapsamına alınırsa, o zaman çok sayıda yeni parçacık kendiliğinden kuramın pençesine düşer; kuramın zaten parçası olan süpersimetrik eşler birlikte gelir.

Pierre Ramond, Andre Neveu ve Schwarz tarafından geliştirilen kaynaşık kuram süpersicim kuramıydı. Bu kuram Yi spinli parçacıkları içermekteydi ve sıradan sicim kuramının hoş olmayan bir yanını, ışıktan hızlı giden bir parçacığı, saf dışı etmişti. Bir kuramda böyle bir parçacığın varlığı,

onun kararsız olduğunun kanıtı olarak görülür ve onu ortadan kaldırır.

1980'den beri, Britanyalı kuramsal fizikçi Michael Green süpersicimlerin matematiğini, Lie grup kuramı ve topolojiden yöntemler kullanarak, gitgide daha iyi anlamaya çalışmış ve şurası çarçabuk belirginleşmişti ki, fiziksel sicili ne olursa olsun, süpersicim kuramının olağanüstü bir matematiksel güzelliği vardı. Fizik inadı sürdürmekteydi: 1983'te, Luis Al-varez-Gaume ve Witten, sicim kuramlarıyla -süpersicimler ve hatta iyi yaşlı kuantum alan kuramı dahil- yeni bir engel ortaya çıkarmıştı. Şöyle ki, bu kuramlar normalde anomalilere sahiptir. Klasik bir sistemi kuantumlu benzerine çevirme süreci önemli bir simetriyi değiştirdiğinde, bir anomali ortaya çıkar.

Green ve Schvvarz, anomalilerin çok nadir olarak mucizevi şekilde ortadan kalktığını keşfetmişti; anomaliler ancak uzayzaman 26 boyuta sahip olursa (kuramın ilk halinde, buna bozonik sicim kuramı denmişti) ya da 10 boyuta sahip olursa (daha sonraki düzeltmelerde) ortadan kalkıyordu. Neden? Onların hesaplarında, bozonik sicim kuramı için anomali yaratabilen matematiksel terimler (d - 26) ile çarpılmış durumdadır, burada d uzayzamanm boyutudur. Buna göre, bu terimler tam d = 26 olduğunda sıfır olur. Benzer şekilde, düzeltilmiş halde bu çarpan (d - 10) haline gelir. Zaman daima bir boyutlu kalır, fakat uzay bir şekilde 6 ya da 22 ilave boyut edinir. Schvvarz bunu şu şekilde ifade etmişti:

1984'te Michael Green ve ben bu süpersicim kuramlarının birinde, bu anomalinin gerçekten meydana çıkıp çıkmadığını görmek için bir hesaplama yapmıştık. Bulduğumuz sonuç bize oldukça şaşırtıcı gelmişti. Genelde, kuramı kusurlu kılan bir anomalinin gerçekten var olduğunu bulmuştuk. Bir kuramı daha ilk başta tanımlarken kullanılacak özel simetri yapısını seçme özgürlüğü vardı. Aslına bakarsanız, bu simetri yapılan için sonsuz sayıda olanak vardı. Bununla birlikte, onlardan sadece biri için, anomali formüllerden sihirli bir biçimde yok oluyordu, oysaki diğerlerinin hiçbiri için öyle olmuyordu. Böylece bu sonsuz olanak arasında sadece biri, tek biri, muhtemelen tutarlı olmuş olarak seçiliyordu.

Bu tuhaf 10 ya da 26 sayılarını göz ardı etmeye hazırlanmış olsaydınız, bu keşif çok heyecan verici olurdu. Bunun ileri sürdüğü şuydu: uzayzamanın özel sayıda boyuta sahip olması için matematiksel bir neden var olabilir. Sayının dört olmaması hayal kırıklığıydı, fakat o bir başlangıçtı. Fizikçiler daima uzayzamanın neden şu anki boyuta sahip olduğunu merak etmişlerdi; şimdi bu soruya sanki "peki, her şey olabilirdi, ama bizim evrenimizde, o dörttür" demekten daha iyi bir yanıt verilebilecekmiş gibi görünüyordu.

Belki de diğer kuramlar bir dört-boyutlu uzayzamana yol açabilirlerdi. Bu ideal olurdu, fakat hiçbir şey bu doğrultuda çalışacakmış gibi görünmemekte ve bu tuhaf boyutlar ortadan kalkma hususunda ayak diremekteydi. Dolayısıyla belki de onlar oradaydı. Bu Kaluza'nın eski fikriydi: uzayzaman, bizim gözlemekte aciz kaldığımız ilave boyutlara sahip olabilirdi. Bu böyleyse, sicimler bir-boyutlu ilmekler olarak kalabilir, fakat bu ilmekler başka türlü görünmez daha yüksek boyutlu bir uzayda titreşebilirlerdi. Parçacıklarla ilgili yük ya da tılsım gibi kuantum sayıları, titreşimlerin yapısıyla saptanabilirlerdi.

Temel soru şuydu: Gizli boyutlar acaba neye benzemekteydi? Uzayzamanın biçimi nasıldı?

Fizikçiler, ilkin, ilave boyutların bir torusun 6-boyutlu benzeri gibi basit bir biçim oluşturabileceğini ummuşlardı. Fakat 1985'te Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Stro-minger ve Witten düşünüp taşınmışlar ve en uygun biçimin bir Calabi-Yau manifoldu olduğunu anlamışlardı. Bu biçimlerden on binlerce vardır; tipik biri işte budur:

Bir Calabi-Yau manifoldu (şematik).

Kredi: Andrew J. Han s on, Indiana Üni-

1 : >c<wv versitesi Profesörü ve Kürsü Başkanı.

Calabi-Yau manifoldlannın büyük avantajı şudur; 10-bo-yutlu uzayzamanm süpersimetrisi, onu destekleyen sıradan dört-boyutlu uzayzamandan miras kalmıştır.

İstisnai Lie gruplan ilk kez fiziğin sınırlarında belirgin bir rol almaktaydı ve bu eğilim hızlanmıştı. 1990'larda, sü-persicim kuramının -tümünün uzayzaman boyutu 10'a eşit-beş olası tipinin var olduğu görüldü. Bu kuramlara Tip I, Tip IIA ve IIB ile "heterotik" tipler HO ve HE denir. İlginç ayar gruplan ortaya çıkar; örneğin, Tip I ve HO içinde 32-boyutlu uzayda dönme grubu olan SO(32)'yi buluruz ve Tip HE içinde istisnai E8 Lie grubu, iki farklı şekilde etkiyen iki ayn kopya olarak, Egx Es şeklinde ortaya çıkar.

G2 istisnai grubu da öykünün en son aşamasında görünür; VVitten buna M-kuramı adını verir. "M''nin magic (büyü), mystery (sır) ya da matris anlamına geldiğini söyler. M-kuramı 11 -boyutlu bir uzayzamanı varsayar; şu anlamda ki, her biri, M-kuramındaki sabitlerin bazılarını özel değerlere sabitleyerek M-kurammdan elde edilebilir. M-kuramında Calabi-Yau manifoldlan, G2 manifoldlan olarak bilinen 7-boyutlu uzaylarla yer değiştirirler, çünkü onların simetrileri Killing'in G2 istisnai Lie grubuna sıkı sıkıya bağlıdır.

Şu anda sicim kuramına karşı bir parça tepki var; yanlış olduğu bilindiği için değil, fakat henüz doğru olduğu bilinmediği için. Birçok seçkin fizikçinin, özellikle deneycinin, süpersicimlerle hiçbir zaman hiçbir şekilde ilişkisi olmamıştı; daha çok da bu kuramların onlara yapacak hiçbir şey vermemiş olmaları yüzünden. Ne gözlemek için yeni olaylar vardı, ne de ölçmek için yeni nicelikler.

Süpersicimlere evrenin anahtarı diyecek kadar bağlı değilim, yine de bu eleştirinin insafsızca olduğunu düşünüyorum. Sicim kuramları masumiyetlerini kanıtlamak için sor-gulanmaktalar, oysaki normalde suçlarını ispatlamak için eleştiriye uğramalılar. Fiziksel dünya hakkında köklü düşünme yolları geliştirmek çok zaman alır ve çok çaba ister; sicim kuramı teknik olarak aşırı derecede zordur. O, ilkesel olarak,

dünyamız hakkında yeni öngörüler yapabilir; büyük sorun, gerekli toplamaları yapmanın fevkalade zor oluşudur. Aynı yakınma, 40 yıl kadar önce kuantum alan kuramı için yapılmıştı; fakat en sonunda daha iyi bilgisayarlar ve daha iyi matematiğin bir karışımıyla toplamalar yapılmış ve deneyle uyuşmanın, bilimde başka bir yerde bulduğumuzdan daha iyi olduğu anlaşılmıştı.

Üstelik, neredeyse her ümit verici Her Şeyin Kuramı için hemen hemen aynı iddiada bulunulabilir ve çelişkili olarak, bir şey ne kadar çok iyiyse, onun doğru olduğunu kanıtlamak o kadar zordur. Bunun nedeni, Her Şeyin Kuramının doğasında saklıdır. Başarılı olması için, sonuçları kuantum kuramıyla tutarlı olan her deneye ne zaman uygulanırsa uygulansın, kuantum kuramıyla daima uyuşmalıdır. Sonuçlan görelilikle tutarlı olan her deneye uygulandığında, görelilikle de uyuşmalıdır. Öyleyse Her Şeyin Kuramı, şu ana kadar tasarlanmış her deneysel sınamayı geçmek zorundadır. Her Şeyin Kuramını geleneksel fizikten ayırt edecek yeni bir öngörü aramak, bir dereceye kadar tüm bilinen fiziksel olayları betimleyen kuramlar tarafından öngörülmüş sonuçlara özdeş sonuçları veren, bununla birlikte farklı olan, bir şey aramak gibidir.

Sicim kuramı, kurgusal kuramdan gerçek fiziğe geçiş yapmak için, kuşkusuz, eninde sonunda yeni bir öngörü yapmak zorunda kalacak ve bu öngörü gözlemlere karşı sınanacaktır. Halen bilinen her şeyle uyuşma gereksinimi, böyle öngörüleri dışlamaz, ancak niçin kolayca ortaya çıkmadıklarını açıklar. Kritik deneyler için bazı deneme nitelikli öneriler şimdiden vardır, örneğin, son sıralardaki uzak gökada gözlemleri gösteriyor ki evren sadece genişlemekle kalmıyor, ayrıca artan bir hızla genişliyor. Süpersicim kuramı buna basit bir açıklama sunmaktadır: kütleçekim, bu ilave boyutların içine sızmaktadır. Bununla birlikte, bu özel etkiyi açıklayacak başka yollar da var. Şurası açıktır ki eğer kuramcılar süper-sicim fiziğini araştırmayı hepten bırakırlarsa, kuramın doğru olup olmadığını öğrenmek için asla bir şansımız kalmaz.

GÜZELLİK NEDEN GERÇEKLİKTİR

Kuantum kuramını görelilikte birleştirmeye gelindiğinde, süpersicimlerin rakipsiz olduğu izlenimini bırakmak istemiyorum. Yanşan pek çok öneri var; onların tümü deneysel destekten yoksun olsa da.

"Komütatif olmayan geometri" diye bilinen bir fikir, Fransız matematikçisi Alain Connes'nin buluşu olup, uzayzaman geometrisinin yeni bir kavramı üzerine oturmuştur. Çoğu birleştirme şu fikirle yola çıkar: Uzayzaman, Einstein'm göreli modelinin bir uzatımıdır ve bir şekilde atom-altı fiziğindeki temel parçacıklan buna uygun kılmaya çalışır. Connes bunun tersini yapmaktadır. Standart Modelde ortaya çıkan simetri gruplarının tümünü içeren ve komütatif olmayan uzay diye bilinen bir matematiksel yapıdan başlar ve sonra göreliliğe benzer özellikler çıkarır buradan. Böyle uzayların matematiği, Hamilton'a ve onun komütatif olmayan kuater-niyonlanna kadar geri uzanır, fakat geniş ölçüde genelleştirilmiş ve düzeltilmiştir. Yine de bu değişik kuram, Lie grup kuramı içine sağlamca kök salmıştır.

Bir başka ilgi çekici fikir, "ilmik kuantum kütleçekim’dir. 1980'lerde, fizikçi Abhay Ashtekar, uzayın "tanecikli” olduğu bir kuantum düzenlemesinde Einstein denklemlerinin nasıl görünebileceğini incelemişti. Lee Smolin ve Carlo Ravelli bu fikirleri geliştirerek uzayın ortaçağın zincirli zırhına oldukça benzeyen -bağlarla birleşen UT35 metre çaplı iyice ufak topaklardan oluşmuş- bir modeline ulaşmıştı. Zincirli zırhın ayrıntılı yapısının, bağlar düğümlü ya da örgülü hale geldiklerinde, çok karmaşık bir hal alabildiğini fark etmişlerdi. Bununla birlikte, bu olanakların ne anlama geldikleri açık değildi.

Bir örgü olarak elektron

2004'te, Sundance Bilson-Thompson bu örgülerin bazılarının tam olarak kuarkları birleştirme kurallarını yeniden ürettiğini keşfetti. Kuarkın elektrik yükü ilgili örgünün topolojisi cinsinden yeniden yorumlanabilir ve birleşme kuralları örgülerle basit geometrik işlemlerden çıkar. Bu fikir, hâlâ emekleme çağında, Standart Modelde gözlenen parçacıklann çoğunu üretir. Bir dizi tahmine dayalı öngörü içinde en yeni olanı budur; burada parçacıklar olarak gerçekleşen madde, uzayda, düğümler, yerelleşmiş dalgalar ya da uzayın düzgün ve düzenli olmadığı yerlerde çok daha karmaşık yapılar şeklindeki "tekilliklerdin bir sonucu olabilir. Bilson-Thompson haklıysa, madde belki de bükülmüş uzayzamandır.

Matematikçiler yıllardır örgülerin topolojisini çalışıyorlar ve örgülerin kendilerinin örgü grubu denen bir grup oluşturdukları uzun zamandan beri biliniyor, tki örgü uç uca birleştirildiğinde -Ruffini'nin beşinci derece denklemine yaklaşımı tartışıldığı zaman, permütasyonları uç uca birleştirdiğimiz gibi- "çarpma" işlemi ortaya çıkar. Fizik, bir kez daha, daha önce var olan ve ilginç göründükleri için büyük ölçüde "kendilerinin batırma" yapılmış matematiksel bul-gularm üzerine kurulmaktadır. Ve bir kez daha, ana bileşen simetridir.

Süpersicimlerin en son sürümünde, en büyük sorun gereğinden fazla seçenektir. Hiç öngörü yapmamak şöyle dursun, kuram çok fazla öngörü yapmaktadır. "Boşluk enerjisi" -boş uzayın enerji içeriği-, uzayın ilave boyutları içine sicimlerin nasıl sarmalandıklarına bağlı olarak, neredeyse her şey olabilir. Bu sarmalanma yollarının sayısı devasadır: 10500 kadar. Farklı seçimler boşluk enerjisi için farklı değerler verir.

Aslında, gözlenen değer, çok, ama çok küçüktür, İO120 kadar; fakat sıfır değildir.

Geleneksel "ince-ayar" iddiasına göre, bu özel değer yaşamın var olması için tam doğru değerdir. 10"118 'den daha büyük her değer yerel uzayzamanı patlatır; 10~120'den daha küçük her değer ise uzayzamanı bir kozmik çöküntüye iter ve yok eder. Böylece yaşam için "fırsat penceresi" çok küçüktür. Evrenimiz, bir mucize eseri olarak, zarif bir biçimde bu aralıkta yer alır.

"Zayıf insancıl ilke"nin [antropik ilke] işaret ettiği gibi, eğer evrenimiz şu anda olduğu gibi oluşmasaydı, onu gözler durumda burada olamazdık; fakat bu ilke, neden bizim işgal edeceğimiz bir "burası" var sorusunu açıkta bırakmaktadır. "Kuvvetli insancıl ilke"nin demesine göreyse, buradayız, çünkü evren yaşamın var olması için özel olarak tasarlanmıştı, ki bu gizemli ve saçma bir şeydir. Boşluk enerjisi sahip olduğu şimdiki değerinden belirgin derecede farklı olsaydı, hangi olasılıklar olabilirdi? Bunu gerçekten hiç kimse bilmiyor. Birkaç şey biliyoruz, ama bunlar yanlışlanabilir; fakat bunun yerine, nelerin doğru çıkacağı hakkında bir fikrimiz yok. înce-ayar tartışmalarının çoğu yapmacıktır.

2000'de, Raphael Bousso ve Joseph Polchinski, sicim kuramını kullanarak ve boşluk enerjisi için şu 10500 olası değerin avantajını ele alarak, farklı bir yanıt ileri sürdüler. 10-120 çok küçük olsa da, olası boşluk enerjisi düzeyleri daha da küçük -10-500 birim kadar- aralıklara sahiptir. Dolayısıyla pek çok sicim kuramı "doğru" bölgede boşluk enerjileri verir. Rastgele seçilmiş birinin bunu yapması olasılığı hâlâ göz ardı edilebilir durumdadır, fakat Bousso ve Polchinski bunun

önemsiz olduğuna işaret etmişlerdi. Eninde sonunda, "doğru" boşluk enerjisi kaçınılmaz şekilde meydana çıkacaktır. Şöyle ki, evren tüm olası sicim kuramlarını incelemek üzere, parçalanmasına neden oluncaya kadar verilen herhangi biriyle bir arada kalır ve o zaman kuantum mekaniksel olarak bir başka sicim kuramına "tünelleme" yapar. Uzun süre beklerseniz, sonra bir ara, evren, yaşam için uygun bölgede olacak şekilde bir boşluk enerjisi kazanır.

2006'da, Paul Steinhardt ve Neil Turok "tünelleme" kuramı üzerine bir değişim önerdiler: Bir Büyük Patlamayla genişleyen ve bir Büyük Çökmeyle büzülen, bu davranışı her trilyonlarca yılda yineleyen bir salman evren. Modellerinde, boşluk enerjisi her ardışık salınımda azalmaktadır, öyle ki en sonunda evren çok küçük, fakat sıfırdan farklı, bir boşluk enerjisine sahip olur.

Her iki modelde de, boşluk enerjisi yeterince düşük olan bir evren, çok uzun bir süre için aylak aylak bekleyip duracaktır. Yaşamın ortaya çıkması için koşullar uygun olur; akim evrilmesi ve neden orada olduğunu sorgulaması içinse yaşamın çok bol zamanı vardır.

MATEMATİKÇİLERİN AYMAZLIĞI

Kaz kafalılar sürüsü, aslan sürüsü, çekici ispinozlar, yüce tarlakuşları... bunlardan hangisi matematikçiler için topluluk adı olur? Görkemli matematikçiler? Aşırı kendini beğenmiş. Gizem dolu matematikçiler? Neredeyse doğru adlandırmalar. Büyük topluluklar halinde bir araya gelindiğinde, matematiksel canlı türünün davranışını gözlemek için pek çok fırsata sahip olarak, sanırım en uygun sözcük "aymazlıktır.

Böyle bir aymaz topluluk tüm konudaki en garip yapılardan birini bulmuş ve onun yapboz-vari yüzünün ardında gizemli bir birlik keşfetmişti. Onların daha çok etrafta dolanarak ve bulunanları görerek elde ettikleri bu keşifler, kuramsal fiziğe sızmaya başlıyorlar ve süpersicimlerin çok tuhaf yanlarının bazılarına ilaç olabiliyorlar.

Süpersicimlerin matematiği öyle yenidir ki onun çoğu henüz daha keşfedilmedi. Fakat şu işe bakın ki matematikçiler ve fizikçiler, modası geçmiş olduğu için üniversite matematik derslerinde bile çok seyrek değinilen Victoria Çağının cebin ile süpersicimlerin, çağdaş fiziğin sınırlarında, tuhaf bir ilişkiye sahipmiş gibi göründüğünü keşfettiler. Bu cebirsel icat oktonyonlar olarak bilinir ve sırasıyla gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve kuaterniyonlardan sonra gelen yapılardır.

Oktonyonlar 1843'te keşfedilmiş, 1845'te başka biri tarafından yayımlanmış ve o zamandan beri yanlış kişiye mal edilmişti; fakat bu, kimse farketmediği için çok da önemli değildi. Oktonyonlar 1900'e kadar, matematikte bile bilinmezlik içindeydi. 1925'te Wigner ve von Neumann oktonyon-lan kuantum mekaniğinin temeli yapmaya çalıştıklarında, kısa bir canlanma yaşanmış; fakat sonra bu girişim başarı-

sız kalınca, yine bilinmezliğe düşmüşlerdi. 1980'lerde sicim kuramında potansiyel açıdan yararlı bir araç olarak yeniden yüzeye çıkmışlardı. 1999'da 10 ve 11-boyutlu süpersicim kuramında can alıcı bir bileşen olarak kapıya dayanmışlardı.

Oktonyonlar bize 8 sayısı hususunda çok acayip bir şeyin var olduğunu söylerler; uzay, zaman ve madde hakkında daha bile acayip bir şey. Matematik ve fiziğin ortak sınırındaki derin gizemlerin -özellikle, uzayzamanın geleneksel dörtten daha fazla boyuta sahip olabileceği ve bunun kütle-çekim ile kuantum kuramını birbirine geçireceği inancının-anahtan olarak bir Victoria Çağı kaprisi yeniden doğmuştu.

Oktonyonlann öyküsü soyut cebirin inatçı dünyasında geçer ve Amerikalı matematikçi John Baez'in 2001'de yayımladığı güzel bir matematiksel araştırmanın konusudur. Burada ağırlıklı olarak Baez'in önsezilerini kullanıyorum. Matematik ile fizik arasındaki bu ilginç ara-yüzde yer alan tuhaf ama zarif mucizeleri aktarmak için elimden geleni yapacağım. Hamlet'in babasının hayaletiyle, sahnenin derinliklerinden gelen ruhani ses gibi, matematiksel eylemin çoğu, okuyucu/dinleyici kitlesinin gözünden uzak cereyan eder. Fazla üstüme gelmeyin ve açıklanmamış mesleki dilin tuhaf kısmı hususunda çok fazla endişelenmeyin. Bazen esas oyuncuları izlemek için sadece uygun bir sözcüğe ihtiyacımız olur.

Birkaç anımsatma zemin hazırlamaya yardımcı olabilir. Sayı sisteminin adım adım genişletilmesi, simetri arayış masalımızın kâh içinde kâh dışında dokunmuştu. îlk adım on altıncı yüzyılın ortasında karmaşık sayıların keşfi (ya da icadı) idi, orada -1 bir kareköke sahipti. O zamana kadar, matematikçiler sayıların Tanrı tarafından verilmiş, biricik ve bitmiş olduğunu düşünmüşlerdi. Hiç kimse yeni bir sayı icat etmeyi düşünüp taşınamazdı. Fakat 1550 civarında Car-dano ve Bombelli, bir eksi sayının karekökünü yazarak, tam da bunu yaptılar. Bu şeyin ne anlama geldiğini çözümlemek 400 yıl kadar zaman aldı; fakat bunun sadece 300 yılı ma-

tematikçileri onun göz ardı edilemeyecek kadar çok yararlı olduğuna inandırmaya harcanmıştı.

1800'lü yıllarda, Cardano ve Bombelli'nin barok tarzındaki düzenlemesi, yeni bir i sembolüyle, yeni bir sayı türüne kris-talize olmuştu. Karmaşık sayılar esrarengiz görünebilir, fakat matematiksel fiziği anlamak için harika bir araç oldukları anlaşılmıştı. Isı, ışık, ses, titreşim, esneklik, kütleçekim, manyetizma, elektrik ve sıvı akışı problemleri karmaşık sayı silahına karşı hiç dayanamazlar; ama sadece iki boyuttaki fizikte.

Bununla birlikte, bizim kendi evrenimiz üç uzay boyutuna sahiptir ya da son zamanlara kadar biz böyle düşünmüştük. Madem ki karmaşık sayıların iki-boyutlu sistemi iki boyutlu fizik için bu kadar etkindir, öyleyse hakiki fizik için kullanılabilecek benzer bir üç-boyutlu sayı sistemi de var olamaz mı? Hamilton böyle bir sistemi bulmaya çalışarak yıllarını harcamış, ama hiç başarı sağlayamamıştı. Sonra 16 Ekim 1843'te birden kafasında bir sezgi şimşeği çaktı: üç boyuta bakma, dörde bak ve kendi kuaterniyon denklemlerini Brougham Köprüsünün taş duvarına oydu.

Hamilton'un kolejden, cebir hastası, eski bir arkadaşı vardı: John Graves. Büyük olasılıkla Hamilton'u sayı sisteminin genişletilmesi hakkında öncelikle heyecanlandıran Graves'ti. Hamilton köprüyü tahrip ettikten sonraki gün arkadaşına kuatemiyonlar hakkında uzun bir mektup yazdı. Graves ilk başta allak bullak olmuş ve çarpma kurallarını ön hazırlık yapmadan icat etmenin nasıl geçerli olduğuna hayret etmişti. "Henüz sanallan keyfi olarak yaratmak ve onlara aşın doğal özellikler sağlamak için özgür olduğumuz hususunda hiçbir açık görüşe sahip değilim" diyerek yanıtladı Hamilton'u. Fakat yeni fikrin gizil gücünü de görmüş ve acaba daha ne kadar ileri götürülebilir diye merak etmişti: "Simyanızla, üç librelik altın yapabiliyorsanız, neden orada durasınız?"

Bu iyi bir soruydu ve Graves bunu yanıtlamaya girişti. İki ay içinde sekiz-boyutlu bir sayı sistemi bulduğunu bildi-

ren bir cevap yazdı. Bu sistemi "oktavlar" diye adlandırmıştı. Bununla ilgili, sekiz karenin toplamı hakkında dikkate değer bir formül vardı; biraz sonra buna döneceğim. 16-boyutlu bir sayı sistemi tanımlamaya da çalışmış, fakat "beklenmeyen aksaklık" dediği bir şeyle karşılaşmıştı. Hamilton arkadaşının keşfini kamuoyunun bilgisine sunmak için yardım etmek istediğini, fakat kuatemiyonlann araştırılmasıyla aşırı meşgul olduğundan bunu yapamadığını söylemişti. Çok geçmeden potansiyel bir sıkıntının farkına varmıştı: oktavların çarpımı, birleşme kuralına uymamaktaydı. Yani, üç oktavın çarpımını oluşturmak için, (ab)c ve a(bc) gibi bu iki yol genelde farklıdır. Birçok iç değerlendirmenin ardından, Hamilton komütatiflik kuralından vazgeçmeye gönüllüydü, fakat birleşme kuralını atıvermek haddini aşmak olurdu.

Halen Graves'in şansı cidden ters gitmekteydi. Çalışmasını yayımlayamadan, Cayley bağımsız olarak aynı keşfi yapmış ve 1845'te onu eliptik fonksiyonlar üzerine aksi halde berbat bir makaleye ek olarak bastırmıştı; o kadar çok yanlışla doluydu ki, bu makale onun toplu çalışmalarından kaldırılmıştı. Cayley, sistemini "oktonyonlar" olarak adlandırmıştı.

Basımda yenilmiş olarak Graves mutsuzdu ve öyle oldu ki kısa süre sonra onun kendisinin bir makalesi, Cayley'in keşfini ilan ettiği dergide basıma kabul edildi. Böylece Graves makalesine, iki yıl önce aynı fikirle karşılaştığını ifade eden kısa bir not ekledi ve Hamilton da arkadaşına öncelik verilmesi gerektiğini doğrulayan kısa bir not yayımlayarak ona arka çıktı. Bu kayıt yanlış anlaşılmaları ortadan kaldırdığı halde, okton-yonlar ivedilikle "Cayley sayılan" adını edindi; hâlâ da yaygın olarak kullanılmaktadır. Birçok matematikçi artık bu sisteme "oktonyonlar" diyerek Cayley'in terminolojisini kullanmakta, fakat Graves'e kredi vermektedir. "Kuatemiyonlan andırdığı için, yine de, "oktavlar''dan daha iyi bir isimdir.

Oktonyonların cebiri, Fano düzlemi olarak bilinen dikkat çekici bir diyagram cinsinden betimlenebilir. Bu, yedi çizgiyle üçerli olarak birleştirilmiş yedi noktadan oluşan bir sonlu geometridir ve şöyle görünür:

Fano düzlemi, yedi nokta ve yedi çizgili bir geometri.

Bir çizgi, onu düzlemde çizmek için, bir çember halinde bükûlmelidir, fakat bu önemli değildir. Bu geometride, her iki nokta bir çizgiyle birleştirilir ve her iki çizgi bir noktada karşılaşır. Paralel çizgiler yoktur. Fano düzlemi tamamıyla farklı bir amaç için bulunmuştu, fakat sonunda oktonyonları çarpma kurallarını özetlemeye dönüşmüştü.

Oktonyonlar sekiz parçaya sahiptir: olağan 1 sayısı ile ep e2, e3, e4, e5, e6 ve e7 adında diğer yedi parça. Bunların her birinin karesi -l'dir. Diyagram bu parçaların çarpım kuralını belirtir. e3'ü e7'yle çarpmak istediğimizi varsayalım. Diyagramda 3 ve 7'ye bakın ve onları bağlayan çizgiyi bulun. O çizginin üzerinde bir üçüncü nokta vardır; ele aldığımız durumda o nokta l'dir. Okları izleyerek 3'ten 7'ye ve sonra l'e gidersiniz; öyleyse e3 e7 = e/dir. Sıralama arkadan öneyse, bir eksi işareti eklersiniz: e7e3 = - erTüm olası parça çiftleri için bunu yapın. Artık oktonyonlarla nasıl aritmetik yapacağınızı biliyorsunuz. (Toplama ve çıkarma hep kolaydır; bölme ise çarpmayla belirlenir.)

Graves ve Cayley sonlu geometriyle olan bu bağlantıyı bilmiyordu; dolayısıyla oktonyonlar için bir çarpım tablosu yazmak zorundaydılar. Fano düzlemi örüntüsü daha sonra keşfedilmişti.

Uzun yıllar, oktonyonlar sadece önemsiz bir meraktı. Ku-atemiyonlardan farklı olarak, geometrik yoruma sahip değildiler ve bilime uygulamaları yoktu. Saf matematikte bile, onlardan hiçbir şey çıkmaz gibiydi; bilinmezlik içine düşmüş olmaları doğaldı. Fakat oktonyonların matematikçiler-

ce bilinen en garip cebirsel yapıların kaynağı oldukları anlaşılınca, bu durum tümüyle değişti. Bunlar, Killing'in beş istisnai Lie grubunun -G2, F4, E6, E7 ve E8- gerçekten nereden geldiklerini açıklamaktaydı. İstisnai Lie gruplarının en genişi olan Ee grubu, 10-boyutlu sicim kuramının temelini oluşturan simetri grubu içinde iki kez boy gösterir; bu aşırı derecede hoş özelliklere sahiptir ve birçok fizikçi tarafından Her Şeyin Kuramı için şu anda en iyi aday olarak düşünülür.

Dirac'm "evrenin matematik içine kök saldığı" şeklindeki düşüncesine katılıyorsak, E8 var olduğu için akla yakın bir Her Şeyin Kuramı vardır ve oktonyonlar var olduğu için E8 vardır diyebiliriz. Bu da merak uyandıran bir felsefi olasılığı görüşmeye açar: çok özel olduğunu bildiğimiz evrenimizin temelindeki yapı, tek ve biricik bir matematiksel nesneye, oktonyonlara, olan bağlantısı nedeniyle seçilmişti.

Güzellik gerçekliktir, gerçeklik de güzellik. Pisagorcular ve Platoncular evrenimizin yapısındaki matematiksel örüntüle-rin yaşamsal rolündeki bu kanıttan hoşlanırlardı. Oktonyon-lar akıldan çıkmayan, gerçeküstü bir matematiksel güzelliğe sahiptir. Dirac, 10-boyutlu sicim kuramının gerçek olması gerektiğine bir neden olarak bunun üzerine atlardı. Ya da, mutsuzca yanlış olduğu kanıtlanırsa, bu, yine de gerçek olandan daha ilginçtir. Fakat güzel kuramların doğru olmalarının gerekmediğini de öğrendik; süpersicimler üzerine hüküm verilene dek, bu olasılık saf varsayım olarak kalmalıdır.

Fizikte onun önemi ne olursa olsun, oktonyonları saran fikirler çemberi matematik için saf altındır.

Oktonyonlarla istisnai Lie grupları arasındaki bağlantı, kuatemiyonlann çeşitli genellemeleri ile bugünün fiziğinin sınırları arasındaki birçok acayip bağıntıdan sadece birisidir. Bu bağıntıların bazılarını, onlann ne denli dikkat çekici olduklarını anlayasmız diye, sizin için yeterince derinliğiyle araştırmak istiyorum. Matematikteki en eski istisnai yapılardan bazılarıyla, karelerin toplamları hakkındaki formüllerle, başlayacağım.

Böyle bir formül doğal olarak karmaşık sayılardan türetilir. Her karmaşık sayı, başlangıçtan uzaklığının karesi demek olan, bir "norm"a sahiptir. Pisagor teoremi, x + iy'nin normunun X2 + y2 olduğunu söyler. Wessel, Argand, Gauss ve Hamilton tarafından belirlenmiş olan karmaşık sayılan çarpma kuralları, normun çok hoş bir özelliğe sahip olduğunu belirtir. İki karmaşık sayıyı çarparsanız, normlar da çarpılır. Sembollerle, (X2 + y2) (u2 + v2) = (xv + yu)2 + (xu - yv)2 şeklinde gösterilir, iki karenin toplamı çarpı iki karenin toplamı, daima iki karenin toplamıdır. Bu olgu, Hint matematikçi Brahmagupta tarafından 650'lerde ve Fibonacci tarafından 1200'de bilinmekteydi.

Eski sayı kuramcılan iki karenin toplamlanyla büyülenmişlerdi, çünkü onlar farklı iki asal sayı tipiyle ayırt edilmişti. Şunu kanıtlamak kolaydı: bir tek sayı iki karenin toplamıysa, k bir tam sayı olmak üzere, bu sayı 4k + 1 yapısında olmalıdır. 4k + 3 yapısındaki kalan tek sayılar, iki karenin toplamı olarak temsil edilemezler. Bununla birlikte, 4k+l yapısındaki her sayının iki karenin toplamı olması, karelerden birinin sıfır olmasına müsaade etsek bile, doğru değildir, ilk istisna 21'dir.

Fermat çok güzel bir keşifte bulunmuştu: bu istisnalar asla asal sayı olamaz. Tersine, 4k+l yapısındaki her asal sayının iki karenin toplamı olduğunu ispatlamıştı. Yukarıdaki formülü iki karenin toplamlarını birbiriyle çarpmaya uygularsak, o zaman şu ortaya çıkar: ancak ve ancak 4k+3 yapısındaki her asal çarpan bir çift kuvvetle çarpanlarda yer alırsa, bir tek sayı iki karenin toplamına eşit olur, örneğin, 45 tek sayısı 32 + 62 şeklinde iki karenin toplamıdır. Onun asal çarpanları 3 x3 x 5'tir; k=0 olmak üzere 4k+3 yapısındaki 3 asal çarpanı iki kuvvetiyle -bir çift sayı- yer alır. Diğer çarpan olan 5 tek kuvvetle yer alır, fakat o 4k+l yapısında (k = 1 ile) bir asaldır, böylece bir güçlüğe neden olmaz.

Diğer taraftan, istisna olan 21 sayısı 3 x 7'ye eşittir; her iki asal çarpan 4k+3 yapısına sahiptir ve her biri tek olan 1 kuvvetiyle çarpanlarda yer alır; böylece 21 bu nedenle çalışmaz. Diğer pek çok (sonsuz) sayı da aynı nedenle çalışmaz.

Daha sonra, Lagrange her pozitif tam sayının dört kuvvetin (sıfır izinli) bir toplamı olduğunu kanıtlamak için benzer yöntemler kullanmıştı. Onun ispatı, Euler'in 1750'de keşfettiği zekice bir formülden yararlanmaktaydı. Yukandakine benzemektedir, fakat dört karenin toplamı içindir. Dört karenin toplamı çarpı dört karenin toplamı, yine bir dört karenin toplamıdır. Üç karenin toplamı için böyle bir formül olmayabilir, çünkü her üç karenin toplamı olan sayı çiftleri vardır, fakat onların çarpımı öyle değildir. Bununla birlikte, 1818'de Değen sekiz karenin toplamları için bir çarpım formülü bulmuştu. O Graves'in oktonyonlan kullanarak keşfettiği formülle aynıdır. Talihsiz Graves, özgün olarak kendi keşfettiği oktonyonlann kredisi bir başkasına gitmişti; onun diğer keşfi olan sekiz-ka-re formülününse özgün olmadığı anlaşılmıştı.

Bir karenin -yani, karelerin- toplamları için aşikâr bir çarpım formülü de vardır: x2 y2 = (xy)2. Bu formül gerçel sayılar içindir; iki-kare formülüyse karmaşık sayılar içindir. Normun "çarpımsal" olduğunu söyler: bir çarpımın normu, normların çarpımıdır. Gene, norm başlangıçtan olan mesafenin karesidir. Her sayının eksilisi, altılısıyla aynı norma sahiptir.

Dört-kare formülünden ne çıkar? O kuatemiyonlar için aynı şeyi yapar. Pisagor teoreminin dört-boyutlu benzeri (evet, böyle bir şey var), genel bir x + iy+jz + kay kuatemiyo-nunun X2 + y2 + z2 +<o2 gibi dört karenin toplamı şeklinde bir norma sahip olduğunu söyler. Kuatemiyonik norm da çar-pımsaldır ve Lagrange'm dört-kare formülünü açıklar.

Şu anda sanırım benden daha ilerdesiniz. Degen'in sekiz-kare formülü oktonyonlar için benzer bir yoruma sahiptir. Oktonyon normu çarpımsaldır.

Burada çok tuhaf bir şeyler sürüp gidiyor. Sonsuz özenli dört tip sayı sistemimiz var: gerçeller, karmaşık sayılar, kua-temiyonlar ve oktonyonlar. Bunlar 1,2,4 ve 8 boyutlarına sahipler. Karelerin toplamı çarpı karelerin toplamı, yine karelerin bir toplamıdır: bunlar 1, 2,4 ve 8 karelerine uygulanır. Bunların formülleri, sayı sistemlerine yakından bağlıdırlar. Daha da şaşırtıcı olan, sayıların örüntüleridir.

1,2,4 ve 8; bundan sonra ne gelir?

Örûntü sürdürülürse, emin bir şekilde ilginç bir 16-bo-yutlu sayı sistemi bulmayı bekleyebiliriz. Gerçekten de, Cayley-Dickson süreci denen doğal bir yolla böyle bir sistem kurulabilir. Bu süreci gerçellere uygularsanız, karmaşık sayılan elde edersiniz. Karmaşık sayılara uygulayınca, ku-atemiyonlan bulursunuz. Kuatemiyonlara uygulayınca da, oktonyonlara ulaşırsınız. Ve devam edip bunu oktonyonlara uygularsanız, 16-boyutlu bir sayı sistemi olan sedeniyonlan elde edersiniz; bunları da her adımda iki katma çıkan 32,64 ve diğerleri izler.

Böylece 16-kareli bir formül vardır, öyle mi?

Hayır. Sedeniyon normu çarpımsal değildir. Karelerin toplamları formülü, ancak içerilen karelerin sayısı 1, 2,4 ya da 8 olduğunda vardır. Küçük sayılann yasası yine darbeyi indirir: 2'nin kuvvetlerinin görünür örüntüsü yavaşlayarak durur.

Niçin? Temel olarak, Cayley-Dickson süreci cebir kurallarını yavaş yavaş yıkar. Süreci her uygulayışmızda, ortaya çıkan sistem tam bir önceki kadar iyi davranmaz. Zarif ger-çel sayılar sistemi, adım adım, kural kural, anarşiye yönelir. Haydi, daha ayrıntılı olarak açıklayayım.

Dört sayı sistemi, normlarının dışında, ortak başka özelliklere de sahiptir. Gerçel sayıların genellemeleri olarak onlara nitelik kazandıran en çarpıcı özellikleri, onların "bölme cebirleri" oluşlarıdır. Toplama, çıkarma ve çaıpma kavramlarının geçerli olduğu birçok cebirsel sistem vardır. Fakat bu dört sistemde, bölebilirsiniz de. Bir çarpmasal normun varlığı, onları "normlu bölme cebirleri" yapar. Graves, bir an için, 4'ten 8'e gitme yönteminin, 16, 32, 64 boyutlarına sahip -yani, 2'nin her kuvveti için- normlu bölme cebirlerine yol açmak üzere, tekrarlanabileceğim düşünmüştü. Fakat sede-niyonlarda çıkmaza girmiş ve acaba 16-boyutlu bir normlu bölme cebiri var olabilir mi diye kuşkuya kapılmıştı. Haklıydı: şimdi biliyoruz ki sadece 1, 2,4 ve 8 boyutlu dört adet

normlu bölme cebiri vardır. Graves’in sekiz-kare formülü ya da Euler'in dört-kare formülü gibi 16-kare formülü yoktur.

Neden yoktur? İkinin kuvvetleri zinciri boyunca her adımda, yeni sayı sistemi yapısının belli bir kısmını kaybeder. Karmaşık sayılar bir çizgi boyunca sıralanmazlar. Kuatemiyonlar ab = ba "k^mıüt^tiflik kuralı"na uymazlar*. Oktonyonlar, (ab}a = a(ba) "alternatif kuralı"na uysalar da, (ab)c = a(bc] birleşme kuralına uymazlar. Sedeniyonlarsa bir bölme cebiri oluşturamazlar ve çarpımsal norma da sahip değildirler.

Bu, sırf Cayley-Dickson sürecinin başarısızlığından çok daha temeldir. 1898'de, Hurvvitz sadece normlu bölme cebirlerinin bizim dört kadim dostumuz olduğunu kanıtlamasının ardından; 1930'da Max Zom, bu dört cebirin tek alternatif bölme cebirleri olduğunu kanıtlamıştır. Onlar cidden istisnaidirler.

Bu, saf matematikçilerin, Platoncu içgüdüleriyle, sevdiği türden bir şeydir. Fakat insanlığın geri kalanı için gerçekten önemli haller, sadece çok büyük pratik öneme sahip olan gerçel ve karmaşık sayılar gibi görünüyor. Kuatemiyonlar bazı -anlaşılması zor olsa bile- yararlı uygulamalarda ortaya çıkmaktadır; fakat oktonyonlar uygulamalı bilimin ilgi odağı olmaktan uzaktır. Onlar saf matematiksel bir kör uç, ayaklan yere basmayan kişilerden beklenebilecek bir tür gösterişçi entelektüel saçmalık olarak görünür.

Matematik tarihi, parlak ya da güzel bir fikri sadece belirgin bir yarara sahip değil diye bir yana bırakmanın tehlikeli olduğunu tekrar tekrar göstermiştir. Daha "pratik" kafalı insanlar kendilerini, bazılarının gerçek-dünya sorunlarına odaklanmayıp "kendi gönülleri hatmna" yarattıkları soyut problemlerden ortaya çıkan matematiksel kavramlara küçümseyici yaklaşma eğiliminde hissederler. Kavramlar ne denli güzel ve sevimliyse, küçümseme de o kadar büyüktür; sanki güzelliğin kendisi utanmak için bir nedenmiş gibi.

Böyle yararsızlık beyanları soruna davetiyedir. Küçümsenen kavramın birden ön plana çıkması sadece bir yeni uy-

gulama, bir yeni bilimsel gelişmeye bakar; artık o yararsız değil, birinci derecede önemlidir.

Bunun örnekleri bitip tükenmez. Cayley'in kendisi matrislerinin tamamıyla yararsız olduğunu söylemişti, fakat bugün bilimin hiçbir dalı onlarsız iş göremez. Cardano karmaşık sayıları "yararsız oldukları ölçüde incelikli/hünerli" olarak ilan etmişti, fakat karmaşık sayılardan yoksun bir dünyada hiçbir mühendis ya da fizikçi iş yapamaz. İngiltere'nin önde gelen matematikçisi Godfrey Harold Hardy 1930'larda sayı kuramının hiçbir pratik uygulamaya sahip olmadığı ve özellikle savaşta kullanılamadığı için pek memnundu. Bugün sayı kuramı mesajlan özel işaretler içine şifrelemede kullanılmaktadır; bu teknik internet alışverişini güvenceye almak için çok önemli olduğu gibi, askerlikte daha da yaşamsaldır.

Bu tartışmayı oktonyonlarla bitirelim. Onlar matematik derslerinde ve daha da çok fizikte artık zorunlu hale gelebilir. Oktonyonlann Lie gruplan kuramında -özellikle acayip 14,52, 78, 133 ve 248 boyutlanyla beş istisnai G2, F4, E6, E7 ve E8 Lie grubunda- merkezi önemde olduklan yeni yeni ortaya çıkıyor. Onların gerçek varlığı bir bilmecedir. Öfkeli bir matematikçi onlan Tann'mn gaddarca bir eylemi olarak ilan etmişti.

Doğa tutkunlan, iyi bilinen en güzel manzaralı yerleri gözden geçirmekten ve yeni üstünlük sağlayan yerler bulmaktan hoşlanırlar . . . tam uçurumdaki kaya tabakası boyunca eski bir patikanın yanında yan yolda bir çağlayan, yüksek kayalığın üzerinden görünen mavi okyanus manzarası. Aynı şekilde, matematikçiler de eski konulan tekrar incelemeyi ve onlara yeni bir açıdan bakmayı severler. Matematik üzerine bizim bakış açımız değişince, çoğu kez eski kavramları yeni, güçlü bir algılamayla yorumlayabiliriz. Bu sadece farklı bir açıdan şaşkın şaşkın bakakalınan bir matematik turizmi değildir. Eski ve yeni problemleri ele almak için yeni, güçlü yollar sağlayan bir yöntemdir. Bu eğilim hiçbir yerde, Lie grupları kuramından daha belirgin ya da daha aydınlatıcı olmamıştı.

Hatırlarsanız, Killing hemen hemen tüm basit Lie gruplarını dört sonsuz aile içine yerleştirmişti; bunlardan ikisi gerçekten daha büyük bir ailenin, çift ve tek boyutlu özel dik SO(n) gruplarının parçalandır. Diğer ikisi özel üniter SU(n) gruplan ve simplektik Sp(2n) gruplarıdır.

Artık biliyoruz ki bu aileler aynı tema üzerine kurulu tüm çeşitlemelerdir. Bunlar özel bir cebirsel koşulu sağlayan -"çarpık-Hermitik"- tüm n x n'li matrislerden oluşmaktadır. Tek fark şudur: Dik Lie cebirlerini elde etmek için ger-çel sayılı matrisleri, üniter Lie cebirleri için karmaşık sayılı matrisleri ve simplektik Lie cebirleri içinse kuatemiyonlu matrisleri kullanmalısınız. Bu cebirler sonsuz aileler haline gelirler, çünkü matrisler sonsuz sayıda büyüklüklü olurlar. Mekaniğin Hamilton formülasyonundaki -onun ilk büyük keşfi- doğal dönüşümlere karşılık gelen Lie cebirlerinin kua-temiyonlar cinsinden -Hamilton'un son keşfi- doğal bir betimlemeye sahip oluşunu görmek harikadır.

Matristeki öğeler olarak oktonyonları kullandığınızda, ne olacağı hususunda bu sizi meraklandırır. Ne yazık ki, birleşme özelliğinin yokluğu nedeniyle, basit Lie cebirinin yeni bir sonsuz ailesini elde edemezsiniz. Aslında, böyle bir aile var olmadığına göre, bu "îyi ki,.." olmalıdır. Fakat oktonyonlarla doğru oyunları oynadığınızda ve küçük sayılar kuralını kendi yanınıza aldığınızda, Lie cebirlerini büyük bir hırsla elde edebilirsiniz.

Bunun olabileceğine dair ilk ipucu, 1914'te fîlie Cartan aşikâr bir soruyu cevaplayıp şaşırtıcı bir yanıt elde ettiğinde ortaya çıktı. Matematik ve fizikte yol gösterici ilke şudur: Eğer bir ilginç cisme sahipseniz, soracağınız ilk şey, onun simetri grubunun ne olduğudur. Gerçel sayı sisteminin simetri grubu önemsizdir, sadece "hiçbir şey yapmayan" özdeşlik dönüşümünden oluşur. Karmaşık sayılar sisteminin simetri grubu, özdeşlik ile i'yi -i'ye dönüştüren bir ayna simetrisi içerir. Kuatemiyonların simetri grubu SU(2)'dir: gerçel üç-boyutlu uzaydaki SO(3) dönme grubuna iyice yakın.

Cartan şunu sormuştu: Oktonyonlarm simetri grubu nedir?

Cartansanız,bu soruyu da yanıtlayabilirsiniz. Oktonyon-lann simetri grubu, G2 olarak bilinen en küçük istisnai basit Lie grubudur. Oktonyonların 8-boyutlu sistemi, 14-boyutlu bir simetri grubuna sahiptir. İstisnai normlu bölme cebiri, doğrudan doğruya ilk istisnai Lie grubuyla ilişkilidir.

Daha fazla ilerlemek için, Rönesans'a kadar geri giden bir fikri daha dikkate almalıyız; matematikçilere değil de, sanatçılara ait bir fikri.

O günlerde, matematik ve sanat iyice yakındı birbirlerine; sadece mimarlıkta değil, resim sanatında da. Rönesans ressamları geometrinin perspektife nasıl uygulanacağını keşfetmişlerdi. Görüntüleri kâğıt üzerine çizmek için geometrik kurallar bulmuşlardı; gerçekten üç-boyutlu cisimler ve manzaralar gibi görünüyorlardı. Böyle yaparak, yeni ve aşırı güzel bir geometri türü icat etmişlerdi.

Daha önceki sanatçıların çalışmaları gözümüze çok gerçekçi görünmez. Giotto (Ambrogio Bordone) gibi bir ressam bile, neredeyse fotoğraf kalitesinde işler üretmeyi becermişti, ama yakın bir çözümlemede perspektifin tam olarak sistematik olmadığı anlaşılır. 1425'te doğru perspektifi elde etmek için sistematik bir matematiksel yöntem formüle eden Filippo Brunelleschi'ydi; sonra bunu diğer sanatçılara öğretmişti. 1435 yılına dek, bu konuda ilk kitap Leone Alberti'nin Delta Pittura'sıdır.

Bu yöntem, aynı zamanda tam bir matematikçi olan, Piero della Francesca'nın resimlerinde mükemmel hale getirilmişti. Piero perspektifin matematiği üzerine üç kitap yazmıştı. Ve Leonardo da Vinci'ye değinmemek hiç olmaz; onun Trat-tato della Pittura'sı "Matematikçi olmayan, benim çalışmalarımı okumasın" sloganıyla başlar; bu, eski Yunanistan'da Platon'un akademisinin kapısı üzerindeki efsaneleşmiş "Geometri bilmeyen, buraya girmesin" sloganının bir yankısıdır.

Perspektifin esası "izdüşüm" kavramıdır; bununla, üç-boyutlu görünüm düz bir kâğıt parçası üzerine, (kavramsal olarak) manzaranın her noktası gözlemcinin gözüne kadar

çizilip bu çizginin kâğıtla kesiştiği yer bulunarak resmedilir. Esas fikir şudur: İzdüşümler, Öklit'in müsaade etmediği tarzlarda, biçimi bozar. İzdüşüm, özel olarak, paralel doğrulan birleşen doğrular haline döndürebilir.

Bu olayı her gün görürüz. Bir köprü üzerinde durup uzayıp giden düz demiryolu raylanna ya da karayoluna baktığımızda, doğrular birbirlerine yakınlaşıp ufukta birleşirler. Gerçek doğrular ara-mesafeyi korurlar; fakat doğrular bizden iyice uzaklaşınca, perspektif, algılanan ara-mesafenin daralmasına neden olur. Bir matematiksel idealleştirmede, sonsuz uzun paralel doğrular da, uygun şekilde izdüşüme uğratılırlarsa, bir düzlemde birleşirler. Fakat onların birleştikleri yer, düzlemde hiçbir şeyin görüntüsü değildir, olamaz da; onlar düzlemde birleşmez. O görünür "ufuk"tur, doğrular, ve de düzlem, oraya doğru uzanır. Düzlemin kendisi üzerinde, ufuk sonsuz uzaklıktadır, fakat onun izdüşümü resmin ortasında fark edilir bir çizgidir.

Bu çizgi "sonsuzdaki çizgi" olarak bilinir. Eksi birin kare-kökü gibi, o bir uydurmadır, fakat aşırı derecede yararlı bir uydurma. Ortaya çıkan geometri türüne izdüşümsel geometri denir ve Klein'ın Erlangen programında, bir görüntünün izdüşümlerle değiştirilmeyen niteliklerinin geometrisidir. Bir ufuk çizgisine ve imgelerini gerçek nesneler gibi görünecek şekilde yerleştirmek için "gözden kaybolan noktalar"a sahip perspektif çizimler yapan her sanatçı izdüşümsel geometri kullanıyordun

İzdüşüm, paralelleri ufukta nasıl birleştirir.

Bir izdüşümsel düzlemde, geometri çok zariftir. Her iki nokta, öklit geometrisinde olduğu gibi, tek ve biricik bir doğruyla birleşebilir. Fakat her iki ayn doğru da tam olarak bir noktada kesişir, öklit'in kullandığı şekilde, paraleller burada yoktur.

Bu size Fano düzlemini hatırlatıyorsa, haklısınızdır. Fano düzlemi bir sonlu izdüşümsel geometridir.

Rönesans perspektifinden istisnai Lie gruplarına kısa bir adım atalım şimdi. Alberti'nin yönteminde kapalı olarak yer olan izdüşümsel düzlem, yeni tür bir geometri olarak açık hale getirilmişti. Daha sonra mimar ve mühendis olan ordu görevlisi Girard Desargues, 1636'da, Bir Düzlemi Kesen bir Koninin Sonuçlarını İrdelemek için bir Girişimin Öneri Taslağı'm bastırmıştı. Konikler üzerine bir kitap gibi tınlıyor ve zaten öyle, fakat geleneksel eski Yunan geometrisi kullanmak yerine, Desargues izdüşümsel yöntemleri kullanmaktaydı. Tıpkı bir gerçel sayı çifti olan Descartes'ın (x, y) koordinatlarını kullanarak öklit gometrisi bir cebir haline döndürülebildiği gibi, izdüşümsel geometri de x ya da y sonsuz yapılarak (akıllıca kontrol edilir tarzda, üç koordinatın oranlarını içererek ve 1 -e- 0 - sonsuz koyarak) cebire döndürülebilir.

Gerçel sayılarla ne yapabiliyorsanız, karmaşık sayılarla da onlan yapabilirsiniz; böylece şimdi de karmaşık izdüşüm düzlemi elde edersiniz. Bu çalışırsa, kuaterniyonlan ya da oktonyonlan ne diye denemeyesiniz ki?

Problemler olur, komütatifliğin geçersizliği nedeniyle aşikâr yöntemler çalışmaz. Fakat 1949'da matematiksel fizikçi Pascual Jordan 16 gerçel boyutlu bir oktonyonik izdüşüm-sel düzlem kurmanın anlamlı bir yolunu bulmuştu. 1950'de kuramcı Armand Borel'in çalışma grubuysa şunu kanıtlamıştı: ikinci istisnai F4 Lie grubu, oktonyonik izdüşümsel düzlemin simetri grubudur. Bu oktonyonik izdüşümsel düzlem, karmaşık düzleme çok benzemekte, fakat gerçel sayılarla değil de oktonyonlarla etiketli iki 8-boyutlu "cetvel"den oluşan bir düzlemdir.

Böylece artık beş istisnai Lie grubunun ikisinin oktonyo-nik açıklaması vardı. Peki, diğer üçü -E6, E7 ve E8 - hakkında ne denebilirdi?

istisnai Lie gruplarının kötü niyetli bir tanrının gaddarca bir eylemi olduğu görüşü 1959'a dek, yani Hans Freudenthal ve Jacques Tits'in bağımsız olarak "sihirli kare"yi icat edip E6, E7 ve E8'i açıklaymcaya kadar oldukça yaygındı.

Sihirli karenin satırları ve kolonları dört normlu bölme cebirine karşılık gelir. Herhangi iki normlu bölme cebiri verildiğinde, karşılık gelen satır ve sütunlara bakarsınız; sihirli karenin size verdiği şey -teknik bir matematiksel reçeteyi izleyerek- bir Lie grubudur. Bu grupların bazıları dosdoğru, besbellidir; örneğin, gerçel satır ve gerçel sütuna karşılık gelen Lie grubu üç-boyutlu uzaydaki dönmelerin SO(3) grubudur. Hem satır hem de sütun kuatemiyonlara karşılık gelirse, 12-boyutlu uzaydaki dönmelerin SO(12) grubunu elde edersiniz; ki buna matematikçiler tam aşinadır. Oktonyon satır ya da sütuna bakarsanız, öğeler istisnai F4, E6, E7 ve E8

* ' 7 8

Lie gruplandır. Eksik olan istisnai G2 grubu da oktonyon-larla sıkı sıkıya ilişkilidir; onlann simetri grubu olduğunu zaten görmüştük.

Böylece şimdi genel kanı şudur: Oktonyonlann var olmasına izin veren Tanrı'nın hikmetinden ötürü, istisnai Lie gruplan mevcuttur. Einstein'm dediği gibi, Tann gizemlidir, fakat kötü niyetli değildir. Beş istisnai Lie grubunun hepsi çeşitli oktonyonik geometrilerin simetrileridir.

1956'ya doğru, Rus geometrici Boris Rosenfeld, herhalde sihirli kareyi düşünerek, kalan üç istisnai E6, E7 ve E8 grubunun da izdüşümsel düzlemlerin simetri gruplan olduklannı varsaydı. Bununla birlikte, oktonyonlann yerine aşağıdaki yapıları kullanmalısınız:

• E6 için: bioktonyonlar, karmaşık sayılar ve oktonyon-lardan kurulmuştur.

• E7 için: kuateroktonyonlar, kuatemiyonlar ve okton-yonlardan kurulmuştur.

• E8 için: oktooktonyonlar, oktonyonlar ve oktonyonlar-dan kurulmuştur.

Kimsenin bilmediği tek küçük engel, sayı sistemlerinin böyle karışımları üzerinden, akla uygun izdüşümsel düzlemlerin nasıl tanımlanacağıdır. Fakat bu fikri anlaşılır kılan bir kanıt vardı. Şimdiki halde, Rosenfeld'in varsayımını ispatlayabiliriz, fakat izdüşümsel düzlemleri kurmak için sadece grupları kullanarak. Bu pek doyurucu değil, çünkü fikir diğer yönden, yani izdüşümsel düzlemlerden gruplara gitmeliydi. Yine de, bu bir başlangıçtır. Aslında, Efi ve E7için, izdüşümsel düzlemleri kurmak için artık bağımsız yollar vardır. Sadece E8 hâlâ ayak diremektedir.

O, oktonyonlar için olmasaydı, Lie grup öyküsü, Killing'in özgün olarak umduğu gibi, çok daha dosdoğru, fakat çok daha az ilginç olurdu. Biz ölümlüler seçmemekle birlikte, oktonyonlar ve tüm ilişkili öteberi oradadır. Ve belirsiz bir şekilde, evrenin varoluşu onlara hağlı olabilir.

Oktonyonlar ile yaşam arasındaki bağlantı, evren ve hatta her şey, sicim kuramından ortaya çıkabilir. Kilit özellik, sicimleri tutmak için ilave boyutlara duyulan gereksinimdir. Bu ilave boyutlar, ilke olarak, bir sürü biçime sahip olabilir ve önemli soru, doğru biçimi bulmaktır. Modası geçmiş ku-antum kuramında, kilit ilke simetridir ve sicim kuramında da durum budur. Böylece kuşkusuz Lie grupları bu işe dahil olmayı ummaktadır. Her şey, simetrilerin bu Lie gruplarına dayanır ve yine istisnai gruplar göze çarpar; rahatsız edecek kadar değil, fakat fiziğin işlemesine yardımcı olabilecek beklenmedik rastlantılar için fırsatlar olarak.

Bu da bizi yine oktonyonlara geri götürür.

İşte size onların etkisinin bir örneği. 1980'lerde, fizikçiler 3, 4, 6 ve 10 boyutlu uzayzamanlarda oldukça güzel bir bağıntının bulunduğunu fark etmişlerdi. Vektörler (yönlü uzunluklar) ve spinörler (özgün olarak, elektron spini kuramında Paul Dirac'ın yarattığı cebirsel zımbırtılar) bu boyutlarda -ve sadece bunlarda- tertemiz şekilde bağlantılıdırlar.

Neden? Uzayzamanm boyutları normlu bir bölme cebirinin boyutundan 2 daha büyük olduğunda, vektör-spinör bağlantısının kesinlikle geçerli olduğu sonunda anlaşılmıştı. 3,4, 6 ve 10'dan 2'yi çıkarınca, bulacağınız boyutlar 1,2,4 ve 8 olur.

Matematiksel husus şudur; 3-, 4-, 6- ve 10-boyutlu sicim kuramında, her spinör ilgili normlu bölme cebirinde iki sayı kullanılarak temsil edilebilir. Bu başka hiçbir boyut sayısında olmaz ve fizik için birçok güzel sonuca sahiptir. Dolayısıyla burada sicim kuramı için dört adayımız var: gerçel, karmaşık, kuatemiyonik ve oktonyonik. Tesadüfe bakın ki, bu olası sicim kuramları arasında şu anda gerçekliğe karşılık gelme şansı en iyi olduğu düşünülenlerden biri, oktonyonlar tarafından belirtilen 10-boyutlusudur. Eğer bu 10- boyutlu kuram kesin olarak gerçekliğe karşılık geliyorsa, o zaman evrenimiz oktonyonlardan kurulmuş demektir. Cebirin kurallarını ucu ucuna sağladıkları için zar zor bu isme sarılan bu acayip "sayılar"m etkili olduğu tek yer burası değildir. Revaçta olan yeni sicim kuramı adayı, M-kuramı, 11- boyutlu uzayzamanı içerir. 11-boyutlu uzayzamandan algılanabilir tanıdık 4-boyuta inmek için, 7 boyutu saptana-mayacak derecede sıkı sıkıya sarmalayıp başımızdan atmalıyız. 11-boyutlu süperkütleçekim için bunu nasıl yaparsınız? Oktonyonlann simetri grubu olan istisnai G2 Lie grubundan yararlanır s iniz.

Onlar oradadır yine: Artık antik Victoria Dönemi nesnesi değil, olası bir Her Şeyin Kuramına güçlü bir ipucu. Bir ok-tonyonik dünya.

GERÇEKLİĞİ VE GÜZELLİĞİ ARAYANLAR

Keats haklı mıydı? Güzellik gerçeklik midir? Ve gerçeklik de güzellik?

Bu ikisi derinden ilişkilidir; herhalde, çünkü beyinlerimiz her ikisine de benzer biçimde tepki verir. Fakat matematikte işleyen bir şeyin, fizikte de işlemesi (ya da tersi) şart değildir. Matematik ile fizik arasındaki bağlantı, derin, incelikli ve muammalıdır. Bu yüksek dereceden bir felsefi bilmecedir; bilim doğadaki görünür "yasalar"ı nasıl ortaya çıkarmıştı ve doğa niçin matematik diliyle konuşur gibi görünmektedir.

Evren gerçekten de matematiksel midir? Onun görünür matematiksel yanlan sadece insan icadı mıdır? Ya da bizim anlayabileceğimiz sonsuz derecedeki karmaşık doğasının en derin yanının matematik olması nedeniyle mi evren bize matematiksel görünüyor?

Matematik, pek çok kişinin düşündüğü gibi, kesin gerçeğin ruhani bir hâli değildir. Anlattıklarımızdan bir şeyler çıkarılacaksa bu, matematiğin insanlar tarafından yaratıldığı olur. Onların başarılarını ve onların sıkıntılarını derhal iliş-kilendirebiliriz. Abel ve Galois'nın, her ikisinin de 21 yaşındaki korkunç ölümleriyle kim duygulanmaz ki? Biri derinden âşık olmuş, fakat evlenmek için yeterli parayı kazanamamıştı; keskin zekâlı ve delibozuk olan diğeriyse sevdalanmış ama reddedilmiş ve belki de bu aşk yüzden ölmüştü. Bugünün tıbbı Abel'i kurtarabilirdi ve Hamilton'a ayık kalması hususunda yardım bile edebilirdi.

Matematikçiler insan oldukları ve normal insan yaşamı sürdürdükleri için, yeni matematik yaratmaları kısmen toplumsal bir süreçtir. Fakat toplumsal görecilerin genellikle

iddia ettikleri gibi, ne matematik ne de bilim bütünüyle toplumsal süreçlerin bir sonucudur. Her ikisi de dışarıdan gelen kısıtlamalara uymalıdır: matematik için mantık, bilim içinse deney. Matematikçiler bir açının öklitçi yöntemlerle üç eşit parçaya bölünmesini delicesine isteyebilirler, ama bunun olanak dışı olduğu açıktır. Fizikçiler de Newton'ın kütleçe-kim yasasının evrenin kesin betimlenişi olmasını şiddetle isteyebilirler, ama Merkür'ün günberi noktasının hareketi bunun böyle olmadığını kanıtlamaktadır.

Matematikçilerin bu kadar inatla mantıksal olmalarının ve çoğu kişinin pek umursamadığı sorunlarla kafayı bozmalarının nedeni budur. Beşinci derece denklemini köklülerle çözüp çözememeniz gerçekten de bu kadar önemli midir?

Tarihin bu soru üzerindeki karan tartışmasızdır: Evet, önemlidir. Günlük yaşam için doğrudan önemli olmayabilir, fakat bir bütün olarak insanlık için elbette önemlidir; bunun önemi, beşinci derece denklemlerini çözebilmeye dayanmasından değil de, yeni bir matematiksel dünyaya niçin gizli bir giriş açamadığımızı anlamaktan ileri gelmektedir. Galois ve onun öncelleri bir denklemin hangi koşullar altında çözülebileceğini anlamakla kafalarını bozmasaydılar, insanlığın grup kuramını keşfetmeleri çok sonralara kalırdı ve belki de hiç ortaya çıkmazdı.

Mutfağınızda ya da arabanızla işinize giderken, gruplarla karşılaşmayabilirsiniz; fakat onlarsız bugünün fen bilimleri ciddi şekilde kısıtlanırdı ve yaşamlarınız çok farklı olurdu. Jumbo jetler veya GPS'li ulaşım ya da cep telefonları gibi araç-gereçler çok etkilenmese de -gerçi onlar da öykünün parçalan- doğanın iç yüzünü anlamada adamakıllı geride kalırdık. Denklemler hakkında bilgiççe bir sorunun fiziksel dünyanın derin yapısını açıklayabileceğini hiç kimse öngörememişti; fakat olmuş olan işte budur.

Tarihin açık mesajı basit bir mesajdır. Derin matematiksel konular üzerine olan araştırmalar, doğrudan pratik uygulaması görünmüyor diye, reddedilmemeli ya da yadsınmamalı-dır. iyi matematik altından daha değerlidir ve nereden geldiği çoğu zaman önemsizdir. Nereye götürdüğüdür önemli olan.

tyi matematiğin bizi genelde beklenmedik yerlere götürmesi insanı hayrete düşürmektedir ve pek çoğunun, başlangıçta tamamıyla başka amaçla icat edilmiş olsa bile, bilim ve teknoloji için yaşamsal olduğu anlaşılmıştır. Yunanlarca bir koni kesiti olarak incelenmiş olan elips, Kepler aracılığıyla Tycho Brahe'nin Mars'ın hareketlerinin gözlenmesinden Newton'ın kütleçekim kuramına yol açan bir ipucuydu. Bulucusu Cayley'in kullanışsız diye özür dilediği Matris Kuramı, istatistikte, ekonomide ve bilimin hemen hemen her dalında esas araç haline gelmişti. Oktonyonlar belki de Her Şeyin Kuramı için esin kaynağı olabilir. Kuşkusuz, süper-sicimlerin fizikle hiç ilgisi olmayan sırf matematiğin güzel bir parçası olduğu anlaşılabilir. Böyle olursa, kuantum kuramında var olan simetri kullanımları, yine de grup kuramının, saf matematikteki bir soruyu yanıtlamak için geliştirilmiş olsa bile, doğanın derinlerdeki iç yüzünü anlamamızı sağladığını gösterir.

Matematik neden mucitlerinin asla hedeflemedikleri amaçlar için bu denli yararlı olmaktadır?

Yunan filozof Platon "Tanrı daima geometrik yöntemlerle çalışır" demişti. Galileo da neredeyse aynı şeyi söylemişti: "Doğa'nm harika kitabı matematik dilinde yazılmıştır." Johannes Kepler gezegen yörüngelerinde matematiksel örüntüler bulmak üzere işe koyulmuştu. Onların bazıları Newton'u kütleçekim yasasına yöneltmişti; diğerleriyse gizemli saçmalıklardı.

Birçok çağdaş fizikçi matematiksel düşüncenin şaşırtıcı gücü üzerine yorumlarda bulunmuştu. Wigner matematiğin "mantıksız etkinliği"ni doğayı anlamanın bir yolu olarak biraz alaya alırdı; bu ifade, 1960'ta yazdığı bir makalenin başlığında görünür. Makalenin metninde iki ana hususun üstesinden gelebildiğini söylemekteydi:

Birinci husus, doğa bilimlerinde matematiğin müthiş yaran, gizemin sınırı üzerinde bir şeydir ve onun için akılcı bir açıklama yoktur. İkincisi, tam da matematiksel

kavramların bu anlaşılmaz yararıdır ki bizim fizik kuramlarımızın biricikliği sorusunu ortaya atar.

Ve:

Fizik yasalarının formülasyonu için matematik dilinin uygunluğu mucizesi, bizim ne anladığımız ne de hak ettiğimiz mükemmel bir armağandır. Buna şükretmeliyiz ve bunun gelecekteki araştırmalarda da geçerli kalacağını ve isteğimize göre, iyi de olsa kötü de, belki bizi şaşırtmış bile olsa, öğrenmenin engin dallarına genişleyeceğini ümit etmeliyiz.

Paul Dirac, matematiksel olmaya ilaveten, doğa yasalarının güzel de olmaları gerektiğine inanmaktaydı. Onun kafasında güzellik ve gerçeklik aynı paranın iki yüzüydü. Güzel bir kuramı doğru bir kurama yeğleyebileceğim, güzelliğe basitliğin üzerinde değer verdiğini söyleyecek kadar da ileri gitmişti: "Araştırmacı doğanın temel yasalarını matematiksel yapı içinde ifade etme çabalarında büyük ölçüde matematiksel güzellik için didinmelidir. Yine de basitliği güzelliğe göre ikincil şekilde göz önüne almalıdır . . . sonrakiyle anlaşamadığı yerde öncekini almalıdır."

İlginç olarak, Dirac'ın matematikteki güzellik kavramı pek çok matematikçininkinden oldukça farklıydı. Onunki mantıksal doğruluk içermiyordu ve çalışmalarının birçok adımında mantıksal boşluklar vardı -en iyi bilinen örnek, onun kendisiyle çelişen özellikleri içeren "delta fonksiyonu"ydu. Bununla birlikte, o bu fonksiyonu çok etkin biçimde kullanmıştı ve sonunda da matematikçiler bu fikri son derecede doğru bir şekilde yeniden formüle etmişlerdi- bu hususta, o gerçekten bir güzellik nesnesiydi.

Yine de, Dirac'ın özgeçmişini yazan Helge Kragh'm işaret ettiği gibi, "[Dirac'ın] tüm önemli keşifleri [1930'ların ortasından] önce yapılmıştı; 1935'ten sonra büyük ölçüde kalıcı değerde fizik üretmede başarısızdı. Matematiksel güzellik ilkesinin onun düşünme sürecini ancak daha sonraki dönemde etkisi altına aldığına işaret etmek yersiz sayılmaz."

Yersiz değil belki, ama doğru da değil. Dirac bu ilkeyi daha sonraki dönemlerinde apaçık bir hale getirmiş olabilir, ama onu daha önce kullanmaktaydı. En iyi çalışmalarının tümü matematiksel açıdan nefistir ve verimli bir yönde ilerleyip ilerlemediğinin bir sınaması olarak bu nefasete bel bağlamaktaydı. Tüm bunlar matematiksel güzelliğin fiziksel gerçeklikle aynı şey olduğunu ileri sürmese de, matematiksel güzelliğin fiziksel gerçeklik için gerekli olduğunu söylüyordu. Ama yeterli değildir. Pek çok güzel kuram deneyle karşılaştığında tamamen anlamsız hale gelivermişti. Thomas Huxley'nin dediği gibi, "Bilim düzenlenmiş sağduyudur, orada birçok güzel kuram çirkin bir olguyla yok edilir."

Ayrıca doğanın temelinde güzel olduğuna değin pek çok kanıt vardır. Çalışmaları grup kuramıyla fiziği birleştirme üzerine olan matematikçi Hermann Weyl "Ben araştırmalarımda hep gerçeği güzelle birleştirmeye çalışmıştım; birini ya da diğerini seçmek zorunda kaldığımda, genellikle güzeli seçerim" demişti. Kuantum mekaniğinin kurucusu Wemer Heisenberg de Einstein'a şunları yazmıştı:

Basitlik ve güzellikten söz ederken, gerçekliğin estetik ölçütünü ortaya atmış olduğuma karşı çıkabilirsiniz; samimiyetle itiraf ederim ki doğanın bize sunduğu matematiksel tasarıların basitlik ve güzelliğinin cazibesine kapılıyorum büyük ölçüde. Ayrıca doğanın birdenbire önümüze serpiverdiği şu neredeyse dehşet verici basitliği ve bağlantı bütünlüğünü de iliklerinizde duyumsa-malısmız.

Sırası gelmişken, Einstein pek çok temel şeyin -zamanın doğası, maddenin düzenli davranışının kökenleri, evrenin biçimi- bilinmediğinin farkındaydı; bunlar bize bir şeyleri "kesin olarak" anlamaktan ne denli uzak olduğumuzu anım-s atmalı dır.

Tarih boyunca, matematik iki farklı kaynaktan beslenmişti. Biri doğal dünya ve diğeri akılcı düşüncenin soyut

dünyası. Bu ikisi, karışım halinde, bizi evren hakkında bilgi sahibi kılma gücü verir matematiğe. Dirac bu bağlılığı mükemmelen anlamıştı: "Matematikçi kurallarını kendisinin koyduğu bir oyun oynamaktadır; fizikçiyse kuralları doğa tarafından temin edilen bir oyun oynar. Saf ve uygulamalı matematik birbirini tamamlar. Onlar ayrı kutuplar değil, tersine birleşik düşünce spektrumunun iki ucudur.

Simetrinin öyküsü, iyi bir soruya ("beşinci derece denklemini çözebilir miyiz?") olumsuz bir yanıtın bile bizi derin ve temel matematiğe nasıl sevk edeceğini gösterir. Önemli olan, yanıtın niçin olumsuz olduğudur. Bunu ortaya çıkaran yöntemler, birçok başka problemi çözmekte kullanılabilir; fizikteki derin sorular bunlar arasındadır. Fakat öykümüz ayrıca matematiğin sağlığının, fizik dünyasından gelecek yeni yaşam aşısına bağlı olduğunu da gösterir.

Matematiğin gerçek gücü, kesinkes fiziksel dünya ile insanın örüntü duyusunun ("güzellik") bu olağanüstü kaynaşmasında yatar; fizik dünyası her ikisine hakikatin sınanması ("gerçeklik") olarak ve tükenmez esin kaynağı olarak etkir. Bilimin ortaya koyduğu problemleri yeni matematiksel fikirler olmaksızın çözemeyiz. Fakat yeni fikirler, kendi iyiliği için, en uca taşınırsa, anlamsız oyunlar içinde dejenere olabilirler. Bilimin ihtiyaçları matematiğin verimli çizgiler boyunca ilerlemesini sağlar ve çoğu kez yeni ihtiyaçlar ileri sürer.

Matematik tamamıyla ihtiyaçların sürüklemesiyle oluş-saydı, bilimin bir kölesi olan sizler bir köleden beklediğiniz çalışmayı -somurtkan, gönülsüz ve yavaş- elde ederdiniz. Konu tamamen içsel kaygılarla sürülmüş olsaydı, o zaman da karşınızda pohpohlanmış, kendini düşünen ve kendi önemine gark olmuş, şımarık, çıkarcı bir yumurcak bulurdunuz. En iyi matematik kendi gereksinimlerini dış dünyanmkilere karşı dengeler.

Onun mantıksız etkinliği işte buradan türemektedir. Dengeli bir kişilik, deneyimlerinden çok şey öğrenir ve bu öğrendiklerini yeni durumlara aktarır. Gerçek dünya yüksek matematiğe ilham verir, fakat yüksek matematik onun kökenlerinin ötesine geçer.

İkinci dereceden denklemin nasıl çözüleceğini keşfeden adsız Babilli, en gerçek dışı hayallerinde bile, üç bin yıl sonra kendi mirasının ne olabileceğini asla tahmin edemezdi. Denklemlerin çözülebilirliği hakkmdaki soruların, matematiğin ana kavramlarından birine, grup kavramına -ya da grupların, simetrinin dili olduğu gerçeğine- götüreceğini hiç kimse tahmin edemezdi. Hele simetrinin fiziksel dünyanın gizemlerini ortaya çıkaracağını hiç kimse bilemezdi.

İkinci derece denklemini çözmüş olmanın yararı, fizikte çok sınırlıdır. Beşinci dereceyi çözmüş olmak daha da az yarara sahiptir, çünkü her çözüm sayısal olmalıdır, simgesel değil; aksi halde, amaç doğrultusunda özel olarak icat edilmiş simgeler kullanılır, ki bunlar soruyu bir kılıfla örtmekten çok az daha fazla iş yapar.

Süreç devam etmektedir. Fizik için, aslına bakarsanız bilimin bütünü için, simetrinin çıkarımları, hâlâ tam olarak incelenmiş değildir. Henüz anlamadığımız çok şey var. Fakat şunu artık iyice anladık ki bakir doğadaki yolumuz simetri gruplarıdır; en azından, çok daha güçlü bir kavram (belki de bir gösterişsiz tezde çoktandır beklemekte) ortaya çıkıncaya dek.

Fizikte, güzellik otomatik olarak gerçekliği sağlama almaz, fakat ona yardım eder.

Matematikte, güzellik gerçeklik olmalıdır; çünkü sahte olan her şey çirkindir.

KAYNAKÇA

John C. Baez, "The octonions," Bulletin of the American Mathe-matical Society cilt 39 (2002) 145-205.

E. T Beli, Men ofMathematics, Pelican, Harmondsworth, 1953.

R. Bourgne and J.-P. Azra, Ğcrits et Memoires Mathematiques d'Ğvariste Galois, Gauthier-Villars, Paris, 1962.

Cari B. Boyer, A History ofMathematics, Wiley, New York, 1968.

W. K. Biihler, Gauss: A Biographical Study, Springer, Berlin, 1981.

Jerome Cardan, The Book of My Life (çev: Jean Stoner), Dent, London, 1931.

Girolamo Cardano, The Great Art or the Rules ofAlgebra (çev: T Richard Witmer), MIT Yayınları, Cambridge, MA, 1968.

A. J. Coleman, "The greatest mathematical paper of ali time,"The Mathematical Intelligencer, cilt 11 (1989) 29-38.

Julian Lowell Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs, Döver, New York, 1963.

P. C. W. Davies ve J. Brown, Superstrings, Cambridge Üniversitesi Yayınları, Cambridge, 1988.

Underwood Dudley, A Budget ofTrisections, Springer, New York, 1987.

Alexandre Dumas, Mes Memoires (cilt 4), Gallimard, Paris, 1967. Euclid, The Thirteen Books ofEuclids Elements (çev: Sir Thomas L. Heath), Döver, New York, 1956 (3 cilt).

Cari Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (çev: Arthur A. Clarke),Yale Üniversitesi Yayınları, New Haven, 1966.

Jan Gullberg, Mathematics: Frorn the Birth ofNumbers, Norton, NevvYork, 1997.

George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock, Penguin, London,2000.

Brian Greene, TheElegant Universe, Norton, NevvYork, 1999. [Evrenin Zarafeti, TÜBÎTAK Yayınları, çev: Ebru Kılıç, 2011]

Michio Kaku, Hyperspace, Oxford Üniversitesi Yayınları, Oxford, 1994.

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford Üniversitesi Yayınlan, Oxford, 1972.

Helge S. Kragh, Dirac: A Scientific Biography, Cambridge Üniversitesi Yayınları, Cambridge, 1990.

Mario Livio, The Eguation That Could'nt Be Solved, Simon & Schuster, NewYork, 2005.

J.-P Luminet, Black Holes, Cambridge Üniversitesi Yayınlan, Cambridge, 1992.

Oystein Ore, Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary, Minnesota Üniversitesi Yayınları, Minneapolis, 1957.

Abraham Pais, Subtle Is the Lord: The Science and the Life ofAl-bert Einstein, Oxford Üniversitesi Yayınları, Oxford, 1982.

Roger Penrose, The Road to Reality, BCA, London, 2004. [Gerçeğin Yollan, çev: Mahir Akkaya, Alfa Bilim, 2015]

Lisa Randall, Warped Passages, Ailen Lane, London, 2005.

Michael I. Rosen, "Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree," American Mathematical Monthly, cilt 102 (1995) 495-505.

Tony Rothman, "The short life of fivariste Galois," Scientific American (Nisan 1982) 112-120. Tony Rothman, A Physi-cist on Madison Avenue, Princeton Üniversitesi Yayınlan, 1991 kitabında derlenmiştir.

H. F. W. Saggs, Everyday Life in Babylonia and Assyria, Putnam, NevvYork, 1965.

Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity, Basic Books, New York, 2000.

Paul J. Steinhardt and Neil Turok, "Why the cosmological constant is small and positive," Science, cilt 312 (2006) 11801183.

lan Stewart, Galois Theory (3. baskı), Chapman and Hall/CRC Yayınları, Boca Raton 2004.

Jean-Pierre Tignol, Galois's Theory of Algebraic Eguations, Longman, London, 1980.

Edward Witten, "Magic, mystery, and matrix," Notices of the American Mathematical Society, cilt 45 (1998) 1124-1129.

KAYNAKÇA

WEB siteleri

A. Hulpke, Determining the Galois group of a rational polyno-mial:

http://www.math.colosate.edu/hulpke/talks/galoistalk.pdf

The MacTutor History of Mathematics archive: http://www-

history.mcs.

st-andrews.ac.uk/index.html

A. Rothman, Genius and biographers: the fictionalization of

E variste Galois:

http://godel.ph.utexas.edu/tonyr/galois.htm

DİZİN

7-genler 45

17-genler 49, 89, 168

n(pi) 162

Abaküs 69

Abbott, Edwin 278

Abel, Hans Mathias 109, 334

Abel Kulesi 117,118

Abel, Niels Henrik 11, 110,125

Aghurmi 34

Airy, George 191

Akad 15,16,23

Alamut Kalesi 58

Alberti, Leone 328, 330

Alexander, Epirus kralı 35

Alkol 171, 191

Almaşık (altemating) gruplar 145

Altmış-tabanlı sistem 28

Alvarez-Gaume, Luis 308

Amun 34

Anomaliler 308

Apollonius 59

Araç-yapma 48

Argand diyagramı 185

Argand, Jean-Robert 185

Aristoteles 39,215

Aritmetik 54, 55

Arşimet 38,40,46, 59, 157

Asal sayılar 322

Ashtekar, Abhay 312

Asimov, Isaac 273

Asimptotlar 60

Asma Bahçeleri 16

Astroloji 66

Astronomi 57, 88

Asur 15

Aşkın sayılar 162,163

August, Ernst 97

Azra, Jean-Pierre 139

Babil 16

Babil'de matematik 20, 27

Babil Kulesi 16,116

Bachelier, Louis 229

Bader, Peter 110

Baez, John 317

Bahariya Vahası 34

Bandarini, Lucia 73

Bartels, Johann 88

Bastille Günü 135

Bayly, Helen 177

Becquerel, Alexandre 229

Beli, Eric Temple 172

Benze, Dorothea 86

Bereketli Bölge 15

Bernadotte, Jean Baptiste 110

Bernoulli, Johann 184

Bernstein, Cari 297

Bertel, Annemarie 251

Beşinci derece denklemleri 11,

84, 102, 107, 118, 144,335

Bianchi özdeşlikler 241

Bioktonyonlar 331

Bir Düzlemi Kesen bir Koninin Sonuçlarını İrdelemek için bir Girişimin öneri Taslağı (Desargues), 330

Birleşik alan kuramı 244

Birleşme yasası 190

Bohr, Niels 250, 288

Bolyai, Wolfgang 86,186

Bombelli, Rafaele 83, 317

Born, Max 256

Bose, Satyendranath 289

Boşluk enerjisi 314

Bourg-la-Reine 129

Bourgne, Robert 139

Bousso, Raphael 314

Bozonlar 289

Bölme cebiri 195

Bölme yasası 189

Brahe, Tycho 60, 336

Brahmagupta 56, 322

Brenda, Georgine Emilia 251

Brinkley, John 174

Broglie, Louis de 250

Broome Köprüsü 190

Brown hareketi 228

Brunelleschi, Filippo 328

Bruno, Giordano 79, 232

Büttner, J. G. 87, 88

Büyük Çökme 315

Büyük Patlama 238,296,315

Büyük Sanat (Cardano, G.) 67, 74,

75, 76, 77, 84, 98

Calabi-Yau manifoldu 309

Candelas, Philip 309

Cardano, Fazio 71

Cardano, Girolamo 65,71

Cardano Kulesi 116

Cartan, Ğlie 209,211,327

Cassiani, Paolo 103

Cauchy, Augustin-Louis 104,105,

128, 129, 140, 146, 148

Caussidiere, Marc 137

Cayley, Arthur 154,319

Cayley-Dickson süreci 324

Cayley sayılan 319

Cebir (Bombelli) 83

Cebir (Hayyam) 61

Cetvel 43, 44, 45, 46, 49, 51, 157,

159, 188

Cetvel 63

Chevalier, Auguste 138

Cloyne Piskoposu 174

Colburn, Zerah 172

Coleridge, Samuel Taylor 174

Connes,Alain 312

Conti, Vittoria 99

Conway, John Horton 170

Cosa 70

Coulomb, Charles Augustin 100

Crelle, August 119

Crick, Francis 252

Crommelin, Andrew 260

Çekirdek kuvveti 272

Çemberin karelenmesi 156,157, 161

Çeşitli Sorular ve Buluşlar (Fontana) 77

Çok boyutlu uzaylar 97, 274

Çokterimliler 80, 93

D'Alembert, Jean le Rond 99

Dalga boyları 222

Dalga optiği 175

Darboux, Gaston 199

Darwin, Charles 227

Davy, Humphry 218

Değen, Ferdinand 111

Değişmez kuram 235

Delambre, Jean 104

Della Pittura (Alberti) 328

Deneysel Araştırmalar (Faraday) 221

Denklemlerin Genel Kuramı (Ruf-fini) 103

Denklemlerin Köklülerle Çözülebilme Koşulları Üzerine (Galois) 132

Derin Gırtlak 297

Desargues, Girard 330

Descartes, Rene 182

D'Herbinville, Galois Pescheux

137

Dicle 15

Diferansiyel alanlar 203

Diferansiyel denklemler 196

Dinamik Kuram 245

Dirac, Charles 259

Dirac etkisi 261

Dirac, Paul 251, 332, 337

Disney, Catherine 174, 191

Disney, Thomas 191

Disquisitiones Arithmeticae (Gauss, C. F) 205

Diyofantus 53, 54

Diyofantus denklemleri 55

Doğa Felsefesinin Matematiksel tikeleri (Newton), 214

Doğa yasaları 200, 238, 292

Doğrusal denklemler 54

Dördüncü boyut 276, 277

Dördüncü derece denklemler 67, 84,91,98,116

Dört Kare Teoremi 99,100

Dörtlüler 188

Dumas, Alexandre 133

Dünya çizgisi 237, 304

Dünya Manyetizmasının Genel

Kuramı 97

Dünya yüzeyleri 305

Düzgün Altıgenler, kurulumu 49

Düzgün çokgenler 48,49

Dyson, Frank 260

e 165

E. Bartolotti 76

Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsa el-Hârizmî 55

Eddington, Arthur 243, 260

ficole Polytechnique 158

Einstein, Albert 213,214,223

Einstein denklemleri 242

Einstein, Hermann 222

Einstein, Maria 223

Einstein, Pauline 223

Elektromanyetizma yasalarındaki

simetriler 236

Elektronlar 250, 252, 262

Elektrozayıf kuram 272

E=mc2 236

Engel, Friedrich 206

Engizisyon 78

Enlil 25

Emest Duchâtelet 135

Esir 217,218,222

Eski çağlarda matematik 16

Eşdeğerlik ilkesi 239

Euler, Leonhard 89, 92, 99, 274

Exner, Franz 251

Fano düzlemi 319,320

Fantini, Luigi 103

Faraday, Michael 218, 219

Ferdinand, Cari VVilhelm 89

Fermat asallar 168

Fermat'mn Son Teoremi 112,157,

255

Fermat, Pierre de 55,168

Fermi, Enrico 289

Fermiyonlar 289, 293

Ferrari Kulesi 116

Ferrari, Lodovico 75, 77

Feynman diyagramları 305

Fırat 15, 16

Fibonacci dizisi 70

Fitzgerald, Edvvard 51

Fotoelektrik olay 249

Fotonlar 269

Fourier, Joseph 130

Fransız Devrimi 100

Freudenthal, Hans 331

Fridrichsen, Henriette 122

Galileo 79, 336

Galois, fivariste 9, 11, 124,125,

197

Galois gruplan 143, 146, 147

Galois'nın Cebirsel Denklemler Kuramı (Tignol) 101

Garrone, Lorenzo 225

Gauss, Cari Friedrich 85, 86,159

Gauss, Gebhard Dietrich 86

Gauss teoremleri 93

Geometrinin Öğeleri (Öklit) 37, 38,40, 43

Gerçel sayılar 178

Germain, Sophie 132

Giuseppe Piazzi 94

Gjerstad 109

Gluonlar 291

Göksel Kürelerin Dolanımlan Üzerine (Kopemik) 79

Görelilik 10, 229, 233

GPS (Küresel Yer-belirleme Sistemi) 222

Grassmann, Hermann 193 Graves, John 318,320,323 Graviton 291, 307

Group Theory and Its Application to the ûuantum Mechanics ofAtomic Spectra [Grup Kuramı ve Onun Atomik Spektrumlannın Kuantum Mekaniğine Uygulanması] 267

Grup kuramı 9,140,146,153 Günberi konumu 241

Güneş-merkezli kuram 232 Güzellik ve gerçeklik 337, 339

Hahn, Otto 247

Halley, Edmond 99

Hamilton sistemleri 173

Hamilton, William Rowan 171

Haritalama 68

Hasenhöhrl, Friedrich 251

Haşhaşiler 58

Havariler Dairesi (Apostolic Camera) 83

Hawkins,Thomas 207

Hayat Ağacı 295

Hayyam, Ömer 51, 56, 59, 63, 64

Heisenberg, August 253

Heisenberg, Wemer 253, 338

Hermite, Charles 165

Her Şeyin Kuramı 272, 273, 274,

295, 307,311,321

Hıristiyanlık 68

Hidrojen 251

Hiperbol 59

Hitler, Adolf 249, 251, 255

Homeros 37

Hooke, Robert 215

Horovvitz, Gary 309

Huguenin, Ulrich von 170

Humboldt, Alexander von 94

Hutton, Sarah 171

Huxley, Thomas 338

Huygens, Christian 217

II. Ramses 36

Infantozzi, Carlos 135

Irak, höyük yıkıntıları 22

Işık Üzerine Tez (Hygens) 217

Işın optiği 175

İkinci derece denklemler 32, 53,

56,79, 168

İleri Çalışmalar Enstitüsü 269,

299

İletkiler 160

İncil 37

İskender (Büyük) 35, 36

İskenderiye 36

İştar Kapısı 24

Jean-Louis 136

Jeodezikler 241

Joumal de Mathematigues Pures etAppliquees 159

K(9) 294

Kaiser Wilhelm Enstitüsü 265

Kaluza-Klein kuramı 282

Kaluza, Theodor 275

Kant, Immanuel 224

Kara cisimler 247

Kara delikler 271

Karekökler 18,19,31,170

"Karesel sayılar" 39

Karın zarı iltihabı 9

Karmaşık sayılar 90,91, 206, 285, 316,317,318

Karmaşık sistemler 277

Karşı-kuark 290

Karşı-madde 263, 289

Karşı Toros Dağları 15

Kelvin, Lord 245

Kendiliğinden simetri bozulması 268

Kepler, Johannes 60, 336

Kırılma 216

Kırınım 215,216

Kirchhoff, Gustav 246

Klein, Felix 166,198

Klein'ın Erlangen programı 329

Klein, Oskar 281

Kleopatra 35

Kline, Morris 70

Kollros, Louis 137

Komütatiflik yasası 319

Komütatör 203

Koni kesitler 45

Koni kesitleri 51, 59

Kopenhag yorumu 252, 257

Königsberg 274

Königsberg Üniversitesi 275

Kragh, Helge 337

Kronecker, Leopold 198

Kuadratik karşıtlık 89

Kuadratriks 45

Kuantum fiziği 271

Kuantum kuramı 173, 229, 245, 251

Kuantumlar 249

Kuantum mekaniği 293,316,338

Kuantum renk dinamiği 286, 291, 292, 307

Kuarklar 290,292,302

Kuaterniyonlar 12, 178, 190, 19i

Kuateroktonyonlar 331

Kuleler 114,116

Kummer, Ernst 198

Küpkökler 79, 80, 84

Lacroix, Sylvestre-François 130

Lagaş 16

Lagrange, Joseph Louis 98, 99, 100, 140, 323

Lambert'in ispatı 163

Lambert, Johann 162

Laplace, Pierre-Simon de 94

Lavoisier, Antoine 100

Leibniz, Gottfried Wilhelm 20, 165

Levi-Civita, Tullio 240

Lie cebirleri 203, 205, 207, 327

Lie grupları 310,321

Lindemann'ın ispatı 167

Logaritmalar 165

Lorent, Hendrik 236

Lorentz değişmezliği 239

Lorentz grubu 270, 284

Lorentz, Hendrik 260

Louis Paul-Richard 127

Manhattan Projesi 270

Manifoldlar 97

Marconi, Guglielmo 222

Marduk 24

Maskerade (Pratchett) 253

Mathematical Thoughtfrom An-cient to Modern Times [Antik Çağlardan Modern Zamanlara Matematiksel Düşünce] 70

Mathias, Hans 110

Matris 154,242,326

Maurice, Nassaulu 180

Maxwell-Boltzmann ilkesi 245

Maxwell denklemleri 221, 230

Maxwell, James Clerk 214, 220

McGovern, George 298

Meitner, Lise 247

Mekanik (Enler) 165

Merck, Marie 247

Mertebe 189

Mezopotamya 15,16

Mezopotamya tarihi 22

Micheria, Chiara 71

Mikolaj Kopernik 79

Milis, Robert 291

Minkoıvski, Hermann 236

Minkowski uzayzamanı 237

M-kuramı 310

Morley, Edward 233

Morötesi felaket 248

Morse, Marston 302

Müller, Hermann 246

Nabopolassar 23

Nabu 23

Nabukadnezar 21,23

Nambu,Yoichiro 305

Napoleon 100,103,110

Nave, Annibale del 76

Naziler 249, 251

Negatif sayılar 179

Negatif sayıların karesi 82

Negentropi 252

Neugebauer, Otto 30

Neveu.Andre 307

Newton, Isaac 20,217,234,242, 287, 335

Nichomachus 53

Ninova 16

Nippur 16

Nişabur 56

Nixon, Richard 297

Nizam'ül-Mülk 56

Noether, Emmy 204

Nötrinolar 289, 290

Nükleer silahlar 258

Dktooktonyonlar 332 3n-tabanlı sistem 26 'Jptik (Newton) 216 drsted, Hans 219

Osiander, Andreas 78

Oslo Fiyordu 109

Osthoff, Johanna 95

Öklit 36,37,38,40, 224, 229, 238

öklit aksiyomları 41,43

öklitçi geometri 96,199

Özdeşlik 151

Pacioli, Luca 70

Pais, Abraham 270

Pappus 38

Parabol 59

Parçacık fiziği 275

Paris 98

Pauli ilkesi 290

Pauli, VVolfgang 256

Pausanias 35

Peirce, Benjamin 192

Permütasyonlar 106,107

Pfaff, Johann 90

Pisagor 162,180

Pisagor teoremi 238, 322

Pisah Leonardo 69

Planck, Max 246, 247, 248, 249

Platon 38,39,328,336

Poisson parantezler 262

Polchinski, Joseph 314

Poncelet, Jean-Victor 197

Pozitron 263

Practica Geometrine (Pisah Leo-

nardo) 70

Pratchett, Terry 216,253

Protonlar 287

Ptolemaios 38

Rakamlar 26

Ramond, Pierre 307

Ravelli, Carlo 312

Renee-Françoise-Adelaide Le

Monnier 100

Revue Encyclopedique 138

Ricci-Curbastro, Gregorio 240

Rich, Claudius 22

Richelot, F, J. 170

Mekanik (Euler) 165

Merck, Marie 247

Mertebe 189

Mezopotamya 15JJ6

Mezopotamya tarihi 22

Micheria, Chiara 71

Mikolaj Kopernik 79

Mills, Robert 291

Minkowski, Hermann 236

Minkowski uzayzamanı 237

M-kuramı 310

Morley, Edward 233

Morötesi felaket 248

Morse, Marston 302

Müller, Hermann 246

Nabopolassar 23

Nabu 23

Nabukadnezar 21, 23

Nambu,Yoichiro 305

Napoleon 100,103,110

Nave, Annibale del 76

Naziler 249, 251

Negatif sayılar 179

Negatif sayıların karesi 82

Negentropi 252

Neugebauer, Otto 30

Neveu, Andre 307

Newton, Isaac 20, 217, 234, 242, 287, 335

Nichomachus 53

Ninova 16

Nippur 16

Nişabur 56

Nixon, Richard 297

Nizam’ül-Mülk 56

Noether, Emmy 204

Nötrinolar 289,290

Nükleer silahlar 258

Oktooktonyonlar 332

Dn-tabanlı sistem 26

İptik (Newton) 216

3r s te d, Hans 219

Osiander, Andreas 78

Oslo Fiyordu 109

Osthoff, Johanna 95

öklit 36, 37, 38, 40, 224, 229, 238

öklit aksiyomlan 41,43

Öklitçi geometri 96,199

Özdeşlik 151

Pacioli, Luca 70

Pais,Abraham 270

Pappus 38

Parabol 59

Parçacık fiziği 275

Paris 98

Pauli ilkesi 290

Pauli, Wolfgang 256

Pausanias 35

Peirce, Benjamin 192

Permütasyonlar 106, 107

Pfaff, Johann 90

Pisagor 162,180

Pisagor teoremi 238,322

Pisalı Leonardo 69

Planck, Max 246, 247, 248, 249

Platon 38,39,328,336

Poisson parantezler 262

Polchinski, Joseph 314

Poncelet, Jean-Victor 197

Pozitron 263

Practica Geometriae (Pisah Leo

nardo) 70

Pratchett, Terry 216,253

Protonlar 287

Ptolemaios 38

Rakamlar 26

Ramond, Pierre 307

Ravelli, Carlo 312

Renee-Françoise-Adelaide Le

Monnier 100

Revue Encyclopedique 138

Ricci-Curbastro, Gregorio 240

Rich, Claudius 22

Richelot, F. J. 170

Richmond, H. W. 170

Riemann, Georg Bernhard 97

Riemann manifoldlar 239

Rosenfeld, Boris 331

Rothman,Tony 139

Rubailer (Hayyam) 51

Sanal sayılar 185

Sayı kuramı 99

Schrödinger, Erwin 250, 251, 252

Schrödinger'in kedisi 257

Schrödinger, Rudolf 251

Schvvarz, John 307

Sedeniyonlar 324

Sekiz-kare formülü 323

Selevkos dönemi, Babil 22

Sembolizm, cebirde 53

Sıfır (0) 179

Sicim kuramı 306,307,308,310,

311,314

Sihirli kare 331

Silent, VVilliam the 180

Simetri gruplan 201

Simonsen, Anne Marie 109

Simonyi, Charles 299

Simplektik gruplar 207

Sirius 39

Siwa 35

Smith, Willoughby 229

Smolin, Lee 312

Smoluchowski, Marian 229

SO(2) 285,293

SO(3) 293,294,327,331

Sommerfield, Arnold 255

Sonsuz ondalıklar 181

Steinhardt, Paul 315

Stevin, Simon 180

Stobaeus 38

Strominger, Andrew 309

SU(2) 263,293

SU(3) 292

Sultan Alp Arslan 56

Sundance Bilson-Thompson 313

Sümer 15

Süpersicimler 304,308,310

Süpersimetriler 282, 300

Süpersimetrinin 301

Sylow, Ludwig 197

Şamaş 23

Şehir Felsefe Topluluğu 218

Tait, Peter 192

Talmud, Max 224

Tarım 16

Taton, Rene 128

Temsil kuramı 153, 263, 269

Tensörler 240, 242

Teoremler 43,180

Termodinamik 246

Terquem, Orly 127

Ters kare yasası 60

Theaitetos 38

The Book ofMy Life [Hayatımın

Kitabı] (Cardano, G.) 66

Tifüs 105

Tignol, Jean-Pierre 101

Titreşim örüntüleri 267

Tits, Jacques 331

Topoloji 274,303,306

Trattato delta Pittura (da Vinci)

328

Trigonometri 70, 140, 160

Turok, Neil 315

Tünelleme kuramı 315

Ulusal Muhafız Topçu Birliği 132

Uruk 16

"Uygulamalı matematik" 40

Uzay, Zaman ve Kütleçekim (Ed-

dington) 261

"Üçgensel sayılar" 39

Üçüncü derece denklemler 58,70

Vandermonde, Alexandre-Thop-hile 98

Vektör cebiri 193

Vektör toplamı 187

Veneziano, Gabriele 306

Vinci, Leonardo da 71

VVşıllis, John 182,183, 184

Wantzel, Pierre Laurent 158,159,

161

Weber, Heinrich Friedrich 266

VVeber, VVilhelm 96

VVecklein, Anna 253

VVecklein, Nikolaus 254

Weierstrass, Kari 198, 205

VVessel, 01e 185

Wessel, Caspar 185

VVessel düzlemi 185

Weyl gruplar 208

VVeyl, Hermann 267

What Is Life [Yaşam Nedir?]

(Schrödinger) 252

VVhittaker 262

VVien, VVilhelm 248

VVigner, Antal 264

VVigner, Eugene 10

Wiles,Andrew 55

VVitmer, Richad 75

VVitten, Edward 299

VVitten, Michael Atiyah 302

Wolff, Christoph 254

Woodward, Bob 297

Wordsworth, VVilliam 174

x 53,67

Yang-Mills 291

Yang, Ning 291

Yansıma 176

Yassıülke [Flatland] (Abbott) 278

Yau, Shing-Tung 300

Yeni türlerin üremesi 295

Zagros dağları 15

Zimmerman, E.A.W. 89

Zom, Max 325

GÜZELLİK GERÇEKLİKTİR

Görelilik kuramı, kuantum mekaniği, sicim kuramı ve çağdaş kozmolojinin tam ortasında gizli bir kavram yer almaktadır: Simetri. Güzellik Neden Gerçekliktir, antik Babilden 21. yüzyıl fiziğine kadar bunun öyküsünü anlatmaktadır.

Önce üçüncü derece denklemlerini çözmenin modern yöntemini aşırmış ve bunu cebir üzerine ilk önemli kitapta yayımlamış olan, Rönesans’ın İtalyan serserisi, bilim insanı ve kumarbaz Girolamo Cardano’yla tanışırız. Diğer taraftan, genç bir devrimci olan Evariste Galois’yı tanırız; o da henüz 21 yaşındayken grup kuramı alanını bularak tüm matematiğin gidişatını tek başına değiştirmişti; daha hiç bir çalışmasını bastıramadan, bir kadın uğruna bir düelloda ölecekti. Belki de en tuhafı, en önemli keşfini alkolik hezeyan krizleri arasında taş bir köprüye kendi elleriyle kazıyan William Rowan Hamiton'dur.

Dünyaca ünlü matematikçi lan Stewart , trajik dehaların çok ilginç öyküleriyle birlikte, simetrinin çağdaş bilimin en önemli fikirlerinden biri haline nasıl gelişip büyüdüğünü betimlemektedir.

"Güzellik Neden Gerçekliktir matematik tarihinden öte bir kitap... Matematikçilerin ilginç hayat hikâyelerinin de yer aldığı kitapta, simetrinin olağanüstü tarihi eğlendirici bir biçimde anlatılmış.”

-American Scientist

"Bu kitap güzellik kavramı ile Her Şeyin Teorisini birbirine bağlayan simetrinin tarihini kapsamlı olarak gözler önüne sermekte ve soyut matematiğin insanlığın bilgi birikimine olan katkısını ortaya koymakta.”

-Charlotte Mulcare, Biyolojik Antropolog, Cambridge

İsmail Hakkı Hayyam

Bu Blogda Ara

GÜZELLİK neden GERÇEKLİKTİR

IANSTEWART

ALFAI BİLİM

IANSTEWART

GÜZELLİK •«*«» GERÇEKLİKTİR

İÇİNDEKİLER

BABİL'İN YAZMANLARI

ÜNLÜ KİŞİ

İRANLI ŞAİR

KUMARBAZ BÎLGÎN

KURNAZ TİLKİ

HAKKI YENMİŞ DOKTOR

VE HASTALIKLI DEHA

BAHTSIZ DEVRİMCİ

VASAT MÜHENDİS VE AŞKIN PROFESÖR

SARHOŞ VANDAL

SÖZDE ASKER VE CILIZ KİTAPKURDU

PATENT OFİSİNDEKİ SEKRETER

BİR KUANTUM BEŞLİSİ

BEŞ BOYUTLU ADAM

POLİTİK GAZETECİ

MATEMATİKÇİLERİN AYMAZLIĞI

GERÇEKLİĞİ VE GÜZELLİĞİ ARAYANLAR

KAYNAKÇA

DİZİN

GÜZELLİK GERÇEKLİKTİR

Bu blogdaki popüler yayınlar

TWİTTER'DA DEZENFEKTÖR, 'SAHTE HABER' VE ETKİ KAMPANYALARI

FİRARİ GİBİ SEVİYORUM SENİ

YEZİDİLİĞİN YOKEDİLMESİ ÜZERİNE BİLİMSEL SAHTEKÂRLIK

İsmail Hakkı Hayyam

GÜZELLİK neden GERÇEKLİKTİR

IANSTEWART

ALFAI BİLİM

IANSTEWART

GÜZELLİK •«*«» GERÇEKLİKTİR

İÇİNDEKİLER

BABİL'İN YAZMANLARI

ÜNLÜ KİŞİ

İRANLI ŞAİR

KUMARBAZ BÎLGÎN

KURNAZ TİLKİ

HAKKI YENMİŞ DOKTORVE HASTALIKLI DEHA

BAHTSIZ DEVRİMCİ

VASAT MÜHENDİS VE AŞKIN PROFESÖR

SARHOŞ VANDAL

SÖZDE ASKER VE CILIZ KİTAPKURDU

PATENT OFİSİNDEKİ SEKRETER

BİR KUANTUM BEŞLİSİ

BEŞ BOYUTLU ADAM

POLİTİK GAZETECİ

MATEMATİKÇİLERİN AYMAZLIĞI

GERÇEKLİĞİ VE GÜZELLİĞİ ARAYANLAR

KAYNAKÇA

DİZİN

GÜZELLİK GERÇEKLİKTİR

Bu blogdaki popüler yayınlar

TWİTTER'DA DEZENFEKTÖR, 'SAHTE HABER' VE ETKİ KAMPANYALARI

FİRARİ GİBİ SEVİYORUM SENİ

YEZİDİLİĞİN YOKEDİLMESİ ÜZERİNE BİLİMSEL SAHTEKÂRLIK

HAKKI YENMİŞ DOKTOR

VE HASTALIKLI DEHA